Aula Mecanica sólidos I_EST_1ªparte_14

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO AMAZONAS 
Escola Superior de Tecnologia 
Prof. Adalberto Miranda 
 
1 
HORÁRIOS DE AULAS 
MANHÃ/TARDE 2ª F 3ª F 4ª F 5ª F 6ª F Sáb 
1º Tempo(13:50-14:40h) - Aula Aula Aula - - 
2º Tempo(14:40-15:30h) - Aula Aula Aula - - 
3º Tempo(14:40-16:20h) - Aula Aula Aula - - 
4º Tempo(16:20-17:10h) - Aula Aula Aula - - 
5º Tempo(17:10-18:00h) - Aula Aula Aula - - 
2 
Avaliações Turma 1 Obs: 
1º Avaliação 22/07/2014 -16:20h às 18:00h As datas das avaliações são 
2º Avaliação 29/07/2014 -16:20h às 18:00h previsões, pois podem mudar. 
Avaliação Final 06/08/2014 -16:20h às 18:00h 
Obs. 
ORIENTAÇÕES SOBRE AVALIAÇÕES E FREQUÊNCIAS 
1) O valor das notas será pela média aritmética das Avaliações e 
Trabalhos, onde cada avaliação e cada trabalho terá valor entre 0 e 10. 
Exemplo: AP1= (1ª Aval.+1ºTrb.)/2 e a AP2 da mesma forma. 
2) Se a Média: (AP1+AP2)/2, alcançar valor =8,0 ou >8,0, o aluno não 
precisará fazer a Avaliação Final (AF) que terá como Média Aritmética 
as [(AP1+AP2)/2)*2+AF]/3, destinada ao aluno que estiver abaixo de 
8,0 . 
3) A Frequência mínima é de 75% nas aulas (NÃO PODE FALTAR). 
4) A carga horária da disciplina é 60hs. 
3 
Sumário 
1. Objetivos 
2. Conceitos de Tensão 
2.1. Forças e Tensões 
2.2. Forças Axiais; Tensões Normais 
2.3. Tensões de Cisalhamento 
2.4. Tensões de Esmagamento 
2.5. Aplicações na análise de estrutura simples 
2.6. Tensões em um plano oblíquo ao eixo. 
2.7.Tensões para um caso de carregamento qualquer; 
componentes de tensões. 
2.8. Tensões admissíveis e tensões últimas; coeficiente de 
segurança. 
3. Exercícios 
4. Referências 
4 
1. Objetivos 
 
 
 
 
Geral 
• Permitir que o discente calcule tensões principais e tensões de 
cisalhamento máximo a uma dada estrutura reticulada e faça 
dimensionamento e verificação em estruturas simples. 
 
5 
2. Conceitos de Tensão 
• A mecânica é uma das ciências físicas com a finalidade de 
estudar o movimento e a deformação dos meios 
influenciados pela ação de perturbações mecânicas ou 
térmicas [1]. 
 
• Nos aspectos históricos a mecânica, pela análise da 
engenharia, aparece nos escritos de Arquimedes, ao referir 
sobre flutuação e alavanca, muito antes de 200 a.C. E o 
estabelecimento sobre os conhecimentos modernos de 
gravidade e movimento se fizeram através de Isaac Newton 
(1642-1727), ao apresentar as leis, conhecidas como leis de 
Newton [1]. 
6 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• O objetivo de se estudar a mecânica dos materiais é 
contribuir para que o Engenheiro seja habilitado a analisar e 
projetar várias estruturas de máquinas, submetidas a 
variados carregamentos [2]. 
 
 • Segundo BEER & JOHNSTON (1995) “A análise e o projeto 
de uma dada estrutura implica a determinação das tensões e 
deformações.” [2] 
 
• Iniciaremos com os conceitos de tensões. 
7 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
2.1. Forças e Tensões 
Dada a estrutura da Figura 1.1, mostrada pelas barras AB 
e BC, vamos verificar se essa estrutura pode suportar com 
segurança a carga de 30kN aplicada no ponto B: 
 
 
 
 
 
 
• 
8 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
Vamos inicialmente fazer o diagrama de corpo livre 
(D.C.L.) do ponto B (figura 1.2), depois compor as forças 
atuantes no polígono de forças (figura 1.3) e fazer a 
semelhança de triângulos: 
 
 
 
 
 
 
• 
9 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
Pela semelhança de triângulos podemos escrever a 
seguinte equação: 
 
 
 
obtemos: 
 
e 
 
 
10 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Fazendo o corte na Barra BC – secção transversal – em um 
ponto arbitrário D, obtém-se duas partes BC e CD 
(Figura1.4). 
• Para haver equilíbrio nas duas partes aplica-se a cada uma 
a força de 50kN no ponto D. 
• BC está sob efeito de tração. 
 
