apostila 3 - Derivadas

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D E R I V A D A S 
 
 
Derivada de uma Função num Ponto 
 
Seja um ponto ),( 11 yxP da função )(xfy = definida no intervalo I, sendo então 1x 
um elemento de I e )( 1xf seu valor correspondente para a função. 
 
 
 
A diferença )()( 11 xfxxf -D+ chamamos de yD que será o acréscimo ou 
incremento da função relativamente ao ponto .1x 
 
O quociente 
x
y
D
D
 recebe o nome de razão incremental da função relativamente ao 
ponto .1x 
 
A derivada no ponto 1x é o limite da razão incremental quando xD tende para 
zero, quando este limite existir. Em símbolos: 
 
 
 
Função Derivada 
 
A derivada de uma função )(xfy = para qualquer x pertencente ao seu domínio 
é dada por: 
 
 
 
Se este limite existir. 
 
 
y 
x 
1x xx D+1 
)( 1xf 
)( 1 xxf D+ 
P 
Q 
Damos um acréscimo ou 
incremento xD para a 
variável x em 1x e obte- 
mos um outro valor para 
a variável x que será 
xx D+1 e que terá )( 1 xxf D+ 
como seu correspon- 
dente para a função. 
xD 
yD 
)(xf 
x
xfxxf
x
y
xf
xx
D
-D+
=
D
D
=
¢
®D®D
)()(
limlim)( 11
00
1 
x
xfxxf
x
y
xf
xx
D
-D+
=
D
D
=
¢
®D®D
)()(
limlim)(
00
 
Exemplos 
 
Calcule as funções derivadas das seguintes funções: 
 
1) xxf 2)( = 
 
Solução 
 
x
xxx
x
xxx
x
xfxxf
x
y
xf
xxxx
D
-D+
=
D
-D+
=
D
-D+
=
D
D
=
¢
®D®D®D®D
222
lim
2)(2
lim
)()(
limlim)(
0000
 
2)(2)2(lim
2
lim)(
00
=
¢
Þ==
D
D
=
¢
®D®D
xf
x
x
xf
xx
 
 
 
2) 1)( 2 -+= xxxf 
 
Solução 
 
[ ] [ ]
x
xxxxxx
x
xfxxf
x
y
xf
xxx
D
-+--D++D+
=
D
-D+
=
D
D
=
¢
®D®D®D
11)()(
lim
)()(
limlim)(
22
000
 
[ ] [ ]
x
xxxxxxxx
xf
x
D
-+--D++D+D+
=
¢
®D
11)(2
lim)(
222
0
 
( )
x
xxxx
x
xxxxxxxx
xf
xx
D
D+D+D
=
D
+---D++D+D+
=
¢
®D®D
2
0
222
0
)(2
lim
112
lim)( 
12)(12)12(lim)(
0
+=
¢
Þ+=+D+=
¢
®D
xxfxxxxf
x
 
 
 
3) xaxf =)( 
 
Solução 
 
=
D
-
=
D
-
=
D
-D+
=
D
D
=
¢
D
®D
D+
®D®D®D x
aa
x
aa
x
xfxxf
x
y
xf
xx
x
xxx
xxx
)1(
limlim
)()(
limlim)(
0000
 
aa
x
a
a x
x
x
x
x
ln
1
limlim
00
×=
D
-
×=
D
®D®D
 
 
 
4) xsenxf =)( 
 
Solução 
 
=
D
-D+
=
D
-D+
=
¢
®D®D x
xsenxxsen
x
xfxxf
xf
xx
)(
lim
)()(
lim)(
00
 
=
D+
D
D
=
D
+D+-D+
=
®D®D®D 2
2
coslim
2
2lim2
cos
2
2
lim
000
xx
x
x
sen
x
xxxxxx
sen
xxx
 
x
xx
cos
2
2
cos1
2
02
cos1 =´=
+
´= 
 
Notação 
 
Habitualmente a derivada de )(xfy = é representada por: 
 
[ ])(,),(,,,)(, xfDyDxfD
dx
df
dx
dy
xfy xx
Leibniz
Lagrange 43421
43421
¢¢ 
 
 
Formulas de Derivação 
 
As fórmulas de derivação são obtidas usando a definição de Derivadas e facilitam 
o seu cálculo. Usaremos nas fórmulas a notação de Lagrange, por ser mais 
simples. 
 
 
Funções Algébricas 
 
Sejam wvu ,, e t funções de x e os números reais n e .k Sejam as seguintes 
funções: 
 
I) Função Constante 
 
 0=¢Þ= yky 
 
Exemplos 
 
1) 03 =¢Þ= yy 
2) 00 =¢Þ= yy 
3) 05 =¢Þ-= yy 
4) 0=¢Þ= yy p 
 
II) Função Identidade 
 
 1=¢Þ= yky 
 
 
 
 
III) Função Soma 
 
 twvuytwvuy ¢-¢+¢+¢=¢Þ-++= 
 
· Fórmula válida para qualquer número de funções. 
 
Exemplos 
 
1) 1013 =¢Þ+=¢Þ+= yyxy 
2) 1015 =¢Þ+=¢Þ+= yyexy 
3) 101 =¢Þ+=¢Þ+= yyxy p 
 
IV) Função Produto 
 
 vuvuyvuy ¢×+×¢=¢Þ×= 
 
Exemplos 
 
1) )4()3()4()3()4()3( +×-++×-=¢Þ+×-= xDxxxDyxxy 
 12341)3()4(1 +=¢Þ-++=¢Þ×-++×=¢ xyxxyxxy 
 
2) )5()2()5()2()5()2( -×++-×+=¢Þ-×+= xDxxxDyxxy 
 32251)2()5(1 -=¢Þ++-=¢Þ×++-×=¢ xyxxyxxy 
 
Observações 
 
a) Se vkyvkvyvkvkyvky ¢×=¢Þ¢×+×=¢Þ¢×+×¢=¢Þ×= 0 
 
Exemplos 
 
1) 212)(22 =¢Þ×=¢Þ×=¢Þ= yyxDyxy 
2) eyeyxDeyexy =¢Þ×=¢Þ×=¢Þ= 1)( 
3) 313)(33 =¢Þ×=¢Þ×=¢Þ= yyxDyxy 
 
b) Se wvuwvuwvuywvuy ¢××+×¢×+××¢=¢Þ××= 
 
Exemplos 
 
1) )3(23)2(32)(32 xDxxxxDxxxxDyxxxy ××+××+××=¢Þ××= 
 2222 186663232321 xyxxxyxxxxxxy =¢Þ++=¢Þ××+××+××=¢ 
2) )1()2()1( +×+×-= xxxy 
 )1()2()1()1()2()1()1()2()1( +×+×-++×+×-++×+×-=¢ xDxxxxDxxxxDy 
 1)2()1()1(1)1()1()2(1 ×+×-++××-++×+×=¢ xxxxxxy 
 2432113 2222 -+=¢Þ-++-+++=¢ xxyxxxxxy 
 
V) Função Quociente 
 
 
2v
vuvu
y
v
u
y
¢
×-×
¢
=
¢
Þ= 
 
Exemplos 
 
1) 
22
1)1(1)()1()1(1
x
xx
y
x
xDxxxD
y
x
x
y
×+-×
=
¢
Þ
×+-×+
=
¢
Þ
+
= 
 
222
111
x
y
x
y
x
xx
y -=¢Þ
-
=
¢
Þ
--
=
¢ 
2) 
2222
220120)(2)2(2
x
y
x
y
x
x
y
x
xDxD
y
x
y -=¢Þ
-
=
¢
Þ
×-×
=
¢
Þ
×-×
=
¢
Þ= 
3) 
22 )2(
1)3()2(1
)2(
)2()3()2()3(
2
3
+
×--+×
=
¢
Þ
+
+×--+×-
=
¢
Þ
+
-
=
x
xx
y
x
xDxxxD
y
x
x
y 
 
