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Geometria Analítica 
Prof. Ednei Pires 
Contato: ednei.agro@hotmail.com / (77) 9103-3807 
Vitória da Conquista - Bahia 
Aula 01 
Ementa 
Álgebra Vetorial: Produto Escalar, Vetorial e 
Misto. 
Geometria Analítica: Estudo da reta e do plano 
no espaço tridimensional; coordenadas polares; 
estudo das cônicas. 
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Bibliografia Básica: 
LEITHOLD, Louis. O cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 1994. 
SWOKOWSKI, Earl William, Cálculo com Geometria analítica. 2. Ed. – São Paulo: MAKRON 
BOOKS, [1994]. 2V 
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. V. 7 São Paulo: Atual, 1981. 
BOULOS, Paulo; CAMARGO E OLIVEIRA, Ivan de. Geometria analítica: Um tratamento 
vetorial. 2. Ed. – São Paulo: McGraw-Hill, c1987. 
THOMAS, George Brinton,; FINNEY, Ross L.. Cálculo e geometria analítica. Rio de Janeiro: 
LTC, c1989. 4 v. 
Bibliografia complementar: 
LEHMANN, Charles H.. Geometria analítica. 9. Ed. – São Paulo: Globo, 1998. 
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 2000. 
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear. São Paulo: Harper e Row de Brasil, 1978. 
Steinbruch, Alfredo.; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2 ed. - . São Paulo: McGraw – Hiil, 
c1987 
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Bibliografia 
Objetivos 
Objetivo Geral: 
Utilizar a Geometria Analítica como instrumento de investigação para 
entender, interpretar e resolver objetivamente situações problemas. 
Objetivos Específicos: 
Desenvolver conceitos básicos, procurando solucionar problemas; 
Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; 
Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático). 
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Metodologia 
 O conteúdo programático será desenvolvido por meio de 
aulas expositivas, com o uso de quadro, pincel e data-show. 
 
 Serão aplicados exercícios a serem resolvidos em classe e 
extra classe, individual e em grupos, bem como aplicação dos 
conteúdos estudados. 
 
 Parte do conteúdo pode ser solicitado via seminário temático 
ou análise de artigos científicos o qual será apresentado em 
grupo ou individual e discutido com o professor e alunos em 
sala. 
Planejamento Avaliativo 
Avaliação 01 – 40 pontos 
Trabalho 01 – 10 pontos 
Avaliação 02 – 40 pontos 
Trabalho 02 – 10 pontos. 
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Por que estudar Geometria 
Analítica em Engenharia 
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 Ramos da Matemática 
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O que é Álgebra Linear 
 É o ramo da matemática que faz o estudo detalhado 
de sistemas de equações lineares, sejam elas 
algébricas ou diferenciais. 
 
 A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e 
estruturas fundamentais da matemática como vetores, 
espaços vetoriais, transformações lineares, sistema de 
equações lineares e matrizes. 
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Álgebra Linear 
Testando: Determine o valor de x na Equação Algébrica: 
𝒂 = 
𝒂𝒙 + 𝒂𝒕𝒆
𝒎𝒐
 
