Produto Vetorial e Misto - Exercícios Resolvidos

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CURSOS LIVRES DE 3º GRAU - GEOMETRIA ANALITICA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PRODUTO VETORIAL E PRODUTO MISTO
1. Determinar o vetor x
r
 tal que ( )x 1,4, 3 7• − = −r e ( ) ( )x 4, 2,1 3,5, 2∧ − = −r .
Solução:
 
( )
( )
( ) ( )
x 1,4, 3 7
Seja x a,b,c , então :
a,b,c 1,4, 3 7 a 4b 3c 7
• − = −
=
• − = − ⇔ + − = −
r
r
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x 4, 2,1 3,5, 2
Seja x a,b,c , então :
a,b,c 4, 2,1 3,5, 2
4 1
i j k
ˆˆ ˆ3i 5j 2ka b c
4 2 1
i k
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4cj b i 2ak aj 4bk 2ci 3i 5j 2k
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆb 2c i 4c a j 2a 4b k 3i 5j 2k
Assim :
b 2c 3
4c a 5
2a 4b 2
∧ − = −
=
∧ − = −
= + −
−
+ − − − + = + −
+ + − − + = + −
+ =
− = + =
r
r
Dessa forma, temos:
( )
a 4b 3c 7
a 4b 3c 7 4c 5 4 3 2c 3c 7
b 2c 3 b 3 2c
4c 5 12 8c 3c 7
a 4c 5 a 4c 5
4c 11c 7 5 12
2a 4b 2 a 2b 1
7c 14 c 2
+ − = −+ − = −
− + − − = − + = ⇔ = − 
⇔ − + − − = − 
− + = ⇔ = − 
− = − + − + = ⇔ + =
− = − ∴ =
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( ) ( )
Se c 2 :
b 3 2c b 3 2 2 3 4 1 b 1
a 4c 5 a 4 2 5 8 5 3 a 3
Logo :
x a,b,c x 3, 1,2
=
= − ⇔ = − × = − = − ∴ = −
= − ⇔ = × − = − = ∴ =
= ∴ = −
r r
2. Sejam os vetores U=(1,-2,1), V=(1,1,1) e W(1,0,-1).
 a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro 
vetor.
c)mostrar que U*(V*W)=0
 3. Determinar U . V, Sabendo que |U * V|=12, |U|=13 e V é unitario
 4. Dados os pontos A(2,1,-1) e B(0,2,1), determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área do triangulo ABC 
seja 1,5 u.a.
Solução:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
A 2,1, 1 , B 0,2,1 e C a,0,0
AB B A 2,1, 2 AB 2,1, 2
e
AC C A a 2, 1,1 AC a 2, 1,1
1
Área AB AC
2
Área 1,5 u.a.
1
AB AC 1,5 u.a.
2
2 1 2 2 11
1,5
2 a 2 1 1 a 2 1
2 1 2 2 1
3
a 2 1 1 a 2 1
−
= − = − − ∴ = − −
= − = − − ∴ = − −
= ⋅ ∧
=
⋅ ∧ =
− − −
⋅ =
− − −
− − −
=
− − −
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 1 2 2 1
3
a 2 1 1 a 2 1
ˆˆ ˆ1 2 i 2a 4 2 j 2 a 2 k 3
1 6 2a a 3 1 6 2a a 3
1 6 2a a 9 1 36 24a 4a a 9 0
5a 24a 28 0
24 24 4 5 28
a
10
24 16 24 4
a a
10 10
28 14 14
a a
10 5 5
ou
20
a a 2
10
− − −
=
− − −
− + − + + + − − + =
 