22 )2(
5
)2(
32
+
=
¢
Þ
+
+-+
=
¢
x
y
x
xx
y 
 
VI) Função Potência 
 
 uunyuy nn ¢××=¢Þ= -1 
 
Exemplos 
 
1) 44155 515)(5 xyxyxDxyxy =¢Þ××=¢Þ××=¢Þ= - 
2) 66177 717)(7 xyxyxDxyxy =¢Þ××=¢Þ××=¢Þ= - 
3) 2)12(3)12()12(3)12( 2133 ×-×=¢Þ-×-×=¢Þ-= - xyxDxyxy 
 62424)144(62)144(3 222 +-=¢Þ+-×=¢Þ×+-×=¢ xxyxxyxxy 
4) 221)1(2)1()1(2)1( 122 +=¢Þ×+×=¢Þ+×+×=¢Þ+= - xyxyxDxyxy 
 
Aplicações 
 
1º.) Derivada de um monômio 
 
 111 1)()( --- ××=¢Þ×××=¢Þ×××=¢Þ×=¢Þ×= nnnnn xnkyxnkyxDxnkyxDkyxky 
 
Exemplos 
 
1) 2133 15355 xyxyxy =¢Þ××=¢Þ= - 
2) 3144 12433 xyxyxy =¢Þ××=¢Þ= - 
3) 3144 34
4
3
4
3
xyxyxy =¢Þ××=¢Þ= - 
4) 4155
3
10
5
3
2
3
2
xyxyxy =¢Þ××=¢Þ= - 
 
2º.) Derivada de um polinômio 
 
 O polinômio é uma soma algébrica de monômios. Aplicando a fórmula da 
função soma: twvuytwvuy ¢-¢+¢+¢=¢Þ-++= 
 
Exemplos 
 
1) 861383 2 -=¢Þ+-= xyxxy 
2) 310127354 223 -+=¢Þ+-+= xxyxxxy 
3) 11094553 23234 -+-=¢Þ+-+-= xxxyxxxxy 
4) 44155 )3(51)3(5)3()3(5)3( +=¢Þ×+×=¢Þ+×+×=¢Þ+= - xyxyxDxyxy 
5) )32()3(4)3()3(4)3( 32214242 ++=¢Þ+×+×=¢Þ+= - xxxyxxDxxyxxy 
 
VII) Função Raiz 
 
 
n n
n
un
u
yuy
1-
×
¢
=
¢
Þ= 
 
Exemplos 
 
1) 
x
y
x
xD
yxy
2
1
2
)(
12
=
¢
Þ
×
=
¢
Þ=
-
 
2) 
x
y
x
y
x
xD
yxy
2
1
22
2
)2(2
)2(
2
12
=
¢
Þ=
¢
Þ
×
=
¢
Þ=
-
 
3) 
3 233 23 23 13
3
223
4
163
4
)4(3
4
)4(3
)4(
4
x
y
x
y
x
y
x
xD
yxy
××
=
¢
Þ
×
=
¢
Þ
×
=
¢
Þ
×
=
¢
Þ=
-
 
 
3 23 2 23
2
223
4
x
y
x
y =¢Þ
××
=
¢ 
4) 
4 34 34 14
4
274
3
)3(4
3
)3(4
)3(
3
x
y
x
y
x
xD
yxy =¢Þ
×
=
¢
Þ
×
=
¢
Þ=
-
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Obter as funções derivadas das funções: 
 
1) 4=y 0=¢y 
2) xy 3= 3=¢y 
3) 34 -= xy 4=¢y 
4) 752 2 +-= xxy 54 -=¢ xy 
5) 1)( 234 ++-= xxxxfxxxxf 234)( 23 +-=¢ 
6) 5
8
4xy = 5
3
5
32
xy =¢ 
7) 35)( -= ttf 415)( --=¢ ttf 
8) )1)(1( 32 --= xxy xxx
dx
dy
235 24 --= 
9) ty 3= 
tdt
dy
32
3
= 
10) 35)( -= ttf 
352
5
-
=
tdt
df
 
11) 3 4xy = 
3 23
4
x
x
y =¢ 
12) 5 2xy = 
5 35
2
x
y =¢ 
13) 3 2)2( -= xy 
3 23
2
-
=
¢
x
y 
14) 
3
1
x
y = 
4
3
x
y -=¢ 
15) 
2
1
-
-
=
x
x
y 
2)2(
1
-
-=
¢
x
y 
16) 
x
x
y
+
=
1
 
2)1(2
1
xx
x
y
+
-
=
¢ 
17) 
1
1
2
2
+
-
=
t
t
y 
22 )1(
4
+
=
¢
t
t
y 
18) 1+×= xxy 
xx
x
y
+
+
=
¢
22
12
 
19) 22 1 tty -= 
2
3
1
32
t
tt
dt
dy
-
-
=
 
20) 
3
1
1
)(
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
x
x
xf 
4
2
)1(
)1(6
-
+
-=
x
x
dx
df
 
 
 
 
 
Funções Exponenciais e Logarítmicas 
 
Sejam u e v funções de ,x a um número real e o numero de Euler ...71828,2=e , 
que é a base do sistema de logaritmos neperianos. 
 
I) Função Exponencial 
 
 a) uaayay uu ¢××=¢Þ= ln 
 
 b) ueyey uu ¢×=¢Þ= 
 
II) Função Logarítmica 
 
 a) e
u
u
yuy aa loglog
¢
=
¢
Þ= 
 
 b) 
u
u
yuy
¢
=
¢
Þ= ln 
 
III) Função Exponencial Geral 
 
 a) vuuuuvyuy vvv ¢××+¢××=¢Þ= - ln1 
 
Exercícios 
 
Calcular as funções derivadas das seguintes funções: 
 
1) xey -= R.: xey --=¢ 
2) xey = xey =¢ 
3) 32)( -= xexf 322)( -=¢ xexf 
4) 
xx
xx
ee
ee
y
-
-
+
-
= 
2)(
4
xx eedx
df
-
+
= 
5) 
23xay = aaxy x ln6
23
=
¢ 
6) 23)( xxf x= )3ln2(3)( xxxf x +=¢ 
7) )53log( 2 -= ty e
t
t
y log
53
6
2
-
=
¢ 
8) 2)3ln( += xy 
3
2
+
=
¢
x
y 
9) )3(ln 2 += xy 
3
)3ln(2
+
+
=
¢
x
x
y 
10) xxy = )ln1( xxy x +=¢ 
11) xxy ln2= )1ln2( +=¢ xxy 
12) xx eexy 552 -+= xx exxey 525 5)52( --+=¢ 
Funções Circulares Diretas 
 
Seja u uma função de .x 
 
a) uuyuseny ¢×=¢Þ= cos 
b) uusenyuy ¢×-=¢Þ= cos 
c) uuyutgy ¢×=¢Þ= 2sec 
d) uuyugy ¢×-=¢Þ= 2seccoscot 
e) uutguyuy ¢××=¢Þ= secsec 
f) uuguyuy ¢××-=¢Þ= cotseccosseccos 
 
Exercícios 
 
Calcular as derivadas das funções: 
 
1) xseny 3= R.: xy 3cos3=¢ 
2) 4xseny = 43 cos4 xxy =¢ 
3) xseny 3= xxseny cos3 2=¢ 
4) xy 2cos= xseny 22-=¢ 
5) xtgy 2= xxtgy 2sec2=¢ 
6) 4cot xgy = 423 seccos4 xxy -=¢ 
7) xy 3cos2= xsenxy 2cos6-=¢ 
8) xsenxy = xxxseny cos+=¢ 
9) 
x
xsen
y = 
2
cos
x
xsenxx
y
-
=
¢ 
10) xseny = 
xsen
x
y
2
cos
=
¢ 
11) xgxtgy cot-= xxy 22 seccossec +=¢ 
12) )(cosxseny = )(coscos xxseny -=¢ 
13) 
x
y
sec
4
= 
x
xtg
y
sec
2
-=
¢ 
14) xsenxy 32cos -= xxseny cos322 --=¢ 
 
