Notas de Aula Robôs Industriais Ettore A. Barros 20180318

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Cinemática Direta de Manipuladores.pdf
Controle de Movimento do Manipulador.pdf
Exercício de Estática 2017.pptx
Exercício de Estática
ligamento
ai
αi
di
ϴi
1
0
-90o
0,4
ϴ1
2
0
90o
0
ϴ2
3
0
0
0,1
ϴ3
A- Pede-se o Jacobiano de Velocidades do Ponto A
b-Dados:
; ϴ1=90o, ϴ2=45o e ϴ3=0o 
Pede-se
Solução:
ESFORÇOS DA SUPERFÍCIE NA PONTA DA FERRAMENTA:
c-Dada a Medida no Conjunto de Células de Carga
calcule
8
Solução: Considere o conjunto como uma “junta ”, que produz movimento nos 6 graus de liberdade: 3 de translação segundo os eixos do sistema 3 e 3 de rotação ao redor dos mesmos eixos.
Em seguida, convertemos os esforços para o referencial da Base:
Lista 2.pdf
Ettore Barros
Text Box
Lista 3 Parte A.pdf
Lista 3 Parte B.pdf
LISTA 3 - PARTE 2 
 
 
 
5. Considere o problema de controle decentralizado de um manipulador, com ligamentos constituídos por 
cilindros homogêneos. Admita os parâmetros do motor elétrico que julgar necessários. Adita também um 
controlador PI com realimentação de posição. Seja “r” a razão de redução entre a velocidade angular na 
saída do eixo do motor e a velocidade angular do ligamento. 
 
 
6ª. Questão Considere a malha de controle de posição angular de uma junta de um manipulador. Considere 
um sistema de controle decentralizado com realimentação de posição e velocidade, utilizando ações de 
controle em cascata: proporcional (ganho KP) sobre o erro de posição e proporcional integral (ganho KV e 
constante de tempo TV) sobre o erro de velocidade. As realimentações são unitárias (unidades S.I.). O 
modelo simplificado da planta, relacionando a tensão de armadura e velocidade angular do eixo motor é 
representado por um sistema de primeira ordem, de ganho d.c. Km e constante de tempo Tm. Como entradas 
na planta, além da ação de controle descrita, tem-se a saída da compensação em avanço, representada pela 
função de transferência F(s), cuja entrada é representada pela tensão de referência VѲ(s), e a perturbação 
D(s), que inclui também erros de modelagem. Pede-se: 
a) Desenhe o diagrama de blocos e determine a relação entre Ѳ(s), VѲ(s) e D(s) para o sistema em 
malha fechada; 
 
b) Determine os coeficientes do polinômio de segunda ordem F(s), em função dos parâmetros da 
planta e do controlador, de forma a anular o erro para um sinal de referência contínuo genérico, 
supondo-se ausência de perturbação; 
c) Admitindo TV=Tm, determine os ganhos KP e KV de forma a obter fator de rejeição da perturbação 
igual a 20 e constante de tempo de recuperação igual a 0,1s (2 pts). 
 
Dados: Momento de inércia do ligamento em relação ao eixo motor “J” igual a 10Kgm2, razão de redução 
igual a 200, constante de força contra-eletromotriz kE= 0,5Vs/rad, constante de torque kt=0,5 Nm/A e 
resistência de armadura Ra igual a 10 Ohms. 
 
Lista de Exercícios 1.pdf
PMR 2560- LISTA 1 
 
Observação: Os exercícios 1 e 2 podem ser encontrados no livro de Fu e Gonzales (uma das 
nossas referências). No exercício 1, o lado menor do paralelepípedo na base vale 3 
polegadas e o maior 3,5. A hipotenusa do prisma vale 5 polegadas e a altura 4 polegadas. 
Outra opção é você adotar parâmetros “a”, “b”, etc. para essas dimensões. 
 
 
a) Como você acha que são obtidas as dimensões medidas numa mesa de coordenadas? 
b) Encontre os parâmetros de Denavit-Hartenberg e as matrizes de transformação homogênea para a mesa de coordenadas 
c) Os 2 últimos graus de liberdade são realmente necessários para a mesa de coordenadas? Justifique. 
d) Encontre a matriz Jacobiano 
e) Sem necessidade de se calcular o determinante do Jacobiano, você acha que existe alguma configuração singular? Em caso 
afirmativo, indique-a. 
f) Como se pode obter os erros de medição de uma mesa de coordenadas a partir dos erros de posicionamento das juntas? 
Utilizando uma aproximação de primeira ordem, obtenha as expressões dos erros de posição da ponta de prova a partir dos 
erros de posicionamento das juntas. 
 
 
 
Calcule o Jacobiano de velocidades lineares e angulares e indique configurações singulares. 
6ª. Questão. Deseja-se que o efetuador de um manipulador se mova da condição A para a condição B, 
descritas em relação à base, conforme as matrizes abaixo. Considerando só a mudança de orientação 
desejada, utilize os parâmetros de Euler para escolher qual deve ser o vetor n em torno do qual se deve 
girar o efetuador, e qual o valor desse ângulo. Desenhe os sistemas de coordenadas correspondentes. 
 
