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1 Prof. Rochedo Cap. 1 - OSCILACÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO DEFINIÇÃO Um corpo de massa m executa oscilação livre sem amortecimento quando, além de seu próprio peso, nele atuam exclusivamente forças elásticas. Sistema natural NEN nível de equilíbrio do estado natural Sistema estático NEE nível de equilíbrio estático Força elástica = Peso Fel = P Fel = k.ye K constante elástica da mola ye elongação estática P = m.g Sistema dinâmico MHS movimento harmônico simples (oscilação livre) EQUAÇÕES DO MHS MHS oscilação livre de uma partícula em torno de uma posição de equilíbrio estático. Esta oscilações podem ser em qualquer posição. A equações do MHS são deduzidos a partir da projeção sobre o diâmetro de um movimento circular uniforme. Enquanto o Ponto P executa um MCU (movimento circular uniforme) o ponto P’ executa um MHS (movimento harmônico simples) 2 ).cos(. 000 twax ).cos(. 000 tway ou x ou y elongação genérica a mola x a0 amplitude ( afastamento máximo) w0 pulsação (equivale a velocidade angular do MCU) a0 T w 20 T Período ( tempo gasto numa oscilação completa) A unidade da pulsação no SI é rad/s ou s-1 0 fase inicial (unidade rad) t instante de tempo considerado A equação da velocidade uma partícula em MHS é derivada da equação de elongação (posição) e aceleração é derivada da equação de velocidade E=x(t) V=V(t) a=a(t) D E R I V A D A I N T E G R A L ).cos(. 000 tway ).(.. 0000 twsenawV V = ẏ ou V = y’ ).cos(.. 000 2 0 twaw a = ÿ ou a = y” Pag. 38 apostila yw .20ou xw .20 3 Pag. 38 apostila OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES É um sistema formada por um corpo de massa m e uma mola de constante elástica k que realiza um MHS xkFel . .mFR 2ª lei de Newton Mas no MHS xw .2 0 xwmFR .. 2 0 Rel FF xwmxk ... 2 0 2 0 .wmk Da expressão acima é possível deduzir: m Kw 0 k mT 2 0 4 ENERGIA MECÂNICA (E) NO MHS Em qualquer sistema a energia mecânica (E) é soma das energias cinética (Ec) e energia potencial (Ep). No MHS a energia potencial é na forma de energia elástica 2 ².VmEC 2 ².xkEP PC EEE No MHS o sistema mola e massa é conservativo logo a energia mecânica é constante Nos pontos de inversão (extremos) do MHS temos: 0V 0ax 0CE 2 ². 0akEP 2 . 20akE A energia mecânica do MHS é constante e dada por: 2 . 20akE Quando a partícula passa pela posição de equilíbrio sua velocidade é máxima. ).(.. 000 twsenawV o 00max .awV 2 . 2maxVmEC 0PE Força EnergiaTαVX; a0 CGS SI ou MKS Unidades Sistema m cm sm / scm/ ²/ sm ²/ scm s s newton dyna joule ergs 5 Pag. 39 apostila a) a constante elástica equivalente das molas 1 e 2 b) O período e frequência das oscilações a) a constante elástica equivalente das molas 1 e 2 b) O período e frequência das oscilações 6 OSCILACÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO (continuação) PÊNDULO SIMPLES (GALILEU) ou MATEMÁTICO Sistema ideal formado por uma partícula P suspensa por um fio leve, flexível e inextensível, oscilando sob ação de seu peso em um plano vertical. Para pequenas amplitudes () o pêndulo simples excuta um MHS. Para pequenas amplitudes o período (T) e a pulsação (W) do pendulo é: g L.2T L gW Exercício 1) Um pêndulo de 109cm de comprimento é solto com uma pequena amplitude inicial (a = 6 cm) em um local que g = 9,81m/s². Determine: a) seu período b) sua pulsação c) a equação horária da elongação a partir do momento em que ele é solto. d) A posição do pêndulo em t = (/3) s. Exercício 