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Universidade de Brasília
Instituto de Física
Primeira Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
A velocidade terminal de uma gota de água, de den-
sidade ρa, caindo na atmosfera da Terra é dada pela
expressão abaixo:
vt =
√
8Rρag
3Cγ
Onde R é o raio da gota, m a sua massa, g a acelera-
ção da gravidade e C é um coeficiente adimensional.
(a) Qual a dimensão do fator γ?
(b) Sendo γ uma propriedade da gota, analisando a
dimensão da mesma, que propriedade seria esta?
Solução
(a) Da análise dimensional, temos que:
[L]
[T ]
= [L]1/2[M ]1/2[L]−3/2[L]1/2[T ]−1[γ]−1/2
Ao representar a unidade de cada um dos termos na
equação. Lembre-se que os termos adimensionais não
precisam ser representados. Elevando ambos os lados
da equação ao quadrado, temos que:
[L]2
[T ]2
= [M ][L]−1[T ]−2[γ]−1
Portanto,
[γ] =
[M ]
[L]3
(b) Observando a equação e a unidade do fator γ,
concluímos que a propriedade em questão é a densi-
dade do meio, ou seja, da atmosfera.
Questão 2
Na equação abaixo:
x(t) = x0 + v0t+
1
2
at2 + βt3 + γt4
Qual a dimensão:
a) Do lado esquerdo da equação;
b) Do lado direito da equação;
c) De cada termo da equação;
d) Do parâmetro β; e) Do parâmetro γ.
Sendo x(t) a posição da partícula, t o tempo, v0 sua
velocidade inicial e β e γ parâmetros experimentais.
Solução
As duas regras básicas da análise dimensional são que:
i) O lado esquerdo da equação tem que ter a mesma
dimensão que o lado direito da equação e ii) cada
termo de uma equação tem que ter a mesma dimen-
são. Destas regras, identificando que a posição x(t)
tem dimensão de comprimento, ou seja, [L], concluí-
mos que: a) a dimensão do lado esquerdo da equação
é [L], b) a dimensão do lado direito da equação é [L]
e c) a dimensão de cada termo da equação é [L] tam-
bém.
d) Para determinarmos a dimensão do parâmetro β,
utilizamos o fato de que o termo inteiro tem dimensão
de comprimento. Sendo assim:
[β][T ]3 = [L]
Portanto, [β] = [L]/[T ]3.
e) O mesmo procedimento é utilizado para determi-
narmos a dimensão de γ. Ou seja,
[γ][T ]4 = [L]
Portanto, [γ] = [L]/[T ]2.
Questão 3
Utilizando análise dimensiona, obtenha o período de
oscilação T de uma massa m presa a uma mola ideal
com constante elástica k, suspensa sob ação da gravi-
dade g.
Solução
As quatro quantidades envolvidas tem dimensão de
T [T ]; m [M ]; k [M ]/[T ]2; e g [L/T ]2. Sendo assim,
se expressarmos o período T como um produto das
quantidades envolvidas, elevada a uma potência qual-
quer, podemos concluir que:
T = κmxkygz
onde κ é um parâmetro unidimensional. Sendo a
equação com dimensões dada por:
[T ] =
[M ]x[M ]y[L]z
[T ]2y[T ]2z
de onde concluímos que: z = 0, y = −1/2 e x = 1/2.
Sendo a expressão dada por:
T = κ
√
m/k
Questão 4
A distância média do Sol à Terra é 390 vezes a dis-
tância média da Lua à Terra. Considere a situação
física de um eclipse total do Sol, ou seja, a Lua entre
a Terra e o Sol (vide Figura). Sabendo que o ângulo
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interceptado pelo olho, ao olhar a lua, é 0, 50o, e a
distância entre a Terra e a Lua é 3, 8× 105km:
a) Determine a razão do diâmetro do Sol para o
diâmetro da Lua.
b) Determine a razão do volume do Sol para o vo-
lume da Lua.
c) Determine o diâmetro da Lua.