Modelagem Dinâmica do Manipulador de 2GL.pptx
MANIPULADOR
2GL
TRANSLAÇÃO DOS CENTROS DE MASSA DOS LIGAMENTOS:
JACOBIANOS DE TRANSLAÇÃO:
ROTAÇÃO:
PARÂMETRO DE INÉRCIA: “h”
3) EFEITO GRAVITACIONAL
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
Notas de Aula Dinâmica.pdf
Ettore Barros
Typewriter
Ettore Barros
Typewriter
-
Quaternions a partir da Matriz de Rotação.pdf
Reapresentação das Figuras da Lista 1.pdf
 PRIMEIRA LISTA REVISÃO FIGURAS 
 
1º. Exercício
 
 
 
 
 
2º. Exercício 
 
 
 
 
Teoria Cap 1.pdf
1- INTRODUÇÃO AOS ROBÔS INDUSTRIAIS 
MODELAGEM GEOMÉTRICA 
 
1.1 Introdução 
 
Um robô industrial é uma máquina com características significativas de versatilidade e 
flexibilidade. De acordo com uma definição do Instituto de Robôs da América, um robô 
é um manipulador re-programável, multifuncional, projetado para mover materiais, 
peças, ferramentas ou dispositivos específicos através de movimentos variáveis e 
programáveis, para o desempenho de uma variedade de tarefas. 
 
Basicamente, um robô é constituído por: 
 
a) Uma Estrutura Mecânica ou Manipulador: 
 
Seqüência de corpos rígidos, denominados “ligamentos” ou membros, 
conectados por articulações, chamadas de “juntas”. 
 
Um manipulador é constituído por um braço (provedor de mobilidade), 
geralmente, um punho (para a destreza), e um efetuador (ferramenta de trabalho 
do robô). O tipo de punho que proporciona o maior grau de destreza é formado 
por três juntas de rotação (Fig.1). O efetuador, ligado ao punho, está localizado 
no extremo do manipulador. Este pode ser, por exemplo, uma ferramenta de 
torque, de solda, um eletromagneto, ou uma garra. 
 
 
 Figura 1. Punho Esférico. 
 
b) Atuadores 
 
Colocam o manipulador em movimento através do acionamento das juntas. Os 
tipos de acionamento utilizados são os elétricos, hidráulicos, e, em menor escala, 
os pneumáticos. 
 
c) Sensores 
 
Medem o status interno do robô, tais como posição e velocidade de juntas. 
Ocasionalmente, incluem-se sensores, tais como, câmeras CCD, que fornecem 
informação sobre elementos externos ao manipulador. 
 
d) Sistema de Controle 
 
Possibilita
o planejamento, controle e supervisão do movimento do 
manipulador. 
 
1.2 Estrutura dos Manipuladores 
 
A estrutura mais comum é a cadeia cinemática aberta. Do ponto de vista topológico, 
uma cadeia é aberta quando só há uma seqüência de ligamentos conectando duas 
extremidades (podem incluir juntas ou o efetuador) da cadeia (Fig. 2). 
 
 
 
 
 Figura 2. Cadeia Cinemática Aberta. 
 
Quando a seqüência de ligamentos entre extermidades consideradas forma um laço, 
ou, em geral, quando uma junta se liga a mais de duas juntas (Fig. 3), temos uma 
cadeia cinemática fechada. 
 
 
 Figura 3. Cadeia Cinemática Fechada. 
 
 
1.3 Características das Articulações 
 
A mobilidade do manipulador é assegurada pelas juntas, ou articulações. Estas 
podem ser de dois tipos: 
 
• Prismática, que proporciona a translação do ligamento a ela unido; 
• Revolução, que proporciona a rotação do ligamento a ela unido. 
 
As juntas prismáticas são responsáveis pelos movimentos de translação relativa 
entre dois ligamentos. As juntas de revolução são responsáveis pelo movimento de 
rotação relativa entre dois ligamentos. Em geral, prefere-se as juntas de revolução às 
prismáticas, pelo motivo das primeiras serem mais compactas e confiáveis. 
 
Em cadeias cinemáticas abertas, cada uma dessas articulações proporciona à 
estrutura um único grau de liberdade. Entende-se por grau de liberdade o número de 
variáveis de posição independentes que devem ser especificadas para se localizar 
todas as partes de um mecanismo. Para uma cadeia aberta, já que o movimento de 
cada junta é definido por uma única variável, o número de juntas é igual ao número 
de graus de liberdade. 
 
O manipulador deve propiciar, no mínimo, o número de graus de liberdade 
necessário para a execução de sua tarefa. No caso mais geral, que requer a 
colocação de um objeto numa posição e orientação arbitrárias, necessitamos de 3+3 
= 6 graus de liberdade. Se o número de graus de liberdade que o manipulador 
proporciona ultrapassa o número de graus de liberdade requerido para a execução de 
sua tarefa, dizemos que o mesmo é redundante. 
 
 
1.4 Volume de Trabalho e a Classificação de Manipuladores 
 
O volume de trabalho representa o espaço do ambiente ao redor do manipulador que 
o seu efetuador pode alcançar. A forma e a medida do volume depende da estrutura 
do manipulador bem como das limitações de suas juntas. 
 
A tarefa requerida do braço é posicionar o pulso, o qual vai então orientar o 
efetuador. Para isso, são necessários, para qualquer posição no espaço, no mínimo 3 
graus de liberdade. O tipo e seqüência dos graus de mobilidade do braço, a partir da 
base, permite-nos classificar os manipuladores. Ou seja, estamos interessados em 
configurações básicas dos manipuladores a partir das 3 primeiras articulações. 
 
Com relação ao volume de trabalho, descrevemos a seguir alguns tipos de 
manipuladores. 
 