− + − + − = ⇔ − + − + − =  
+ − + = ⇔ + − + + − =
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅
=
± ±
= ⇔ =
= = ∴ =
= ∴ =
Logo, o ponto pedido é ( )14C ; 0; 0 ou C 2; 0; 0
5
    .
5. Obtenha o ponto da bissetriz do 1º quadrante que eqüidista de P(0,1) e Q(7,0).
Solução:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
PM MQ
2 2 2 22 2 2 2
2
P 0,1 Q 7,0 M x,x 1º Qd
d d
x x 1 x 7 x x x 1 x 7 x
Assim:
x
∈
=
+ − = − + ⇔ + − = − +
2x+ 22x 1 x− + = 2x+
( )
14x 49 14x 2x 49 1
12x 48 x 4 y x 4
Por tan to :
M 4,4
− + ⇔ − = −
= ∴ = ⇔ = =
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Observe a figura:
6. Dados os pontos A(2, 1, -1), B(3, 0,1) e C(2, -1, -3), determinar o ponto D tal que AD BC AC= ×
uuur uuur uuur
.
Solução:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
AD BC AC
A 2,1, 1 , B 3,0,1 ,C 2, 1, 3 e D x,y,z
Assim:
AD D A x,y,z 2,1, 1 x 2,y 1,z 1 AD x 2,y 1,z 1
BC C B 2, 1, 3 3,0,1 1, 1, 4 BC 1, 1, 4
AC C A 2, 1, 3 2,1, 1 0, 2, 2 AC
= ×
− − −
= − = − − = − − + ∴ = − − +
= − = − − − = − − − ∴ = − − −
= − = − − − − = − − ∴ =
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur ( )
( ) ( ) ( )
( )
0,2, 2
Pr oduto vetorial BC AC :
1 1 4 1 1
BC AC 2 8 , 0 2 , 2 0
0 2 2 0 2
BC AC 10, 2, 2
Comparando : AD BC AC
x 2 10 x 10 2 12 x 12
y 1 2 y 2 1 1 y 1
z 1 2 z 2 1 3 z 3
Lo
−
×
− − − − −  × = = + − − + 
−
× = − −
= ×
− = ⇔ = + = ∴ =
− = − ⇔ = − + = − ∴ = −
+ = − ⇔ = − − = − ∴ = −
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
( ) ( )
go :
D x,y,z D 12, 1, 3⇔ − −
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7. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u 2v+
r r
 e v u−
r r
, sendo ( )u 3,2,0= −r e 
( )v 0, 1, 2= − −r .
Solução:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
u 3,2,0 v 0, 1, 2
u 2v 3,2,0 2 0, 1, 2
u 2v 3,2,0 0, 2, 4 3,0, 4 u 2v 3,0, 4
e
v u 0, 1, 2 3,2,0 3, 3, 2 v u 3, 3, 2
= − = − −
+ = − + − −
+ = − + − − = − − ∴ + = − −
− = − − − − = − − ∴ − = − −
r r
r r
r r r r
r r r r
Assim:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
u 2v 3,0, 4 e v u 3, 3, 2
3 0 4 3 0
u 2v v u 0 12 , 12 6 , 9 0
3 3 2 3 3
Logo :
u 2v v u 12, 18,9
+ = − − − = − −
− − −  + × − = = − − − − 
− − −
+ × − = − −
r r r r
r r r r
r r r r
8. Sendo u 2 2=
r
 , v 4=
r
 e θ = 45° o ângulo entre u
r
 e v
r
, calcular:
a) 2u v×
r r
Solução:
2u v 2 u v 2 u v sen
2u v 2
× = × = θ
× =
r r r r r r
r r 2
2 2 4
2
× × × 8 2 2 16
2u v 16
= × =
× =
r r
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b) 
2 1
u v
5 2
×
r r
Solução:
 
