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Universidade de Brasília Instituto de Física Terceira Lista de Exercícios de Física I Questão 1 Um avião de transporte segue a rota indicada na figura. Primeiramente ele voa, a partir da origem do sistema de co- ordenadas mostrado, para uma cidade localizada a 175km na direção 30.0o nordeste. Em seguida, ele voa 153km a 20.0o noroeste para a cidade B. Finalmente o avião voa 195km a oeste para a cidade C. Encontre o local da cidade C relativo à origem. Solução Seguindo o sistema de coordenadas e os vetores mostrado na figura temos: ax = acos(30.0 o) = (175km)(0.866) = 152km ay = asen(30.0 o) = (175km)(0.500) = 87.5km analogamente para os vetores b e c: bx = bcos(110.0 o) = −52.3km by = bsen(110.0 o) = 144km cx = ccos(180.0 o) = −52.3km cy = csen(180.0 o) = 0 somando as componente: Rx = ax + bx + cx = 152km− 52.3km− 195km Rx = −95.3km Ry = ay + by + cy = 87.5km+ 144km+ 0 Rx = 232km assim: R = (−95.3i+ 232j)km Questão 2 Uma pessoa anda ao longo de uma trajetória circular de raio de 5, 00m. Suponha que a pessoa caminhe somente metade do círculo. Encontre: (a) a magnitude do vetor deslocamento e (b) o quanto a pessoa andou. (c) Qual é a magnitude do deslocamento, se a pessoa andar por todo o círculo? Solução a) |d| = |−10, 0i| = 10, 0m uma vez que o deslocamento é uma linha reta do ponto A ao ponto B. b) A distância real não é igual ao deslocamento em linha reta. O quanto a pessoa andou segue a trajetória curva do semi-círculo (ACB). s = 1 2 (2pir) = 5pi = 15, 7m c) Se a pessoa andar todo o círculo, então d começa e termina no ponto A. Assim, |d| = 0 Questão 3 O vetro A tem magnitude de 8, 00 unidades e faz um ângulo de 45, 0o com o eixo x positivo. O vetor B também tem magni- tude de 8, 00 unidades e é dirigido ao longo do eixo x negativo. Usando métodos gráficos, encontre: (a) o vetor soma A + B e (b) o vetor diferença B−A Solução (a) Usando o método gráfico, coloque o fim do vetor B na ponta do vetor A. O novo vetor soma terá magnitude 6, 1 a 112o do eixo x. (b) O vetor diferença é encontrado colocando o negativo do vetor B na ponta do vetor A. O vetor diferença tem magnitude de 14, 8 a 22o do eixo x. Questão 4 Em notação de vetores unitários, (a) determine a soma dos ve- tores: a = 4i−3j e b = −3i+2j. (b) Qual o módulo e a direção de a+ b? Solução (a)Em notação vetorial o para determinar a soma de vetores basta somar suas componentes. Assim sendo s = a + b, sx = ax + bx = 4− 3 = 1 e sy = ay + by = −3 + 2 = −1. Portanto s = i− j (b)O módulo do vetor s = √ s2x + s2y = √ (ax + bx)2 + (ay + by)2 substituindo valores, s = √ 2. A direção é dada por tgφ = sy sx = ay + by ax + ay substituindo os valores e isolando o ângulo: φ = 45o Questão 5 Dois vetores são dados por a = 4i− 3j+ k e b = −i+ j+ 4k. Encontre (a) a+b. (b) a−b e um vetor c tal que a−b+c = 0 Solução Questão 6 Dados dois vetores a = 4i−3j e b = 6i+8j encontre os módulos e direções (Com relação ao eixo x ) de (a) a, (b) b, (c) a - b e (d) b - a. Solução Questão 7 Use a definição de produto escalar e a propriedade a · b = axbx + ayby + azbz para calcular o ângulo entre os dois vetores a = 3i+ 3j+ 3k e b = 2i+ j+ 3k Universidade de Brasília - Física 1 - Terceira Lista de Exercícios Solução Questão 8 Dois vetores de módulos a e b formam o ângulo θ entre si quando têm origem comum. Prove, tomando componentes ao longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo de sua soma é r = √ a2 + b2 + 2abcosθ. Solução Questão 9 Um paralelepípedo tem dimensões a, b, e c como mostrado na figura. (a) Obtenha a expressão para o vetor diagonal de face R1. (b) Determine a magnitude deste vetor. (c) Obtenha a expressão para o vetor diagonal do corpo R2. (d) Prove que a magnitude do vetor R2 é √ a2 + b2 + c2. Solução Pela figura, R1 = ai+ bj. |R|1 = √ a2 + b2. R2 = ai+ bj+ ck cuja magnitude é √ |R1|2 + c2 = √ a2 + b2 + c2 Questão 10 Em geral, a posição instantânea de um objeto é especificado pelo seu vetor posição P, que sai de uma origem fixa para a localização do objeto. Suponha que para um determinado objeto o vetor posição seja uma função do tempo, dada por P = 4i+ 3j − 2tj, onde P é dado em metros e t em segundos. Determine dPdt . O que essa grandeza representa? Solução dP dt = d(4i+ 