Resposta = 
 
Amo-te 
 
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 Definição: Geometria Analítica 
Ramo da matemática que une Aritmética, a 
álgebra e a geometria em uma só técnica. 
Permitindo o estudo de figuras utilizando a 
interpretação geométrica das relações algébricas 
e vice-versa. 
Exemplo: representar uma figura 2d ou 3d por uma equação 
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Aplicação de GAAL na 
Engenharia Civil 
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Aplicação de GAAL na E.C 
Estrutura metálica 
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Aplicação de GAAL na E.C 
Guindaste 
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Aplicação de GAAL na E.C 
Fundações 
Estrutura responsável por transmitir ao 
solo, as cargas provenientes da 
edificação; 
Considerações sobre G.A 
Lançamento da obra: “O discurso do método” – René 
Descartes, 1637. Em um dos apêndices dessa obra esta a 
publicação: “La Géométrie”. 
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Pierre de Fermat (1601 – 1665) relacionou equações que 
representavam curvas matemáticas em um plano. 
Considerações sobre G.A 
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Geometria Analítica: Ramo da matemática que une 
Aritmética, a álgebra e a geometria em uma só técnica. 
Permitindo o estudo de figuras utilizando a 
interpretação geométrica das relações algébricas e vice-
versa. 
Exemplo: representar uma figura 2d ou 3d por uma equação 
Vetores 
 - Tratamento geométrico 
Tratamento geométrico 
• Existem dois tipos de Grandezas: 
• Escalar – definida por um número real 
acompanhado de uma unidade. 
– Exemplos: comprimento, área, volume, massa, 
densidade... 
• Vetorial – para serem caracterizadas necessita-se 
conhecer seu módulo (ou comprimento ou 
intensidade), sua direção e seu sentido. 
– Exemplos: força, velocidade e aceleração... 
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Ideia de direção e Sentido 
r1 
r3 
r2 
A B 
A reta r1 determina uma direção. 
A reta r2 outra direção diferente de r1 
A reta r3 possui a mesma direção de r1 
Conclui-se que retas paralelas possui 
a mesma direção. 
Fig. a Fig. b 
A Direção é definida pela reta que 
passa pelos pontos A e B; 
O deslocamento pode ser no sentido A 
para B ou sentido contrário. 
Portanto para uma direção, associa-se: 
sentido iguais ou sentidos contrários 
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Representação de um vetor 
• Vetor é representado por um segmento orientado ( v ). 
– Um segmento orientado - nele se escolhe um sentido de percurso, 
considerando positivo. 
– Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, 
mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são 
representantes de um mesmo vetor. 
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Pode ser representado por: 
AB, B – A ou v . Onde A é a origem 
e B a extremidade do segmento. 
Considerações sobre Vetores 
Considera-se v = AB 
 logo v é determinado pelo o vetor orientado AB ou 
por outro segmento com mesmo comprimento, 
direção e sentido de AB. 
Assim, um vetor pode ter 
sua origem em qualquer 
ponto e por isso é 
chamado Vetor livre. 
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Considerações sobre Vetores 
Dados um v = AB e um ponto P, existe um só 
ponto Q tal que o segmento orientado PQ tem o 
mesmo sentido de AB. Logo temos v = PQ 
O módulo a direção e o sentido 
do vetor v é igual qualquer de 
seus representantes. Indica-se: 
módulo de v por |v| ou ||v|| 
O módulo a direção e o sentido 
do vetor v é igual qualquer de 
seus representantes. Indica-se: 
módulo de v por |v| ou ||v|| 
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Casos particulares de vetores 
a) Dois vetores u e v são paralelos, e indica-se por u // v, 
se os seus representantes tiverem a mesma direção. 
observe: u // v // w, onde u e v têm o mesmo sentido, 
enquanto u e v, têm sentido contrário a w. 
b) Dois vetores u e v 
são iguais, e indica-
se u = v se tiverem 
iguais módulo a 
direção e o sentido 
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c) Qualquer ponto no espaço é representante do vetor zero 
(ou vetor nulo), que é indicado por 0 ou AA (a origem 
coincide com a extremidade). Pelo fato deste vetor não 
possuir direção e sentido
definido, considera se 0 paralelo a 
qualquer vetor. 
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d) A cada vetor não-nulo v 
corresponde o vetor oposto –v, de 
mesmo módulo, mesma direção, 
porém de sentido contrário. 
Se V = AB, logo BA = - AB 
Casos particulares de vetores 
e) Um vetor é unitário se |u| = 1. A cada vetor v, v ≠ 0, é 
possível associar dois vetores unitários de mesma 
direção de v : u e -u . Na figura, tem-se |v| = 3 e |u| = 
|-u| = 1 o vetor u tem o mesmo sentido de v e é 
chamado versor v. 
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Na verdade o vetor u não é 
versor só de v, mas sim de 
todos vetores paralelos e de 
mesmo sentido de v e 
medidos com a mesma 
unidade. 
Na verdade o vetor u não é 
versor só de v, mas sim de 
todos vetores paralelos e de 
mesmo sentido de v e 
medidos com a mesma 
unidade. 
Casos particulares de vetores 
f) Dois vetores u e v são ortogonais, e indica-se por u v se 
algum representante u formar ângulo reto com v. (fig. a). 
 A figura b, apresenta dois 
representantes de u e v, 
com origem no ponto A, 
formando ângulo reto. 
Considera-se o vetor zero 
ortogonal a qualquer vetor. 
 
 A figura b, apresenta dois 
representantes de u e v, 
com origem no ponto A, 
formando ângulo reto. 
Considera-se o vetor zero 
ortogonal a qualquer vetor. 
 
