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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Lista de Exercícios de Calculo I – Limites e Continuidade 1) O gráfico a seguir representa uma função f de ]9 ,6[ em . Determine: a) )2(f b) )(lim 2 xf x c) )(lim 2 xf x d) )(lim 2 xf x e) )2(f f) )7(f 2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: a) V p 100 lim b) V p 100 lim c) V p 100 lim 3) Dada a função f definida por: 1,2 1,2 1,4 )( 2 2 xsex xse xsex xf . Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite quando x tende a 1. 4) Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do medicamento presente na corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a seguir. Determine e interprete: a) )(lim 8 tf t b) )(lim 8 tf p 5) O gráfico a seguir representa uma função f de [4 ,3[ em . Determine: UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PR 2 a) )1(f b) )(lim 1 xf x c) )(lim 1 xf x 6) Calcule o limite, se existir: a) )15(lim 23 1 xxx x b) )342(lim 23 1 xxx x c) )1x2x2x4(lim 23 2x d) 5x 4x5x lim 2 2 3x e) 2x 10x7x lim 2 2x f) 3x 3x2x lim 2 3x g) xx x2x5xx3 lim 2 234 0x h) 1x2x 3x4x lim 5 3 1x i) 6x 36x lim 2 6x j) 2x3x 1x lim 2 2 1x k) 2x 32x lim 5 2x l) 27x54x36x10x 27x18x8x lim 234 234 3x m) 4x2 2x lim 2x n) 2x 4x lim 4x o) x42 x lim 0x p) x22 x lim 0x q) 1x x32 lim 1x r) 11x x lim 0x s) 2x 3x21 lim 4x t) 11x5x3 22x3x2 lim 2 2 2x 7) Calcule os limites laterais, se existir: a) h hh h 554 lim 2 0 b) 2 2 )3(lim 2 x x x x 3 c) 2 2 )3(lim 2 x x x x 8) Calcule os limites no infinito, se existir: a) 43 3 lim 2 2 x xx x b) 35 23 lim 2 x x x c) 62 3 lim 2 x x x d) x x x 2 34 lim e) xx x 1lim 2 f) xxx x 2lim g) xx 1 lim h) xx 1 2lim i) 4lim 2 xx x j) x x e lim k) 22 1lim xx l) 31 1lim xx m) x x e 1 3lim n) 1lnlim 2 x x o) 1lnlim 2 x x p) 1lim 2 xx x 9) Se 74)(94 2 xxxfx para 0x , encontre )(lim 4 xfx . 10) Se 2)(2 24 xxxgx para todo x , encontre )(lim 1 xgx . 11) Encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo: a) 1 1 x y b) 1 12 2 2 x xx y c) 3 4 x x y d) 12 x x y 12) Calcule o limite: a) x x 2lim g) x x 3loglim b) x x 3 1 lim h) x x 3 0 loglim c) x x 3 1 lim 0 i) x x lnlim d) 14 1 2lim x x j) x x 2lnlim 0 e) senx x 2lim 6 k) x x 2 1loglim f) 12 224 1 3 35 3lim xx xxx x l) x x 2 1 0 loglim 13) Mostre que: a) 12 4 0 )31(lim ex x x b) 2x 1 0x e)x21(lim c) 33 1 x 1 0x ee 3 x 1lim d) 7 4 x 1 0x e 7 x4 1lim e) e 1 e)x1(lim 1x 1 0x f) π 1 x 1 0x e π x 1lim 14) Calcule os seguintes limites: a) 2 n 1 1 lim n n 4 b) n 3 1 lim n n c) x1 x lim x x d) x 5 1 lim 1 x x e) xsen xsen x 1 1 lim 15) Calcule os limites abaixo: a) x 1 ln 2 x lim Fazer x+ 1 = u x+1 b) x 2 ln 3 x lim Fazer x+ 2 = u x+2 c) x x 0 2 1 lim x d) senx x 0 e 1 lim senx e) 2 x 0 ln 1 x lim x f) 3 x 1 ln x lim x 1 g) cossec x x 0 lim 1+senx ( Fazer sen x = u) h) 1 x 4 x 4 1+x lim 5 i) x x x 0 10 1 lim 5 1 (dividir por x Num. e Den.) j) x x 2 lim 1+ x 16) Seja 2 , 2 2 ,3 )( x x xx xf . a) Determine )(lim e )(lim 22 xfxf xx b) Existe )(lim 2 xf x ? Se existe, qual é? Se não, por quê? c) Determine )(lim 4 xf x e )(lim 4 xf x . d) Existe )(lim 4 xf x ? Se existe, qual é? Se não, por quê? 17) Determine o limite das funções trigonométricas, se existirem: a) xx 1 coslim b) cos lim 0 c) x x x 5 sen lim 0 d) 2 cos lim 2 x x x e) x x x sen sen lim f) 20 2 )cos1(sen lim x xx x g) tt 2 (3t)sen lim 0 h) )(3sen )(2sen lim 0 x x x i) x x x )( sen lim 2 0 j) x x x )( tg lim 2 0 k) t t t )(sen lim 18) Ache os limites )(lim xf ax , )(lim xf ax e )(lim xf ax , caso existam. a) 4 ; 4 4)( a x x xf b) 5 ; 5 5 )( a x x xf c) 8 ; 8 1 )( a x xf 5 19) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique. f(-5) i)h)f(0) f(4) g) )(limf) )(lim e) )(lim d) )(limc) )(lim b) )(lim) 444x 000 - xfxfxf xfxfxfa xx xxx 20) Calcule os seguintes limites laterais: 9 lim)f 36 6 lim)e 4 2 lim) 4 lim)c 2 lim)b 4 2 lim) 2 3 2 6 2 2 42 2 2 x x x x x x d x x x x x x a xxx xxx 21) Seja 2 se ,2 21 se ,1 10 se ,1 )( 2 x x xx xf a) Quais são o domínio e a imagem de f ? b) Em que pontos c existe )(lim xf cx ? c) Em quais pontos existe apenas o limite à esquerda? d) Em quais pontos existe apenas o limite à direita? 22) Calcule a) )1x2x3x5(lim 23 x b) )1x2xx2(lim 245 x c) )1x2x3(lim 24 x d) )8x5x3(lim 24 x e) )2x3x5(lim 3 x f) )2x3x(lim 2 x g) 3xx 1xx3x2 lim 2 23 x h) 1x 1x2 lim 2 2 x i) 3x x3 lim 2x j) 3xx5x9 1x2x5x3 lim 23 23 x k) 7x8x4 8x5x2 lim 5 23 x l) 7x 1x2x5 lim 23 x m) 33 2 x x)1x( 1xx lim n) )1x4)(1x3(x2 )2x3( lim 3 x o) 1x 1xx lim 2 x p) 1x 1xx lim 2 x q) 1x 5x3x2 lim 4 2 x r) 1x 5x3x2 lim 4 2 x 23) Responda: a) Do gráfico de f mostrado abaixo, diga os números nos quais f é descontínua e explique por quê. b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se f é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles. 6 24) Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda parte, exceto em 3x e é contínua à esquerda em 3x . 25) Esboce o gráfico de uma função que tenha descontinuidade de salto em 2x e um descontinuidade removível em 4x , mas seja contínua no restante. 26) Se f e g forem contínuas, com 5)3( f e 4)]()(2[lim 3 xgxf x , encontre )3(g . 27) Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que cada uma das funções abaixo é contínua em um dado número a. a) 4 ,7)( 2 axxxf b) 1 ,)2()( 43 axxxf c) 1 , 1 32 )( 3 2 a x xx xf 28) Explique por que a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função. a) 2 ,2ln)( axxf b) 1 , 1 se ,2 1 se , 1 1 )( a x x xxf c) 0 , 0 se , 0 se , )( 2 a xx xe xf x d) 1 , 1 se ,1 1 se , 1)( 2 2 a x x x xx xf e) 0 , 0 se ,1 0 se ,0 0 se ,cos )( 2 a xx x xx xf 29) Para quais valores da constante c a função f é contínua em ),( ? 2 se , 2 se ,2 )( 3 2 xcxx xxcx xf 30) Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte. 3 se ,2 32 se ,3 2 se , 2 4 )( 2 2 xbax xbxax x x x xf 7 Respostas 1) a) 3 b) 2 c) 5 d) não existe e) 0 f) 0 2) a) 0,8 b) 0,4 c) não existe 3) 3)(lim 1 xf x 4) a) 150 b) 250 5) a) 4 b) -2 c) 4 6) a) 8 b) 4 c) -5-6 2 d) 5 e) -3 f) -6 g) -2 h) -1/3 i) 12 j) -2 k) 80 l) 2 m) 0 n) 4 o) 4 p) 2 2 q) -1/4 r) 2 s) 4/ 3 t) 5/ 14 7) a) 5 2 b) 1 c) -1 8) a)1/3 b)0 c)0 d) 2 e)0 f) 1 g) 0 h)2 i) + j) 0 k)1 l) 1 m) 4 n) + o) + p) 0 9) 7 10) 2 11) 8 d) Verticais: x = 1 e x = -1 12) a) b) c) 1 d) 8 e) 2 f) 6 g) h) i) j) k) l) 14) a) e b) e3 c) e-1 d) e5 e) e 15) a) 1 b) 1 c) 1/ e2log d) 1 e) 2 f) 3 g) e h) 5 e i) 1/ 5log j) e2 16) a) 2)(lim 2 xf x e 1)(lim 2 xf x b) Não existe )(lim 2 xf x , pois os limites laterais são diferentes c) 3)(lim 4 xf x e 3)(lim 4 xf x d) 3)(lim 4 xf x , pois os limites laterais são iguais. 17) a) 1 b) 0 c) 1/5 d) 1 e)-1 f) 0 g) 3/2 h) 2/3 i) 0 j) 0 k) -1 18) a) 1)(lim 4 xf x , 1)(lim 4 xf x e )(lim 4 xf x b) 1)(lim 5 xf x , 1)(lim 5 xf x e )(lim 5 xf x c) )(lim 8 xf x , )(lim 8 xf x e )(lim 8 xf x 19) a) + b) - c) não existe d) - e) - f) não existe g) não existe h) não existe i) não existe j) não existe 20) a) - b) c) - d) e) f) 21) a) D(f) = [0,2] e Im(f) = [0,1] U{ 2} b) 0 < c < 1 e 1 < c < 2 c) c = 2 d) c = 0 22) a) b) c) d) e) f) g) h)2 i) 0 j)1/3 k)0 l) m) 1/3 n) 9/8 o)1 p) 1 q) 2 r) 2 24) 26) g(3) = 6 28) a) c) e) 29) c = 2/3 30) a = b = 1/2
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