1.4.1 Robô Cartesiano 
 
Esse tipo de robô possui 3 juntas prismáticas resultando num movimento composto 
de 3 translações, cujos eixos de movimento são coincidentes com um sistema de 
coordenadas de referência cartesiano. O volume de trabalho é um paralelepípedo 
(Fig. 4). Tal estrutura cartesiana proporciona um bom grau de rigidez mecânica e 
exatidão de posicionamento constante em qualquer ponto do volume de trabalho. 
Por outro lado, devido à exclusividade das juntas prismáticas, tal estrutura possui 
um baixo grau de destreza. 
 
 Figura 4. Manipulador Cartesiano. 
 
1.4.2 Robô Cilíndrico 
 
Esse tipo de manipulador possui 2 articulações prismáticas e uma de rotação. Esta 
última substitui a primeira junta prismática do manipulador cartesiano. O grau de 
exatidão no posicionamento decai conforme o alcance do braço aumenta. O volume 
de trabalho é um cilindro vazado (Fig.5). 
 
 
 Figura 5. Manipulador Cilíndrico. 
 
 
1.4.3 Robô Esférico 
 
Os eixos de movimento formam um sistema de referência polar, através de 1 junta 
prismática e 2 juntas de rotação. Tomando o manipulador cilíndrico como 
referência, substitui-se a primeira junta prismática, a partir da base, por uma junta 
de rotação. A rigidez mecânica é inferior comparativamente aos dois casos 
anteriores. A exatidão de posicionamento é inversamente proporcional ao alcance 
radial da extremidade do braço. O volume de trabalho gerado é, aproximadamente, 
uma esfera (Fig.6). 
 
 
 Figura 6. Manipulador Esférico. 
 
1.4.4 Robô SCARA (“Selective Compliance Assembly Robot”) 
 
Possui 2 juntas de rotação, cujos eixos são paralelos, para se movimentar o 
efetuador num plano, e uma terceira junta, prismática, perpendicular a esse plano. 
Ele é muito usado em tarefas de montagem de componentes de pequenas dimensões, 
como placas de circuitos eletrônicos. O volume de trabalho é aproximadamente 
cilíndrico (Fig.7). 
 
 
 Figura 7. Robô SCARA. 
 
1.4.5 Robô Articulado ou Antropomórfico 
 
Nesta configuração, existem pelo menos 3 juntas de rotação. O eixo de rotação da 
junta da base é perpendicular aos eixos das outras 2 juntas, que são paralelas entre 
si. Esta configuração apresenta maior mobilidade, entre todas as outras empregadas. 
O seu volume de trabalho é complexo, uma porção de esfera (Fig. 8). A rigidez 
depende da posição no volume de trabalho. 
 
 
 Figura 8. Manipulador Antropomórfico. 
Teoria Cap2 Parte1.pdf
2-TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS: 
PARÂMETROS DE REPRESENTAÇÃO 
 
2.1 Cossenos Diretores e a Matriz de Rotação 
 
Sejam dois sistemas cartesianos, um de referência, e outro fixo num corpo rígido, 
definidos pelos sistemas ),,( kji
���
e ),,( btn
���
, respectivamente, que são sistemas 
ortonormais positivos. Interessa-nos exprimir as coordenadas a relação entre os dois 
sistemas de coordenadas correspondentes (Fig. 2.1), ou seja, ),,( zyx e ),,( bbb zyx . 
 
 
O
x
y
z
Corpo rígido
x
yz
O'
n
b
t
b
bb
 
 
 Figura 2.1. Relação entre 2 os sistemas “inercial” e fixo no corpo rígido. 
 
Podemos expressar os versores do sistema fixo no corpo em função dos versores do sistema 
inercial: 
 
kbjbibb
ktjtitt
knjninn
�������
�������
�������
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
zyx
zyx
zyx
++=
++=
++=
 
Ou seja, na forma matricial, temos: 
 












=










=










=
),cos(
),cos(
),cos(
),cos(
),cos(
),cos(
),cos(
),cos(
),cos(
z
y
x
z
y
x
z
y
x
b
b
b
b e 
t
t
t
t , 
n
n
n
 n 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
 
Cada um desses vetores é uma das colunas da matriz de rotação, que transforma as 
coordenadas medidas no sistema fixo no corpo, nas coordenadas do sistema de referência: 
 [ ]b,t,nR ���=
 
Ou seja, 
 












=
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
zzz
yyy
xxx
R
b t n
 b t n
b t n
���
���
���
 
 
Uma propriedade importante é a ortogonalidade da matriz de rotação: 
 










==
























=






















=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 RR 
b.k b.j b.i
 t.k t.j t.i
 n.k n.j n.i
 b.k t.k n.k
 b.j t.j n.j
 b.i t.i n.i
 
b b b 
 t t t 
n n n 
b t n 
 b t n 
b t n 
RR
T
T
������
������
������
������
������
������
���
���
���
���
���
���
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
zyx
zyx
zyx
zzz
yyy
xxx
 
 
Esse resultado nos mostra que, apesar de 9 parâmetros serem usados para relacionar os 2 
sistemas de coordenadas, a ortogonalidade da matriz de rotação implica em 6 relações 
necessárias entre os versores ),,( kji
���
 ou ),,( btn
���
, correspondente aos produtos escalares 
entre os mesmos. Isto sugere que somente 3 parâmetros independentes poderiam ser 
suficientes para definir a matriz de rotação, o que é uma das motivações para as outras 
representações de transformação entre sistemas de coordenadas apresentadas nas próximas 
seções. 
 