2 1 1 1
u v u v u v sen
5 2 5 5
2 1 1
u v 2
5 2 5
× = × = θ
× = ×
r r r r r r
r r 2
2 4
2
× ×
1
8
5
Logo :
2 1 8
u v
5 2 5
= ×
× =
r r
PRODUTO MISTO
9. Qual o volume do cubo determinado pelos ˆˆ ˆi, j e k ?
Solução:
1 0 0
V 0 1 0 1.1.1 1 u.v V 1 u.v
0 0 1
= = = ∴ =
10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ( )1v 0, 1,2= −r , 
( )2v 4,2, 1= − −r e ( )3v 3,m, 2= −r seja igual a 33 u.v. Calcular a altura deste paralelepípedo relativa à base 
definida por 1v
r
e 2v .
r
Solução:
Cálculo de m
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( ) ( ) ( )1 2 3v 0, 1,2 v 4,2, 1 v 3,m, 2 V 33 u.v.
Assim :
0 1 2
V 33 4 2 1 33 8m 3 12 8 33 8m 1 33
3 m 2
Assim :
34 178m 1 33 8m 33 1 8m 34 m m
8 4
ou
328m 1 33 8m 33 1 8m 32 m m 4
8
Assim :
17m ou m 4
4
= − = − − = − =
−
= ⇔ − − = ⇔ − + − + = ⇔ − − =
−
− − = ⇒ − = + ⇔ − = ⇔ = − ∴ = −
−
− − = − ⇒ − = − + ⇔ − = − ⇔ = ∴ =
−
= − =
r r r
Cálculo da Altura h
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
base
base
1 2 1 2base
2 2 2
1 2 1 2
1 2
base
v 0, 1,2 v 4,2, 1
Assim :
VV A h h
A
Mas :
0 1 2 0 1 ˆ ˆ ˆA v v v v 1 4 i 8 0 j 0 4 k
4 2 1 4 2
Assim :
ˆ ˆ ˆv v 3i 8j 4k v v 3 8 4 9 64 16 89
v v 89
Substituindo :
V 33h
A 89
= − = − −
= × ∴ =
− −
= × ⇒ × = = − + − + + −
− − −
× = − − − ⇒ × = − + − + − = + + =
∴ × =
= = ∴
r r
r r r r
r r r rr r
33h u.c.
89
=
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11. Dados os pontos A(2, 1,1), B(-1, 0,1), C(3, 2, -2), determine o ponto D do eixo Oz para que o volume 
determinado por AB
uuur
, AC
uuur
 e AD
uuur
 seja 25 u.v.
Solução:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
A 2,1,1 B 1,0,1 C 3,2, 2 D 0,0,z V 25 u.v
AB B A 3, 1,0
AC C A 1,1, 3
AD D A 2, 1,z 1
V 25
3 1 0
1 1 3 25 3 z 1 6 9 z 1 25
2 1 z 1
Assim:
3z 3 6 9 z 1 25 2z 5 25 2z 25 5
20
2z 20 z z 10
2
− − =
= − = − −
= − = −
= − = − − −
=
− −
− = ⇔ − − − + + − =
− − −
− + − + + − = ⇔ − + = ⇔ − = −
− = ⇔ = ∴ = −
−
uuur
uuur
uuur
Dessa forma, o ponto pedido é D(0,0, -10)
12. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A(2,0,0) , B(2,4,0), C(0,3,0) e P(2, -2, 9). 
Qual a altura relativa ao vértice P?
Solução:
Cálculo do Volume:
( )
( )
( )
( )
A(2,0,0) B(2,4,0) C(0,3,0) P(2, -2, 9)
AB B A 0,4,0
AC C A 2,3,0
AP P A 0, 2,9
0 4 0
1 1
V 2 3 0 72 12 V 12 u.v
6 6
0 2 9
= − =
= − = −
= − = −
= − = × = ∴ =
−
uuur
uuur
uuur
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Cálculo da Altura:
base
base
base
base
V
V A h h
A
A AB AC
ˆˆ ˆi j k
ˆAB AC 0 4 0 8k AB AC 8
2 3 0
Assim:
V 72
h h 9 u.c h 9 u.c
A 8
= × ⇔ =
= ×
× = = ∴ × =
−
= ⇔ = = ∴ =
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
13. Três vértices de um tetraedro de volume 6 u.v são A(-2, 4, -1), B(-3,2,2) e C(1, -2, -1). Determinar o quarto 
vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy. 
Solução:
( )
( )
( )
( )
A( 2,4, 1) B(-3,2,3) C(1,-2,-1) D(0, y, 0)