 
Regra da Cadeia 
 
Sendo )(ufy = e )(xgu = podemos calcular a derivada da função composta de 
gcomf usando a fórmula: 
 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
×= 
Exemplos 
 
Use a Regra da Cadeia para obter as derivadas das seguintes funções: 
 
1) 43 )( xxy -= 
 
 Solução 
 
Fazendo xxu -= 3 e 4uy = temos: 13 2 -= x
dx
du
 e 34u
du
dy
= , então 
)13()(4)13(4 23323 --=-×=Þ×= xxxxu
dx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
 
 
2) )54ln( -= xy 
 
 Solução 
 
Fazendo 54 -= xu e uy ln= temos: 4=
dx
du
 e 
udu
dy 1
= , então 
54
44
4
1
-
==×=Þ×=
xuudx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
 
 
 
Exercícios 
 
Usando a Regra da Cadeia, obter as derivadas de: 
 
1) )35( 2 += xseny R.: )35cos(10 2 +=¢ xxy 
2) 123 += xy 3ln36 2xy ×=¢ 
3) 52 )1( += xy 42 )1(10 +=¢ xxy 
4) xseny 3= xxseny cos3 2=¢ 
5) )2log( += xy 
2
log
+
=
¢
x
e
y 
 
 
Derivadas de Funções Inversas 
 
Seja a função )(xfy = derivável e inversível num intervalo fechado. A derivada 
da função inversa )(1 yfx -= no mesmo intervalo é dada por: 
 
 
 
 
xd
ydyd
xd 1
= 
Funções Circulares Inversas 
 
Seja u uma função de .x Seja a função usenarcy = , sua inversa é ysenu = . 
Temos que 22 11cos u
dy
du
yseny
dy
du
-=Þ-== 
A função usenarcy = é definida no intervalo 
ú
û
ù
ê
ë
é
-
2
,
2
pp
, onde o cosseno é positivo. 
 
De acordo com a fórmula da função inversa: 
21
11
u
dy
dudu
dy
-
== 
Aplicando a Regra da Cadeia: 
22 11
1
u
u
y
dx
du
udx
du
du
dy
dx
dy
-
¢
=¢
Þ×
-
=×= 
 
a) 
21 u
u
yusenarcy
-
¢
=
¢
Þ= 
b) 
21
cos
u
u
yuarcy
-
¢
-=
¢
Þ= 
c) 
21 u
u
yutgarcy
+
¢
=
¢
Þ= 
d) 
21
cot
u
u
yugarcy
+
¢
-=
¢
Þ= 
e) 
1
sec
2
-
¢
=
¢
Þ=
uu
u
yuarcy 
f) 
1
seccos
2
-
¢
-=
¢
Þ=
uu
u
yuarcy 
 
Exercícios 
 
Calcular as derivadas das funções: 
 
1) xsenarcy 3= R.: 
291
3
x
y
-
=
¢ 
2) 3cos xarcy = R.: 
6
2
1
3
x
x
y
-
-=
¢ 
3) 
x
tgarcy
1
= R.: 
1
1
2
+
-=
¢
x
y 
4) )23( -= xsenarcy R.: 
3129
3
2
-+-
=
¢
xx
y 
5) 22xtgarcy = R.: 
441
4
x
x
y
+
=
¢ 
6) )25( 3xsenarcy -= R.: 
23
2
)25(1
6
x
x
y
--
-=
¢ 
7) 
x
x
arcy
-
=
2
cos R.: 
xx
y
-×-
-=
¢
1)2(
1
 
8) )1(cot 2xgarcy -= R.: 
4222
2
xx
x
y
+-
=
¢ 
9) xsenarcxy += 2 R.: 
21
1
2
x
xy
-
+=
¢ 
10) xtgarcxy = R.: 
21 x
x
xtgarcy
+
+=
¢ 
 
Derivadas de Funções Hiperbólicas 
 
Funções Hiperbólicas 
 
2
uu ee
usenh
-
-
= 
 
2
cosh
uu ee
u
-
+
= 
 
uu
uu
ee
ee
u
usenh
utgh
-
-
+
-
==
cosh
 
 
 
 
uu
uu
ee
ee
utgh
ugh
-
-
-
+
==
1
cot 
 
uu eeu
uh
-
+
==
2
cosh
1
sec 
 
uu eeusenh
uh
-
-
==
21
seccos 
Fórmulas de Derivação 
 
 
uuyusenhy ¢×=¢Þ= cosh 
 
uusenhyuy ¢×=¢Þ= cosh 
 
uuhyutghy ¢×=¢Þ= 2sec 
 
uuhyughy ¢×-=¢Þ= 2seccoscot 
 
 
 
uuhguhyuhy ¢××-=¢Þ= cotseccosseccos 
 
 
 
uuhtguhyuhy ¢××-=¢Þ= secsec
 
Exercícios 
 
Calcular a derivada das funções 
 
1) )3( xsenhy = R.: )3cosh(3 xy =¢ 
 
2) )1( 2xtghy += R.: )1(sec2 22 xhxy +=¢ 
3) 2sec xhxy = R.: 2222 secsec2 xhxtghxhxy +-=¢ 
4) )2(ln xtghy = R.: )4(seccos4 xhy =¢ 
5) 
x
y
1
coth= R.: 
x
h
x
y
1
seccos
1 2
2
=
¢ 
 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 
)1ln( 21 ++=- uuusenh 
 
 
)1ln(cosh 21 -+=- uuu )1( ³u 
 
 
u
u
utgh
-
+
=
-
1
1
ln
2
11 )1( 2 <u 
 
1
1
ln
2
1
cot 1
-
+
=
-
u
u
ugh )1( 2 >u 
 
u
u
uh
2
1 11lnsec
-+
=
- )10( £< u 
 
u
u
uh
2
1 11lnseccos
++
=
- )0( ¹u 
 
 
Fórmulas de Derivação 
 
12
1
+
¢
=
¢
Þ=
-
u
u
yusenhy 
 
1
cosh
2
1
-
¢
=
¢
Þ=
-
u
u
yuy )1( ³u 
 
2
1
1 u
u
yutghy
-
¢
=
¢
Þ=
- )1( 2 <u 
 
2
1
1
cot
u
u
yughy
-
¢
=
¢
Þ=
- )1( 2 >u 
 
2
1
1
sec
uu
u
yuhy
-
¢
-
=
¢
Þ=
- )10( << u 
 
2
1
1
seccos
uu
u
yuhy
+
¢
-
=
¢
Þ=
- )0( ¹u 
 
Exercícios 
 
1) )3(1 xsenhy -= R.: 
19
3
2
+
=
¢
x
y 
 
2) )(cosh 1 xey -= R.: 
12 -
=
¢
x
x
e
e
y 
 
3) )
2
(2 1
x
tgtghy -= R.: xy sec=¢ 
 
4) 
x
ghy
1
cot 1-= R.: 
1
1
2
-
-
=
¢
x
y 
 
5) )(cossec 1 xhy -= R.: xy sec=¢ 
 
 
Derivadas Sucessivas 
 
Seja a função 12)( 23 ++= xxxf , vamos obter as seguintes derivadas: 
 
®+=
¢ xxxf 43)( 2 derivada primeira ou derivada de 1ª. ordem, 
®+=
¢¢ 46)( xxf derivada segunda ou de 2ª. ordem, 
®=
¢¢¢ 6)(xf derivada terceira ou de 3ª. ordem, 
®= 0)()4( xf derivada quarta ou de 4ª. ordem, 
 M 
logo, ,0)()( =xf n se 
®³ 4n derivada enésima ou de ordem .n 
 
Exercícios 
 
I) Obter a derivada de ordem n das seguintes funções: 
 