Sendo conhecida a velocidade angular do corpo rígido em relação ao sistema de referência, 
a variação da matriz de cossenos diretores com o tempo pode ser facilmente calculada. Para 
justificar tal afirmação, basta considerar a derivada de um vetor arbitrário, que, de antemão 
impomos que seja constante: 
 
 
0XRXR 0'X constante é =+⇒=⇒
=
���
'
'
X
RXX
 
 
Por outro lado, um resultado conhecido da mecânica, o qual relaciona a derivada absoluta 
de um vetor com a sua variação num sistema móvel, implica em: 
 
 
XXXX
dt
Xd
×Ω−=⇒=×Ω+=′
�
�
�
� 0
 
Onde, Ω
�
 representa o vetor velocidade angular do referencial móvel (velocidade angular 
de “arrastamento”) expresso no sistema solidário ao corpo rígido: 
 
 kji bzbybx
����
ωωω ++=Ω 
 
Das 2 relações anteriores, temos: 
 
 
XRXRXRXR Ω=⇒=×Ω− �
��
� 0
 
 
Note que, na última passagem, para representar o produto vetorial do vetor velocidade 
angular por outro vetor qualquer, definimos Ω na forma matricial: 










−
−
−
=Ω
0
0
0
bxby
bxby
bybz
ωω
ωω
ωω
 
 
Como o vetor “X” é arbitrário, chegamos ao resultado: 
 
 
Ω= RR�
 
 
2.2- Ângulos de Euler 
 
Na representação utilizando os cossenos diretores, as 6 equações originárias das condições 
de ortonormalidade, nos dizem que os 9 elementos da matriz de rotação não são 
independentes. A utilização dos 3 ângulos de Euler, que também podem servir como 
coordenadas generalizadas na formulação Lagrangeana, fornece a representação mínima. 
 
Uma determinada configuração de eixos cartesianos pode ser obtida a partir de uma 
seqüência de 3 rotações aplicada na configuração original. Cada rotação é realizada em 
torno de um dos eixos do sistema cartesiano. Duas rotações seguidas não podem ser 
realizadas em torno do mesmo eixo. Com esta limitação, temos 12 possibilidades para a 
seqüência de rotações: “xyx”, “xzx”, “xyz”, “xzy”, “yxy”, “yxz”, “yzy”, “yzx”, “zxz”, 
“zxy”, “zyx”, “zyz”. 
 
Escolheremos uma dessas seqüências para construir a matriz de rotação, “zyx”. Esta é 
utilizada na aeronáutica, onde os ângulos de Euler definem os movimentos de “Yaw”, 
“Pitch” e “Roll”. Consideramos positivas as rotações no sentido anti-horário. 
 
Partindo-se do sistema X, Y, Z, fixo na terra, e orientado conforme a figura 1, o sistema 
móvel realiza a seqüência: 
 Z 
 
 
 Y 
 
 
 
 
 X 
 Figura 2.2. Sistema de Referência, fixo na terra (considerado inercial). 
 
1) Rotação em torno de “Z”: X, Y, Z ⇒ x’, y’, z’ (= Z) 
 y’ 
 ψψψψ 
 Z Y 
 
Z'z
cosYXsen'y
YsencosX'x
=
+−=
+=
ψψ
ψψ
 
 
 X x’ 
 Figura 2.3 Movimento de “Yaw”. 
 
2) Rotação em torno de y’: x’,y’, z’ ⇒ x”, y” (=y’), z”. 
 
 Φ
�
�
 
 Ψ
�
�
 
 z’ θθθθ 
z” 
θθ
θθ
cos'zsen'x"z
'y"y
sen'zcos'x"x
+=
=
−=
 
 
 x’ x” 
Figura 2.4. Movimento de “Pitch”. 
3) Rotação em torno de x”: x” , y”, z” ⇒ x (= x”), y, z. 
 y” 
 y 
 φ 
φφ
φφ
cos"zsen"yz
sen"zcos"yy
"xx
+−=
+=
=
 
 
 z” θcosΨ
�
�
 
 
 
 z Θ
�
�
 
Figura 2.5. Movimento de “Roll”. 
 
As relações entre os sistemas de coordenada sucessivos, expostas nas figuras 2, 3 e 4, na 
forma matricial ficam: 
 




















−=










′
′
′
Z
Y
X
sen
sen
z
y
x
100
0cos
0cos
 
 
 
ψψ
ψψ
; 










′
′
′









 −
=










′′
′′
′′
z
y
x
sen
sen
z
y
x
 
 
 
θθ
θθ
cos0
010
0cos
;










′′
′′
′′










−
=










z
y
x
sen
sen
z
y
x
 
 
 
φφ
φφ
cos0
cos0
001
 
 
Utilizando a composição de rotações, a matriz de rotação que relaciona o sistema original e 
o atual fica: 
 










=










=










Z
Y
X
R
Z
Y
X
RRR
z
y
x
x'x
'x
"x
"x
x
00
 
 
em termos dos ângulos de Euler, a matriz final de rotação, que é obtida pela multiplicação 
das anteriores. Ou seja, relação entre as coordenadas do sistema original (fixo) e o sistema 
de coordenadas solidário ao corpo rígido (móvel) resulta do produto entre as matrizes na 
ordem correspondente à seqüência de rotações definidas acima: 
 
 
 




















−+
+−
−
=










Z
Y
X
coscos)cossenφcos( senψ sen)cossencossen(sen
sencos)sensensencos(cos)cossensensen(cos
sencossencoscos
z
y
x
θφψφφθψφψ
φθθψφφψφψφθψ
θθψθψ
 
 
 
 
 
 
 
Note que esta, sendo a matriz de rotação, possui a propriedade de ortogonalidade 
demonstrada anteriormente, o que facilita o cálculo de sua inversa. Uma vez conhecida a 
matriz de rotação num instante qualquer, sua evolução no tempo pode ser determinada 
conhecendo-se a velocidade angular do referencial móvel. 
 