• Analogamente, AB é de 40kN. 
onde a barra AB está sob efeito 
de compressão. 
11 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• A análise da estrutura foi realizada satisfatoriamente. 
• Entretanto, temos que saber se a carga será suportada 
com segurança. 
• Perguntas: 
• 1) a barra BC pode suportar a aplicação da força interna 
FBC? 
• 2) Qual a justificativa caso ela quebre devido a essa força 
interna? 
• 3) O valor encontrado anteriormente é o suficiente para o 
esforço interno ou depende de mais alguma coisa? 
• 4) O que representa esta força interna FBC em relação as 
forças envolvidas na estrutura? 
• 
12 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
•
13 
 
 FBC 
 
 A 
 
 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• A tensão em uma barra de secção transversal A (Figura 1.6), 
sujeita a uma força axial (figura abaixo), pode ser obtida pelo 
módulo P (em N) da força pela área A (em m²): 
 
 
• Indicação das tensões: 
a) Tensão de tração : (+); e 
b) Tensão de compressão: (-). 
 
 
• N/m² é Pa, entretanto, mais utilizadas são seus múltiplos: 
 1kPa = 10³Pa = 10³N/m²; 1MPa = 106Pa = 106N/m²; e 
 1GPa = 109Pa = 109N/m². Podendo usar outras unidades. 
14 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
•
15 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Estudo da Barra BC (Fig.1.1). Aplicando as funções de 
engenheiro, importando-se para o projeto de novas máquinas e 
estruturas, então na escolha dos componentes estruturais 
adequados para as solicitações de previsão, imagine, por exemplo, 
se na estrutura da Fig.1.1, a barra BC seja de alumínio. Qual deve 
ser o diâmetro da barra para suportar com segurança a carga 
aplicada? 
• Pela tabela de propriedades dos materiais: adm=+100MPa. 
 
 
 
 
 
• sendo d = 2r; temos, d=25,34mm; logo, a barra de alumínio 
de d=26mm é adequada para a peça BC. 
 
Fim 2.1. 
16 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
•
17 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
•
18 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Na Prática, temos distribuição de tensões uniforme na barra carregada 
axialmente, exceto as secções vizinhas ao ponto da carga aplicada. 
• Adotamos o valor da  igual ao valor de méd. e desta forma a 
resultante P das forças internas está aplicada no centróide da secção 
transversal (Figura 1.9), 
 
 
 
• ou seja, 
 
 
 
• uma distribuição uniforme de tensões só é possível se a 
linha de ação das forças aplicadas P e P’ passar pelo 
centróide da secção considerada (Figura 1.10). 
• temos então uma carga centrada ou carregamento atuante. 
19 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
20 
• Para uma barra carregada axialmente, excentricamente, como 
observada na Figura 1.11a, tem-se que as condições de equilíbrio 
em parte (Figura 1.11b) mostra que as forças internas, na parte 
considerada, equivale à força aplicada P no centróide de 
momento M=Pd e a distribuição de tensões não poderá ser 
uniforme ou simétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Fim 2.2. 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
2.3. Tensões de Cisalhamento ( ) 
• As forças internas ou seja, as tensões, mostradas nos conceitos 
anteriores eram normais à secção transversal. 
• Se duas forças P e P’ forem aplicadas numa barra AB, na direção 
transversal à barra vai ocorrer um tipo de tensão diferente (ver Figura 
1.12). 
 
• 
 
 
 
 
 
 
• A tensão de cisalhamento ( ) é aquela que atua paralela ao plano da 
secção transversal. 
21 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Vamos agora passar a secção transversal pelo ponto C, localizado entre 
os pontos de aplicação das forçasmostrado pela Figura 1.13a: 
 
• Desenhando o Diagrama AC temos a figura 1.13b: 
 
• Devem existir forças internas na secção transver- 
sal com resultante de intensidade P, chamada de 
força cortante na secção. 
 
