Complementos de Fisica - Cap 1 - oscilações livres

Prévia do material em texto

1
Prof. Rochedo
Cap. 1 - OSCILACÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO
DEFINIÇÃO
Um corpo de massa m executa oscilação livre sem amortecimento quando, 
além de seu próprio peso, nele atuam exclusivamente forças elásticas.
Sistema natural
NEN  nível de 
equilíbrio do 
estado natural
Sistema estático
NEE  nível de 
equilíbrio estático
Força elástica = Peso
Fel = P
Fel = k.ye
K  constante 
elástica da mola
ye  elongação estática
P = m.g
Sistema dinâmico
MHS  movimento 
harmônico simples 
(oscilação livre)
EQUAÇÕES DO MHS
MHS  oscilação livre de uma partícula em torno de uma posição de 
equilíbrio estático. Esta oscilações podem ser em qualquer posição.
A equações do MHS são deduzidos a partir da 
projeção sobre o diâmetro de um movimento 
circular uniforme.
Enquanto o Ponto P executa um MCU 
(movimento circular uniforme) o ponto P’
executa um MHS (movimento harmônico 
simples)
2
).cos(. 000  twax
).cos(. 000  tway
ou
x ou y  elongação genérica a mola
x
a0  amplitude ( afastamento máximo)
w0  pulsação (equivale a velocidade angular do MCU)
a0
T
w 20 
T  Período ( tempo gasto numa oscilação completa)
A unidade da pulsação no SI é rad/s ou s-1
0  fase inicial (unidade rad)
t  instante de tempo considerado
A equação da velocidade uma partícula em MHS é derivada da 
equação de elongação (posição) e aceleração é derivada da equação 
de velocidade 
E=x(t)
V=V(t)
a=a(t)
D
E
R
I
V
A
D
A
I
N
T
E
G
R
A
L
).cos(. 000  tway
).(.. 0000  twsenawV
V = ẏ ou V = y’
).cos(.. 000
2
0   twaw
a = ÿ ou a = y”
Pag. 38 apostila
yw .20ou
xw .20
3
Pag. 38 apostila
OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
É um sistema formada por um corpo de massa m e uma mola de 
constante elástica k que realiza um MHS xkFel .
.mFR 
2ª lei de 
Newton
Mas no MHS xw .2
0

xwmFR ..
2
0

Rel FF 
xwmxk ... 2
0

2
0
.wmk 
Da expressão acima é possível deduzir:
m
Kw 
0 k
mT 2
0

4
ENERGIA MECÂNICA (E) NO MHS
Em qualquer sistema a energia mecânica (E) é soma das energias 
cinética (Ec) e energia potencial (Ep). No MHS a energia potencial é na 
forma de energia elástica
2
².VmEC  2
².xkEP  PC EEE 
No MHS o sistema mola e massa é conservativo logo a energia mecânica 
é constante Nos pontos de inversão (extremos) do 
MHS temos:
0V 0ax 
0CE
2
². 0akEP 
2
. 20akE A energia mecânica do MHS é constante e dada por:
2
. 20akE 
Quando a partícula passa pela 
posição de equilíbrio sua 
velocidade é máxima.
).(.. 000  twsenawV o
00max .awV 
2
. 2maxVmEC  0PE
Força EnergiaTαVX; a0
CGS
SI ou MKS
Unidades
Sistema
m
cm
sm /
scm/
²/ sm
²/ scm
s
s
newton
dyna
joule
ergs
5
Pag. 39 apostila
a) a constante elástica equivalente das molas 1 e 2
b) O período e frequência das oscilações
a) a constante elástica equivalente das molas 1 e 2
b) O período e frequência das oscilações
6
OSCILACÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO
(continuação)
PÊNDULO SIMPLES (GALILEU) ou MATEMÁTICO
Sistema ideal formado por uma partícula P 
suspensa por um fio leve, flexível e inextensível, 
oscilando sob ação de seu peso em um plano 
vertical. Para pequenas amplitudes () o pêndulo 
simples excuta um MHS.
Para pequenas amplitudes o período (T) e a 
pulsação (W) do pendulo é:
g
L.2T 
L
gW 
Exercício
1) Um pêndulo de 109cm de comprimento é solto com uma pequena 
amplitude inicial (a = 6 cm) em um local que g = 9,81m/s². Determine:
a) seu período b) sua pulsação
c) a equação horária da elongação a partir do momento em que 
ele é solto.
d) A posição do pêndulo em t = (/3) s.
Exercício
2) Um relógio de pêndulo é ajustado para funcionar corretamente 
na cidade de Santos (g = 9,7896m/s²). Se o mesmo for levado para 
cidade de são Paulo (g =9,7873m/s²) e não for feito novo ajuste 
ocorra atraso ou adiantamento? De quantos segundos em um dia? 
Exercício 22 – apostila pag. 44
3) Um certo relógio de pêndulo tem marcha correta em local A onde 
g = 980,0 cm/s². Em local B, ele atrasa 10 s por dia. Determinar a 
gravidade g’ em B.
PÊNDULO COMPOSTO (HUYGHENS) ou FÍSICO
É sólido que oscila em torno de um eixo 
horizontal fixo, sob ação de seu peso 
Para estudo do pendulo composto há
necessidade do conhecimento do centro de 
massa (G) e do momento de inércia (J) do 
sólido
7
CENTRO DE MASSA (CM ou G)
É o ponto onde teoricamente toda a massa do corpo está concentrada. 
O CM de um corpo homogêneo esta no seu geométrico.
O CM varias massa distribuídas é dado por:


