Folhas Aulas praticas Topografia 20102011

Prévia do material em texto

EXERCÍCIOS DE APOIO ÀS 
AULAS PRÁTICAS DE TOPOGRAFIA 
 
 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA 
 
 
 
2009/2010 
DOCENTES (2009/2010) 
 
Ana Paula Falcão Flôr 
Ricardo Tavares Sousa 
 
 
ÍNDICE 
 
1 – UTILIZAÇÃO BÁSICA DE CARTOGRAFIA ..................................................................................................... 1 
2 – GEODESIA............................................................................................................................................................... 3 
3 – CARTOGRAFIA MATEMÁTICA ........................................................................................................................ 5 
4 – ALTIMETRIA.......................................................................................................................................................... 7 
5 – PLANIMETRIA ....................................................................................................................................................... 9 
6 – MODELOS DIGITAIS DE TERRENO ................................................ ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED. 
7 – FOTOGRAMETRIA ............................................................................................................................................. 12 
 
 
 
 
 
1 
 
 
1 – UTILIZAÇÃO BÁSICA DE CARTOGRAFIA 
 
1 – Determine as coordenadas cartográficas e geodésicas do vértice geodésico .... da folha .... da Carta 
Militar de Portugal na escala de 1:25 000. 
 
2 – Pretende-se representar um elemento da superfície do terreno, com uma configuração rectangular, que 
mede 2.0 km de comprimento por 1.5 km de largura. Poderá ser representado na escala 1/2 000 numa folha 
de papel com as dimensões de 100cm por 80cm? 
 
3 – A que escala poderá ser representado um elemento da superfície do terreno com 700m de comprimento 
e 300m de largura sobre uma folha de papel com as dimensões de 80cm por 50cm? 
 
4 – Com que espessura deverá ser representada uma estrada com 8m de largura às escalas: 1:100, 1:500, 
1:1 000, 1:2 000, 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000 e 1:500 000? 
 
5 – Qual a maior escala convencional a que se pode representar, um tanque circular com um raio igual a 
3m, de modo a que a área da representação seja inferior a 5.00cm2? 
 
6 – Qual a menor escala convencional a que pode representar um edifício de planta rectangular 
(30m×25m), de modo a que a área de representação não seja inferior a 150cm2? 
 
7 – A Figura 1 representa uma porção da superfície do terreno, com curvas de nível e linhas de água. Iden-
tifique os erros existentes nesta representação. 
 
8 – Trace as linhas de água e as linhas de festo da Figura 2. 
 
9 – A partir da Figura 3, construa uma carta hipsométrica, utilizando uma gradação de tons de castanho, 
onde cada tom corresponde a uma das classes de altitudes apresentadas no quadro seguinte: 
 
Classe I Classe II Classe III Classe IV Classe V 
H ≤ 500m 500m < H ≤ 650m 650m < H ≤ 850m 850m < H ≤ 1000m H > 1000m 
 
10 – Desenhe, na Figura 4, as curvas de nível correspondentes às altitudes 335m e 365m. Na mesma figura, 
determine o valor das altitudes dos pontos A, B e C. 
 
11 – Os pontos F e G encontram-se às altitudes ortométricas: 
 
HF = 21.74m, HG = 123.09m 
 
Indique as curvas de nível que passam entre os dois pontos, em representações cartográficas: i) À escala 
1:25 000; ii) À escala 1:50 000. 
 
12 – A partir da malha de pontos de nível da Figura 5, desenhe as curvas de nível, com a equidistância na-
tural de 1m. Desenhe previamente uma rede de triangulação, cujos triângulos sejam o mais equiláteros pos-
sível. 
 
13 – A partir das coordenadas topográficas dos pontos 1 e 2 do terreno 
 
M1 = 12 500.000m P1 = 10 500.000m H1 = 112.540m 
M2 = 12 700.000m P2 = 10 400.000m H2 = 121.320m 
 
estime, por interpolação, as coordenadas cartográficas das intersecções das curvas de nível às altitudes 
115m e 120m, com o segmento de recta que une as projecções dos referidos pontos no plano cartográfico. 
 
14 – Sobre a Figura 6, construa uma carta de declives com as classes de declive apresentadas no quadro 
seguinte. 
 
Classe I Classe II Classe III Classe IV Classe V 
δ ≤ 5% 5% < δ ≤ 8% 8% < δ ≤ 12% 12% < δ ≤ 20% δ > 20% 
 
Desenhe um percurso entre os pontos de nível 38m, 144m e 153m, por forma a que este nunca exceda os 
10%. Evite seguir linhas de água. 
 
15 – Sobre a Figura 7, construa uma carta de visibilidades, a partir do ponto de nível 1121m. Considere o 
ponto de vista 10m acima do terreno. 
 
16 – Considere o rio Cabra, representado na Figura 8 e: i) Trace o seu perfil longitudinal e o seu perfil 
transversal, entre os pontos assinalados; ii) Delimite a sua bacia hidrográfica e determine, por dois métodos 
distintos, o valor da área da bacia. 
 