AB B A 1, 2,4
AC C A 3, 6,0
AD D A 2,y 4,1
1 2 4 1 2 3
1
V 6 V 3 6 0 6 3 6 0 36
6
2 y 4 1 2 y 4 1
6 12 y 4 48 6 36 12y 48
− −
= − = − −
= − = −
= − = −
− − − −
= ⇔ = − = ⇔ − =
− −
+ − + + = ⇔ −
uuur
uuur
uuur
12 48+ +
( )
36
12y 36 12 24 y 2
Assim:
D 0,2,0
=
= − = ∴ =
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14. Resolva os sistemas:
a) ( )
ˆˆX j k
ˆˆ ˆX 4i 2j k 10
 ∧ =
• − − =
ur
ur
Solução:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
ˆˆX j k
ˆˆ ˆX 4i 2j k ^ 10
X a,b,c
Assim:
a b c a bˆˆX j k 0,0,1
0 1 0 0 1
ˆˆ0 c i a 0 k 0,0,1 c,0,a 0,0,1
Temos :
c 0 a 1
e
ˆˆ ˆX 4i 2j k ^ 10
a,b,c 4, 2, 1 10 4a 2b c 10
4 1 2b 0 10 4 2b 10 2b 4 10 6 2b 6 b
 ∧ =
• − − =
=
∧ = ⇔ =
− + − = ⇔ − =
= =
• − − =
• − − = ⇔ − − =
× − − = ⇔ − = ⇔ = − = − ∴ = − ∴ =
ur
ur
ur
ur
ur
( ) ( )
3
Substituindo :
X a,b,c X 1, 3,0
−
= ∴ = −
ur ur
b) 
( )
( )
ˆˆ ˆX 2i j 3k 0
ˆˆ ˆX i 2j 2k 12
 ∧ − + = • + − =
ur r
ur
Solução:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
ˆˆ ˆX 2i j 3k 0
ˆˆ ˆX i 2j 2k 12
X a,b,c
Assim:
a b c a bˆˆX j k 0,0,0
2 1 3 2 1
ˆˆ ˆ3b c i 2c 3a j a 2b k 0,0,0
 ∧ − + = • + − =
=
∧ = ⇔ =
− −
+ + − + − − =
ur r
ur
ur
ur
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( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Temos :
ˆˆ ˆ3b c i 2c 3a j a 2b k 0,0,0
3b c 0
2c 3a 0
a 2b 0 a 2b 0
e
ˆˆ ˆX i 2j 2k 12
a,b,c 1,2, 2 12 a 2b 2c 12
mas : a 2b 0
a 2b 2c 12 0 2c 12 2c 12 c 6
3b c 0 3b c 3b 6 3b 6 b 2
a 2b 0 a 2 2 0 a 4 0 a
+ + − + − − =
+ =
− =
− − = ⇔ + =
• + − =
• − = ⇔ + − =
+ =
+ − = ⇔ − = ⇔ − = ∴ = −
+ = ⇔ = − ⇔ = − − ⇔ = ∴ =
+ = ⇔ + × = ⇔ + = ∴
ur
( ) ( )
4
Substituindo :
X a,b,c X 4,2, 6
= −
= ∴ = − −
ur ur
ESTUDO DA RETA
15. Dada a reta r: (x, y, z) =(-1, 2, 3) + t(2, -3, 0) escrever as equações paramétricas de r. 
Solução:
( ) ( ) ( )
o
o o o o
o
o
o
o
x x at
r : y y bt x,y,z x ,y ,z t a,b,c
z z ct
Logo :
x x at x 1 2t
r : y y bt r : y 2 3t
z 3z z ct
= +
= + ⇔ = +
= +
= + = − + 
= + ⇔ = −  
== + 
16. Dada a reta:
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x 2 t
r : y 3 t
z 4 2t
= +
= −
= − +
Determinar o ponto de r tal que:
a) a ordenada seja 6.
b) a abscissa seja igual à ordenada.
c) a cota seja o quádruplo da abscissa.
Solução:
a) Ponto de r tal que a ordenada seja 6.
( )
( )
x 2 t
r : y 3 t
z 4 2t
y 6 3 t 6 t 6 3 3 t 3
Assim:
x 2 t x 2 3 1 x 1
y 3 t y 3 3 3 3 6 y 6
z 4 2t z 4 2 3 4 6 10 z 10
= +
= −
= − +
= ⇔ − = ⇔ − = − = ∴ = −
= + ⇔ = − = − ∴ = −
= − ⇔ = − − = + = ∴ =
= − + ⇔ = − + × − = − − = − ∴ = −
O ponto pedido é (-1, 6, -10).
b) O ponto de r tal que a abscissa seja igual à ordenada.
x 2 t
r : y 3 t
z 4 2t
1
x y 2 t 3 t t t 3 2 2t 1 t
2
Assim:
1 5 5
x 2 t x 2 x
2 2 2
1 5 5
y 3 t y 3 y
2 2 2
1
z 4 2t z 4 2 4 1 3 z 3
2
= +
= −
= − +
= ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = ∴ =
= + ⇔ = + = ∴ =
= − ⇔ = − = ∴ =
 