1) xexf -=)( R.:
ï
î
ï
í
ì
-
=
-
-
parnparae
imparnparae
xf
x
x
n )()( 
2) 123 -+-= xxxy 40)( ³= nsey n 
3) xsenxf =)( 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=-
=-
=
=
,...12,8,4/
,...11,7,3/cos
,...10,6,2/
,...9,5,1/cos
)()(
npxsen
npx
npxsen
npx
xf n 
4) 2)(
x
exf = 2)(
2
1
)(
x
n
n exf = 
5) 
x
y
1
= )1()( )(!)1( +--= nnn xny 
 
II) Dada a função ,32432)( 234 +-+-= xxxxxf calcular 
 
1) )2(-¢f R.: 118- 
2) )2(f ¢¢ 68 
3) )1(f ¢¢¢ 30 
4) )0()4(f 48 
 
 
Derivadas de Funções Implícitas 
 
A equação define 0),( =yxF define y como uma função implícita de .x 
 
Exemplos 
 
· 3694 22 =+ yx 
· 02222 =++- yxxyyx 
· 3=+- yxyx 
· 233 =+ xyyx 
 
A derivada y¢ pode ser obtida por um dos seguintes processos: 
 
a) Resolver, se possível, em relação a y e derivar em relação a .x Este 
processo somente deve ser usado quando podemos isolar facilmente o .y 
b) Admitindo y como uma função de ,x derivar a equação dada em relação a 
x e resolver o resultado em relação a .y¢ Este processo de derivação é 
conhecido como derivação implícita. 
 
Exemplos 
 
Calcular as derivadas das funções: 
 
1) 0432 =-+ yyx 
 
Solução 
 
3
2
2)3(032
2
22
+
-=
¢
Þ-=+
¢
Þ=
¢
+
¢
+
x
xy
yxyxyyyxxy 
 
2) 05323 =+- yyx 
 
Solução 
 
0)32(30323 23222322 =-¢+Þ=¢-¢+ yyxyyxyyyyxyx 
23
22
2223
32
3
3)32(
yyx
yx
yyxyyxy
-
-=
¢
Þ-=-
¢ 
Exercícios 
 
I) Obter y¢ nas seguintes funções, por derivação implícita. 
 
1) 0843 33 =-+ yx R.: 
2
2
4
3
y
x
y -=¢ 
2) 02 2222 =-+- yxyxxy 
yxxy
xyxy
y
42
22
2
2
--
--
=
¢ 
3) 0334 =- xyyx 
xyx
yyx
y
33
34
24
33
-
+-
=
¢ 
4) xyyx 422 =- 
yx
yx
y
+
-
=
¢
2
2
 
5) 2yyx -= 
y
y
21
1
-
=
¢ 
6) 633 =- yx 3
2
2
x
y
y =¢ 
7) 4
1
2
1
=+
yx
 
22
2x
y
y -=¢ 
8) 22 463 xxyy =- 
xy
xy
y
33
43
-
+
=
¢ 
9) 3694 22 =+ yx 
y
x
y
9
4
-=
¢ 
10) 3=+- yxyx 
x
y
y
-
-
=
¢
1
1
 
 
 
II) Calcule 
2
2
yd
xd
 das seguintes funções representadas na forma implícita: 
 
1) 0642 2 =-- yx 
32
2 1
xxd
yd
-=
 
2) xyx ln=- 
32
2
)1( -
-=
x
x
xd
yd
 
 
 
 
 
 
Regra de L’Hospital 
 
Esta regra é usada no cálculo de limites, para levantar indeterminações da forma 
0
0
 ou 
¥
¥
, e consiste em derivar-se separadamente numerador e denominador, 
tantas vezes quantas forem necessárias. 
 
 
 
Exemplos 
 
Calcular os seguintes limites: 
 
1) ®==
® 0
0
0
0
lim
0
sen
x
xsen
x
indeterminado 
 1
1
1
1
0cos
1
cos
limlim
00
====
®®
x
x
xsen
xx
 
 
2) ®=
+--
+-
=
+--
+-
=
+--
+-
® 0
0
1111
231
1111
2)1(31
1
23
lim
23
3
23
3
1 xxx
xx
x
indeterminado 
 
®=
--
-
=
--
-
=
--
-
=
+--
+-
®® 0
0
123
33
1)1(2)1(3
3)1(3
123
33
lim
1
23
lim
2
2
2
2
123
3
1 xx
x
xxx
xx
xx
indeterminado 
2
3
4
6
26
6
2)1(6
)1(6
26
6
lim
123
33
lim
12
2
1
==
-
=
-
=
-
=
--
-
®® x
x
xx
x
xx
 
 
 
Exercícios 
 
Usando a Regra de L’hospital, calcular os seguintes limites: 
 
1) 
3
9
lim
2
3
-
-
® x
x
x
 R.: 6 
2) 
x
xx
x
121
lim
2
0
---
®
 1- 
3) 
3
ln
lim
x
x
x +¥®
 0 
4) 
xx e
x
+¥®
lim 0 
5) 
xsen
x
x 20
cos1
lim
-
®
 
2
1
 
6) 
2
lim
2
2
-
-
® x
eex
x
 2e 
7) 
x
x
x
)1ln(
lim
0
+
®
 1 
8) 
xsen
x
x 2
3
0
cos1
lim
-
®
 
2
3
 
9) 
xsenx
x
x -® cos
2cos
lim
4
p
 2 
10) 
x
ex
x
1
lim
+
+¥®
 ¥+ 
 
 
Significado Geométrico de Derivada 
 
Seja um ponto ),( 11 yxP da função )(xfy = definida no intervalo I, sendo então 1x 
um elemento de I e )( 1xf seu valor correspondente para a função. 
 
 
A diferença )()( 11 xfxxf -D+ chamamos de yD que será o acréscimo ou 
incremento da função relativamente ao ponto .1x 
Consideremos a reta secante s que passa pelos pontos P e Q e que forma um 
ângulo b com o eixo das abscissas e a reta t , tangente ao gráfico da função 
)(xf no ponto P , e que forma um ângulo a com o eixo das abscissas. 
 
O quociente 
x
y
D
D
 recebe o nome de razão incremental da função relativamente ao 
ponto 1x , sendo igual a tangente trigonométrica do ângulo b que é igual ao 
coeficiente angular da reta .s 
 
smtg
x
xfxxf
x
y
==
D
-D+
=
D
D
b
)()( 11 
 
A derivada no ponto 1x é o limite da razão incremental quando xD tende para 
zero, quando este limite existir. 
 
y 
x 
1x xx D+1 
)( 1xf 
)( 1 xxf D+ 
P 
Q 
Damos um acréscimo ou 
incremento xD para a 
variável x em 1x e obte- 
mos um outro valor para 
a variável x que será 
xx D+1 e que terá )( 1 xxf D+ 
como seu correspon- 
dente para a função. 
xD 
yD 
b 
a 
t 
s 
)(xf 
Mas quando xD tender a zero, o ponto Q se aproximará de P e a reta secante s 
transformar-se-á na reta tangente t e o ângulo b tenderá para o ângulo a , 
portanto o coeficiente angular da reta s transformar-se-á no coeficiente angular 
da reta .t Temos então: 
 
t
xx
mtg
x
xfxxf
x
y
==
D
-D+
=
D
D
®D®D
a
)()(
limlim 11
00
 
 
Portanto: “A derivada da função )(xfy = no ponto P é a declividade ou o 
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico neste ponto”. 
 