• A tensão média de cisalhamento na secção, pode 
ser obtida pela equação: 
 
 
 
22 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
•
23 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Exemplo de outras situações de carregamento, se as chapas de ligação C 
e D são usadas para unir A e B, conforme Figura 1.16, temos então, a 
tensão de cisalhamento duplo: 
 
• Fazendo os desenhos dos diagramas do rebite 
HJ e LL’, Figura 1.17, obtém-se a tensão de 
cisalhamento. 
• A força cortante em cada secção é dada por: 
 
 
e a tensão média de cisalhamento igual a: 
 
 
 
 
Fim 2.3. 
24 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
2.4. Tensões de Esmagamento ( E ) 
• A tensão de esmagamento é o valor nominal médio para a tensão 
utilizado na distribuição de tensões ao longo da superfície interna 
cilíndrica. 
• As tensões de esmagamento nas barras, que estão sendo unidas ao 
longo da superfície de contato, são provocadas pelos parafusos, pinos e 
rebites. 
• Exemplo: nas chapas A e B unidas pelo rebite CD (Fig.1.14), o rebite 
exerce na placa A uma força P=F aplicada conforme mostra a figura 1.18. 
 
• P é a resultante das forças elemen 
tares distribuídas ao longo da super- 
fície interna do semicilindro de diâ- 
metro d e comprimento ℓ, igual a 
espessura da chapa. 25 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
•
26 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
2.5. Aplicações na análise de estruturas simples 
a) Determinação das tensões normais nas barras com força axial: 
1⁰ passo: determinar a força em cada barra (analisar as condições de 
equilíbrio de um ponto ou nó); 
2⁰ passo: em problemas complexos fazer o diagrama de corpo livre 
(D.C.L.); 
3⁰ passo: determinar as reações nos apoios pelas equações de 
equilíbrio para um corpo rígido: 
 
 
 
onde A é um ponto qualquer do plano que contém a estrutura. 
• Deve-se desenhar o D.C.L. de toda a estrutura e fazer o estudo das 
destas equações em cada barra. 
27 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Exemplo: Tomando a Figura 1.1, vamos especificar que a barra circular BC, 
de d=20mm, tem extremidades achatadas com a seção transversal retangular 
de 20mm x 40mm (Fig.1.20). E especificar também, que a barra AB, de seção 
transversal retangular, constante, seja de 30mm x 50mm.Na extremidade B, a 
barra AB divide-se em duas partes, permitindo o encaixe da barra BC. As duas 
barras se ligam em B, por intermédio de um pino, de onde fica suspensa a 
carga de 30 kN. No ponto A, um pino liga a barra BC ao apoio, que consiste em 
uma placa única e os pinos têm d=25mm (Fig.1.20). 
28 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Solução: 
 dos cálculos da seç.2.1: 
BC é FBC=50kN; A=314x10
-6m²; e BC= +159MPa. 
 na extremidade achatada: (25mm é o diâmetro de cada pino) 
A=(20mm).(40mm-25mm)  A=300x10-6m². 
 valor médio BC nesse ponto: 
 
  
 este valor próximo ao furo é maior. 
 Na barra AB, há compressão pela força igual a : FAB=40kN 
 A área da seção transversal da barra é: A=30mm x 50mm = 1,5x10-3m². 
 O valor da tensão média entre os pontos A e B é: 
  
 
Obs.: As seções transversais de menor área, em A e B, não estão sujeitas a 
nenhuma tensão, mesmo que haja compressão, e seja empurrado os pinos. 
29 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
b) Determinação das tensões de cisalhamento nas ligações: 
• Determinar a tensão de cisalhamento em um conector, como 
parafuso, pino ou rebite; 
• Especificar as forças que são aplicadas pelas várias peças ligadas por 
ele. 
• No caso o pino C (Fig.1.21a), fazer o diagrama (Fig. 1.21b) mostrando 
a força de 50kN aplicada no pino (barra BC). 
• Fazer o diagrama da parte de baixo (plano DD’), força F=50kN. 
30 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• A área da seção transversal é: 
 
 
• A tensão média de cisalhamento é calculada por: 
 
 
• Considere agora o pino A, onde a figura 1.22 mostra que ele está 
sujeito a corte duplo. 
• 
31 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Fazendo o diagrama do pino e da porção dele nos planos DD’ e EE’, no 
corte, onde P=20kN, temos: 
 