= − + ⇔ = − + × = − + = − ∴ = −  
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O ponto pedido é 
5 5
, , 3
2 2
 
−   .
c) O ponto de r tal que a cota seja o quádruplo da abscissa.
( )
( )
( )
x 2 t
r : y 3 t
z 4 2t
z 4x 4 2t 4 2 t 4 2t 8 4t 2t 4t 8 4
12
2t 12 2t 12 t 6 t 6
2
Assim:
x 2 t x 2 6 4 x 4
y 3 t y 3 6 3 6 9 y 9
z 4 2t z 4 2 6 4 12 16 z 16
= +
= −
= − +
= ⇔ − + = + ⇔ − + = + ⇔ − = +
− = ⇔ = − ⇔ = − = − ∴ = −
= + ⇔ = − = − ∴ = −
= − ⇔ = − − = + = ∴ =
= − + ⇔ = − + × − = − − = − ∴ = −
O ponto pedido é (-4, 9, -16).
17. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
a) A(1, -1, 2) e B(2, 1, 0) b) A(3, 1, 4) e B(3, -2, 2)
c) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2) d) A(0, 0, 0) e B(0, 1, 0)
Solução:
a) A(1, -1, 2) e B(2, 1, 0)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 1, 1,2 B 2,1,0
AB B A 2, 1,0 1, 1,2 1,2, 2 AB 1,2, 2
Assim:
a 1 b 2 c 2
Ponto A x ,y ,z A 1, 1,2
Substituindo :
x 1 t
r : y 1 2t
z 2 2t
= +
= +
= +
−
= − = − − − = − ∴ = −
= = = −
≡ −
= +
= − +
= −
uuur uuur
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b) A(3, 1, 4) e B(3, -2, 2)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 3,1,4 B 3, 2,2
AB B A 3, 2,2 3,1,4 0, 3, 2 AB 0, 3, 2
Assim:
a 0 b 3 c 2
Ponto A x ,y ,z A 3,1,4
Substituindo :
x 3
r : y 1 3t
z 4 2t
= +
= +
= +
−
= − = − − = − − ∴ = − −
= = − = −
≡
=
= −
= −
uuur uuur
c) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 1,2,3 B 1,3,2
AB B A 1,3,2 1,2,3 0,1, 1 AB 0,1, 1
Assim:
a 0 b 1 c 1
Ponto A x ,y ,z A 1,2,3
Substituindo :
x 1
r : y 2 t
z 3 t
= +
= +
= +
= − = − =− ∴ = −
= = = −
≡
=
= +
= −
uuur uuur
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d) A(0, 0, 0) e B(0, 1, 0)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 0,0,0 B 0,1,0
AB B A 0,1,0 0,0,0 0,1,0 AB 0,1,0
Assim:
a 0 b 1 c 0
Ponto A x ,y ,z A 0,0,0
Substituindo :
x 0
r : y t
z 0
= +
= +
= +
= − = − = ∴ =
= = =
≡
=
=
=
uuur uuur
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18. O ponto (m, 1, n) pertence a reta que passa pelos pontos A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Determinar o ponto P.
Solução:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
= +
= +
= +
− − −
= − = − − − − = − − ∴ = − −
= = − = −
≡ −
= +
= − − ⇒ ∈
= −
= +
= − −
=
uuur uuur
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 3, 1,4 B 4, 3, 1
AB B A 4, 3, 1 3, 1,4 1, 2, 5 AB 1, 2, 5
Assim:
a 1 b 2 c 5
Ponto A x ,y ,z A 3, 1,4
Substituindo :
x 3 t
r : y 1 2t m,1,n r,então :
z 4 5t
x 3 t
r : y 1 2t
z 4
( )
( ) ( )
= +  
⇔ = − −  
− = − 
= − − ⇔ = − − = − ⇔ = − ∴ = −
= + ⇔ = − = ∴ =
= − ⇔ = − × − = + = ∴ =
⇔
m 3 t
r : 1 1 2t
5t n 4 5t
Da 2ª equação :
1 1 2t 2t 1 1 2 2t 2 t 1
Assim:
m 3 t m 3 1 2 m 2
n 4 5t n 4 5 1 4 5 9 n 9
Logo :
P m,1,n P 2,1,9
O ponto pedido é P(2, 1, 9)
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19. Os pontos M1(2, -1, 3), M2(1, -3, 0) e M3(2, 1, -5) são pontos médios de um triângulo ABC. Obter as 
equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1.
Solução:
Considere a figura abaixo:
Onde:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2
1 2
2 3
2 3
1 3
1 3
1 2
2 3
1 3
M 2, -1, 3 , M 1, -3, 0 e M 2, 1, -5
A x , y , z , B x , y , z e C x , y , z
Assim:
x x
2 x x 4
2
x x
1 x x 2
2
x x
2 x x 4
2
Temos que :
x x 4
x x 2
x x 4
+
= ∴ + =
+
= ∴ + =
+
= ∴ + =
+ =
+ = + =
Resolvendo o sistema:
( )
1 2
2 3
1 3
1 2 3
x x 4
x x 2
x x 4
Somando as equações :
2 x x x 10 2 Soma 10 Soma 5
+ =
+ = + =
⋅ + + = ⇔ = ∴ =g
2 3 1 1
1 3 2 2
x x 2 x Soma 2 5 2 3 x 3
e
x x 4 x Soma 4 5 4 1 x 1
+ = ⇒ = − = − = ∴ =
+ = ⇒ = − = − = ∴ =
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2
1 2
2 3
2 3
1 3
1 3
1 2
2 3
1 3
1 2 3
M 2, -1, 3 , M 1, -3, 0 e M 2, 1, -5
A x , y , z , B x , y , z e C x , y , z
Assim:
y y
1 y y 2
2
y y
3 y y 6
2
y y
1 y y 2
2
Temos que :
y y 2
y y 6
y y 2
Somando as equações :
2 y y y 6
+
= − ∴ + = −
+
= − ∴ + = −
+
= ∴ + =
+ = −
+ = − + =
⋅ + + = − ⇔
( )2 3 1 1
1 3 2 2
2 Soma 6 Soma 3
Assim:
y y 6 y Soma 6 3 6 3 y 3
y y 2 y Soma 2 3 2 5 y 5
= − ∴ = −
+ = − ⇒ = − − = − + = ∴ =
+ = ⇒ = − = − − = − ∴ = −
g
Finalmente:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
+
= ∴ + =
+
= ∴ + =
+
= − ∴ + = −
+ =
+ = + = −
⋅ + + = − ⇔
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2
1 2
2 3
2 3
1 3
1 3
1 2
2 3
1 3
1 2 3
M 2, -1, 3 , M 1, -3, 0 e M 2, 1, -5
A x , y , z , B x , y , z e C x , y , z
Assim:
z z
3 z z 6
2
z z
0 z z 0
2
z z
5 z z 10
2
Temos que :
z z 6
z z 0
z z 10
Somando as equações :
2 z z z 4 2
( )
= − ∴ = −
+ = ⇒ = − = − − = − ∴ = −
+ = − ⇒ = − − = − + = ∴ =
g
2 3 1 1
1 3 2 2
Soma 4 Soma 2
Assim:
z z 0 z Soma 0 2 0 2 z 2
z z 10 z Soma 10 2 10 8 z 8
Assim, temos os seguintes pontos: ( ) ( )− −1A 3,3, 2 e M 2, 1,3 . Agora, vamos obter as equações paramétricas da 
reta que contem esses pontos.
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( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
= +
= +
= +
− −
= − = − − − = − − ∴ = − −
= − = − =
≡ −
= −
= −
− − +
= − ⇔ = = ⇔
− − =
= − +
uuuuur uuuuur
o
o
o
1
1 1 1
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 3,3, 2 M 2, 1,3
AM M A 2, 1,3 3,3, 2 1, 4,5 AM 1, 4,5
Assim:
a 1 b 4 c 5
Ponto A x ,y ,z A 3,3, 2
Substituindo :
x 3 t
y 4x 9x 3 y 3 z 2
r : y 3 4t
1 4 5 z
z 2 5t