Solução (a) Quando o ângulo interceptado (θ) é me-
dido em radianos, então este é igual ao comprimento
de arco dividido pelo raio. Para grandes raios de cír-
culo e pequenos valores de ângulo — como é o caso —
os arcos podem ser aproximados por seguimentos de
reta. No nosso caso essas linhas retas são o diâmetro
da Lua (d) e do Sol (D). Assim,
θ =
d
RLua
=
D
RSol
⇒ RSol
RLua
=
D
d
o que leva D/d = 390 (b) Lembrando que a relação
em o raio do Sol e o Raio da Lua é a mesma que D/d,
temos:
4
3
piR3S
4
3
piR3L
= 3903 = 5, 9× 107
Transformando θ em radianos teremos aproximada-
mente 0, 009rad, assim
d = θRLua = (0, 009)(3, 8× 105) ≈ 3, 4× 103km
Questão 5
Suponha que você esteja deitado em uma praia e ob-
serve o sol se pôr no oceano, ligando um cronômetro
no momento em que ele desaparece. Em seguida, você
se levanta, fazendo com que seus olhos se movam para
cima de uma distância h = 1, 70m. No momento em
que o sol desaparece você pára o cronômetro, medindo
um tempo t = 11, 1s. Quanto mede o raio da Terra?
Solução Considerando o esquema temos por Pitágo-
ras:
d2 = r2 = (r + h)2 = r2 + 2rh+ h2
ou
d2 = 2rh+ h2
como h é muito menor que o raio da Terra, podemos
desprezar o termo h2 assim, d2 = 2rh. O ângulo entre
os dois pontos de tangência A e B é θ, que é também
o ângulo que o sol descreve em torno da Terra du-
rante o intervalo de tempo medido. Em 24 horas o
sol descreve 360o. Assim:
θ
360o
=
t
24h
substituindo os valores θ = 0, 04625o. Ainda pela
figura d = rtanθ. Combinando as equações em d te-
mos:
r =
2h
tan2θ
substituindo valores temos r = 5, 2× 106m.
Questão 6
De acordo com o rótulo de uma garrafa de moloho
de salada, o volume do conteúdo é 0, 437liter(L).
Usando apenas as conversões 1L = 1000cm3 e 1in =
2, 54cm, expresse este volume em polegadas cúbica.
Solução
0, 437L× (1000cm
3
1L
)× ( 1in
2, 54cm
)3 = 26, 66in3
1in3 é maior que 1cm3, então o volume em polega-
das cúbica (in3) é menor que o volume em centímetro
cúbico (cm3).
Questão 7
As seguintes coversões de unidades ocorrem frequen-
temente na física e são muito úteis.
(a) Use 1mi = 5280ft e 1h = 3600s para converter
60mph (milha por hora) para unidades de ft/s (pés
por segundo).
Solução
(60
mi
h
)× ( 1h
3600s
)× (5280ft
1mi
) = 88ft/s
(b) A aceleração de um objeto em queda livre é
32ft/s2. Use 1ft = 30, 38cm para expressar esta ace-
leração em unidades de m/s2.
Solução
(32
ft
s2
)× (30, 48cm
1ft
)× ( 1m
100cm
) = 9, 8m/s2
(c) A densidade da água é 1, 0g/cm3. Converta esta
densidade para unidades de kg/m3.
Solução
(1, 0
g
cm3
)× (100cm
1m
)3 × ( 1kg
1000g
) = 103kg/m3
Questão 8
Um biscoito de chocolate é um disco circular com di-
âmetro de 8.50 ± 0.02cm e a espessura de 0.050 ±
0.005cm.
(a) Encontre o volume médio de um biscoito e a in-
certeza no volume.
Solução
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O volume de um disco de diâmetro d e espessura e é
V = pi(d/2)2e.
O volume médio é V = pi(8, 50cm/2)2(0, 50cm) =
2, 837cm3. Mas e tem apenas dois algarismos
significativos, então a resposta deveria ser ex-
pressa com dois algarismos significativos: V =
2, 8cm3. A incerteza pode ser encontrada da se-
guinte forma. O volume poderia ser tão grande
quanto V = pi(8, 52cm/2)2(0, 055cm) = 3, 1cm3,
que é 0, 3cm3 maior que o valor médio. O vo-
lume também poderia ser tão pequeno quanto V =
pi(8, 52cm/2)2(0, 045cm) = 2, 5cm3, que é 0, 3cm3 me-
nor que o valor médio. Assim, a incerteza é ±0, 3cm3
e o volume pode ser expresso como V = 2, 8±0, 3cm3.
