Lista11_solucao

Prévia do material em texto

Universidade de Brasília
Instituto de Física
Décima primeira Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
A figura mostra um corpo rígido formado por um aro fino (de
massa m e R = 0, 150m) e uma barra fina radial (de massa m e
comprimento L = 2, 00R). O conjunto está na vertical, mas se
recebe um pequeno empurrão começa a girar em torno de um
eixo horizontal no plano do aro e da barra, que passa pela ex-
tremidade inferior da barra. Supondo que a energia fornecida
ao sistema pelo empurrão é desprezível, qual é a velocidade an-
gular do conjunto quando ele passa pela posição invertida (de
cabeça para baixo)?
Solução
Usaremos a conservação da energia em dois momentos, no instante
em que ela foi soutada e no instante pouco antes de tocar o chão:
EoRot + U
o = ERot + U
Onde EoRot = 0, pois saiu do repouso, e U = 0, pois está na altura
mínima.
Uo = mgh, h = 4R, pois é a diferença entre a altura e o centro de
massa nos dois momentos
ERot =
Iω2
2
, I = Ibarra, onde Ibarra = m(2.r)
2
3
e usando o teorema
dos eixos paralelos, temos
Iaro = ICM +M.h
2, h = 3.R e ICM =
m.R2
3
,
Então
m.g.4.R =
(
m.(2.R)2
3
+
m.R
2
+m(3.R)2
)
ω2
2
ω ≈ 9, 82rad/s
Questão 2
Uma régua de um metro é mantida verticalmente com uma das
extremidades apoiada no solo e depois liberada. Determine a
velocidade da outra extremidade pouco antes de tocar o solo,
supondo que a extremidade de apoio não escorrega.
Solução
Usaremos a conservação da energia em dois momentos, no instante
em que ela foi soutada e no instante pouco antes de tocar o chão:
EoRot + U
o = ERot + U
Onde EoRot = 0, pois saiu do repouso, e U = 0, pois está no chão.
Uo = mgh, h = 1
2
m, pois é a altura do centro de massa da régua
até o chão
ERot =
I.ω2
2
, I =
m.R2
3
, R = 1,
Então
m.g
1
2
=
m
3
.
ω2
2
, ω =
√
3.g ≈ 5, 42rad/s
Questão 3
Um cilindro uniforme com 10cm de raio e uma massa de 20kg
está montado de modo a poder girar livremente em torno de um
eixo horizontal paralelo ao eixo central longitudinal do cilindro
e situado a 5, 0cm deste eixo. (a) Qual é o momento de inércia
do cilindro em relação ao eixo de rotaÃğção? (b) Se o cilindro é
liberado a partir do repouso com o eixo central longitudinal na
mesma altura que o eixo em torno do qual pode girar, qual é a
velocidade angular do cilindro a passar pelo ponto mais baixo
de sua trajetória?
Solução
(a) Vamos usar o teorema dos eixos paralelos:
I = ICM +M.h
2, h = 0, 05cm e ICM =
M.R2
2
I =
20.0, 12
2
+ 20.0, 052 = 0, 15kg.m2
(b) Usaremos a conservaçãoo da energia em dois momentos, no ins-
tante em que ela foi soutada e no instante de altura mínima:
EoRot + U
o = ERot + U
Onde EoRot = 0, pois saiu do repouso, e U = 0, pois está na altura
mínima.
ERot =
I.ω2
2
, I = 0, 15kg.m2, então:
m.g.0, 05 = 0, 15.
ω2
2
ω ≈ 11, 43rad/s
Questão 4
Uma casca esférica uniforme de massa M = 4, 5kg e raio
R = 8, 5cm pode girar em torno de um eixo vertical sem
atrito. Uma corda de massa desprezível está enrolada no
equador da casca, passa por uma polia de momento de iércia
I = 3, 0.10−3kg.m2 e raio r = 5, 0cm e está presa a um pe-
queno objeto de massa m = 0, 60kg. Não há atrito no eixo da
polia e a corda não escorrega na casca nem na polia. Qual é a
velocidade do objeto depois de cair 82cm após ter sido liberado
a partir do repouso?