 
• Analisar pino ponto B (Fig.1.23a), dividindo em 5 porções de forças em 
BC, AB (em duas) e pela chapa dobrada que sustenta a carga aplicada. 
• Considere as partes DE e DG (Fig.1.23b e c), onde as forças cortantes E 
e G são, respectivamente, PE=15kN e PG=25kN e calculamos pela maior: 
32 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
c) Determinação das tensões de esmagamento. 
• Observe a Figura 1.20, ponto A da barra AB: 
 
33 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
c) Determinação das tensões de esmagamento. 
• Temos o ponto A da barra AB, e pretendemos determinar a tensão 
normal de esmagamento (Fig.1.20) neste ponto, com os seguintes valores: 
t=30mm, d=25mm e P=40kN. Determine a tensão normal de 
esmagamento. 
 
 
• Para calcular a tensão de esmagamento nas chapas unidas em A, 
fazemos t=2(25mm) = 50mm, onde d=25mm. 
 
 
 
• Os mesmos cálculos serão efetuados para as tensões de esmagamento 
nos pontos B e C, das barras AB e BC. 
 
 
Fim 2.5 
 
34 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
2.6. Tensões em um plano oblíquo ao eixo. 
• Neste caso as forças axiais causam ao mesmo tempo tensões normais e 
de cisalhamento (Fig. 1.24 e 1.25), observadas em planos não 
perpendiculares ao eixo da peça. 
 
 
 
 
 
 
 
• Pode-se observar neste caso também, que da mesma forma de antes, a 
aplicação das forças transversais em um pino causam tensões normais e 
de cisalhamento nos planos oblíquos ao eixo do pino. 
35 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Considere a barra da figura 1.24, submetida a ação das forças axiais P e 
P’. 
• Se fizer o corte na barra por um 
plano formando um ângulo  com o 
plano normal. 
• Com o D.C.L. da esquerda da secção, 
observa-se as forças distribuídas agindo 
na secção, equivalentes a P (Fig. 1.26a e 
1.26b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 Fig.1.26 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• onde a Figura 1.26b, será observada pelas Fig. 1.26c e d. 
 
 
 
 
 
 
• Decompondo P em componentes F e V, que são respectivamente 
normal e tangencial ao plano da secção, da Figura 1.26c temos: 
 
 
• F representa a resultante de forças internas distribuídas normais à 
secção, e V a força cortante, resultante das forças distribuídas tangenciais 
(Figura 1.26d). 
37 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
•
38 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
•
39 1.27 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• O mesmo carregamento pode produzir tensões de mesmo valor 
(Figura1.27): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim 2.6 
 
 
 
40 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
2.7. Tensões para um caso de carregamento qualquer; componentes de 
tensões. 
• Temos que grande parte de peças estruturais e componentes de 
máquinas encontram-se sob ação de condições de carregamento muito 
complexas. 
• Se considerarmos um corpo sob aplicação de diversas forças P1, P2, P3, 
etc.. (Fig.1.28). 
 
 
 
41 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Estudando as condições de tensões em certo ponto Q no interior do 
corpo, causadas pelo carregamento (figura 1.28): 
• Temos que seccionar o ponto Q, por um plano paralelo ao plano yz. 
• A porçãoà esquerda está sujeita à ação de algumas forças aplicadas no 
início e ainda as forças normais e cortantes distribuídas na secção. 
42 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Toma-se um elemento da área ∆A, contendo o ponto Q e Designa-se 
agora por ∆Fx e ∆Vx (Fig.1.29a). O índice x indica que as forças ∆Fx e ∆Vx 
agem em uma superfície perpendicular ao eixo x. 
• A força normal ∆Fx tem direção definida e força cortante ∆Vx pode ter 
qualquer direção no plano. 
• Decompõe-se ∆Vx nas suas 
componentes ∆Vxy e ∆V
x
z , direções 
paralelas aos eixos y e z, respectivamente 
(Fig.1.29b); 
• Divide-se a intensidade de cada força 
pela área ∆A (tendendo a zero), onde 
define-se três componentes das tensões 
(Fig.1.30): 
43 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• O primeiro índice em x , xy e xz indica que as tensões agem em 
uma superfície perpendicular ao eixo x. 
• O segundo índice serve para indicar a direção da componente. 
• A tensão x será (+) se o sentido do vetor coincide com o sentido 
do eixo x (corpo tracionado) e caso o contrario será (-). Da mesma 
forma as outras tensões. 
• Esta mesma análise pode ser feita 
se for tomada a porção direita do 
corpo no plano vertical (fig. 1.31). 
• As tensões terão mesma 
intensidade, mas os sentidos opostos. 
 