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Casos particulares de vetores 
g) Dois vetores são coplanares se existir algum plano onde 
estes estão representados. Vetores u e v são sempre 
coplanares uma vez que se considera o ponto P no espaço 
e, com origem nele, traça-se dois representares de u e v 
pertencendo ao plano π e que passa por aquele ponto. 
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Casos particulares de vetores 
No caso de u e v serem não paralelos como nesta figura, estes 
vetores determinam a “direção” do plano π, que é a mesma 
de todos os planos que lhes são paralelos. 
No caso de u e v serem não paralelos como nesta figura, estes 
vetores determinam a “direção” do plano π, que é a mesma 
de todos os planos que lhes são paralelos. 
Três vetores podem ser coplanares (fig. a) ou não (fig. b) 
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Casos particulares de vetores 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruentes. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
Prof. Ednei
Pires – Contato: (77) 9103-3807 
Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
x 
Exemplos 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados 
congruente. Analise e marque com um x as 
proposições verdadeiras. 
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x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
Obs. O módulo de um vetor é igual o comprimento de qualquer um de seus representantes. 
Atividade 
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1. Represente geometricamente dois vetores u e v que possuem: 
a) Apenas a mesma direção 
b) Apenas a mesma direção e sentido 
c) Apenas a mesma direção e comprimento 
d) Opostos 
v 
u 
v 
u 
v 
u 
-u 
 u 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
x 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
x 
x 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
x 
x 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
x 
x 
x 
Exemplos 
2. A figura ao lado 
representa um 
paralelepípedo 
retângulo. Analise-a e 
marque com um x o 
que for falso: 
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AB = EF 
CB = GF 
FG = BC 
x 
x 
x 
x 
x 
Operações com Vetores 
 - Adição de vetores 
 - Multiplicação de número real por vetor 
 - Ângulo de dois vetores 
Adição de Vetores 
• Considere os vetores u e v, onde a soma de u + v deseja-se 
encontrar. Dado os segmentos A, B e C Traça-se um segmento 
orientado de A a C. (fig. a) 
• u + v = AC ou AB + BC = AC sendo u // v, a maneira de se obter o 
vetor u +v é a mesma. 
• u e v do mesmo sentido (fig. b) e u e v sentidos contrários (fig. c). 
A 
B 
C 
u 
v 
u + v 
fig. a 
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u v 
u + v 
fig. b 
u 
v u + (-v) 
fig. c 
Adição de Vetores 
Vetores não paralelos 
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 No caso u e v não paralelos. Representa-se u = AB e v = AD por 
segmentos orientados de mesma origem A. 
 Completa-se o paralelogramo ABCD e o segmento orientado de 
origem A, que corresponde a diagonal do paralelogramo, é o 
vetor u + v ou seja u + v = AC ou AB + AD + AC 
A B 
C D 
u 
u u + v 
Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição admite 
as seguintes propriedades: 
I. Comutativa: u + v = v + u 
II. Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 
Adição de Vetores 
Soma de três ou mais Vetores 
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• Neste caso o procedimento é análogo (fig. a); 
u + v + w 
u 
v 
w 
Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição admite 
as seguintes propriedades: 
I. Elemento neutro: u + 0 = u 
II. Elemento oposto: u = ( -u ) = 0 
Adição de Vetores 
Soma de três ou mais Vetores 
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• Em particular se a extremidade do representante do último vetor 
coincidir com a origem do representante do primeiro (fig. b), a 
soma será o vetor zero (u + v + w + t = 0) Fig. a 
Fig. b 
Adição de Vetores 
Diferença de Vetores 
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 O vetor u + ( -v ), escreve-se u – v, é chamado diferença entre u 
e v. Observe que no paralelogramo determinado por u e v é 
possível verificar que a soma de u + v é representada por uma 
das diagonais, enquanto a diferença u – v pela outra diagonal. 
u – v 
 u + v 
Exemplo: Ache a soma dos vetores representados na figura: 
a) b) 
Resolução: Cada flecha parte da origem da flecha anterior, a 
soma será representada, em ambos os casos, pela flecha que 
vai de a , ou seja, a soma é o vetor . A B B A
E
D
C
B
A
A
B
C
D
Exemplificando 
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Praticando 
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1. Com base na figura determine os vetores, expressando-os com 
origem no ponto A: 
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1. Com base na figura determine os vetores, expressando-os com 
origem no ponto A: 
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origem no ponto A: 
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origem no ponto A: 
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origem no ponto A: 
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origem no ponto A: 
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origem no ponto A: 
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origem no ponto A: 
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origem no ponto A: 
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2. Analise a figura abaixo e determine os vetores, expressando-
os com origem no ponto A: 
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2. Analise a figura abaixo e determine os vetores, expressando-
os com origem no ponto A: 
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os com origem no ponto A: 
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os com origem no ponto A: 
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os com origem no ponto A: 
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os com origem no ponto A: 
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os com origem no ponto A: 
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os com origem no ponto A: 
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os com origem no ponto A: 
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os com origem no ponto A: 
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3. Dados dois vetores u e v não-paralelos formando ângulo de 90º , 
construir no mesmo gráfico os vetores u + v, u – v, v – u e - u – v, 
todos com origem em um mesmo ponto. 
 Qual a soma dos vetores indicados na figura? 
Resolução: A soma é , pois a “flecha” que “fecha o polígono” 
tem origem e ponta coincidentes: 
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0B A C B D C E D A E