Solução
Usaremos a conservação da energia em dois momentos, no instante
em que ele foi soltado e no instante em que o objeto caiu 82cm:
EoRotesfera + E
o
Rotpolia + U
o = ERotesfera + ERotpolia + U
Universidade de Brasília - Física 1 - Décima primeira Lista de Exercícios
Onde EoRotesfera = 0 e E
o
Rotpolia
= 0, pois saiu do repouso, e U = 0,
pois está na altura mínima.
Uo = m.g.h, h = 0, 82m, pois é a distância entre o eixo central e o
eixo de rotação.
ERotesfera =
I.ω2
2
, Iesfera =
2.m.R2
5
, e ERotpolia =
m.R2
2
, então,
sabendo que ω = V
R′ , temos:
0 + 0 +m.g.0, 82 =
2.m.R2.V 2
5.R2
+
m.R2.V 2
2.R2
+ 0
V =
√
g.0, 82.10
9
≈ 2, 99m/s
Questão 5
A figura abaixo mostra a velocidade angular em função do
tempo para uma barra fina que gira em torno de uma das ex-
tremidades. A escala do eixo ω é definida por ωo = 6, 0rad/s.
(a) Qual é o módulo da aceleração angular da barra? (b) Em
t = 4, 0s, a barra tem uma energia cinética de 1, 60J . Qual é a
energia cinética da barra em t = 0?
Solução
(a)
α =
∆ω
∆t
=
4− 1
4− 2 =
3
2
rad/s2
(b) Analisando em t = 4s, ω = 4rad/s, logo Ec = I.ω
2
2
→ I =
2.1,6
42
= 0, 1875kg.m2
Em t = 0s, ω = 2rad/s, logo Ec = (0,1875)(−2)2 = 0, 375J
Questão 6
Na figura abaixo, duas partículas, ambas de massa m =
0, 85Kg, estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação
em O por duas barras finas, ambas de comprimento d = 5, 6cm
e massa M = 1, 2Kg. O conjunto gira em torno do eixo de
rotação com velocidade angular ω = 0, 30rad/s. Em relação
a O, quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) a
energia cinética do conjunto?
Solução
(a) O momento de inércia do conjunto é formado pelo momento de
inércia de cada barra somado ao momento de inércia das partículas.
Logo,
I = Ip1 + Ip2 + Ib1 + Ib2
Utilizando o teorema dos eixos paralelos, calculamos o momento de
inércia resultante como:
I = (m.d2) + (m(2.d)2) +
(
1
3
.M.d2
)
+
(
1
12
.M.d2 +M
(
3
2
.d2
))
I = 5.m.d2 +
8
3
M.d2
I = 5(0, 85)(0, 056)2 +
8
3
(1, 2)(0, 056)2
I = 0, 023kg.m2
(b)
Ec =
1
2
.I.ω2 =
1
2
(0, 023)(0, 30)2 = 1, 035.10−3J
Questão 7
O bloco uniforme da figura abaixo tem massa de 0, 172Kg e
lados a = 3, 5cm, b = 8, 4cm e c = 1, 4cm. Calcule o momento
de inércia do bloco em relação a um eixo que passa por um
canto e é perpendicular às faces maiores.
Solução
Sabendo que o momento de inércia de uma placa de dimensões
a, b e c em relação ao centro de massa é da forma I = M
12
(a2+b2+c2)
[Fica a cargo do monitor demonstrar ou não]. Temos então que o
cálculo de I em relação ao canto é calculado a partir do teorema dos
eixos paralelos:
It = I +M.
((a
2
)2
+
(
b
2
)2)
It =
M
12
(a2 + b2 + c2) +
M
4
(a2 + b2)
It =
M
3
(a2 + b2) +
M
12
.c2
It =
0, 172
3
.((0, 035)2 + (0, 084)2) +
0, 172
12
.(0, 014)2
It = 4, 77Kg.m
2
Questão 8
Alguns caminhões utilizam a energia armazenada em um vo-
lante que um motor elétrico acelera até uma velocidade de
200πrad/s. Um desses volantes é um cilindro uniforme com
uma massa de 500Kg e um raio de 1, 0m. (a) QualéÃľ a ener-
gia cin’etica do volante quando está girando com a velocidade
máxima? (b) Se o caminhão consome uma potência média de
8, 0kW , por quantos minutos pode operar sem que o volantes
seja novamente carregado?