 
 
 
 
Fim 2.7 
 
 
 
44 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
2.8. Tensões admissíveis e tensões últimas; coeficiente de segurança. 
• Temos neste subitem dois estudos: 
1º) A análise de estruturas e máquinas existentes, com o objetivo de 
prever seu comportamento sob condições de carga especificadas; e 
2º) O projeto de novas máquinas e estrutura, que deverão cumprir 
determinadas funções de maneira segura e econômica. 
• Através destes dois estudos, temos que saber: 
 como o material vai atuar sob condições de carregamento; 
 deve-se realizar testes específicos em amostras preparadas do 
material. Ex.: corpo de prova de ação numa máquina em laboratório. 
 aplicar forças aumentando progressivamente de intensidade e medir 
as modificações. 
 Observar em certo instante, a máxima força que o corpo pode 
suportar ou atingir até se quebrar ou quando ele começa a perder a 
resistência. 
 A força máxima é chamada de carregamento último dessa amostra 
(PU). 
45 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
•
46 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• Uma Peça estrutural ou componente de máquina de um projeto deve 
ter a carga última maior que o carregamento (carregamento admissível), 
para que a peça e/ou elemento suporte em condições normais de uso. 
• O carregamento admissível pode ser chamado de carga de utilização ou 
carga de projeto. 
• Qdo se aplica a carga admissível apenas uma parte da capacidade de 
resistência do material está sendo utilizada; a outra parte é reservada 
para condições de segurança na utilização do material. 
• A relação entre o carregamento último, e o carregamento admissível é 
chamada de coeficiente de segurança, dado por: 
 
 
• Existe ainda, uma correspondência linear entre carga aplicada e tensão 
provocada pela carga. Que leva ao coeficiente C.S. ser expresso por: 
47 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• A escolha do C.S. adequado em diversas aplicações requer análise, 
onde devem ser levados em consideração alguns fatores: 
1) Modificações que ocorrem nas propriedades do material; 
2) O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da 
estrutura ou máquina; 
3) O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar 
futuramente; 
4) O modo de ruptura que pode ocorrer; 
5) Métodos aproximados de análise; 
6) Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de 
manutenção ou por causas naturais imprevisíveis; 
7) A importância de um certo membro para a integridade de toda a 
estrutura. 
 
48 
2. Conceitos de Tensão (continuação) 
• No Brasil, os C.S. para diversos materiais e carregamentos, tem 
especificações, para vários tipos de estruturas aplicados pelas Normas 
Técnicas da Associação Brasileira de Normas Técnicas, ou seja, para: 
1. Aço: NB 14; 
2. Concreto : NB 1; 
3. Madeira: NB 11; e 
4. Pontes rodoviárias: NB 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fim 2.8 
49 
3. Exercícios 
1) No suporte da Figura abaixo, a haste ABC tem, na parte superior, 9mm 
de espessura, e na parte inferior, 6mm de espessura de cada lado. Uma 
resina a base de epoxy é usada para colar as partes superior e inferior da 
haste, no ponto B. Os pinos no ponto A e C têm 9mm e 6mm de diâmetro, 
respectivamente. Pede-se determinar: 
a) A tensão de cisalhamento no pino A; 
b) A tensão de cisalhamento no pino C; 
c) A maior tensão normal na haste ABC; 
d) A tensão média de cisalhamento nas superfícies coladas no ponto B; e 
e) A tensão de esmagamento na haste em C. 
50 
3. Exercícios 
1) Solução: Fazer: D.C.L. (todo suporte) e análise da barra ABC. Reação 
em A (vertical) e reação em D (componentes Dx e Dy): 
51 
+ 
3. Exercícios 
1) Solução: 
a) Tensão de cisalhamento no pino A (sujeito a corte simples): 
 
 
 
b) Tensão de cisalhamento no pino C (sujeito a cisalhamento duplo) : 
 
 
 
c) Tensão normal máxima na haste ABC (ponto A, a haste tem menor área 
devido ao furo do pino de 9mm) e a altura da haste é (32-9)=23mm: 
 
 
52 
3. Exercícios 
1) Solução: 
d) Tensão de cisalhamento média no ponto B (duas faces coladas da 
haste: superior e inferior). A força de corte em cada face é 
F1=3256N/2=1628N, logo: 
 