 
Exemplos 
 
1) Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 21)( xxf -= 
no ponto de abscissa .21 =x 
 
Solução 
 
4422)2(2)( -=Þ-=×-=¢=Þ-=¢ tt mfmxxf 
 
2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 24)( xxxf -= no 
ponto de abscissa .31 =x 
 
Solução 
 
a) Coeficiente angular: tm 
 2264)3(324)3(24)( -=Þ-=-=¢Þ×-=¢Þ-=¢ tmffxxf 
 
b) Ponto de tangência: ),( 11 yxP 
 )3,3(3912334)3()( 211 Tfxfy Þ=-=-×=== 
 
c) Equação da tangente: 
 Sabemos da Geometria Analítica que equação do feixe de retas que passa por 
um ponto ),( 11 yxP é )( 11 xxmyy t -=- . 
 Temos então 92362623)3(23 +-=Þ++-=Þ+-=-Þ--=- xyxyxyxy 
 
Exercícios 
 
1) Determine a equação da tangente ao gráfico da função xxxf 2)( 2 -= no ponto 
de abscissa .11 =x R.: 1-=y 
 
2) Determine a equação da tangente ao gráfico da função 1)( 3 -= xxf no ponto 
de abscissa .21 =x R.: 1712 -= xy 
 
3) Determine a equação da tangente ao gráfico da função 3 2)( xxf = no ponto 
de abscissa .221 =x R.: 
3
2
3
2
+=
x
y 
 
4) Determine a equação da tangente ao gráfico da função xgy 2cot= no 
ponto 
÷
ø
ö
ç
è
æ
0,
4
p
. R.: 0
2
2 =-+
p
yx 
 
5) Determine a equação da tangente ao gráfico da função xy ln= , no ponto 
de interseção com o eixo das abscissas. R.: 01=-- yx 
 
Significado Físico de Derivada 
 
Seja um móvel que se desloca segundo a equação horária ),(tSS = onde o 
espaço S depende do tempo .t 
 
 
 
Fazendo tD tender a zero teremos a velocidade do móvel no instante t , 
denominada velocidade instantânea que é dada por: 
 
td
Sd
t
tSttS
t
S
v
tt
=
D
-D+
=
D
D
=
®D®D
)()(
limlim
00
 
 
Portanto: A velocidade instantânea de um móvel é igual a derivada da função 
)(tSS = no instante t considerado. 
 
De modo análogo dada a equação da velocidade )(tvv = , a aceleração média 
de um móvel é dada por 
t
v
am
D
D
= , onde vD indica a variação de velocidade e tD 
a variação de tempo entre dois instantes quaisquer. Fazendo tD tender a zero 
teremos a aceleração instantânea num determinado instante 1t que é dada por: 
 
S 
t t tt D+ 
)(
1
tS 
)(tSS = 
SD 
tD 
P 
Q 
Sabemos da física, que a 
velocidade média de um móvel é 
dada por 
t
S
vm
D
D
= , onde SD 
indica a variação do espaço 
percorrido e tD o tempo gasto 
para percorrê-lo. 
)(
1
ttS D+ 
td
vd
t
v
a
t
=
D
D
=
®D 0
lim 
 
Portanto: A aceleração instantânea de um móvel é igual a derivada da função 
)(tvv = no instante t considerado. 
 
Resumindo: Derivando a equação horáriaobtém-se a equação da velocidade e 
derivando a equação da velocidade obtém-se a equação da aceleração. 
 
Exemplo 
 
1) Um ponto percorre uma curva obedecendo a equação horária 2)( 2 -+= tttS . 
Calcular sua velocidade e sua aceleração no instante .2=t (Unidades S.I.) 
Solução 
 
smvSvttSv /5514122)2(12)( =Þ=+=+×=¢=Þ+=¢= 
./22)()( 2smatStva =Þ=¢¢=¢= 
 
Exercícios 
 
1) Um móvel desce um plano inclinado segundo a equação horária 
tttS 612)( 2 += (Unidade S.I.). Pede-se: 
 
a) sua velocidade s3 após a partida, R.: sm /78 
b) sua velocidade inicial. sm /6 
 
2) Determine a velocidade e a aceleração de uma partícula cuja função horária é 
( )
2320 ttS += (Unidade S.I.) no instante .0 st = R.: 2/6/0 smesm 
 
3) Um móvel em movimento sobre uma reta tem velocidade 3)( ttv = no 
instante st 2= (Unidade S.I.). Calcular a aceleração neste instante. R.: 
2
3
/
43
1
sm . 
 
4) Um móvel descreve uma trajetória segundo a equação 
2
73
)(
+
-
=
t
t
tS (Sistema 
CGS). Determinar sua velocidade e sua aceleração após deslocar cm2 ? 
 R.: scm /
13
1
 e 2/
169
2
scm- 
5) Uma partícula descreve um movimento circular segundo a equação 
432 24 --= ttq (
q
 em radianos). Determine a velocidade e a aceleração angulares 
após 4 segundos. R.: sradw /488= e srad /378=a 
 
 
A Derivada como Taxa de Variação 
 
Toda Derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma 
função )(xfy = , quando a variável independente varia de um valor x até um 
valor xx D+ , a correspondente variação de y será )()( xfxxfy -D+=D . 
 
O quociente 
x
xfxxf
x
y
D
-D+
=
D
D )()(
 representa a taxa média de variação de y 
em relação a x . 
 
A derivada 
x
xfxxf
xd
yd
xf
x
D
-D+
==
¢
®D
)()(
lim)(
0
 é a taxa instantânea de variação ou 
simplesmente a taxa de variação de y em relação a x . 
Exemplos 
 
1) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é 
dada por tttS 16)( 2 += , 80 ££ t , onde t é dado em segundos e S em 
metros.Pede-se: 
 
 a) A taxa de variação média da velocidade(velocidade média) entre os instantes 
3 e 4 . 
 
 b) A taxa de variação da velocidade no instante 3=t (Velocidade no instante 
3=t ). 
 
Solução 
 
 a) sm
SS
t
S
/23
1
5780
1
)489(6416
1
)3163(4164
34
)3()4( 22
=
-
=
+-+
=
×+-×+
=
-
-
=
D
D
 
 
 b) smSSttS /22)3(1661632)3(162)( =¢Þ+=+×=¢Þ+=¢ 
 
Obs.: Nos instantes:
î
í
ì
=Þ=
=Þ=
smvst
smvst
/223
/244
smvmédia /23=Þ 
 
2) O raio de uma circunferência cresce à razão de scm/21 . Qual a taxa de 
crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo? 
 
Solução 
 
scm
td
ld
td
ld
td
rd
td
ld
rl /4221222 pppp =Þ×=Þ=Þ= 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Sabemos que a área de um quadrado é função do seu lado. Determinar: 
 
a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando 
este varia de 5,2 a m0,3 ; R.: mm /5,5 2 
 
b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede .4 m 
R.: mm /8 2 
 
2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia à razão de scm /5,12 . 
Calcular a taxa de variação de seu volume no instante em que sua aresta mede 
cm10 . R.: scm /750.3 3 
 
3) Uma escada cujo comprimento é de m10 está apoiada numa parede vertical. 
Se a base da escada se afasta horizontalmente da parede à razão de sm /2 , com 
que velocidade o topo da escada desliza parede abaixo quando está a m6 acima 
do solo? R.: sm /
3
8
- 
 
4) Um gás de um balão esférico escapa na razão .min/2 3dm Qual a razão de 
diminuição da superfície do balão, quando o raio for de dm12 ? R.: sdm /
3
1 2
- 
 
5) O raio de uma esfera é r no fim de t segundos. Calcular o raio quando as 
taxas de variação da superfície e do raio forem numericamente iguais. R.: ..
8
1
cu
p
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Crescentes e Decrescentes 
 
 
Sejam as retas 1t e 2t tangentes respectivamente aos gráficos das funções )(xf 
e )(xg nos pontos de abscissa 1x abaixo: 
 
Se Þ>Þ> )()( 2121 xfxfxx função crescente 
Se Þ<Þ> )()( 2121 xgxgxx função decrescente 
 
 
 
 
Sabe-se que a derivada da função num ponto é igual ao coeficiente angular da 
reta tangente ao gráfico da função neste ponto. Quando a derivada é positiva o 
ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas é menor do que 090 , portanto a 
função é crescente. Quando a derivada é negativa o ângulo é maior do que 090 , 
portanto a função é decrescente. 
 