2) Um relógio de pêndulo é ajustado para funcionar corretamente na cidade de Santos (g = 9,7896m/s²). Se o mesmo for levado para cidade de são Paulo (g =9,7873m/s²) e não for feito novo ajuste ocorra atraso ou adiantamento? De quantos segundos em um dia? Exercício 22 – apostila pag. 44 3) Um certo relógio de pêndulo tem marcha correta em local A onde g = 980,0 cm/s². Em local B, ele atrasa 10 s por dia. Determinar a gravidade g’ em B. PÊNDULO COMPOSTO (HUYGHENS) ou FÍSICO É sólido que oscila em torno de um eixo horizontal fixo, sob ação de seu peso Para estudo do pendulo composto há necessidade do conhecimento do centro de massa (G) e do momento de inércia (J) do sólido 7 CENTRO DE MASSA (CM ou G) É o ponto onde teoricamente toda a massa do corpo está concentrada. O CM de um corpo homogêneo esta no seu geométrico. O CM varias massa distribuídas é dado por: 1 . m xm d iiCM Exemplo: Duas esferas homogêneas de massa m1 =100g e m2 = 300g formam soldados uma haste de peso desprezível. Sendo a distância entre os centro das esfera d= 20cm determine o centro de massa do sistema em relação o ponto O que o centro geométrico do sistema 1 . m xm d iiCM 21 2211 .. mm dmdm d1 = -10cm d2 = +10cm 300100 10.300)10.(100 5cm CM º Exercício: Determine o centro de massa do sistema do exemplo anterior em relação o ponto O que o centro geométrico do sistema considerando que a barra possua 100g de massa MOMENTO DE INÉRCIA (J) Momento de inércia mede a distribuição da massa de um corpo em torno de um eixo de rotação. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar. ².rmJ No caso de várias massas distribuídas ².rmJ Exemplo: No esquema anexo a barra AB é leve; as esferas A e B são consideradas partículas cujas massas são M (em A) e 2M (em B). O ponto de suspensão é S (SA = 0,5m). Determinar o momento de inércia do sistema em relação ao ponto S. Dado M = 1kg ².rmJ ².². BBAA rmrm ²1.2²5,0.1 J ².25,2 mkgJ 8 O Momento de inércia de uma barra prismática fina e homogênea é dado por: 2 1 ² x xB dmxJ densidade linear de massa m Exercício: Considere que a barra acima tenha massa de 300g e a = 50cm e b = 100cm. Determine: a) o centro de massa da barra. b) a densidade linear de massa da barra c) o momento de inércia em relação ao ponto O. d) o raio de giração em relação ao ponto O. raio de giração K (rK) corresponde à distância do eixo na qual devemos concentrar toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia 2. KrmJ m JrK PÊNDULO COMPOSTO (HUYGHENS) ou FÍSICO É um sólido que oscila em torno de um eixo horizontal fixo, sob ação de seu peso No pêndulo composto temos: ... J dgm Pulsação (W) e período (T) J dgmW .. dgm JT .. .2 TW 2 Aceleração angular ou equação diferencial das oscilação )( m massa do pêndulo g gravidade d distância do centro de massa ou ponto de suspensão amplitude angular J momento de inércia do pêndulo 9 EXERCÍCIOS – PAG 44 APOSTILA O esquema anexo representa um pêndulo composto. A barra AB é leve; as esferas A e B são consideradas partículas cujas massas são M (em A) e 2M (em B). O ponto de suspensão é S (SA=0,5m). Formando com a vertical um ângulo = 0,1 rad, o pêndulo é abandonado em repouso. Desprezar dissipação. Pedem-se: a) centro de massa sistema; b) momento de inércia do sistema; c) o raio de giração do sistema d) equação diferencial das oscilações; e) pulsação c e período T f) equação horária = (t) EXERCÍCIOS 2 (modificado) – PAG 49 APOSTILA
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