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Terceira Lista de Exercícios de Física 1 (Com Soluções) - UnB

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Universidade de Brasília
Instituto de Física
Terceira Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
Um avião de transporte segue a rota indicada na figura.
Primeiramente ele voa, a partir da origem do sistema de co-
ordenadas mostrado, para uma cidade localizada a 175km na
direção 30.0o nordeste. Em seguida, ele voa 153km a 20.0o
noroeste para a cidade B. Finalmente o avião voa 195km a
oeste para a cidade C. Encontre o local da cidade C relativo à
origem.
Solução
Seguindo o sistema de coordenadas e os vetores mostrado na figura
temos:
ax = acos(30.0
o) = (175km)(0.866) = 152km
ay = asen(30.0
o) = (175km)(0.500) = 87.5km
analogamente para os vetores b e c:
bx = bcos(110.0
o) = −52.3km
by = bsen(110.0
o) = 144km
cx = ccos(180.0
o) = −52.3km
cy = csen(180.0
o) = 0
somando as componente:
Rx = ax + bx + cx = 152km− 52.3km− 195km
Rx = −95.3km
Ry = ay + by + cy = 87.5km+ 144km+ 0
Rx = 232km
assim: R = (−95.3i+ 232j)km
Questão 2
Uma pessoa anda ao longo de uma trajetória circular de raio
de 5, 00m. Suponha que a pessoa caminhe somente metade
do círculo. Encontre: (a) a magnitude do vetor deslocamento
e (b) o quanto a pessoa andou. (c) Qual é a magnitude do
deslocamento, se a pessoa andar por todo o círculo?
Solução
a) |d| = |−10, 0i| = 10, 0m uma vez que o deslocamento é uma linha
reta do ponto A ao ponto B.
b) A distância real não é igual ao deslocamento em linha reta.
O quanto a pessoa andou segue a trajetória curva do semi-círculo
(ACB).
s =
1
2
(2pir) = 5pi = 15, 7m
c) Se a pessoa andar todo o círculo, então d começa e termina no
ponto A. Assim, |d| = 0
Questão 3
O vetro A tem magnitude de 8, 00 unidades e faz um ângulo
de 45, 0o com o eixo x positivo. O vetor B também tem magni-
tude de 8, 00 unidades e é dirigido ao longo do eixo x negativo.
Usando métodos gráficos, encontre: (a) o vetor soma A + B
e (b) o vetor diferença B−A
Solução
(a) Usando o método gráfico, coloque o fim do vetor B na ponta do
vetor A. O novo vetor soma terá magnitude 6, 1 a 112o do eixo x.
(b) O vetor diferença é encontrado colocando o negativo do vetor B
na ponta do vetor A. O vetor diferença tem magnitude de 14, 8 a
22o do eixo x.
Questão 4
Em notação de vetores unitários, (a) determine a soma dos ve-
tores: a = 4i−3j e b = −3i+2j. (b) Qual o módulo e a direção
de a+ b?
Solução
(a)Em notação vetorial o para determinar a soma de vetores basta
somar suas componentes. Assim sendo s = a + b, sx = ax + bx =
4− 3 = 1 e sy = ay + by = −3 + 2 = −1. Portanto s = i− j
(b)O módulo do vetor
s =
√
s2x + s2y =
√
(ax + bx)2 + (ay + by)2
substituindo valores, s =
√
2. A direção é dada por
tgφ =
sy
sx
=
ay + by
ax + ay
substituindo os valores e isolando o ângulo: φ = 45o
Questão 5
Dois vetores são dados por a = 4i− 3j+ k e b = −i+ j+ 4k.
Encontre (a) a+b. (b) a−b e um vetor c tal que a−b+c = 0
Solução
Questão 6
Dados dois vetores a = 4i−3j e b = 6i+8j encontre os módulos
e direções (Com relação ao eixo x ) de (a) a, (b) b, (c) a - b e
(d) b - a.
Solução
Questão 7
Use a definição de produto escalar e a propriedade a · b =
axbx + ayby + azbz para calcular o ângulo entre os dois vetores
a = 3i+ 3j+ 3k e b = 2i+ j+ 3k
Universidade de Brasília - Física 1 - Terceira Lista de Exercícios
Solução
Questão 8
Dois vetores de módulos a e b formam o ângulo θ entre si
quando têm origem comum. Prove, tomando componentes ao
longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo de sua soma
é
r =
√
a2 + b2 + 2abcosθ.
Solução
Questão 9
Um paralelepípedo tem dimensões a, b, e c como mostrado na
figura. (a) Obtenha a expressão para o vetor diagonal de face
R1. (b) Determine a magnitude deste vetor. (c) Obtenha a
expressão para o vetor diagonal do corpo R2. (d) Prove que a
magnitude do vetor R2 é
√
a2 + b2 + c2.
Solução
Pela figura, R1 = ai+ bj. |R|1 =
√
a2 + b2.
R2 = ai+ bj+ ck
cuja magnitude é √
|R1|2 + c2 =
√
a2 + b2 + c2
Questão 10
Em geral, a posição instantânea de um objeto é especificado
pelo seu vetor posição P, que sai de uma origem fixa para
a localização do objeto. Suponha que para um determinado
objeto o vetor posição seja uma função do tempo, dada por
P = 4i+ 3j − 2tj, onde P é dado em metros e t em segundos.
Determine dPdt . O que essa grandeza representa?
Solução
dP
dt
=
d(4i+ 3j− 2tj)
dt
= 0 + 0− 2j = −(2, 00m/s)j
O vetor posição em t = 0 é 4i+ 3j. Em t = 1 é 4i+ 1j e assim por
diante. O objeto move-se em trajetória descendente à 2m/s.
dP
dt
representa o vetor velocidade.