− + 5x 13
OUTRA SOLUÇÃO (SUGERIDA POR SAMUEL DUARTE):
Os vetores 
uuuuuur uuuuur
3 2 1M M e AM são paralelos. Assim, podemos escrever:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) {
( )
= +
= +
= +
= − = − = − − ∴ = − = − =
∴ = = − =
suur
uuuuuur
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
0
0
0
3 2 2 3
1 0 0 0
M 2, -1, 3 , M 1, -3, 0 e M 2, 1, -5
A x , y , z , B x , y , z e C x , y , z
Assim:
x x at
AB : y y bt
z z ct
Onde :
M M M M 1, -3, 0 2, 1, -5 1, 4,5 a 1;b 4; c 5
e
M 2, -1, 3 x 2; y 1; z{
= + = −
= −− − + 
= + ⇔ = − − ⇔ = = ⇔  
− − = − + 
= += + 
suur suur0
0
0
3
Substituitndo :
x x at x 2 t
y 4x 9x 3 y 3 z 2
AB : y y bt AB : y 1 4t
1 4 5 z 5x 13
z 3 5tz z ct
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20. Verificar se os pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem à reta 
x 3 y 1 z 2
r :
4 2 2
− + −
= =
− −
Solução:
( )
( )
( )
1
1
x 3 y 1 z 2
r :
1 2 2
Substituindo P 5, 5,6 :
x 3 y 1 z 2 5 3 5 1 6 2
V
1 2 2 1 2 2
Assim:
2 4 4
2 2 2 P 5, 5,6 r
1 2 2
− + −
= =
− −
−
− + − − − + −
= = ⇔ = =
− − − −
−
= = ⇔ − = − = − ∴ − ∈
− −
E
( )
( )
( )
2
2
x 3 y 1 z 2
r :
1 2 2
Substituindo P 4, 1,12 :
x 3 y 1 z 2 4 3 1 1 12 2
F
1 2 2 1 2 2
Assim:
1 0 10
1 0 5 P 4, 1,12 r
1 2 2
− + −
= =
− −
−
− + − − − + −
= = ⇔ = =
− − − −
≠ ≠ ⇔ − ≠ − ≠ − ∴ − ∉
− −
21. Obter o ponto de abscissa 1 da reta 
2x 1 3y 2
r : z 4
3 2
+ −
= = + e encontrar um vetor diretor de r que 
tenha ordenada 2.
Solução:
2x 1 3y 2
r : z 4
3 2
x 1:
2x 1 3y 2 2 1 1 3y 2 3 3y 2 3y 2
1
3 2 3 2 3 2 2
ou
4
3y 2 2 3y 2 2 3y 4 y
3
+ −
= = +
=
+ − ⋅ + − − −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
− = ⇔ = + ⇔ = ∴ =
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e
2x 1
z 4 2x 1 3z 12 2 1 1 3z 12
3
9
3z 2 1 12 9 3z 9 z 3 z 3
3
+
= + ⇔ + = + ⇔ ⋅ + = +
−
= + − = − ⇔ = − ⇔ = = − ∴ = −
Assim, o ponto pedido é: 
4
1, , 3
3
 
−   .
Vetor diretor de ordenada igual a 2:
2x 1 3y 2
r : z 4
3 2
y 2 :
2x 1 3 2 2 2x 1 4 2x 1
2
3 2 3 2 3
5
2x 1 6 2x 6 1 5 x
2
e
3 2 2
z 4 z 4 2 z 2 4 2 z 2
2
+ −
= = +
=
+ ⋅ − + +
= ⇔ = ⇔ =
+ = ⇔ = − = ∴ =
⋅ −
= + ⇔ + = ⇔ = − = − ∴ = −
O vetor diretor pedido tem coordenadas: 
5
,2, 2
2
 
−   .
22. Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A(-1, 6, 3) e B(2, 2, 1).
Solução:
( ) ( ) ( ) ( )
o
o
o
x x at
y y btz z ct
v AB B A 2,2,1 1,6,3 3, 4, 2 v 3, 4, 2
Assim:
x 1 3t
y 6 4t
z 3 2t
= +
= +
= +
= = − = − − = − − ∴ = − −
= − +
= −
= −
uuurr r
`
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( )
x 1 3t
x 1 y 6 z 3
y 6 4t t
3 4 2
z 3 2t
x 1 z 3
2x 2 3z 9 2x 3z 9 2 2x 3z 7
3 2
Dividindo por 2 :
3 7
x z
2 2
e
y 6 z 3
2y 12
4 2
= − +
+ − −
= − ⇔ = = =
− −
= −
+ −
= ⇔ − − = − ⇔ − = − + ⇔ − = −
−
−
= − +
− −
= ⇔ − +
− −
4z 12= − + 2y 4z y 2z⇔ − = − ∴ =
23. Escrever as equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A(4, -5, 3) e são paralelas aos eixos 
Ox, Oy e Oz, respectivamente:
Solução:
Eixo Ox:
( ) ( )
o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
A 4, 5,3 v 1,0,0
Assim:
y 5
z 3
= +
= +
= +
− =
= −
=
r
Eixo Oy:
( ) ( )
o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
A 4, 5,3 v 0,1,0
Assim:
x 4
z 3
= +
= +
= +
− =
=
=
r
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Eixo Oz:
( ) ( )
o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
A 4, 5,3 v 0,0,1
Assim:
x 4
y 5
= +
= +
= +
− =
=
= −
r
24. Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas:
a) 1 2
y nx 5x 2 y z
r : e r :
4 5 3 z 2x 2
= +−
= = 
= −
Solução:
( )
( )
1
1
2 2 2
2
x 2 y z
r :
4 5 3
Assim:
v 4,5,3
y 5
y nx 5 xy nx 5 x y 5 z 2nr : r : r :
1 n 2z 2x 2 z 2
z 2x 2 x
2
Assim:
v 1,n,2
−
= =
=
−
= + ⇔ == + − +
⇔ ∴ = = 
= − + 
= − ⇔ =
=
r
r
Mas:
( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
v 4,5,3 v 4 5 3 v 50
v 1,n,2 v 1 n 2 v 5 n
v v 4 5n 6 10 5n v v 10 5n
3
cos30
2
Mas :
v v
cos
v v
= = + + ∴ =
= = + + ∴ = +
• = + + = + ∴ • = +
° =
•θ =
⋅
r r r
r r r
r r r r
r r
r r
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( )
( )
( )
1 2
21 2
2 2
22
2 2
2 2
2 2 2
2
v v 3 10 5n
cos
v v 2 50 5 n
Elevando ao quadrado :
10 5n3 3 100 100n 25n
4 4 250 50n50 5 n
Simplificando :
3 4 4n n 3 n 4n 4
4 210 2n 5 n
ou
15 3n 2n 8n 8 n 8n 7 0
Resolvendo :
n 8n 7 0 n 1 ou n 7
• +θ = ⇔ =
⋅ × +
+ + +
= ⇔ =
++
+ + + +
= ⇔ =
+ +
+ = + + ⇔ − + =
− + = ⇔ = =
r r
r r
b) 1 2
y nx 1
r : e r : eixo Oy
z 2x
= −
=
Solução:
( )
( )
1 1
2 2 2 2 2
1 1 1
2
2 2
1 2 1 2
y nx 1 x y 1 z
r : r :
1 n 2z 2x
v 1,n,2 v 1 n 2 5 n v 5 n
e
r : eixo Oy
v 0,1,0 v 1
Mas :
v v n v v n
3
cos30
2
= − +
⇔ = =
=
= ⇔ = + + = + ∴ = +
= ⇔ =
• = ∴ • =
° =
r r r
r r
r r r r
( )
( )
( )
1 2
21 2
2 2
22
2 2 2
2 2
v v 3 n
cos
v v 2 1 5 n
Elevando ao quadrado :
n 33 3 n
4 4 5 n5 n
Assim:
4n 15 3n n 15 0
Resolvendo :
n 15 0 n 15 n 15
•θ = ⇔ =
⋅ × +
+
= ⇔ =
++
= + ⇔ − =
− = ⇔ = ∴ = ±
r r
r r
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ESTUDO DAS CÔNICAS
25. Construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz:
a) 2x 4y= −
Solução:
( )
( )
2 2x 4y x 2py Eixo da parábola é o eixo dos y
Assim:
2p 4 p 2
p
Foco F 0; F 0; 1
2
p
Diretriz y y 1
2
= − ⇔ =
= − ∴ = −
 