(b) Encontre a razão do diâmetro para a espessura e
a incerteza nesta razão.
Solução
A razão entre o diâmetro médio e a espessura média
é 8, 50cm/0, 050cm = 170. Tomando o maior valor
possível do diâmetro e o menor valor possível da es-
pessura nós obtemos o maior valor possível para esta
razão: 8, 52cm/0, 045cm = 190. O menor valor pos-
sível da razão é 8, 48cm/0, 055cm = 150. Assim, a
incerteza±20 e a razão pode ser escrita como 170±20.
Questão 9
Um gry é uma antiga medida inglesa para compri-
mento, definida como 1/10 de uma linha, onde linha
é uma outra medida inglesa para comprimento, defi-
nida como 1/12 de polegada. Uma medida comum no
ramo de publicação é um ponto, definido como 1/72
da polegada. Qual é a área de 0, 5gry2 em pontos
quadrados (pontos2)?
Solução
Os fatores de conversão 1gry = 1/10linha, 1linha =
1/12polegada e 1ponto = 1/72polegadas implica em
que 1gry= (1/10)(1/12)(72pontos) = 0, 60ponto.
Assim, 1gry2 = (0, 60ponto)2 = 0, 36ponto2, então
0, 5gry2 = 0, 18ponto2.
Questão 10
A Terra é aproximadamente uma esfera de raio
6, 37×106. Quais são (a) sua circunferência em quilô-
metros, (b) a área de sua superfície em quilômetros
quadrados, e (c) seu volume em quilômetros cúbicos?
Solução
(a) Substituindo R = (6, 37 × 106m)(10−3km/m) =
6, 37 × 103km , se a circunferência = 2piR, obte-
mos 4, 00 × 104km. (b) A área da sua superfície é
A = 4piR2 = 4pi(6, 37 × 103km)2 = 5, 10 × 108km2.
(c) O volume da Terra é V = 4pi
3
R3 = 1, 08×1012km3.
Questão 11
A Antártica é aproximadamente semicircular, com
um raio de 2000km. A espessura média de sua cober-
tura de gelo é 3000m. Quantos centímetros cúbicos
de gelo contém a Antártica? (Ignore a curvatura da
Terra.)
Solução
O volume do gelo dado pelo produto da área su-
perficial semicircular e espessura. Assim: V =
A.z = pir
2
2
.z = pi
2
.(2000 × 105cm)2(3000 × 102cm) =
1, 9× 1022cm3.
Questão 12
Até 1883, cada cidade nos Estados Unidos mantinha
sua própria hora local. Hoje, viajantes acertam seus
relógios apenas quando a mudança de fuso horário
é igual a 1, 0h. Em média, que distância uma pes-
soa nos Estados Unidos deve percorrer, em graus de
longitude, até que seu relógio deva ser reajustado em
1, 0h? (Dica: A Terra gira 306o em aproximadamente
24h.)
Solução
Desde que uma mudança longitudinal de 360o corres-
ponde a uma mudança de 24h, uma mudança de 1h
é 360o/24 = 15o.
Questão 13
A planta com crescimento mais rápido de que se tem
registro é a Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3, 7m
em 14 dias. Qual foi sua taxa de crescimento em
micrômetros por segundo?
Solução
Um dia é equivalente a 86400 segundos e um me-
tro é equivalente a um milhão de micrometros, assim
(3,7m)( 10
6µm
m
)
(14dias)(86400s/dias)
= 3, 1µm/s.
Questão 14
A Terra tem uma massa de 5, 98 × 1024kg. A massa
média dos átomos que compõem a Terra é 40u. Quan-
tos átomos existem na Terra?
Solução
Se a MT é a massa da Terra, m é a massa média de
um átomo na Terra, e N é o número de átomos, onde
MT = Nm ou N = MT/m. Convertendo a massa m
em quilogramas. Assim, N = 5,98×10
24kg
(40u)(1,661×10−27kg/u) =
9, 0× 1049.