As derivadas dos ângulos de Euler são representadas nos diagramas anteriores , através dos 
vetores ΘΨ
�
�
�
�
, e Φ
�
�
. Podemos determinar estes vetores a cada instante, a partir dos valores da 
velocidade de arrastamento do referencial móvel expressa nos eixos deste mesmo 
referencial. Ou seja, suponha conhecidos (através de sensores inerciais, por exemplo) os 
valores de yx ωω , e zω , que são as componentes da velocidade angular do referencial 
móvel nos eixos x, y e z deste mesmo referencial. As relações entre estas e as derivadas dos 
ângulos de Euler podem ser deduzidas a partir das figuras 2.3, 2.4 e 2.5, onde os vetores 
ΘΨ
�
�
�
�
, e Φ
�
� são representados. Podemos escrever, portanto: 
 
φθφω
φθφω
θω
coscossen
sencoscos
senx
z
y
Ψ+Θ−=
Ψ+Θ=
Ψ−Φ=
��
��
��
 
 
Isolando-se ΘΨ
�
�
�
�
, e Φ
�
� , e colocando na forma matricial , temos: 
 
 




















=












Ψ
Θ
Φ
z
y
x
ω
ω
ω
θφθφ
φφ
θφθφ
 seccos secsen 0
sen- cos 0
tgcos tgsen 1
�
�
�
 
 
Integrando-se estas relações, podemos determinar a evolução dos ângulos de Euler com o 
tempo, e assim determinar a evolução da atitude do corpo rígido. 
 
Teoria Cap2 Parte2.pdf
2.3. Quaternions 
 
 
 2.3-1 Interpretação da Multiplicação de Números Complexos 
 
A multiplicação de uma variável complexa por um número complexo de módulo unitário, θie , representa 
uma rotação dessa variável no plano complexo. De fato, seja tal variável representada por ϕiezz 0= , 
Logo, 
)(
00
ϕθϕ +
=
iiiθ
ezeze
. Ou seja, z girou “θ“ no plano complexo. Poderíamos também ter escrito 
tal rotação da forma 
 
 
2/2/ θθ zee
 
 
 Im 
 
 Z0 θ 
 Z0 
 ϕ 
 
 Re 
 Figura 2.6. Multiplicação de um complexo por outro de módulo unitário. 
 
Esta forma será utilizada na extensão de números complexos a quarternions. 
 
Note que representamos a rotação da variável z em torno de um eixo perpendicular ao plano complexo. Se 
associarmos um vetor de componentes ϕcos0z e ϕsen0z , a multiplicação de θie por z pode ser 
associada a uma rotação desse vetor de um ângulo θ no plano. 
 
 
 2.3-2. Quaternions: Definições e Propriedades 
 
Analogamente ao procedimento anterior, para representarmos uma rotação no espaço tridimensional, 
necessitamos de um número hipercomplexo de módulo unitário. Tal número é conhecido como quaternion, e 
é representado por: 
 
 
;4321 qkjqiqqq +++= 
 
Onde os complexos i,j,k possuem as seguintes propriedades: 
 
 jikikjkjijkiijkkij
kji
−=−=−====
−===
;;;;; )2
1222 )1
 
 
Chamamos 1q de parte “escalar”, S(q), e 432 qkjqiq ++ de parte "vetorial" do quaternion, V(q). De 
fato, podemos associar aos complexos i,j,k os versores de um sistema tridimensional e positivo, conforme a 
propriedade 2) acima. 
 
A adição de 2 quaternions: 
 
4'321
4321
'''' q
q
kjqiqqq
kjqiqqq
+++=
+++=
 
 
é calculada por: 
 
 )'()'()'()'(q'q 44332211 qqkqqjqqiqq +++++++≡+ 
 
E o seu produto é dado por: 
 
 
( )( )
( )
( ) ( ) ( )41'4'131'3'121'2'1
4'3'2'
432
4'.43'.32'.21'.1
4'3'2'1'.4321'.
qqqqkqqqqjqqqqi
qqq
qqq
kji
qqqqqqqq
kqjqiqqkqjqiqqqq
++++++
++
+++−
=++++++=
 
 
Note que, se pode associar o segundo termo ao produto escalar das partes vetoriais com o sinal trocado, e o 
terceiro termo representa o produto vetorial dos mesmos. De fato, estes seriam os únicos termos se as partes 
escalares forem nulas. 
 
 
( )01'1 == qq 
 
A partir das propriedades e resultados anteriores, pode-se mostrar que, para quaternions p, q e r, valem as 
propriedades associativa e distributiva abaixo: 
 
 a) (pq)r = p(qr); 
 b) p(q+r) = pq+ pr 
 
Também se pode mostrar, com relação à propriedade comutativa em relação à multiplicação, que esta só vale 
para quaternions com partes vetoriais nulas ou linearmente dependentes. Ou seja: 
 
 c) pq = qp se e só se V(p) =0 ou V(q) = 0, ou V(p) = αV(q). 
 