3j− 2tj) dt = 0 + 0− 2j = −(2, 00m/s)j O vetor posição em t = 0 é 4i+ 3j. Em t = 1 é 4i+ 1j e assim por diante. O objeto move-se em trajetória descendente à 2m/s. dP dt representa o vetor velocidade. Questão 11 Mostre que a×b pode ser expresso por um determinante 3× 3 como a× b = ∣∣∣∣∣∣ i j k ax ay ak bx by bk ∣∣∣∣∣∣ . Solução Questão 12 Na figura abaixo, uma máquina pesada foi erguida com o aux- ilio de uma rampa inclinada de um ângulo θ = 20, 0o, onde a máquina deslizou ao longo de uma distância d = 12, 5m. (a) De quanto a máquina foi erguida verticalmente? (b) De quanto a máquina foi deslocada horizontalmente? Solução Por decomposição de vetores temos: (a) hy = d sin θ substituindo os valores encontramos h = 4, 28m. (b) hx = d cos θ substituindo os valores encontramos h = 11, 7m. Questão 13 Dois vetores são dados por: ~a = 4, 0miˆ − 3, 0mjˆ + 1, 0mkˆ e ~b = −1, 0miˆ+1, 0mjˆ+4, 0mkˆ Em termos de vetores unitários, encontre (a) ~a + ~b,(b) ~a − ~b e (c) um terceiro vetor ~c tal que ~a−~b+ ~c = 0. Solução (a) ~a+~b = (4 + (−1))ˆi+ (−3 + 1)jˆ + (1 + 4)kˆ ~a+~b = (3)ˆi+ (−2)jˆ + (5)kˆ (b) ~a−~b = (4− (−1))ˆi+ (−3− 1)jˆ + (1− 4)kˆ ~a−~b = (5)ˆi+ (−4)jˆ + (−3)kˆ c) ~b− ~a = ~c sendo assim ~c = (−5)ˆi+ (4)jˆ + (3)kˆ. Questão 14 Em um jogo de xadrez de gramado, onde as peças são movidas entre os centros de quadrados de 1, 00m de lado, um cavalo é movido da seguinte forma: (i) dois quadrados para frente, um quadrado para a direita; (ii) dois quadrados para a esquerda, um quadrado para frente; (iii) dois quadrados para frente, um quadrado para a esquerda. Qual o modulo do deslocamento resultante do cavalo ao final da série de três movimentos? Solução Com iˆ direcionado para a frente e jˆ direcionado para a esquerda, encontramos pela soma de vetores ~d = 5ˆi+ 2jˆ. Questão 15 Na figura abaixo um cubo de lado a tem um de seus vér- tices posicionado na origem de um sistema de coordenadas xyz. Uma diagonal de centro é uma linha que vai de um vértice a outro passando pelo centro. Em termos dos vetores unitários, qual é a diagonal de centro que se estende a partir do vértice de coordenada (a, 0, 0)? Universidade de Brasília - Física 1 - Terceira Lista de Exercícios Solução Do ponto (a, 0, 0) com correspondente vetor posição aiˆ, o ponto dia metricamente oposto é o ponto (0, a, a) com vetor posição ajˆ + akˆ. Assim o vetor ao longo da linha é a diferença −aiˆ+ ajˆ + akˆ. Questão 16 Um vetor ~A tem módulo igual a 6, 00 unidades, outro vetor ~B tem módulo igual a 7, 00 unidades, e ~A · ~B vale 14, 0. Qual é o ângulo entre eles? Solução Pela definição de produto vetorial temos : cos θ = ~A · ~B/AB substi- tuindo os valores temos θ = 70, 5o. Questão 17 Um vetor ~a de módulo igual a 10 unidades e um outro vetor ~b de módulo igual a 6, 0 unidades diferem em sentidos por 60o. Encontre o produto escalar dos dois vetores e o módulo do produto vetorial ~a×~b. Solução O produto escalar dos dois vetores é ~a · ~b = ab cos θ = 10.6, 0. cos 60o = 30. A magnitude do produto vetorial dos dois vetores é |~a×~b| = ab sin θ = 10.6, 0. sin 60o = 52. Questão 18 Se ~d1− ~d2 = 5~d3, ~d1− ~d2 = 3~d3, ~d3 = 2ˆi+4jˆ, então, quais são, em termos de vetores unitários, (a) ~d1 e (b) ~d2? Solução Resolvendo as equações simultâneas temos: (a) ~d1 = 4~d3 = 8ˆi+ 16jˆ. (b) ~d2 = ~d3 = 2ˆi+ 4jˆ. Questão 19 Um homem sai para caminhar, partindo da origem de um sis- tema de coordenadas xyz, com o plano xy horizontal com o eixo x para o leste.Carregando uma moeda sem valor, ele caminha 1000m para o leste, 2000 para o norte, e então deixa cair a moeda em um penhasco de 500m de altura. Em termos de vetores unitários qual é o deslocamento da moeda do ponto de partida ao ponto de aterrissagem? Solução Orientando iˆ ao leste, jˆ ao norte e kˆ. O deslocamento em metro é consequentemente 1000ˆi+ 2000jˆ − 500kˆ. Questão 20 Mostre que a área do triângulo contido entre ~a, ~b e a linha que passa por suas extremidades na figura abaixo é 12 |~a×~b|. Solução A área de um triangulo é o produto de sua base e altitude. A base é formada pelo vetor ~a. Enquanto que a altitude é b sin θ e área é A = 1 2 ab sin θ = 1 2 |~a×~b|. Universidade de Brasília - Física 1 - Terceira Lista de Exercícios
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