Solução
(a)
Ec =
1
2
.Iω2 =
1
2
(
1
2
.M.r2
)
=
1
4
.(500)(1)2(200π)2 = 4, 9.107J
Universidade de Brasília - Física 1 - Décima primeira Lista de Exercícios
(b) Sendo a potência média calculada por P = K
P
, então t = K
P
t = 4,9.10
7
(8.103
= 6, 2.103s que transformando para minutos vira t =
1.102min.
Questão 9
Em t = 0, uma roda tem uma velocidade angular de 4, 7rad/s,
uma aceleração angular constante de −0, 25rad/s2 e uma reta
de referência em θo = 0. (a) Qual é o maior ângulo θmax des-
crito pela reta de referência no sentido positivo? Quais são (b)
o primeiro e (c) o segundo instante no qual a reta de referência
passa pelo ângulo θ = θmax2 ? Em que (d) instante negativo
e (e)instante positivo a reta de referência passa pelo ângulo
θ = −10, 5rad?
Solução
O problema (implicitamente) especificou o sentido positivo de ro-
tação. A aceleração angular de magnitude 0, 25rad/s2 na direção
negativa é constante (inclusive para valores negativos do tempo).
(a) Especificamos θmax com a condção ω = 0 (quando a roda re-
verte do sentido positivo para o negativo). Obtemos θmax (usando
a equação 10-14 do livro do Halliday)
θmax =
−ω2o
2.α
= − 4, 7rad/s
2
2(−0, 25rad/s2) = 44rad
(b) Achamos valores para t1 quando o deslocamento angular é
θ1 = 22rad. Usando a equação 10−13 (Halliday 8a Ed) e a formular
quadrática, temos: θ1 = ωo.t1 + 12 .αt
2
1 ⇒ t1 =
−ωo±
√
ω2o+2θ1α
α
, que
gera as duas raízes 5, 5s e 32s, mas a primeira vez que a linhade
referência passa por 22 rad é em t = 5, 5s.
(c) A segunda vez que a linha de referência passa por 22rad é t = 32s.
(d) Encontramos valores para t2 quando a posição angular (t = 0) é
θ2 = −10, 5rad. Usando a equação 10−13 (Halliday 8a Ed.) e a fór-
mula quadrática, temos: θ2 = ω0t2 + 12 .α.t
2
2 ⇒ t2 =
−ωo±
√
ω2o+2θ2α
α
,
que gera duas raízes −2, 1s e 40s. Porém, em t = −2, 1s, a linha de
referência estará em θ2 = −10, 5rad.
(e) Em t = 40s, a linha de referência estará em θ2 = −10, 5rad.
Questão 10
Uma roda executa 40 revoluções quando desacelera a partir de
uma velocidade angular de 1, 5rad/s até parar. (a) Supondo
que a acelerção angular é constante, determine o intervalo de
tempo em que isso ocorre. (b) Qual é a aceleração angular da
roda? (c) Quanto tempo é necessário para que a roda complete
as 20 primeiras revoluções?
Solução
A roda tem velocidade angular omegao = 1, 5rad/s =
0, 239rev/s em t = 0, e tem um valor constante de aceleração angu-
lar α < 0, que indica nossa opção para o sentido positivo de rotação.
Em t1, sua posição angular é θ1 = 20rev e, em t2, sua posição an-
gular é θ2 = 40rev e sua velocidade angular é ω2 = 0.
(a) Obtemos t2 usando a equação 10 − 15 (Halliday 8a Ed.): θ2 =
1
2
(ωo +ω2)t2 ⇒ t2 = 2 40rev0,239rev/s = 335s, que estimamos em t2 apro-
ximadamente 3, 4.102s.
(b) Qualquer equação da tabela 10 − 1, do Halliday, envolvendo
α, pode ser usada para encontrar a aceleração angular. θ2 =
ω2t2 − 12αt
2
2 ⇒ α = −7, 12.10−4rev/s2, que convertemos para
−4, 5.10−3rad/s2.