Questão 11
Mostre que a×b pode ser expresso por um determinante 3× 3
como
a× b =
∣∣∣∣∣∣
i j k
ax ay ak
bx by bk
∣∣∣∣∣∣ .
Solução
Questão 12
Na figura abaixo, uma máquina pesada foi erguida com o aux-
ilio de uma rampa inclinada de um ângulo θ = 20, 0o, onde a
máquina deslizou ao longo de uma distância d = 12, 5m. (a)
De quanto a máquina foi erguida verticalmente? (b) De quanto
a máquina foi deslocada horizontalmente?
Solução
Por decomposição de vetores temos: (a) hy = d sin θ substituindo
os valores encontramos h = 4, 28m. (b) hx = d cos θ substituindo os
valores encontramos h = 11, 7m.
Questão 13
Dois vetores são dados por: ~a = 4, 0miˆ − 3, 0mjˆ + 1, 0mkˆ e
~b = −1, 0miˆ+1, 0mjˆ+4, 0mkˆ Em termos de vetores unitários,
encontre (a) ~a + ~b,(b) ~a − ~b e (c) um terceiro vetor ~c tal que
~a−~b+ ~c = 0.
Solução
(a)
~a+~b = (4 + (−1))ˆi+ (−3 + 1)jˆ + (1 + 4)kˆ
~a+~b = (3)ˆi+ (−2)jˆ + (5)kˆ
(b)
~a−~b = (4− (−1))ˆi+ (−3− 1)jˆ + (1− 4)kˆ
~a−~b = (5)ˆi+ (−4)jˆ + (−3)kˆ
c) ~b− ~a = ~c sendo assim ~c = (−5)ˆi+ (4)jˆ + (3)kˆ.
Questão 14
Em um jogo de xadrez de gramado, onde as peças são movidas
entre os centros de quadrados de 1, 00m de lado, um cavalo é
movido da seguinte forma: (i) dois quadrados para frente, um
quadrado para a direita; (ii) dois quadrados para a esquerda,
um quadrado para frente; (iii) dois quadrados para frente, um
quadrado para a esquerda. Qual o modulo do deslocamento
resultante do cavalo ao final da série de três movimentos?
Solução
Com iˆ direcionado para a frente e jˆ direcionado para a esquerda,
encontramos pela soma de vetores ~d = 5ˆi+ 2jˆ.
Questão 15
Na figura abaixo um cubo de lado a tem um de seus vér-
tices posicionado na origem de um sistema de coordenadas xyz.
Uma diagonal de centro é uma linha que vai de um vértice a
outro passando pelo centro. Em termos dos vetores unitários,
qual é a diagonal de centro que se estende a partir do vértice
de coordenada (a, 0, 0)?
Universidade de Brasília - Física 1 - Terceira Lista de Exercícios
Solução
Do ponto (a, 0, 0) com correspondente vetor posição aiˆ, o ponto dia
metricamente oposto é o ponto (0, a, a) com vetor posição ajˆ + akˆ.
Assim o vetor ao longo da linha é a diferença −aiˆ+ ajˆ + akˆ.
Questão 16
Um vetor ~A tem módulo igual a 6, 00 unidades, outro vetor ~B
tem módulo igual a 7, 00 unidades, e ~A · ~B vale 14, 0. Qual é o
ângulo entre eles?
Solução
Pela definição de produto vetorial temos : cos θ = ~A · ~B/AB substi-
tuindo os valores temos θ = 70, 5o.
Questão 17
Um vetor ~a de módulo igual a 10 unidades e um outro vetor ~b
de módulo igual a 6, 0 unidades diferem em sentidos por 60o.
Encontre o produto escalar dos dois vetores e o módulo do
produto vetorial ~a×~b.
Solução
O produto escalar dos dois vetores é ~a · ~b = ab cos θ =
10.6, 0. cos 60o = 30. A magnitude do produto vetorial dos dois
vetores é |~a×~b| = ab sin θ = 10.6, 0. sin 60o = 52.
Questão 18
Se ~d1− ~d2 = 5~d3, ~d1− ~d2 = 3~d3, ~d3 = 2ˆi+4jˆ, então, quais são,
em termos de vetores unitários, (a) ~d1 e (b) ~d2?
Solução
Resolvendo as equações simultâneas temos:
(a) ~d1 = 4~d3 = 8ˆi+ 16jˆ. (b) ~d2 = ~d3 = 2ˆi+ 4jˆ.
Questão 19
Um homem sai para caminhar, partindo da origem de um sis-
tema de coordenadas xyz, com o plano xy horizontal com o
eixo x para o leste.Carregando uma moeda sem valor, ele
caminha 1000m para o leste, 2000 para o norte, e então deixa
cair a moeda em um penhasco de 500m de altura. Em termos
de vetores unitários qual é o deslocamento da moeda do ponto
de partida ao ponto de aterrissagem?
Solução
Orientando iˆ ao leste, jˆ ao norte e kˆ. O deslocamento em metro é
consequentemente 1000ˆi+ 2000jˆ − 500kˆ.
Questão 20
Mostre que a área do triângulo contido entre ~a, ~b e a linha que
passa por suas extremidades na figura abaixo é 12 |~a×~b|.
Solução
A área de um triangulo é o produto de sua base e altitude. A base
é formada pelo vetor ~a. Enquanto que a altitude é b sin θ e área é
A = 1
2
ab sin θ = 1
2
|~a×~b|.
Universidade de Brasília - Física 1 - Terceira Lista de Exercícios

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