 
 
Teorema de Rolle 
 
Se f é uma função contínua em [ ]ba, e derivável em ] [ba, e )()( bfaf = 
então existe pelo menos um ponto ] [bac ,Î tal que .0)( =¢ cf 
 
 
Demonstração 
 
Existem dois casos que devem ser considerados. 
 
 
 
y 
x O 
)(xf 
1t 
1x 
)( 1xf 
1x 
)( 1xg 
)(xg 
2t 
O 
x 
y 
a a 
Função Crescente Função Decrescente 
0)( 1 <¢== xgtgmt a 0)( 1 >¢== xftgmt a 
1º. Caso: f é constante em [ ]ba, 
 
 
 
 
2º. Caso: f não é constante em [ ]ba, 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Dada a função ,594)( 23 xxxxf +-= verificar se estão satisfeitas as condições 
para validade do Teorema de Rolle em cada um dos seguintes intervalos: 
[ ]
ú
û
ù
ê
ë
é
2
5
,1,1,0 e .
2
5
,0
ú
û
ù
ê
ë
é
 Determinar um número c em cada um desses intervalos 
de modo que .0)( =¢ cf 
 
Solução 
 
Sendo uma função polinomial, f é derivável e contínua em R, portanto também é 
derivável e contínua nos intervalos dados. 
Temos 0)0( =f , 0)1( =f e 
4
75
2
5
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
f . Então o teorema de Rolle só é valido no 
intervalo [ ]1,0 . Assim [ ]1,0Îc e .0)( =¢ cf 
f 
a b x 
y 
Neste caso )()()( bfafcf == , 
para todo [ ]., bacÎ Assim 
0)( =¢ cf para todo ] [bac ,Î . 
a b 1c 2c 3c 
f 
Neste caso )()()( bfafcf =¹ 
para algum [ ]., bacÎ 
 
Observa-se que os pontos 1C e 
2C são pontos de máximo e o 
ponto 3C é o ponto de mínimo e 
nestes pontos .0)( =¢ cf 
1C 
2C 
3C 
y 
x 
î
í
ì
-
=
+
=Þ+-=
¢
12
219
12
219
51812)( 2 xouxxxxf portanto 
12
219 -
=c . 
 
Interpretação Geométrica 
 
O Teorema de Rolle diz que se a função é contínua em [ ]ba, e derivável em 
] [ba, e assume valores iguais nos extremos deste intervalo, então existe ao 
menos um ponto do intervalo ] [ba, , onde a tangente ao gráfico da função é 
paralela ao eixo dos x . 
 
Exercícios 
 
Nos exercícios abaixo verificar se as hipóteses do teorema de Rolle são 
satisfeitas pelas funções no intervalo considerado. Depois calcular um valor c 
pertencente ao intervalo que verifique a tese do teorema. 
 
1) 86)( 2 +-= xxxf e [ ]4,2 R.: 3=c 
2) xxxf 16)( 3 -= e [ ]4,0 
3
34
=c 
 
Teorema de Lagrange ou Teorema do Valor Médio 
 
Se f é uma função contínua em [ ]ba, e derivável em ] [,, ba então existe ao 
menos um ponto ] [bac ,Î tal que )(
)()(
cf
ab
afbf
¢
=
-
-
. 
Demonstração 
 
 
 
 
Seja a função )(xF que mede a diferença entre a curva f e a reta secante .ABA 
B 
C 
a c b 
)(cf 
f 
x 
y 
)(xF Seja a equação da reta secante 
AB : )( AA xxmyy -=- , onde 
ab
afbf
m
-
-
=
)()(
, )(afyA = e 
axA = . Portanto temos 
)(
)()(
)( ax
ab
afbf
afy -
-
-
=- 
)()(
)()(
afax
ab
afbf
y +-
-
-
= 
 
)(af
 
)()(
)()(
)()()( afax
ab
afbf
xfyxfxF --
-
-
-=-= 
Mas nos pontos A e B 
0)()( == bFaF , condição que satisfaz a hipótese do Teorema de Rolle, portanto 
,0)( =¢ cF então 
ab
afbf
cf
ab
afbf
xfxF
-
-
=
¢
Þ
-
-
-
¢
=
¢
)()(
)(
)()(
)()( 
 
Exemplo 
 
Dada a função ,53)( 23 -+= xxxf verificar que as condições para validade do 
teorema do valor médio estão satisfeitas para 1-=a e .2=b Encontrar todos os 
números ,c [ ],2,1-Îc tal que 
)1(2
)1()2(
)(
--
--
=
¢
ff
cf . 
 
Solução 
 
Sendo f uma função polinomial, então ela é contínua e derivável em R, portanto 
também é no intervalo [ ].2,1- Temos então 
155232)2( 23 =-´+=f , 35)1(3)1()1( 23 -=--´+-=-f e xxxf 63)( 2 +=¢ . 
Portanto 0663663
12
315
63
)1(2
)1()2(
)( 222 =-+Þ=+Þ
+
+
=+Þ
--
--
=
¢ cccccc
ff
cf 
{ 31310222 --=¢¢+-=¢Þ=-+ couccc . 
 
Somente 31+-=c satisfaz a condição de pertencer ao intervalo [ ].2,1- 
 
 
Interpretação Geométrica 
 
O Teorema de Lagrange diz que se a função é contínua em [ ]ba, e derivável em 
] [ba, então existe pelo menos um ponto no intervalo considerado onde a reta 
tangente ao gráfico é paralela à reta determinada pelos pontos ( ))(, afaA e 
( ))(, bfbB 
 
Exercícios 
 
Nos exercícios abaixo verificar se as hipóteses do teorema do Valor Médio são 
satisfeitas pelas funções no intervalo considerado. Depois calcular um valor c 
pertencente ao intervalo que verifique a tese do teorema. 
 
1) 2)( xxf = e [ ]2,0 R.: 1=c 
2) 12)( 2 -+= xxxf e [ ]1,0 
2
1
=c 
3) 3 2)( xxf = e [ ]1,0 
27
8
=c 
4) 2100)( xxf -= e [ ]6,8- 2±=c 
 
 
Valores Críticos e Pontos Críticos 
 
Um número a do domínio da função )(xfy = denomina-se valor crítico, se 
0)( =¢ af ou se )(af ¢ não existe. O ponto ( ))(, afa é um ponto crítico da função. 
Os pontos de máximo, mínimo e de inflexão são exemplos de pontos críticos de 
uma função. 
 
No gráfico seguinte, A , B , C , D , E e F são pontos críticos e as abscissas a , 
b , c , d , e e f são valores críticos. Observar que não existe a derivada no 
ponto A e nos demais pontos críticos a derivada é nula. 
 
 
 
 
Máximos e Mínimos Locais 
 
Uma função )(xfy = tem um valor máximo local ou máximo relativo para 
ax = , se existir um intervalo aberto I que contém a e )(af for maior do que os 
valores que imediatamente o precedem e o sucedem na função. 
 
Uma função )(xfy = tem um valor mínimo local ou mínimo relativo para ax = , 
se existir um intervalo aberto I que contém a e )(af for menor do que os valores 
que imediatamente o precedem e o sucedem na função. 
 
Os pontos de máximo local ou de mínimo local são pontos extremos ou são os 
extremantes da função e )(af é chamado de valor extremo de f . 
a b c 
d 
e f 1x 2x 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
O 
x 
y 
Exemplos 
 
1) Na função 21)( xxf -= , existe um ponto de máximo local para 0=x e o 
máximo local de f é 1)0( =f . 
 
 
 
2) Na função 1)( 2 -= xxf , existe um ponto de mínimo local para 0=x e o 
mínimo local de f é 1)0( -=f . 
 