Utiliza-se, com freqüência, nas aplicações, os conceitos de norma e conjugado de um quaternion. Estes são 
definidos por: 
 
 Conjugado de q: 4321)( kqjqiqqqC −−−= 
 Norma de q : 
2
4
2
3
2
2
2
1)(.)( qqqqqCqqN +++== 
 
Com relação a estes últimos, novas propriedades podem ser demonstradas: 
 
 d) C(qr) = C(r)C(q) 
 e) N(qr) = N(q)N(r) 
 
A partir da definição de norma, podemos definir o inverso de um quaternion: 
 
 )(
)(1
qN
qC
q =−
 
 
onde, supõe-se que N(q) é diferente de zero. Note que 1)()( 1 =−qNqN . 
 
Finalmente, analogamente à representação trigonométrica de números complexos, pode-se expressar o 
quaternion também por : 
 
 
2 2 2 2
1 2 3 4
1
2 2 2
2 3 4
2 3 4
2 2 2
2 3 4
(cos sen )
( )
cos / ;
sin
o
o
o
o
i k
q q e
q q q q q N q
q q
q q q
q
q q j q
e
q q q
θ θ
θ
θ
= +
= + + + =
=
+ +
= ±
+ +
= ±
+ +
 
 
 
2.3-3 Quaternions e a Rotação no Espaço 
 
A rotação de um vetor no espaço, em torno de um determinado eixo, pode ser obtida através de uma operação 
com quaternions. Sejam r e q dois quaternions. Pode-se "girar" V(r) em torno de V(q) através da operação: 
 
 
1
..
−qrq
 
 
Vamos mostrar que essa operação é obtida com o operador acima. 
 
O novo quaternion, r'=q.r.inv(q), possui a mesma parte escalar e a mesma norma de r. Somente sua parte 
vetorial muda de direção. Isto é fácil de verificar: 
 
 N(r')= N(q).N(r).(1/N(q))= N(r) 
 
Seja S(r') a parte escalar. Então: 
 
 S(r')=S(q.r.inv(q))=S(q.inv(q).r)=S(r) 
 
De início, mostremos um caso particular, e mais simples, dessa operação. Seja erNr )(= . Formemos o 
triedro i, j, k a partir da parte vetorial de q e r, conforme a figura 2.7. Portanto, k é ortogonal a este plano. 
 
 r 
Figura 2.7. Representação da parte vetorial de r e sua relação com o triedro (i, j, k). 
 
 
Ou seja, adotando V(q)=i, a representação vetorial de j é ortogonal a i e está no mesmo plano de i e e 
 
Conforme representado na figura, e pode ser expresso por :
λ+λ= sencos jie
 
 
O operador “q”, que vai “girar” “r” , é dado por: 
 
 
( )θθ isenqNq += cos)(
 
 
Calculemos o resultado da operação: 
 
 
( ) ( ) =−+= ]θisenθcos
N(q)
[.]eN(r)[.]θisenθcosN(q)[r' 1 
 
 
( ) ( ) ( )
( )( )( ) =−++
=−++
θθλλθθ
θθλλθθ
isencosjsencosiisencos)r(N
]isencos][jsencosi)r(N].[isencos[
 
 
 r’ = ')( erN = [ ]λθλθλ senksensencosjcosi)r(N 22 ++ 
 
, cujas componentes são as projeções do novo vetor nos eixos i, j, k, conforme a figura 2.8. 
i 
k 
j 
e 
λ 
 
O vetor e’ é, portanto, o resultado da rotação de e em torno de i de um ângulo 2θ. 
 
Uma outra interpretação pode ser dada para o resultado acima. Suponha que houvesse um sistema de 
coordenadas, “x’, y’, z’”, solidário ao vetor e. Ou seja, ele acompanharia o vetor conforme esse girasse. Para 
esse sistema, o vetor tem sempre as mesmas componentes: cosθi, senθj, 0k. Em relação ao sistema original 
(fixo), vamos chama-lo de “X, Y, Z”, teríamos X = x’, Y=y’cos2θ, Z=y’sen2θ. 
 
Portanto, a expressão anterior representa a transformação do sistema móvel(que girou 2θ) em relação ao fixo 
(coordenadas X, Y, Z, em função de x’, y’ e z’). 
 
 i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 θ 
 
 
Figura 2.8. Rotação do vetor e em torno de i. 
 
Podemos estender o resultado anterior utilizando a e b, quaternions de partes escalar nula e norma unitária. 
 
 Sendo 
 
22
22
ββ
αα
sencosq
sencosp
b
a
+=
+=
 
quaternions unitários que operam rotações de α em torno de a e β em torno de b. A seqüência de rotações 
(usando a propriedade d)) 
 
))C( 111 qp(.qp)qp(.)(qpqp(.)qp == −−−
 
representa uma única rotação qp(.) dada pelo quaternion 22
γγ
sencosqp c+=
. Para verificar esta 
afirmação, basta substituir p e q por suas definições na expressão acima, e realizar alguma manipulação 
trigonométrica. 
 
Ou seja, a seqüência de rotações “q” e “p” é equivalente a uma rotação de γ em torno de c. Pode-se 
j 
k 
λ λ 
2
θ
e e’ 
 
sen
generalizar esse resultado p/ uma sucessão qualquer de rotações q1, q2, q3...qn. 
 
