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3. Definic¸a˜o precisa de limite. Ca´lculo dos limites usando suas leis.
(1) Prove utilizando a definic¸a˜o ǫ, δ de limite:
lim
x→9−
√
9− x = 0.
(2) Prove utilizando a definic¸a˜o ǫ, δ de limite:
lim
x→3
x2 + x− 12
x− 3 = 7
(3) Prove utilizando a definic¸a˜o ǫ, δ de limite:
lim
x→2
x3 = 8.
(4) Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis do Limite que forem usadas
a) limx→4−
√
16− x2
b) limx→1
√
x−1√
2x+3−√5
(5) Calcule o limite se existir:
a) limx→2
√
x+2−3
x−7
b) limx→0
(
1
t − 1t2+t
)
c) limx→1
3
√
3x+5−2
x2−1
(6) Se 1 ≤ f(x) ≤ x2 + 2x+ 2 para todo x, encontre limx→−1 f(x)
(7) Prove que limx→0+
√
xesin(pi/x) = 0
(8) Seja
f(x) =


x se x < 0
x2 se 0 < x ≤ 2
8− x se x > 2
Determine, se existirem
a) limx→0+ f(x)
b) limx→0 f(x)
c) limx→1 f(x)
d) limx→2− f(x)
e) limx→2+ f(x)
f) limx→2 f(x)
Esboc¸e o gra´fico de f(x).
(9) Existe um nu´mero a tal que o limite
lim
x→−2
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x− 2
exista? Caso afirmativo calcule o limite.
(10) Seja F (x) = x
2−1
|x−1| .
a) Encontre limx→1+ F (x) e limx→1− F (x).
b) Existe limx→1 F (x)
c) Esboce o gra´fico da F (x)
(11) Dado que limx→a f(x) = −3, limx→a g(x) = 0, limx→a h(x) = 8. Encontre, se existir,
a) limx→a[f(x) + g(x)]
b) limx→a(f(x))2
c) limx→a 3
√
h(x)
d) limx→a
f(x)
h(x)
e) limx→a
f(x)
g(x)
f) limx→a 1f(x)
g) limx→a
g(x)
f(x)
h) limx→a
2f(x)
h(x)−f(x)
(12) Considere dois c´ırculos: C1 descrito pela equac¸a˜o (x − 1)2 + y2 = 1 e o c´ırculo C2 descrito pela
equac¸a˜o x2 + y2 = r2. Seja P = (0, r) o polo norte de C2, Q ∈ C1 ∩ C2 o ponto intesec¸a˜o que
esta´ no primeiro quadrante e ℓ a reta que passa por P e Q. Seja R o ponto intersec¸a˜o desta reta
ℓ com o eixo xˆ. O que acontece com R quando r → 0+?.
(13) Prove que limx→0+ ln(x) = −∞
(14) Suponha que limx→a f(x) =∞ e limx→a g(x) = c ∈ R Prove, que
a) limx→a(f(x) + g(x)) =∞,
b) limx→a(f(x)g(x)) = +∞ se c > 0,
c) limx→a(f(x)g(x)) = −∞ se c < 0.