3) Na função xsenxf =)( , existe um ponto de máximo local para 
2
p
=x e o 
máximo local de f é 1
2
)
2
( ==
pp
senf e existe um ponto de mínimo local para 
2
3p
=x e o mínimo local de f é 1
2
3
)
2
3
( -==
pp
senf . 
 
 
x 
1- 
y 
1- 1 O 
x 
1 
y 
1- 1 
O 
x 
y 
O 
2
3p
 
2
p
 
1 
1- 
4) Abaixo temos o gráfico da função )(xfy = , no intervalo [,] 21 xx , A e C são 
pontos de máximo local e B e D são pontos de mínimo local. 
 
Máximos e Mínimos Absolutos 
 
Na maioria dos problemas práticos, devemos encontrar um máximo absoluto ou 
um mínimo absoluto de uma função num determinado intervalo. O máximo 
absoluto num intervalo é o valor máximo da função no intervalo e o mínimo 
absoluto é o menor valor no intervalo. Os extremos absolutos podem coincidir 
com os extremos locais. Nos três primeiros exemplos anteriores os extremos 
locais coincidem com os extremos absolutos. No quarto exemplo, no intervalo 
],[ 21 xx , o máximo absoluto é o ponto A e o mínimo absoluto é o ponto D . 
 
 
Determinação dos Máximos e Mínimos pelo Método da Primeira 
Derivada 
 
 
Em pontos onde a função )(xf é derivável, a reta tangente ao gráfico da função 
nos pontos de máximo e mínimo é paralela ao eixo das abscissas, então, o 
ângulo que a mesma forma com o eixo é nulo, portanto nesses pontos a derivada 
da função é nula. 
 
O gráfico abaixo mostra que na vizinhança do ponto de máximo, a função passa 
de crescente para decrescente, portanto o sinal da derivada na vizinhança de 1x 
passa de positivo para negativo. No ponto de mínimo, a função passa de 
decrescente para crescente, portanto o sinal da derivada na vizinhança de 2x 
passa de negativo para positivo. 
 
Nos pontos de máximo a concavidade da curva é voltada para baixo e nos pontos 
de mínimo a concavidade é voltada para cima. 
 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
d 
O 
y 
x 
)(xf 
1x 
D 
2x 
 
 
Ponto de Inflexão 
 
Se a derivada não mudar de sinal ao passar pelo ponto crítico temos um ponto 
de inflexão. No exemplo temos um ponto de inflexão com reta horizontal ou 
ponto de inflexão horizontal para 0=x . Observando o gráfico da função 
3)( xxf = , o sinal da primeira derivada é positivo para todo Îx R* e nulo para 
0=x . Observar que no ponto de inflexão a concavidade muda de sentido. Para 
0<x a concavidade é para baixo e para 0>x a concavidade é para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1x 
2x 
x 
x 
y )(xfy = 
O 
y 
 
Seja a função )(xf definida e derivável num intervalo aberto ),( ba : 
 
1º.) Calcula-se os zeros da equação 0)( =¢ xf , obtendo-se os valores críticos. 
 
2º.) Estuda-se o sinal de )(xf ¢ nas proximidades dos valores críticos. 
· Se )(xf ¢ mudar de positivo para negativo )(xfÞ passa por um 
máximo; 
· Se )(xf ¢ mudar de negativo para positivo )(xfÞ passa por um 
mínimo; 
· Se )(xf ¢ não mudar de sinal , temos um ponto de inflexão. 
 
Vemos que o método da primeira derivada consiste em estudar o sinal de )(xf ¢ 
próximo aos valores críticos. O quadro acima resume o método. 
 
Exemplos 
 
Determinar os extremantes das seguintes funções: 
 
1) 13)( 3 +-= xxxf 
 
Solução 
 
1º.) 11133033)(0)( 21
222
=-=Þ=Þ=Þ=-=
¢
Þ=
¢ xouxxxxxfxf 
2º.) Sinal de )(xf ¢ . 
 
 
 
Observamos que no ponto 1- a função )(xf ¢ muda de sinal positivo para 
negativo, sendo portanto um ponto de máximo local. No ponto 1+ , a função )(xf ¢ 
muda de sinal negativo para positivo indicando um ponto de mínimo local. 
 
 
 
– 
+ + 
1- 1 
x 
)(xf ¢ 
y 
x 
3 
1- 
1- 
1 
)3,1(- 
)1,1( - 
Gráfico 
13)( 3 +-= xxxf 
Observação: O ponto de inflexão não tem derivada nula, portanto não é um ponto 
de inflexão horizontal. 
 
2) 1)( 23 -+--= xxxxf 
 
 
Solução 
 
1º.) 
3
1
10123)(0)( 1
2
=-=Þ=+--=
¢
Þ=
¢ xouxxxxfxf2º.) Sinal de )(xf ¢ . 
 
 
 
 
 
 
Observamos que no ponto 1- a função )(xf ¢ muda de sinal negativo para 
positivo, sendo portanto um ponto de mínimo local. No ponto 
3
1
, a função )(xf ¢ 
muda de sinal positivo para negativo indicando um ponto de máximo local. 
 
 
 
 
 – – 
+ 
1- 3
1
 
x 
Gráfico 
x 
y 
3
1
 
1- 
2- 
27
22
- 
1)( 23 -+--= xxxxf 
)2,1( -- 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
27
22
,
3
1
 
Determinação dos Máximos e Mínimos pelo Método da Segunda 
Derivada 
 
O método da segunda derivada, consiste em estudar o sinal de )(xf ¢¢ para os 
valores críticos. O quadro abaixo explica o método. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
Determinar os extremantes das funções: 
 
1) 13)( 3 +-= xxxf 
 
Solução 
 
1º.) 11033)(0)( 1
2
=-=Þ=-=
¢
Þ=
¢ xouxxxfxf 
2º.) xxf 6)( =¢¢ 
· 06)1(6)1( <-=-=-¢¢f : a função passa por um máximo. 
· 06)1(6)1( >==¢¢f : a função passa por um mínimo. 
 
 
2) 1)( 23 -+--= xxxxf 
 
Solução 
 
1º.) 
3
1
10123)(0)( 21
2
=-=Þ=+--=
¢
Þ=
¢ xouxxxxfxf 
2º.) 26)( --=¢¢ xxf 
· 06)1(6)1( >=--=-¢¢f : a função passa por um mínimo. 
· 02)
3
1
(6)( <-=-=¢¢ xf : a função passa por um máximo. 
Seja a função )(xf definida e derivável num intervalo aberto ),( ba : 
 
1º.) Calcula-se os zeros da equação 0)( =¢ xf , obtendo-se os valores 
críticos. 
 
2º.) Calcula-se a derivada segunda )(xf ¢¢ e verifica-se seu sinal para os 
valores críticos obtidos. 
 
· Se 0)( <¢¢ xf : a função passa por um máximo. 
· Se 0)( >¢¢ xf : a função passa por um mínimo. 
· Se 0)( =¢¢ xf : nada se pode afirmar, devemos aplicar o método da 
primeira derivada. 
 
 
Observação: A função xxf =)( tem um mínimo local para 0=x mas não é 
derivável neste ponto, portanto 0)( ¹¢ xf . 
 
 
Exercícios 
 
Determinar as coordenadas dos pontos extremos das seguintes funções: 
 
1) 14)( 2 --= xxxf R.: Mínimo: )5,2( - 
2) 
21
)(
x
x
xf
+
= R.: Mínimo: )
2
1
,1( -- , Máximo: )
2
1
,1( 
3) 1033 +-= xxy R.: Mínimo: )8,1( , Máximo: )12,1(- 
4) 1)( 3 += xxf R.: Não tem 
5) 34 4)( xxxf -= R.: Mínimo: )27,3( - 
 
Problemas de Máximos e Mínimos 
 
1) Calcular dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo 
possível. 
 