Questão 15
Como um contraste entre o antigo e o moderno e
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entre o grande e o pequeno, considere o seguinte: na
antiga Inglaterra rural, uma jeira (entre 100 e 120
acres) era a área de terra necessária para assentar
uma família com um único arado. ( Uma área de 1
acre é igual a 4047m2.) Também, 1wapentake era a
área de terra necessária para 100 dessas famílias. Em
Física quântica, a área as seção transversal de um nú-
cleo (definida em termos da probabilidade de que uma
partícula incidente seja absorvida pelo núcleo) é me-
dida em barns, onde 1barn = 1×10−28m2. (No jargão
da física nuclear, se um núcleo é "grande", acertá-lo
com uma partícula é tão fácil quanto acertar uma bala
na porta de um celeiro (a palavra inglesa barn signi-
fica celeiro). Qual é a razão entre 25wapentakes(wp)
e 11barns?
Solução
Assumindo 1jeira = 110acres, a relação
25wp/11barns com os fatores de conversão fica :
(25wp)( 100hide
1wp
)( 110acre
1hide
)( 4040m
2
1acre
)
(11barns)( 1×10−28m2
1barn
)
= 1× 1036.
Questão 16
Nos Estados Unidos, uma casa de boneca tem uma
escala de 1 : 12 em relação a uma casa real ( ou
seja, cada comprimento da casa de boneca é 1/12
do comprimento correspondente da casa real) e uma
casa em miniatura ( uma casa de boneca para caber
dentro da casa de boneca) tem a escala de 1 : 144 em
relação a uma casa real. Suponha que uma casa real
(figura abaixo) tem um comprimento frontal de 20m,
uma profundidade de 12m, uma altura de 6, 0m, e
um telhado inclinado padrão (faces verticais triangu-
lares nas extremidades de 3, 0m de altura. Qual é o
volume, em metros cúbicos, (a) da casa de bonecas e
(b) da casa em miniatura?
Solução
O volume total da casa real é a soma do prima trian-
gular com 3m de altura e da caixa retangular de 6m
de altura, ambos com 20m de comprimento. Assim:
V = 1
2
hA+ h′A = (h
2
+ h′)A = 1800m3. (a) Cada di-
mensão é reduzida pelo fator de 1/12, e encontramos
Vbon = (1800m
3)( 1
12
)3 = 1, 0m3. (b) Neste caso, cada
dimensão (relativa a casa real) é reduzida pelo fator de
1/144. Assim:Vmin = (1800m3)( 1144)
3 = 6, 0×10−4m3.
Questão 17
Durante um festividade na Malásia, você compra um
boi pesando 28, 9piculs na unidade local de peso:
1picul = 100gins, 1gin = 16tahils, 1tahil = 10chees,
e 1chee = 10hoons. O peso de 1hoon corresponde a
uma massa de 0, 3779g. Quando você providencia o
envio do boi de volta para casa, deixando a família
em estado de choque, que massa em kg você deve
declarar no documento de embarque?
Solução
A massa em quilograma é
(28, 9piculs)(100gin
1picul
)(16tahil
1gin
)(10chee
1tahil
)(10hoon
1chee
)(0,3779g
1hoon
) =
1, 75× 103kg.
Questão 18
Uma unidade astronômica (UA) é a distancia média
entre a Terra e o Sol, aproximadamente 1, 50×108km.
A velocidade da luz é aproximadamente 3, 0×108m/s.
Expresse a velocidade da luz em unidades astronômi-
cas por minuto.
Solução
Convertendo metros para unidades astronômi-
cas e segundos para minutos usamos: 1000m =
1km, 1AU = 1, 50 × 108km, e 60s = 1min.
Assim, (3, 0 × 108m/s)(1km/1000m)(AU/1, 50 ×
108km)(60s/min) = 0, 12AU/min.
Questão 19
Uma unidade de área freqüentemente usada na me-
dição de áreas de terrenos é o hectare, definido como
104m2. Uma mina de carvão de escavação aberta con-
some 75 hectares de terra, até uma profundidade de
26m, a cada ano. Qual é o volume de terra removida
por ano em quilômetros cúbicos?
Solução
O volume removido em um ano é V = (75 ×
104m2)(26m) = 2 × 107m3 convertendo em quilô-
metros cúbicos: V = (2 × 107m3)(1km/1000m)3 =
0, 020km3.