17 – Na Figura 9, está representado um elemento da superfície do terreno, onde deve implantar uma 
barragem de aterro, com o eixo do coroamento definido pela direcção AB. A implantação deve ser feita de 
acordo com as seguintes indicações: i) Coroamento à altitude de 70m com a largura de 8m; ii) Paramentos 
de montante e de jusante com declive de 50%. Calcule o volume de aterro da barragem. 
 
18 – Na Figura 10, está representado o eixo de uma via que se pretende construir. Essa via terá uma largura 
de 10m com declive de ____%. Os taludes de aterro deverão ter declive de 75% e os de escavação declive 
de 150%. a) Trace o perfil longitudinal do terreno segundo o eixo da via e sobre ele implante o eixo da 
estrada; b) Trace perfis transversais de 50m em 50m e calcule o volume de terra movimentado; c) 
Represente as linhas de intersecção do terreno com os taludes de aterro e de escavação; d) Desenhe as 
curvas de nível correspondentes à nova superfície. 
 
3 
 
2 – GEODESIA 
 
1 – Considere o elipsóide de Hayford, definido pelos parâmetros semi-eixo equatorial e achatamento: 
 
0.297
1f,m000.3883786a == 
 
Considere o paralelo situado, à latitude 37º35’42.256”N, sobre o elipsóide de Hayford. Determine os 
valores do raio de curvatura da secção normal principal, do raio de curvatura do meridiano e do raio de 
curvatura médio para a latitude dada. Determine o raio de curvatura do paralelo. 
 
2 – Considere o elipsóide do WGS84, definido pelos parâmetros semi-eixo equatorial e achatamento: 
 
563223257.299
1f,m000.1373786a == 
 
Considere o paralelo situado, à latitude 37º35’42.256”N, sobre o elipsóide de WGS84. Determine os 
valores do raio de curvatura da secção normal principal, do raio de curvatura do meridiano e do raio de 
curvatura médio para a latitude dada. Determine o raio de curvatura do paralelo. Compare com os 
resultados do exercício anterior. 
 
3 – Determine o valor do raio de curvatura da secção normal de azimute 45º do elipsóide do WGS84 num 
ponto à latitude geodésica φ = 39° 40’05.7300”N. 
 
4 – Determine as coordenadas geodésicas cartesianas tridimensionais do vértice IST, associadas ao datum 
geodésico Hayford-Melriça. Calcule a distância do vértice ao centro do elipsóide. Admita que, no vértice, a 
ondulação do Geóide tem o valor N = 2.341m. 
 
5 – Com recurso ao modelo de Molodensky, determine as correcções que deve adicionar às coordenadas 
geodésicas do vértice IST, relativas ao datum Hayford-Lisboa, para obter as suas coordenadas geodésicas 
relativas ao WGS84. 
 
6 – Será que existe uma vizinhança, em torno dos vértices, na qual se podem usar as mesmas correcções de 
Molodensky, para transformar as coordenadas geodésicas relativas a diferentes data geodésicos? Use o 
exercício anterior como exemplo. Experimente atribuir acréscimos Norte-Sul e Este-Oeste (30”, por 
exemplo) às coordenadas geodésicas do vérticeIST e calcule as correcções correspondentes. 
 
7 – 
a) Calcule o comprimento do arco de paralelo entre os pontos à latitude 39º 40’ N situados às longitudes 4º 
15’ WGrw e 2º 18’ 20’’ EGrw. 
b) Porque razão as transformações de coordenadas de um datum para outro não são exactas ? 
c) Qual a função da Rede Geodésica Nacional ? 
 
8 – Suponha que pretende representar a carta geológica portuguesa, geo-referenciada no sistema de 
coordenadas Bessel-Bonne Datum Lisboa, em conjunto com a rede rodoviária espanhola, geo-referenciada 
com UTM Datum Europeu 1950. Indique as operações de transformação que teria que realizar e os 
parâmetros que necessitaria de conhecer. 
 
9 – Em que situações é vantajosa, por comparação com as transformações de Molodensky e de Bursa-Wolf, 
a utilização da transformação polinomial entre coordenadas cartográficas provenientes de dois sistemas de 
coordenadas diferentes. 
 
10 –Porque razão, ou razões, existem diversos data em uso e não um único datum para o mundo inteiro ? 
 
11 – Qual a distância espacial (em linha recta) entre o vértice geodésico IST (ϕIST = 38° 44’ 09.1”, λIST = - 
9° 08’ 24.1’’) e um ponto situado oito graus a leste do seu antípoda, considerando que a altitude elipsoidal 
é 0 para ambos os pontos. Utilize o elipsóide de Hayford. 
 
5 
 
3 – CARTOGRAFIA MATEMÁTICA 
 
1 – No caso da projecção cartográfica de Gauss-Krüger, a convergência do meridiano num ponto pode ser 
aproximada por ∆λcosφ. Considerando o datum geodésico Hayford-Melriça, determine a variação da 
convergência do meridiano entre os vértices Brito e Restelo da rede geodésica de Lisboa. 
 