 
 
e) Tensão de esmagamento da haste no ponto C (cada parte da haste, 
F1=1628N e a área nominal de esmagamento é (6mm x6mm)=36mm²: 
 
 
 
53 
3. Exercícios 
2) Duas forças são aplicadas ao suporte da figura abaixo. (a) Sabendo-se 
que a barra de controle AB é feita de aço com tensão última de 600MPa, 
determinar o diâmetro da barra para que o coeficiente de segurança seja de 
3,3. (b) O pino ao ponto C é feito de aço com tensão última a cisalhamento 
de 350MPa. Determinar o diâmetro do pino C que leva a um coeficiente de 
segurança ao cisalhamento de valor 3,3. (c) Determinar a espessura 
necessária das chapas de apoio em C, sabendo-se que a tensão admissível 
para esmagamento do aço utilizado é de 300MPa. 
54 
3. Exercícios 
2) Solução: Fazer: D.C.L. (todo suporte) e análise do suporte. Reação em C 
(componentes Cx e Cy): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
+ 
3. Exercícios 
2) Solução: 
a) Barra de controle AB e coeficiente de segurança é 3,3, logo a tensão 
admissível será: 
 
 
 
• para P=40kN a área necessária da secção transversal é 
 
 
 
 
 
 
b) Cisalhamento no pino C e o coeficiente de segurança é logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
3. Exercícios 
•
57 
3. Exercícios 
58 
3) 
3. Exercícios 
59 
3) solução: O C.S. deve ser maior ou igual a 3,0 para cada um dos 
parafusos e para a barra de controle (considerar casos separados). 
3. Exercícios 
60 
3) solução: 
3. Exercícios 
61 
3) solução: 
3. Exercícios 
62 
3) solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Exercícios 
63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) A barra rígida AB é sustentada por uma haste de aço AC com 20 mm de 
diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção transversal de 
1.800mm2. Os pinos de 18mm de diâmetro em A e C estão submetidos a 
cisalhamento simples. Se a tensão de ruptura do aço e do alumínio forem
 e , respectivamente,e a tensão falha 
para cada pino for de , determine a maior carga P que pode 
ser aplicada à barra. Aplique um fator de segurança FS = 2. 
  MPa680
rupaço
   MPa 70
rupal

MPa 900rup 
4) Solução: 
O D.C.L. e as tenções admissíveis são:  
 
 
 
MPa 450
2
900
FS
MPa 35
2
70
FS
MPa 340
2
680
FS
rup
adm
rupal
admal
rupaço
admaço









Há três incógnitas e nós aplicaremos as equações de equilíbrio 
   
    (2) 075,02 ;0
(1) 0225,1 ;0




PFM
FPM
BA
ACB
3. Exercícios 
64 
Agora, determinaremos cada valor de P que crie a tensão admissível na 
haste, no bloco e nos pinos, respectivamente. 
A haste AC exige 
         kN 8,10601,010340 26
admaço
  ACAC AF
Usando a Equação 1, 
  
kN 171
25,1
28,106
P
Para bloco B, 
       kN 0,6310800.11035 66
admal
 BB AF 
Usando a Equação 2, 
  
kN 168
75,0
20,63
P
3. Exercícios 
65 
4) Solução: 
Para o pino A ou C,      kN 5,114009,010450 26adm   AFV AC
Usando a Equação 1, 
  
kN 183
25,1
25,114
P
Quando P alcança seu menor valor (168 kN), desenvolve a tensão normal 
admissível no bloco de alumínio. Por consequência, 
(Resposta) kN 168P
3. Exercícios 
66 
4) Solução: 
 
Fim dos exercícios resolvidos 
5. Referências 
[1] I.H. Shames. Introdução à Mecânica dos Sólidos. Rio de Janeiro: 
Prentice/Hall do Brasil (PHB) (1975) 
[2] F.P. Beer & E.R. Johnston Jr. Resistência dos Materiais. 3ª Edição, São 
Paulo: Pearson Makron Books (1995) 
[3] R.C.Hibbleler. Resistência dos Materiais. 7ª Edição, São Paulo: Pearson 
Prentice Hall (2010) 
[4] E.P. Popov. Introdução à Mecânica dos Sólidos. 1ª edição em 1978. São 
Paulo: reimpressão pela Editora Blutcher (2013). 
 
67