hidraulica

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TÓPICOS DE 
HIDRODINÂMICA II
Equação da Continuidade
Equação da Energia
Aplicações da Equação de Bernoulli
Equações Fundamentais do Escoamento
 Costuma-se denominar de ‘Equações Fundamentais do Escoamento’ as seguintes 
equações, que representam 3 leis básicas, conforme abaixo:
1) Equação da Continuidade Lei da Conservação de Massa
2) Equação da Energia Primeira Lei da Termodinâmica
3) Equação da Quantidade de Movimento Segunda Lei de Newton
 Grande parte dos problemas de escoamentos podem ser resolvidos considerando
hipóteses simplificadoras, como escoamento unidimensional e permanente.
(“ENGENHARIA É A ARTE DE SABER SIMPLIFICAR”)
 Assim as equações de fluxo acima ficam bastante simplificadas, onde o
escoamento então é modelado de acordo com suas características médias
(velocidade média, pressão média), com utilização de coeficientes empíricos para
corrigir as distorções e as simplificações.
Equação da Continuidade
 Decorrente da Lei de Conservação de Massa;
 A massa não pode ser criada ou destruída (massa que entra = massa que sai);
 Portanto, considerando um tubo de seções 1 e 2 (abaixo), a massa do fluido que 
atravessa cada seção do tubo em um dado intervalo de tempo deve ser a mesma:
𝜌1 . Δ𝑥1 . 𝐴1 = 𝜌2 . Δ𝑥2 . 𝐴2
𝜌1 . 𝑈1 . Δ𝑡1 . 𝐴1 = 𝜌2 . 𝑈2 . Δ𝑡2 . 𝐴2
𝜌1 . 𝑈1 . 𝐴1 = 𝜌2 . 𝑈2 . 𝐴2Como os intervalos de tempo são iguais (Dt1=Dt2):
𝑣 =
Δ𝑥
Δ𝑡
Lembrando que:
Considerando fluido incompressível (r1=r2): 𝑈1. 𝐴1 = 𝑈2. 𝐴2=Q
Exemplo fechar janela 
Considerando a velocidade média (U):
Exercícios de Aplicação 1
Um bocal convergente de 100 mm x 50 mm é colocado num sistema para assegurar 
uma velocidade de 5 m/s na extremidade menor do bocal. Calcular a velocidade a 
montante do bocal e a vazão escoada.
U=1,25 m/s; Q=9,82 l/s
Exercícios de Aplicação 2
Considere um tubo de 300 mm de diâmetro com redução para um tubo de 200 mm de 
diâmetro. O fluxo de peso (água) é de 3 kN/s. Calcular a vazão em m³/s, bem como as 
velocidades médias nos tubos de 300 mm e 200 mm.
Q=0,3058 m³/s U300 = 4,33 m/s U200 = 9,74 m/s
Equação da Energia
 É derivada das equações diferencias de Euler, que por sua vez deriva das equações
diferencias de Navier-Stokes;
 Hoje a equação da energia é conhecida como equação de Bernoulli. Interessante
que Daniel Bernoulli (1700-1782) não “deduziu” matematicamente as equações,
mas fez considerações sobre o fenômenos que demonstrou compressão da
essência do fenômeno;
 Foi o matemático Leonhard Euler (1707-1783) quem exprimiu o princípio da forma
conhecida, com tratamento matemático não muito diferente do utilizado
atualmente.
NAVIER-STOKES EULER BERNOULLI
Simplificações:
• Fluido incompressível
• Sem viscosidade (fluido ideal)
• Tensão superficial nula
Simplificações:
• Escoamento permanente
• Integração das equações de Euler 
para uma linha de corrente
• Unidimensional
• Válida para uma linha de corrente
Equação da Energia
Linha de Energia
Linha de Piezométrica
Linha de Corrente
Plano de referência
𝑧1
𝑃1
𝛾
𝑣1
2
2𝑔
𝑣2
2
2𝑔
𝑣3
2
2𝑔
𝑃2
𝛾
𝑃3
𝛾
𝑧2
𝑧2
𝑧 +
𝑃
𝛾
+
𝑣2
2𝑔
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 (𝑜𝑢 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎)
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
EQUAÇÃO DE BERNOULLI – Ao longo de uma linha de corrente a energia se conserva
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
 Cada termo da equação tem a unidade de distância (metro);
 Cada termo da equação representa uma energia por unidade de peso. O princípio
de Bernoulli diz portanto que a energia permanece constante ao longo de uma linha
de corrente em um escoamento de um fluido ideal (viscosidade nula) e
incompressível em regime permanente. Portanto pode ser considerado um caso
particular do princípio da conservação de energia (primeira Lei da Termodinâmica).
 A equação acima é válida para um fluido que não existe no mundo real (fluido ideal),
além de ser válida apenas para pontos ao longo de uma linha de corrente.
 O que fazer para usá-la em casos reais em condutos?