(c) Usando θ1 = ωot1 + 12αt
2
1 e a fórmula quadrática, isolamos t1 e
obtemos duas raízes positivas: 98s e 572s. Já que a pergunta sṕ faz
sentido se t1 < t2, concluímos que o resultado correto é t1 = 98s.
Questão 11
Na figura abaixo, uma roda A de raio rA = 10cm está aco-
plada por uma correia B a uma roda C de raio rC = 25cm.
A velocidade angular da roda A é aumentada a partir do re-
pouso a uma taxa constante de 1, 6rad/s2. Determine o tempo
necessário para que a roda C atinja uma velocidade angular
de 100rev/min, supondo que a correia não desliza. (Sugestão:
Se a correia não desliza, as velocidades lineares das bordas dos
discos são iguais.)
Solução
Já que a correia não desliza, um ponto na borda da roda C tem a
mesma aceleração tangencial de um ponto na borda da roda A. Isso
quer dizer que αA.rA = αC .rC , onde αA é a aceleração angular da
roda A e αC é a da roda C. Segue:
αc =
rA
rC
αc =
10cm
25cm
.(1, 6rad/s2) = 0, 64rad/s2
Já que a velocidade angular da roda C é dada por ωC = αC .t, o
tempo para alcançar uma velocidade angular de ω = 100rev/min =
10, 5rad/s
t =
ωc
αc
=
10, 5rad/s
0, 64rad/s2
= 16s
Questão 12
Um disco, com um raio de 0, 25m, deve girar como um carrossel
de um ângulo de 800rad, partindo do repouso, ganhando velo-
cidade angular a uma taxa constante α1 nos primeiros 400rad
e em seguida perdendo velocidade angular a uma taxa cons-
tante −α1, até ficar novamente em repouso. O módulo da
aceleração centrípeta de qualquer parte do disco não deve ex-
ceder 400m/s2. (a) Qual é o menor tempo necessÃąrio para a
rotação? (b) Qual é o valor correspondente de α1 ?
Solução
(a) O limite superior para a aceleração centrípeta (o mesmo que
aceleração radial - veja eq. 10 − 23 do Halliday) implica um limite
superior da taxa de rotação (velocidade angular ω) considerando um
ponto na margem ( r = 0, 25m). Também, ωmax = ar
1
2 = 40rad/s.
Agora, aplicamos a equaç ao 10− 15 (Halliday) para a primeira me-
tade do movimento (onde ωo = 0): θ−θo = 12 (ωo+ω).t⇒ 400rad =
1
2
(0 + 40rad/s).t, que nos leva à t = 20s. A segunda metade do mo-
vimento toma o mesmo tempo (o processo é essencialmente o inverso
do primeiro); o tempo total é, então, 40s.
(b) Considerando a primeira metade do movimento de novo, temos:
ω = ωo + α.t⇒ α = 40rad/s20s = 2, 0rad/s
2
Questão 13
Uma criança está empurrando um carrossel. O deslocamento
angular do carrossel varia com o tempo de acordo com a relação
θ(t) = γt + βt3, em que γ = 0, 400rad/s e β = 0, 0120rad/s3.
(a) Calcule a velocidade angular do carrossel em função do
tempo. (b) Qual é o valor da velocidade angular inicial? (c)
Calcule o valor da velocidade angular instantânea para t = 5, 0s
e a velocidade angular média ωmz para o intervalo de tempo
de t = 0 até t = 5, 0s. Mostre que ωmz não é igual à média
das velocidades angulares para t = 0 até t = 5, 0s e explique a
razão dessa diferença.
Solução
(a) ω(t) = γ + 3βt2 = (0, 400rad/s) + (0, 036rad/s2)t2.
(b) No instante t = 0, ω(0) = γ = 0, 400rad/s.