         
Observação: Se cada flecha começa na ponta anterior e o 
“polígono” já é fechado, então a soma é . 0
A
C
B
D
E
Exemplificando 
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Multiplicação de um número real por um vetor 
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 Dado um vetor v ≠ 0 e um número real α ≠ 0, chama-se 
produto do número real α pelo vetor v, o vetor αv tal que: 
a) Módulo: |αv| = |α| . |v|, isto é, o comprimento de αv é igual ao 
comprimento de v multiplicado por |α|; 
b) A direção: αv é paralelo au vetor v; 
c) Sentido: αv e v tem o mesmo sentido se α > 0 , e contrário se α < 0. 
Se α = 0 ou v = 0, então v e α v = 0 . 
Veja v e alguns de seus múltiplos 
na figura ao lado. 
 Os vetores , , estão representados na figura. u v w
Represente o vetor por uma flecha de 
origem . O
2 3
2
w
x u v   
u
v
w
Resolução: 
.
O
.
O
Exemplificando 
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Multiplicação de um número real por um vetor 
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• Considerando u // v, v ≠ 0, sempre existe um número 
real α tal que que u = αv. Na figura DC está dividido 
em 5 cinco segmentos congruentes, em relação ao 
vetor AB (|AB| = 2), tem-se: 
 
Multiplicação de um número real por um vetor 
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• Sabe-se que cada vetor v, v ≠ 0, é possível associar 
dois vetores unitários paralelos a v. o vetor unitário 
 de mesmo sentido de v é o versor de v 
 
 
• Veja: 
 
Obs. Vetor unitário é aquele que seu módulo é igual a 1. |v| = 1 . E todo versor é um 
vetor unitário 
Multiplicação de um número real por um vetor 
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Se u e v são vetores quaisquer e α e β números reais, a 
multiplicação de número real por vetor admite as seguintes 
propriedades: 
I ( αβ ) v = α ( βv ) 
 II ( α + β ) v = αv + βv 
 III α ( u +v ) = α u + αv 
 IV 1v = v 
Observe na figura a propriedade III, para α = 2 
Representados os vetores u, v e w como na figura, obter 
graficamente o vetor x tal que -2u = -x – 3v + ½ w 
Multiplicação de um número real por um vetor 
 Exemplificando: 
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Demonstre por meio das propriedades que o segmento, 
cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um 
triângulo, é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade:
Multiplicação de um número real por um vetor 
 Exemplificando: 
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Solução: 
Seja o triângulo ABC e M e N os pontos médios dos lados 
CA e CB, respectivamente. 
Analisando a figura temos que: 
 
MN = MC + CN 
MN = ½ AC + ½ CB 
MN = ½ ( AC + CB ) 
MN = ½ AB 
Se dois vetores são 
iguais eles também 
são paralelos 
Ângulo de Dois Vetores 
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O ângulo entre os vetores não-nulos u e v é o 
ângulo θ formado por duas semi-retas OA e OB 
de mesma origem 0. 
Onde u = OA, v = OB e 0 ≤ θ ≤ π (θ em 
radianos) ou 0º ≤ θ ≤ 180º 
Se u//v e u e v têm o mesmo sentido, 
então θ = 0. 
É o que ocorre, por exemplo, com os 
vetores u e 2u que têm o mesmo sentido (a) 
1. Dados os vetores u, v e w determine: 
a) Ângulo entre os vetores -3 v e w 
b) Ângulo entre os vetores -2u e -w 
Praticando 
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75° 
60° 
Praticando 
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2. Sabendo que o ângulo entre dois vetores u e v é 
de 60° determine o ângulo formado: 
a) u e –v 
b) -2 u e 2 v 
c) -u e –v 
d) 3u e 5v u 
v