∴ −  
= − ∴ =
b) 2y 6x=
Solução:
( )2 2y 6x y 2px Eixo da parábola é o eixo dos x
Assim:
2p 6 p 3
p 3
Foco F ;0 F ;0
2 2
p 3
Diretriz x x
2 2
= ⇔ =
= ∴ =
   
∴      
= − ∴ = −
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II. Traçar o esboço
26. Em cada caso, esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e equações das 
assíntotas da hipérbole:
a) 
2 2x y
1
4 9
− =
Solução:
Gráfico:
2 2x y
1 y 0 x 2 e x 0 y
4 9
− = ⇔ = ⇒ = ± = ⇒ ∉ ¡
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
x y
1
4 9
a 4 a 2 b 9 b 3
Vértices : A 2,0 A 2,0
Relação Notável : c a b c 4 9 13 c 13
Assim:
F 13;0 F 13;0
Excentricidade :
c 13
a 2
− =
= ∴ = = ∴ =
= −
= + ⇔ = + = ∴ =
−
ε = ⇔ ε =
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Assíntotas:
b 3 3
y mx, m m y x
a 2 2
= ± = ± ⇔ = ± ∴ = ±
2. 
2 2y x
1
4 9
− =
Solução:
2 2y x
1 x 0 y 2 e x
4 9
− = ⇔ = ⇒ = ± ∉ ¡
Gráfico:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
y x
1
4 9
b 9 b 3 a 4 a 2
Vértices : A 0, 2 A 0,2
Relação Notável : c a b c 4 9 13 c 13
Assim:
F 0; 13 F 0; 13
Excentricidade :
c 13
a 2
− =
= ∴ = = ∴ =
= −
= + ⇔ = + = ∴ =
−
ε = ⇔ ε =
Assíntotas:
a 2 2
y mx, m m y x
b 3 3
= ± = ± ⇔ = ± ∴ = ±
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27. Determine a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas da 
hipérbole dada:
a) 2 29x 4y 18x 16y 43 0− − − − =
Solução:
Agrupando e completando os quadrados:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
9x 4y 18x 16y 43 0
9x 18x 4y 16y 43 0
9 x 2x 1 9 4 y 4y 4 16 43 0
9 x 1 9 4 y 2 16 43 0
9 x 1 4 y 2 36 0 9 x 1 4 y 2 36 36
x 1 y 2
1 Equação Reduzida
4 9
Relação Notável : c a b c 4 9 13 c 13
C 1 ,2 Centro A
− − − − =
− − − − =
− + − − + + + − =
− − − + + − =
− − + − = ⇔ − − + = ÷
− +
− =
= + ⇔ = + = ∴ =
− ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
1 2
1, 2 ; A 3, 2 Vértices
c 13
F 1 13 ; F 1 13 Excentricidade
a 2
3 3
y ' x ' y 2 x 1
2 2
Equações das Assíntotas :
3
y 2 x 1 2y 4 3x 3 3x 2y 3 4 0 3x 2y 7 0
2
e
3
y 2 x 1 2y 4 3x 3 3x 2y 3 4 0 3x 2y 1 0
2
− − −
− + ε = ⇔ ε =
= ± ⇔ + = ± −
+ = − ⇔ + = − ⇔ − − − = ∴ − − =
+ = − − ⇔ + = − + ⇔ + − + = ∴ + + =
28. Construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz:
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a) 2x 4y= −
Solução:
2 2x 4y x 2py
Assim:
2p y
= − ⇔ =
4y= −
( )
( )
2p 4 p 2
p
Foco :F 0, F 0; 1
2
p
Diretriz : y y 1 y 1 y 1 0
2
⇔ = − ∴ = −
 