Questão 20
Uma pessoa em dieta deveria perder 2, 3kg por se-
mana. Expresse a taxa de perda de massa em mi-
ligramas por segundo, como se a pessoa em regime
pudesse sentir a perda segundo a segundo.
Solução
Cada quilograma equivale a um milhão de miligramas,
assim 2, 3 kg/semana é 2, 3× 106 mg/semana. Consi-
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derando uma semana com 7 dias, 3600 segundos por
hora, encontramos 604800 segundos são equivalentes
a uma semana. Dessa forma, (2, 3× 106)/(604800) =
3, 8mg/s.
Questão 21
Estime a ordem de grandeza do número de fios de
cabelo na cabeça de uma pessoa adulta.
Solução
Uma primeira aproximação a esse problema é con-
siderar a cabeça humana como uma esfera e tomar
seu raio r como sendo a média entre os raios das cir-
cunferências latitudinais e longitudinais, de modo a
aumentar a confiabilidade do modelo. Notemos tam-
bém que apenas uma parcela, ou uma porcentagem
p, de nossas cabeças é coberta por cabelo. Portanto,
a área cabeluda é S = 4pi.rp Note também que é
simples escolhermos um pequeno segmento de área e
contarmos o número de fios de cabelo nele existentes,
obtendo a razão R de número de fios f por segmento
de área a. Agora, suponha que a distribuição de
fios de cabelo é uniforme por todo o couro cabeludo,
temos que: f/a = F/S, onde F é número total de
fios. Disso temos que o número de fios de cabelo será:
F = SF/a = 4pi.r2pf/a Estimemos os valores de nos-
sas variáveis em: r = 0, 20 m, p = 0, 40, R = 615 fios
por cm2, a = 1 cm2, F = 1, 2.106
Questão 22
Estime o volume ocupado pelo número de notas de
R$1,00, necessário para pagar a dívida externa brasi-
leira (estimada em R$ 535 bilhoes ao fim de 2011). Se
todas as notas pudessem ser empilhadas, qual seria a
altura dessa pilha?
Solução
Observe que a nota de um real, por mais que seja
muito fina, constitui um objeto tridimensional dotado
de comprimento (c), largura(L) e espessura (e), pos-
suindo volume v = ceL. A dívida externa pode ser es-
timada emD reais, ou seja,D notas de um real. Como
cada nota ocupa volume v, a dívida ocupa um volume
total V = vD. Agora note que se empilharmos todas
as notas que pagariam a dívida, teríamos uma coluna
de dilensões c, L e H, de modo que V = cLH, le-
vando a H = eD. Pesquisando que as dimenões de
uma nota de um real são 140x65 mm, estimando a
espessura como sendo da ordem de 10−1 mm e utili-
zando o valor proposto para a dívida externa, temos:
V = 4, 9.105m3 H = 5, 35.104km
Questão 23
A população mundial dobrou nos últimos 50 anos. Su-
ponha que vivemos no ano 2.000 e que a população
mundial é de 5 bilhões de pessoas. Se a população
continuar dobrando a cada 50 anos, qual será a popu-
lação mundial no ano 3.000? Estime a área disponível
por indivíduo nesse caso.
Solução
Suponha que a estamos no ano 2.000; como a popula-
ção dobra a cada 50 anos, até o ano 3.000 ela terá do-
brado n = (3−2).103/50 = 20 vezes. A população no
ano 3.000 será dada por: P (3.000) = P (inicial).2n =
P (2.000).220 = 5.109.220 Logo P(3.000) é aproxima-
damente 5, 2.1015. Em nossa estimativa precisamos
considerar que ocupamos apenas as terras emersas de
nosso planeta. Estimando que apenas 30% da super-
fícies não é coberta por água e que a Terra seja uma
esfera, com boa aproximação, de raio igual a 6, 4.103
km, temos que a área "habitável"(note que ainda esta-
mos considerando áreas extremas, como grandes mon-
tanhas e desertos) de nosso planeta é de 1, 54.1014 m2.
Com isso, temos que a área disponível por habitante
será da ordem de 3.10−2 m2 por indivíduo.
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