A aplicação desses resultados na cinemática dos sólidos é evidente. Tomando V(r) como representando o 
vetor posição de um dos pontos do sólido que realiza uma rotação de θ. O quaternion “q” opera uma rotação 
em torno da direção de e� , equivalente vetorial do quaternion, conforme a representação indicada na figura 
2.9. O sentido positivo da rotação é indicado pelo sentido de e� através da regra da mão direita. Ou seja, 
 
 
;sencos
sencosqq o
22
22
θθ
θθ
e
e
+=
=





+=
 
 onde 
 
 
kcosjcosicose
e
kcosjcosicos
qqq
kqjqiq
zyx
zyx
����
ααα
ααα
++=
++=
++
++
=
2
4
2
3
2
2
432e
 
 
 i 
Figura 2.9 Representação do versor e, em torno do qual o sólido realiza a rotação. 
 
Assim, o vetor r é transformado no vetor r' a partir da rotação de θ em torno do eixo de rotação e, conforme 
a expressão 
 
1
'
−
= qrqr
 
 
 onde, 
 
αz 
αy 
αx 
j 
k 
e 
 
321
2
cos,
2
cos,
2
cos,
2
cos
kejeiee
sensensenq
o
zyx
+++
=





=
θ
α
θ
α
θ
α
θ
 
 
Este resultado é uma expressão do Teorema de Euler, o qual afirma que, qualquer que seja a seqüência de 
rotações, que leva um sistema de coordenadas a outro, existe um eixo em torno do qual uma única rotação 
leva o sistema original ao sistema final. 
 
O quaternion acima é conhecido como "quaternion de Euler" e eo, e1, e2 e e3 são os “parâmetros de Euler”. 
 
Sejam r =(0,X,Y,Z), as coordenadas do vetor no sistema fixo, e r'=(0,X',Y',Z'), as novas coordenadas do vetor 
após girar, nesse mesmo sistema fixo. 
 
 A operação 1' −= qrqr fornece 
 
 




















++−−+−
−+−+−+
+−+−−
=










Z
Y
X
eeee)eeee()eeee(
)eeee(eeee)eeee(
)eeee()eeee(eeee
'Z
'Y
'X
ooo
ooo
ooo
22
3
2
2
2
1132231
132
22
3
2
2
2
1321
231321
22
3
2
2
2
1
22
22
22
 
 
Lembre, conforme interpretamos anteriormente para o primeiro exemplo (figura 2.9), que o resultado acima 
pode ser visto como uma relação entre o sistema móvel (que a companha r) e o sistema fixo. Ou seja, a 
matriz acima representa a transformação de coordenadas: 
 
 
 




















++−−+−
−+−+−+
+−+−−
=










z
y
x
eeee)eeee()eeee(
)eeee(eeee)eeee(
)eeee()eeee(eeee
Z
Y
X
ooo
ooo
ooo
22
3
2
2
2
1132231
132
22
3
2
2
2
1321
231321
22
3
2
2
2
1
22
22
22
 
 
Chegamos então à matriz de rotação em termos dos parâmetros de Euler. Cada elemento da matriz acima é 
igual aos cossenos diretores correspondentes entre os eixos (x,y,z) e (X,Y,Z). 
 
A variação dos “parâmetros de Euler “com o tempo pode ser calculada a partir da expressão da derivada da 
matriz de cossenos diretores, da relação entre os cossenos e os parâmetros de Euler e da identidade 
 
 
123
2
2
2
1
2
=+++ eeeoe 
 
A expressão obtida é: 
 
 
;
0
123
132
231
321
21
3
2
1














ω
ω
ω














−
−
−
−−−
=














z
y
x
oeeee
eoeee
eeoee
eeeoe
e
e
e
oe
�
�
�
�
 
 
onde, zyx ωωω e , são os componentes da velocidade angular do referencial móvel (velocidade de 
arrastamento) expressas nos eixos deste mesmo referencial. 
 
Outra forma de representação, que envolve quaternions, pode ser obtida a partir dos parâmetros de Euler. Se 
dividirmos os parâmetros por 
2
cos
θ
, obteremos o escalar “1” no lugar de e0 e os seguintes resultados no lugar 
dos demais parâmetros: 
 
z
y
x
tgg
tgg
tgg
α
θ
α
θ
α
θ
cos
2
3
cos
2
2
cos
2
1
=
=
=
 
 
Estes parâmetros são conhecidos como “pârametros de Rodriguez” , que podem ser usados para formar as 
matrizes de relação entre sistemas de coordenadas e variação com o tempo apresentadas anteriormente. São 
elas: 
 




















++−−−+
++−+−−
−+−−+
=










z
y
x
ggggggggg
ggggggggg
ggggggggg
z
y
x
1)(2)(2
)(21)(2
)(2)(21
'
'
'
2
3
2
2
2
1132231
132
2
3
2
2
2
1321
231321
2
3
2
2
2
1
 
 
e 
 
 




















+−+
++−
−++
=










3
2
1
123132231
1321
2
2321
231321
2
11
3
2
1
2
1
g
g
g
ggggggg
ggggggg
ggggggg
g
g
g
�
�
�
 
 
 ou, definindo a matriz G por 
 










−
−
−
=
0
0
0
12
13
23
gg
gg
gg
G
 
 
, podemos expressar as derivadas dos parâmetros de Rodriguez através de: 
 
 G)-(IG)(IG Ω+=
2
1
�
 
 , onde Ω é a matriz de velocidade angular, já definida. 
 