Equação da Energia
𝑧 +
𝑃
𝛾
+
𝑣2
2𝑔
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
En. potencial En. cinética
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Equação da Energia
 Para utilizar a equação de Bernoulli em problemas práticos com tubos reais, duas
considerações devem ser feitas:
1. considerar a viscosidade
2. considerar a velocidade média no conduto ao invés da velocidade em um ponto (U ao
invés de v, ou, em outas palavras, o conjunto de linhas de corrente).
 Considerar a viscosidade significa considerar perdas de energia (Dh) ao longo do
escoamento (lembrar conceito de viscosidade – se há escoamento, há perda de
energia). Chamamos esta perda de energia de perda de carga.
 Considerar a velocidade média torna o problema unidimensional e irá exigir a
aplicação de um coeficiente corretivo (a) na velocidade. Este coeficiente é chamado
de coeficiente de energia cinética ou, como é mais conhecido, coeficiente de
Coriolis.
EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA TUBOS REAIS
U=v U
v
𝛼 = 𝐴
 𝑣³ 𝑑𝐴
𝑈3 . 𝐴
PARA FLUIDO IDEAL, a = 1 
𝛼 =
 𝑖=1
𝑛 𝑣𝑖
3 . 𝐴𝑖
𝑈3 . 𝐴
Equação da Energia
 O coeficiente de Coriolis é portanto função da distribuição de velocidades na seção
transversal;
 Visa corrigir o cálculo da parcela relativa à energia cinética para permitir a adoção da
velocidade média do fluxo ao invés da velocidade na linha de corrente.
 Utiliza-se portanto na equação de Bernoulli, ao invés do termo (v²/2g), o termo (aU²/2g)
 O coeficiente de Coriolis pode atingir valores significativos em alguns casos particulares.
Entretanto, em um grande caso de problemas de escoamentos reais com água, o perfil
de velocidades na seção é bastante uniforme, o e o valor de a aproxima-se bastante da
unidade. Portanto, em geral, adota-se a = 1.
 Considerando portanto a viscosidade e a distribuição real de velocidades, e utilizando a
velocidade média (U) ao invés da velocidade da partícula, a equação de Bernoulli entre
dois pontos do escoamento fica:
EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA TUBOS REAIS
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+ 𝛼
𝑈1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
+ 𝛼
𝑈2
2
2𝑔
+ Δℎ1−2
 As linhas piezométrica e de energia em um escoamento de um conduto possuem
a característica abaixo.
 Para fins práticos, devido à diferença de grandezas entre as pressões atuantes e o
diâmetro do conduto, considera-se a mesma pressão em todos os pontos da
seção do conduto. Por isso a altura piezométrica é tomada do eixo do conduto;
 É importante também que nos pontos de aplicação de Bernoulli o escoamento
seja o mais uniforme possível (linhas de corrente mais paralelas possível)
Equação da Energia
EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA TUBOS REAIS
𝑧1 𝑧2
𝑃1
𝛾
𝑃2
𝛾
𝛼
𝑈1
2
2𝑔
𝛼
𝑈2
2
2𝑔
Δℎ
 Na sequência vamos comentar sobre algumas das aplicações mais comuns da
equação de Bernoulli:
• Escoamento em orifícios;
• Tubo de Pitot;
• Tubo de Venturi;
• Força de Sustentação em aviões.
MAIS ALGUMAS CURIOSIDADES....
Equação da Energia
APLICAÇÕES BERNOULLI
Bernoulli Euler
Equação de Euler – considerada uma 
das “mais belas” equações de todos 
os tempos
 O escoamento por um orifício pode ser resolvido pela aplicação da equação de
Bernoulli
Aplicações da Equação de Bernoulli
ESCOAMENTO EM ORIFÍCIOS
 Aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2, e considerando as perdas de carga
desprezíveis e o escoamento permanente:
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
P2 desprezível (muito próxima da Patm)
ℎ =
𝑣2
2
2𝑔 𝑣2 = 2𝑔ℎ
 A expressão acima é conhecida como PRINCÍPIO DE TORRICELLI
 Como os efeitos gravitacionais são muito maiores do que os viscosos, o princípio de
Torricellifornece bons resultados para fluidos reais (erro ~2%).
 Mas sabendo a velocidade, como determinar a vazão?
Aplicações da Equação de Bernoulli
ESCOAMENTO EM ORIFÍCIOS
 A seção contraída do jato após o orifício não
possui as mesmas dimensões do orifício. E o
valor calculado da velocidade pela equação
de Torricelli é válido para a seção contraída.
 Na verdade para um resultado mais preciso, e
se se conhece apenas a área do orifício, a
vazão pelo orifício é definida pela seguinte
expressão:
Q = 𝐶𝑐 . 𝐶𝑣 . 𝐴. 2𝑔ℎ
Onde: Cv = coeficiente de velocidade ~0,98
Cc = coeficiente de contração = Ac/A
A = área do orifício
 A equação acima é totalmente confirmada pelos experimentos.
 Cc x Cv também é chamado simplesmente de Cd (coeficiente de descarga)
 O valor do coeficiente de contração varia conforme as características do orifício,
e podem ser obtidos na literatura. Para o orifício da figura seu valor é de 0,62.