1
.
m
xm
d iiCM
Exemplo: Duas esferas homogêneas de massa 
m1 =100g e m2 = 300g formam soldados uma 
haste de peso desprezível. Sendo a distância 
entre os centro das esfera d= 20cm determine 
o centro de massa do sistema em relação o 
ponto O que o centro geométrico do sistema


1
.
m
xm
d iiCM
21
2211 ..
mm
dmdm


d1 = -10cm d2 = +10cm
 

300100
10.300)10.(100 5cm
CM
º
Exercício: Determine o centro de massa do sistema do exemplo 
anterior em relação o ponto O que o centro geométrico do sistema 
considerando que a barra possua 100g de massa 
MOMENTO DE INÉRCIA (J)
Momento de inércia mede a distribuição da massa de um corpo em 
torno de um eixo de rotação. Quanto maior for o momento de inércia 
de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar. 
².rmJ 
No caso de várias massas distribuídas  ².rmJ
Exemplo: No esquema anexo a barra AB é leve; as 
esferas A e B são consideradas partículas cujas massas 
são M (em A) e 2M (em B). O ponto de suspensão é S 
(SA = 0,5m). Determinar o momento de inércia do 
sistema em relação ao ponto S. Dado M = 1kg
 ².rmJ ².². BBAA rmrm 
²1.2²5,0.1 J ².25,2 mkgJ 
8
O Momento de inércia de uma barra prismática fina e homogênea é
dado por: 

2
1
²
x
xB
dmxJ
 densidade linear de massa

m

Exercício: Considere que a barra acima tenha massa de 300g e a = 
50cm e b = 100cm. Determine:
a) o centro de massa da barra. 
b) a densidade linear de massa da barra
c) o momento de inércia em relação ao ponto O.
d) o raio de giração em relação ao ponto O.
raio de giração K (rK) corresponde à distância do eixo na qual 
devemos concentrar toda a massa para obtermos o mesmo momento 
de inércia
2. KrmJ  m
JrK 
PÊNDULO COMPOSTO (HUYGHENS) ou FÍSICO
É um sólido que oscila em torno de um eixo 
horizontal fixo, sob ação de seu peso 
No pêndulo composto temos:
 ...
J
dgm

Pulsação (W) e período (T)
J
dgmW .. dgm
JT
..
.2
TW 2
Aceleração angular ou equação diferencial das 
oscilação )(
m massa do pêndulo
g gravidade
d distância do centro de massa ou 
ponto de suspensão
amplitude angular
J momento de inércia do pêndulo
9
EXERCÍCIOS – PAG 44 APOSTILA
O esquema anexo representa um pêndulo composto. A 
barra AB é leve; as esferas A e B são consideradas 
partículas cujas massas são M (em A) e 2M (em B). O 
ponto de suspensão é S (SA=0,5m). Formando com a 
vertical um ângulo  = 0,1 rad, o pêndulo é abandonado 
em repouso. Desprezar dissipação. Pedem-se:
a) centro de massa sistema; 
b) momento de inércia do sistema; 
c) o raio de giração do sistema
d) equação diferencial das oscilações; 
e) pulsação c e período T
f) equação horária  = (t)
EXERCÍCIOS 2 (modificado) – PAG 49 APOSTILA