Solução 
 
Seja x e y dois números positivos: 
xyyx -=Þ=+ 1616 e 
216)16( xxxxPyxP -=-×=Þ×= 
Devemos encontrar o valor máximo da função, portanto inicialmente 
calcularemos para que valor de x , a derivada primeira é nula. 
80216 =Þ=-= xx
dx
dP
, e verificar se a derivada segunda é negativa. 
Þ<-= 02
2
2
xd
Pd
Máximo 
881616 =Þ-=Þ-= yyxy R.: 88 e 
 
x 
y 
 xxf =)( 
O 
2) Uma pedra é lançada ao ar. Suponha que sua altura h , em metros, t 
segundos após o lançamento, seja ttth 105)( 2 +-= . Qual é a altura máxima 
atingida por esta pedra? Em que instante ela a atinge? 
 
Solução 
 
Devemos novamente encontrar o valor máximo da função. 
stt
dt
dh
101010 =Þ=+-= 
Þ<-= 010
2
2
dt
hd
Máximo 
mhh 5)1(105)1(10)1(5)1( 2 =Þ+-=+-= 
 
R.: A altura máxima da pedra será de m5 e conseguirá depois de s1 . 
 
Exercícios 
 
1) Deve-se construir uma caixa com base retangular, a partir de um retângulo de 
cm16 de largura e cm21 de comprimento cortando-se um quadrado em cada 
quina. Determine as dimensões desse quadrado para que a caixa tenha o volume 
máximo. R.: cmcm 33 ´ 
 
2) Uma folha de papel deve conter 232 cm de texto impresso, devendo suas 
margens superior e inferior ter cm2 e suas margens laterais cm1 . Quais devem 
ser as dimensões da folha de modo que sua área seja a menor possível? 
 R.: cmcm 126 ´ 
 
3) Um terreno tem forma de um triângulo retângulo cujos catetos medem m18 e 
m30 respectivamente. Deseja-se construir um edifício com a forma retangular 
com frente sobre o cateto maior de modo que a área seja máxima. Quais as 
dimensões do retângulo? R.: mm 915 ´ 
 
4) Uma caixa com tampa tem uma capacidade de 3512 dm . Sendo a base 
quadrada, quais são as dimensões para que a área total seja mínima? 
 R.: Cubo de dm8 de aresta 
 
5) Determine o raio de um cilindro de revolução com 316 cmp de volume, para 
que a superfície total seja mínima. R.: cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESENVOLVIMENTO DE FUNÇÕES 
 
Fórmula de Taylor 
 
A Fórmula de Taylor permite representar algumas funções através de um 
Polinômio, com um erro possível de ser estimado. Se considerarmos a função 
RIf ®: que admite derivadas até ordem n num ponto c do intervalo I , então o 
polinômio de Taylor de ordem n definida no ponto c é dada por: 
 
!
))((
!3
))((
!2
))((
))(()()(
)(32
n
cxcfcxcfcxcf
cxcfcfxP
nn
n
-
++
-
¢¢¢
+
-
¢¢
+-
¢
+= K
 
 
Obs.: Para 0=c a Fórmula de Taylor transforma-se na Fórmula de MacLaurin. 
 
 
Exemplos 
 
1) Determinar o Polinômio de Taylor de ordem 4 da função xexf =)( no ponto 
.0=c 
 
Solução 
 
!4
))((
!3
))((
!2
))((
))(()()0(
4)4(32 cxcfcxcfcxcf
cxcfcfPn
-
+
-
¢¢¢
+
-
¢¢
+-
¢
+=
 
24
)0)(0(
6
)0)(0(
2
)0)(0(
)0)(0()0()0(
4)4(32
4
-
+
-
¢¢¢
+
-
¢¢
+-
¢
+=
xfxfxf
xffP 
Sabemos que xexfxfxfxfxf ==¢¢¢=¢¢=¢= )()()()()( )4( 
Então 1)0()0()0()0()0( 0)4( ===¢¢¢=¢¢=¢= efffff 
Portanto 
2462
1)(
432
4
xxx
xxP ++++= é o Polinômio de Taylor de grau 4 da função 
xexf =)( no ponto .0=c 
 
 
2) Determinar o Polinômio de Taylor de grau 2 da função ,cos)( xxf = no ponto 
.0=c 
 
Solução 
 
10cos)0(cos)( ==Þ= fxxf 
00)0()( =-=Þ-=¢ senfxsenxf 
10cos)0(cos)( -=-=¢¢Þ-=¢¢ fxxf 
 
O Polinômio de grau 2 no ponto 0=c é dado por: 
!2
)0)((
)0)(0()0()(
2
2
-
¢¢
+-
¢
+=
xxf
xffxP 
2
1)(
2
)0(1
)0(01)(
2
2
2
2
x
xP
x
xxP -=Þ
--
+-+=
 
 
 
3) Determinar o Polinômio de Taylor de grau 4=n para a função xxf ln)( = no 
ponto .2=c 
 
Solução 
 
2ln)2(ln)( =Þ= fxxf 
2
1
)2(
1
)( 1 =¢Þ==¢ - fx
x
xf 
4
1
)2()( 2 -=¢¢Þ-=¢¢ - fxxf 
4
1
)2(2)( 3 =¢¢¢Þ=¢¢¢ - fxxf 
8
3
)2(6)( )4(4)4( -=Þ-= - fxxf 
 
O Polinômio de grau 4 no ponto 2=c será: 
 
!4
)(
!3
)2)(2(
!2
)2)(2(
)2)(2()2()(
)4(32
4
xfxfxf
xffxP +
-
¢¢¢
+
-
¢¢
+-
¢
+= 
432 )2(
64
1
)2(
24
1
)2(
8
1
)2(
2
1
2ln)( ---+---+= xxxxxPn 
 
 
 
APLICAÇÕES DAS SÉRIES 
 
Tábuas de logaritmos e de funções trigonométricas foram calculadas por meio 
das séries. Efetuaremos a seguir Três cálculos por meio de séries. 
 
1) Calcular o valor de 062sen com cinco decimais exatas. 
 
Solução 
 
Desenvolvendo a série de Taylor em potências de )( cx - temos: 
 
K+
-
-
-
--+= c
cx
csen
cx
ccxcsenxsen cos
!3
)(
!2
)(
cos)(
32
 
Façamos 060=c , pois conhecemos as funções trigonométricas de 060 e porque 
é próximo de .620 
 
Então: 034907,0
90
26062 000 ===-=-
p
cx e 
K+--×+= 0
3
0
2
000 60cos
!3
)034907,0(60
!2
)034907,0(
60cos034907,06062 sensensen 
 
K+´-´-´+=
2
1
6
)034907,0(
2
3
2
)034907,0(
2
1
034907,0
2
3
62
32
0sen 
 
88295,0000004,0000528,0017454,0866025,0620 =--+=sen 
 
 
 
2) Calcular o valor de e com quatro decimais exatas. 
 
Solução 
 
Desenvolvendo a série de Taylor em potências de )( cx - sendo 0=c temos: 
 
K++++++++=
50407201202462
1
765432 xxxxxx
xe x 
 
K++++++++=
5040
1
720
1
120
1
24
1
6
1
2
1
111e 
 
K++++++++= 00020,000139,000833,004167,016667,05,011e 
 
7183,2=e 
 
 
3) Calcular o valor de 035cos com quatro decimais exatas. 
 
K+
-
+
-
+
-
---=
!4
cos)(
!3
)(
!2
cos)(
)(coscos
432 xcxsenxcxxcx
senxcxxx 
Façamos 030=c , pois conhecemos as funções trigonométricas de 030 e porque 
é próximo de .350 
 
Então: 08727,0
180
5
53035 000 =
´
==-=-
p
cx e 
 
K+
´
+
+
´
+
´
-´-=
24
)08727,0(30cos
6
)08727,0(30
2
)08727,0(30cos
08727,03030cos35cos
40
3020
000 sensen
 
 
K+´+´+´-´-=
240
00006,0
2
3
6
00066,0
2
1
2
00762,0
2
3
08727,0
2
1
2
3
35cos 0 
 
K+++--= 000002,000006,000330,004364,086603,035cos 0 
 
8192,035cos =