 Abaixo alguns coeficientes de contração para várias configurações de descarga
(baseado em experimentos)
Aplicações da Equação de Bernoulli
ESCOAMENTO EM ORIFÍCIOS
orifício
contraídaseção
c
A
A
c
.

61,0cc 00,1cc
61,0cc 50,0cc
 Os tubos de Pitot são utilizados para medir a velocidade do fluxo. A primeira
aplicação deste tipo de tubo para medição de velocidades deve-se a Henry Pitot
(1695-1771), e data 1732;
 É um dos instrumentos mais precisos de medida de velocidade, com aplicações
importantes nos diversos momentos da engenharia;
 O tubo de Pitot é muito utilizado em aviões. Apesar de não ter sido comprovado, o
mau funcionamento do tubo de Pitot foi apontado como uma das causas do
acidente da AirFrance em maio de 2009, que vitimou 228 pessoas.
Aplicações da Equação de Bernoulli
TUBO DE PITOT
Aplicações da Equação de Bernoulli
TUBO DE PITOT
 Os tubos de Pitot são também conhecidos como tubos de estagnação (porque
dentro deles a velocidade é zero).
 A diferença da medida entre um tubo de Pitot e um piezômetro fornece a altura
de velocidade. O tubo de Pitot portanto mede a elevação da linha de energia no
ponto e medição.
 Despreza-se para isso a perda de carga entre o piezômetro e o Pitot.
 O tubo de Pitot não fornece a velocidade média, mas a velocidade no ponto (v
ao invés de U)
Aplicações da Equação de Bernoulli
TUBO DE VENTURI
 Consiste em um tubo onde é provocada uma redução de seção, seguido de um
trecho com seção contínua e posteriormente um retorno gradual à seção original
 O tubo de Venturi é um instrumento bastante utilizado para medição de vazão.
 Utiliza os conceitos da equação de Bernoulli e da equação da continuidade para
tal.
Aplicações da Equação de Bernoulli
TUBO DE VENTURI
 Na seção contraída, ocorre, de
acordo com a equação da
continuidade, um aumento da
velocidade, e de acordo com o
princípio de Bernoulli, uma redução
da pressão e aumento da carga
cinética.
 Considerando as perdas de carga
desprezíveis entre os pontos 1 e 2,
podemos considerar um fluido ideal e
aplicar Bernoullli:
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+ 𝛼
𝑈1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
+ 𝛼
𝑈2
2
2𝑔
Aplicações da Equação de Bernoulli
TUBO DE VENTURI
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+ 𝛼
𝑈1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
+ 𝛼
𝑈2
2
2𝑔
Considerando a1=a1=1 e rearranjando os termos:
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+
𝑈1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
+
𝑈2
2
2𝑔
Dh
Δℎ =
𝑈2
2
2𝑔
−
𝑈1
2
2𝑔
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
− 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
=
𝑈2
2
2𝑔
−
𝑈1
2
2𝑔
Dh
Considerando a equação da continuidade (U1A1=U2A2=Q):
Δℎ =
𝑈1
2. 𝐴1
2
2𝑔. 𝐴2
2 −
𝑈1
2
2𝑔
Δℎ =
𝐴1
2
𝐴2
2
𝑈1
2
2𝑔
−
𝑈1
2
2𝑔
Δℎ =
𝑈1
2
2𝑔
𝐴1
𝐴2
2
− 1 𝑈1
2 =
2𝑔. Δℎ
𝐴1
𝐴2
2
− 1
𝑈1
2 =
2𝑔. Δℎ
𝐴1
2 − 𝐴2
2
𝐴2
2
𝑈1
2 =
2𝑔. Δℎ. 𝐴2
2
𝐴1
2 − 𝐴2
2 𝑄 =
𝐴2. 𝐴1
𝐴1
2 − 𝐴2
2
2𝑔Δℎ 𝑄 = 𝐾 2𝑔Δℎ
Chamando este fatore de K
Dev ido à possibilidade de perdas de carga no fluxo K é 
calibrado em laboratório para medições de precisão
Aplicações da Equação de Bernoulli
FORÇA DE SUSTENTAÇÃOEM AVIÕES
 Quando um avião se desloca horizontalmente ou com uma pequena inclinação
para cima, a velocidade do ar acima da asa é maior do que na face inferior,
devido ao formato da asa. Consequentemente a pressão do até maior embaixo
do que em cima da asa.
 A diferença de pressão aplicada à área da asa do avião provoca o surgimento de
uma força de sustentação de baixo para cima que permite o aparelho se manter
no ar sem cair.
Exercício de Aplicação 3
Um fluido ideal de peso específico 7,9 kN/m³ escoa através de um orifício de borda 
delgada. O manômetro B acusa 41 kN/m² e o manômetro A 14 kN/m². Determinar a 
velocidade média do fluxo no tubo.
Resposta: U =v = 2,86 m/s
Exercício de Aplicação 4
Determinar a vazão que efluente do bocal. A densidade relativa do fluido que escoa é 
1,0. Considere o fluido ideal.
Resposta: 29,1 l/s
Exercício de Aplicação 5
Determinar a vazão que escoa no tubo de Venturi indicado
Resposta: 51 l/s