Transformacao homogenea.pdf
TRANSFORMAÇÃO HOMOGÊNEA 
 
1) INTRODUÇÃO 
 
TRANSFORMAÇÃO HOMOGÊNEA: MÉTODO PRÁTICO E 
COMPACTO DE SE DEFINIR UMA TRANSFORMAÇÃO DE 
COORDENADAS 
 
 
POSIÇÃO E ORIENTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO: 
 
 
 
 
 O MANIPULADOR PODE SER MODELADO COMO UM 
SISTEMA DE CORPOS RÍGIDOS CUJA LOCALIZAÇÃO É 
COMPLETAMENTE DESCRITA POR SUAS POSIÇÕES E 
ORIENTAÇÕES 
 
 
 
O
x
y
z
Corpo rígido
x
yz
O'
n
b
t
b
bb
 
 
 
 
 
positivose sortonormai sistemas são b ,t ,ne k , j ,i �����
 
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 
 
 
O
x
y
z
Corpo rígido
x
yz
O'
n
b
t
B
P
A
b
b b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
btnX BPABAO' OO' OP O'
��
�
�
bbb zyx +++=+++= 
 










=










=










=
++=
++=
++=
)z,cos(
)y,cos(
)x,cos(
)z,cos(
)y,cos(
)x,cos(
)z,cos(
)y,cos(
)x,cos(
)z,cos()y,cos()x,cos(
)z,cos()y,cos()x,cos(
)z,cos()y,cos()x,cos(
b
b
b
b e 
t
t
t
t , 
n
n
n
 n seja, ou
kbjbibb
ktjtitt
knjninn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�������
�������
�
�
�
�
�
��
 
 














=
Pz
Py
Px
PX
�
 ,O-x, y, z bbb z,yx-O ,bPX ,
P
bz
P
by
P
bx














=
�
, 
 
 
 
 
 
O
x
y
z
Corpo rígido
x
yz
O'
n
b
t
B
P
A
b
b b
 
 
 
DEFINIMOS: 
 
 [ ]b,t,nR ���=
 -----> MATRIZ DE ROTAÇÃO 
 
 
 
PORTANTO: 
 
b
PO'O' XR X btnX OP
����
�
�
+=+++= bbb zyx 
 
 
 
 
 
 
 
NOTE QUE: 
 
 SENDO 
b
PO'P XR X X
���
+=
 
 
 
 XR XR- X P
1-
O'
1-b
P
���
+=⇒
 
 
OU: 
 
 
 P
T
O'
Tb
P XR XR- X 
���
+=
 
 
 
POIS, R é ORTOGONAL 
 
 
JÁ QUE: 
 
 










=




















=




















=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
b.k b.j b.i
 t.k t.j t.i
 n.k n.j n.i
 b.k t.k n.k
 b.j t.j n.j
 b.i t.i n.i
 
b b b
 t t t
n n n
b t n
 b t n
b t n
RRT
������
������
�
�
�
�
�
�
����
�
�
����
�
�
����
�
�
���
���
���
��
�
��
�
��
�
)z,cos()y,cos()x,cos(
)z,cos()y,cos()x,cos(
)z,cos()y,cos()x,cos(
)z,cos()z,cos()z,cos(
)y,cos()y,cos()y,cos(
)x,cos()x,cos()x,cos(
 
 
 
 
2) IDÉIA: 
 
 
 
 
 
b
PO'P XR X X
���
+=
 (1) 
 
 
 
REPRESENTAR O MOVIMENTO DE UM CORPO 
RÍGIDO (TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO) EM 3D NO R4 
 
 
 
 
 
























1
b
b
b
z
y
x
z
y
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) DEFINIÇÃO: 
 
 
 
 
 
ESCREVENDO (1) NA FORMA MATRICIAL: 
 
 






















=












11
b
b
b
z
y
x
z
y
x
 
10 
X R
 
O'
 
 
 
 
OU SEJA: 
 
 


























=












11
b
b
b
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
10 0 0 
 rr r
 rr r
 rr r
 
O'33 3231
O'23 2221
O'13 1211
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS 
 
ccc
"
bbb z,y,x-OzyO'-x zy,x,-O →→ ,,
 
 


























=












11
b
b
b
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
10 0 0 
 rr r
 rr r
 rr r
 
O'33 3231
O'23 2221
O'13 1211
 
 


























=














11
c
c
c
b
b
b
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
10 0 0 
 r'r' r'
 r'r' r'
 r'r' r'
 
O"33 3231
O"23 2221
O"13 1211
 
 
 
b
P
1
0P X AX
��
=
 
c
P
2
1
b
P X AX
��
=
 
 
c
P
2
1
1
0P XA AX 
��
=⇒
 
 
GENERALIZANDO: 
 
 
n
P
n
1-n
3
2
2
1
1
0P X.....AAA AX
��
=
 
 
 
 
 
5) TRANSFORMAÇÃO INVERSA 
 
 
USANDO O RESULTADO 
 
 
 P
T
O'
Tb
P XR XR- X 
���
+=
 
 
TEMOS: 
 
 P
0
1P
1-1
0
b
P X AX)(A X 
���
==
 
 
ONDE: 
 
 






=
−
1 0 
XR- R(A O'
TT
11
0 )