∴ −  
= − ⇔ = − − ⇔ = ∴ − =
Gráfico:
b) 2y 8x= −
Solução:
2 2y 8x y 2px
Assim:
2p x
= − ⇔ =
8x= −
( )
( )
2p 8 p 4
p
Foco :F ,0 F 2;0
2
p
Diretriz : x y 2 x 2 x 2 0
2
⇔ = − ∴ = −
 
∴ −  
= − ⇔ = − − ⇔ = ∴ − =
Gráfico:
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c) 2y x 0− =
Solução:
2 2 2y x 0 y x y 2px
Assim:
2p x
− = ⇔ =⇔ =
x=
1
2p 1 p
2
p 1
Foco :F ,0 F ;0
2 4
p 1 1 1
Diretriz : x x x x 0
2 4 4 4
⇔ = ∴ =
   
∴      
 
= − ⇔ = − ⇔ = − ∴ + =  
Gráfico:
d) 2x 10y 0− =
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Solução:
2 2 2x 10y 0 x 10y 0 x 2py
Assim:
2py
− = ⇔ = = ⇔ =
10y= 2p 10 p 5
p 5
Foco :F 0, F 0;
2 2
p 5 5
Diretriz : y y y 2y 5 2y 5 0
2 2 2
⇔ = ∴ =
   
∴      
 
= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ∴ + =  
Gráfico:
29) Esboçar o gráfico e escrever uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas:
a) Vértice: V(0,0), diretriz d: y=-2.
Solução:
2 2
p p
y 2 y 2 p 4
2 2
Assim:
x 2py x 8y
= − ⇔ = − ⇔ − = − ∴ =
= ∴ =
Gráfico:
Tabela
y 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 0 2,8 4 4,9 5,7 6,3 6,9 7,5 8
Faça um gráfico com esses valores.
b) Vértice: V(0,0), foco F(0,-3)
Solução:
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Observe a figura abaixo:
Sabemos que:
2 2
p p
VF 3 p 6
2 2
Assim:
x 2py x 12y
= ⇔ = − ∴ = −
= ∴ = −
c) Foco 
1
F 0;
4
 
−   ; diretriz d = 4y – 1 = 0 
Solução:
Observe a figura abaixo:
Sabemos que:
2 2
p p 1 1
VF p
2 2 4 2
Assim:
x 2py x y
= ⇔ = − ∴ = −
= ∴ = −
30. 2x 4x 8y 12 0+ + + =
Solução:
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( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2 22
22
0 0
0 0
x 4x 8y 12 0
Comple tando o quadrado :
x 4x 8y 12 0 x 2 2x 2 2 8y 12 0
x 4x 4 4 8y 12 0 x 2 8y 8 0 x 2 8y 8
x 2 8 y 1 x x 2p y y
Vértice : V x ;y V 2; 1
e
p
2p 8 p 4 VF VF 2
2
Foco F 2; 3
+ + + =
+ + + = ⇔ + ⋅ + − + + =
+ + − + + = ⇔ + + + = ⇔ + = − −
+ = − + ⇔ − = −
∴ − −
= − ∴ = − ⇔ = ∴ =
− −
Assim:
31. Encontrar a equação geral da parábola definida por:
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2
x t 1
t
y 2
3
= +
= −
Solução:
( )
2
2
22 2 2
x t 1 t x 1
t
y 2 3y t 6
3
Assim:
3y t 6 3y x 1 6 3y x 2x 1 6 x 2x 3y 5 0
= + ⇔ = −
= − ⇔ = −
= − ⇔ = − − ⇔ = − + − ∴ − − − =
32. Encontrar a equação geral da parábola definida por:
2t
x 4
4
y t
 = +
=
Solução:
2
2
2 2 2
t
x 4 4x t 16
4
y t
4x t 16 4x y 16 y 4x 16 0
 = + ⇔ = +
=
= + ⇔ = + ∴ − + =
33. Encontrar a equação geral da parábola definida por:
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a) 2
x t 1
t
y 2
3
= +
= −
Solução:
( )
2
2
22 2 2
x t 1 t x 1
t
y 2 3y t 6
3
Assim:
3y t 6 3y x 1 6 3y x 2x 1 6 x 2x 3y 5 0
= + ⇔ = −
= − ⇔ = −
= − ⇔ = − − ⇔ = − + − ∴ − − − =
b) 
2t
x 4
4
y t
 = +
=
Solução:
2
2
2 2 2
t
x 4 4x t 16
4
y t
4x t 16 4x y 16 y 4x 16 0
 = + ⇔ = +
=
= + ⇔ = + ∴ − + =
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