(c) No instante t = 5, 00s, ω(5) = (0, 400rad/s) +
(0, 036rad/s2)(5, 00s)2 = 1, 3rad/s. θ(0) = 0rad; θ(5) =
(0, 400rad/s)(5, 00s) + (0, 036rad/s2)(5, 00s)3 = 3, 50rad; então
ωmdio = (3, 50rad)/(5, 00s) = 0, 70rad/s. A aceleração não é
Universidade de Brasília - Física 1 - Décima primeira Lista de Exercícios
constante durante o intervalo de tempo mas crescente; ent ao a
velocidade angular é maior que a velocidade angular média.
Questão 14
Para t = 0 a corrente de um motor eĺtrico de corrente contí-
nua (dc) é invertida, produzindo um deslocamento angular do
eixo do motor dado por θ(t) = (250rad/s)t− (20, 0rad/s2)t2 −
(1, 50rad/s3)t3. (a) Em que instante a velocidade angular do
eixo do motor se anula? (b) Calcule a aceleração angular no
instante em que a velocidade angular do eixo do motor é igual
a zero. (c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do motor
desde o instante em que a corrente foi invertida até o momento
em que a velocidade angular se anulou? (d) Qual era a veloci-
dade angular do eixo do motor para t = 0, quando a corrente
foi invertida? (e) Calcule a velocidade angular média no in-
tervalo de tempo desde t = 0 até o instante calculado no item
(a).
Solução
Equações: ω(t) = (250rad/s) − (40, 0rad/s2)t −
(4, 50rad/s3)t2; a(t) = −(40, 0rad/s2)− (9, 00rad/s3)t.
(a) Usando ω = 0, obtém-se uma equação de segundo grau em t; o
único tempo positivo cujo ω = 0 é t = 4, 23s.
(b) a(4, 23) = −(40, 0rad/s2) − (9, 00rad/s3)(4, 23s) =
−78, 1rad/s2.
(c)θ(4, 23) = (250rad/s)(4, 23s) − (20, 0rad/s2)(4, 23s)2 −
(1, 50rad/s3)(4, 23s)3 = 586rad = 93, 3rev.
(d) ω(0) = 250rad/s.
(e) ωmdio = 586rad4,23s = 138rad/s
Questão 15
A roda da figura abaixo tem oito raios de 30cm igualmente
espaçados, está montada em um eixo fixo e gira a 2, 5rev/s.
Você deseja atirar uma flecha de 20cm de comprimento para-
lelamente ao eixo da roda sem atingir um dos raios. Suponha
que a flecha e os raios são muito finos. (a) Qual é a menor velo-
cidade que a flecha deve ter? (b) O ponto entre o eixo e a borda
da roda por onde a flecha passa faz alguma diferença? Caso a
resposta seja afirmativa, para que ponto você deve mirar?
Solução
(a) Para evitar que toque um dos raios, a flecha deve cruzar a roda
em não mais que ∆t =
1
8
rev
2, 5rev/s
= 0, 050s. A velocidade mínima
da flecha é vmin = 20cm0,050s = 400cm/s = 4, 0m/s.
(b) Não, não há dependência da posição radial no cálculo acima.
Questão 16
A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada
por θ = 4, 0t−3, 0t2+t3, onde θ está em radianos e t em segun-
dos. Quais são as velocidades angulares em (a) t = 2, 0s e (b)
t = 4, 0s? (c) Qual é a aceleração angular média no intervalo
de tempo que comeÃğa em t = 2, 0s e termina em t = 4, 0s?
Qual é a aceleração angular instantânea (d) no início e (e) no
fim desse intervalo?
Solução
Ao explicitarem-se as unidades, a função fica:
θ = (4, 0rad/s)t− (3, 0rad/s2).t2 + (1, 0rad/s3).t3
(a) ω =
d(4t− 3t2 + t3)
dx
= 4− 6t+ 3t2; obtém-se ω2 = 4, 0rad/s
(b) Usando, na expressão do item (a), t = 4s, obtém-se ω4 =
28rad/s
(c) αmdio =
ω4 + ω2
4− 2 = 12rad/s
2
(d) α = dω
dx
=
d(4− 6t+ 3t2)
dx
= −6 + 6t; usando t = 2s, obtém-se
α2 = 6, 0rad/s
2
(e) Usando, na expressão do item (d), t = 4s, obtém-se α4 =
18rad/s2. Note que a resposta encontrada para αmdio é igual à
média aritmética de α2 e α4; entretanto, isso nem sempre acontece.
Questão 17
Na figura, o bloco 1 tem massa m1 = 460g, e o bloco 2 tem
massa m2 = 500g, e a polia está montada em um eixo hori-
zontal com atrito desprezível,tem um raio R = 5, 00cmm .
Quando o sistema é liberado a partir do repouso o bloco 2 cai
75, 0cm em 5, 00s sem que a corda deslize na borda da polia.
(a) Qual é o módulo da aceleração dos blocos? Qual é o valor
(b) da tensão T2 e (c) da tensão T1? (d) Qual é o módulo da
aceleração angular da polia? (e) Qual é o momento de inércia
da polia?
Solução
(a) S = So + Vo.t+ a.t
2
2
, Logo, |a| = 6.10−2m/s2
(b) Pela segunda Lei de Newton, no bloco 2 temos:
m2.g − T2 = m2.a
T2 = m2(g − a) = (0, 500kg)(9, 8m/s2 − 6, 00.10−2m/s2) = 4, 87N
(c) Pela segunda Lei de Newton, no bloco 1 temos:
m1.g − T1 = m1.a
T1 = m1(g − a) = (0, 460kg)(9, 8m/s2 + 6, 00.10−2m/s2) = 4, 54N
(d) Como a corda na desliza na polia, a aceleração tangencial na
borda da polia é igual à aceleração do bloco, logo:
α =
a
R
=
6, 00.10−2m/s2
5, 00.10−2m
= 1, 20rad/s2
(e) Usando a segunda Lei de Newton para rotação, temos:
τ = (T1 + T2)R = I.α
T =
(T2 − T1)R
α
=
(4, 87N − 4, 54N)(5, 00.10−2m)
1, 20rad/s2
= 1, 38.10−2kg.m2
Questão 18
Uma polia, com um momentod e inércia de 1, 0.10−3kg.m2 em
relação a seu eixo e um raio de 10cm, é submetida a força apli-
cada tangencialmente a sua borda. O módulo da forç varia no
tempo de acordo com a equação F = 0, 50.t + 0, 30.t2, com F
em Newtons e t em segundos. A polia está inicialmente em
Universidade de Brasília - Física 1 - Décima primeira Lista de Exercícios
repouso. Em t = 3, 0s, quais são (a) a sua aceleração angular
e (b) sua velocidade angular?
Solução
(a) Deve-se usar a segunda Lei de Newton.
α =
τ
I
=
Fr
I
=
(0, 5t+ 0, 3t2)(0, 10)
1, 0.10−3
= 50t+ 30t2
Substituindo t = 3, temos α = 4, 2.102rad/s2.
(b)Sabendo que a velocidade é α = fracdωdt
Basta integrar a fórmula acima no intervalo t de 0 a 3 segundos para
se ober o valor de ω.
ω =
∫ 3
0
αdt = (25t2 + 10t3)|30 = 5, 0.102rad/s
Questão 19
O corpo da figura que passa pelo eixo O e é perpendicular
ao papel. Três forças agem sobre ele: FA = 10N no ponto
A, a 8, 0m de O; FN = 16N em B, a 4, 0m de O; e FC =
19N em C, a 3, 0m de O. Qual é o torque resultante em relção
a O?
Solução
τ = τA + τB + τC = FA.rA. sinφA − FB .rB . sinφB + FC .rC sinφC
= 10.0, 8. sin 135o + 16.4. sin 90o + 19.3. sin 160o
= 12N.m
Questão 20
Uma pequena bola de massa 0, 75kg está presa a uma das ex-
tremidades de uma barra de 1, 25m de comprimento e massa
desprezível. A outra extremidade da barra está pendurada em
um eixo. QUando o pêndulo assim formado faz um ângulo de
30o com a vertical, qual é o módulo do torque exercido pela
força da gravidade em relação ao eixo?
Solução
τ = m.g.l. sin θ = (0, 75)(9, 8)(1, 25) sin 30o = 4, 6N.m
Universidade de Brasília - Física 1 - Décima primeira Lista de Exercícios