2 – Considere a projecção cartográfica de Gauss-Krüger. Considere um ponto (1) de um elipsóide de 
referência, com as coordenadas cartográficas: 
 
M1 = 150 000.0m, P1 = 100 000.0m 
 
Determine o valor da redução ao plano cartográfico a aplicar a uma distância s12 = 1km, sobre o elipsóide, 
quando o ponto 2 se encontra respectivamente a Sul, a Oeste e a Sudeste do ponto 1. 
 
3 – Se projectasse num plano, uma esfera de raio R = 6 374km, mediante a projecção ortográfica, com o 
ponto central à latitude 39° Norte e à longitude 9° Oeste de Greenwich, quais as coordenadas resultantes 
para um ponto situado 1° a Oeste e 30’ a Sul do ponto central? 
 
4 − Considere a projecção cartográfica de Eratóstenes, de uma esfera com raio R = 6371km, tomando o 
ponto central na intersecção do Equador com o meridiano de Greenwich. Considere uma porção da 
superfície do terreno cuja projecção na esfera (S) tem a área de 1km2. Sabendo que as cidades de Faro e 
Bragança se situam aproximadamente às latitudes: 
 
φFaro = 37º 05’N, φBragança = 41º 45’N 
 
determine a área da representação cartográfica de S, em Faro e em Bragança, respectivamente. 
 
5 − Considere a projecção cartográfica de Mercator, de uma esfera com raio R = 6371km, tomando o ponto 
central na intersecção do Equador com o meridiano de Greenwich. Sabendo que as cidades de Faro e 
Bragança se situam aproximadamente às latitudes: 
 
φFaro = 37º 05’, φBragança = 41º 45’ 
 
determine a distância à perpendicular das duas cidades, compare com os comprimentos de arco de 
meridiano esféricos correspondentes e comente a diferença. 
 
6 − Considere as versões normal e transversa da projecção cartográfica de Mercator, de uma esfera de raio 
R = 6371km, com o ponto central na intersecção do Equador com o meridiano de Greenwich. Determine as 
coordenadas cartográficas, relativas às duas versões da projecção, de um ponto X, situado na região de 
Lisboa, com as coordenadas esféricas: 
 
φX = 38º45’ Norte, λX = 9º 10’ WGrw 
 
Comente as diferenças entre as distâncias à meridiana e as distâncias à perpendicular resultantes das duas 
projecções. 
 
7 − Para substituir um elipsóide por uma esfera, com finalidades cartográficas (escalas pequenas), usa-se a 
esfera de raio: 
 
R = (2/3) a + (1/3) b 
 
e substituem-se as latitudes geodésicas (φ) pelas latitudes geocêntricas (ϕ): 
 
ϕ = arctg((1 – e2) Tan(φ)) 
 
Sabendo que as coordenadas geodésicas do vértice IST, relativas ao WGS84: 
 
φIST = 38º44’11.962” Norte, λIST = 9º 08’21.026” WGrw 
 
calcule as coordenadas cartográficas (M e P) resultantes da projecção de Mercator transversa (versão 
esférica) do vértice IST, tomando para ponto central, o ponto central do novo sistema de projecção 
cartográfica do IGeoE. 
 
Nota: O IGeoE decidiu, recentemente, adoptar um novo sistema de projecção cartográfica baseado na 
projecção de Gauss-Kruger, no WGS84 e num ponto central com as coordenadas geodésicas: 
 
φ0 = 39º 40’ 05.730” N, λ0 = 8º 07’ 59.191” WGrw 
 
8 – Quais as coordenadas cartográficas do vértice IST (ϕIST = 38° 44’ 09,1”, λIST = - 9° 08’ 24,1’’), 
considerando a projecção ortográfica aplicada a um plano tangente num ponto de coordenadas: 
 
ϕ =39° 40’ 0,0” 
λ =- 9° 10’ 20,000’’ 
(Considere uma esfera com raio igual a 6374 km). 
 
9 – Na cartografia militar portugesa do território continental é feita uma translação para uma falsa origem 
situada 200km a Este e 300km a Sul do Ponto Central. Poderia ser feita directamente a projecção tendo 
esse ponto como ponto central da projecção ? Os resultados seriam iguais ? 
 
10 – Qual o efeito da utilização de um factor de escala inferior a um no sistema de projecção UTM ? 
 
 
7 
 
4 – NIVELAMENTO 
 
1 – Estacionou um nível óptico no centro de um triângulo equilátero com 20m de lado, cujos vértices são 
os pontos A, B e C. Seguidamente, fez as leituras: 
 
LA = 0.43m, LB = 1.96m, LC = 3.67m 
 
na escala de uma mira de 4m, que foi estacionada sucessivamente sobre os três vértices do triângulo. 
Admitindo que o ponto C se encontra à altitude HC = 35.00m, determine a que distância do ponto A, sobre 
o lado AB, se encontram os pontos de passagem das curvas de nível correspondentes à escala convencional 
1/100. 
 
2 – Para ligar, por linha de nivelamento geométrico, dois pontos A e B de altitudes previamente 
conhecidas: 
 
HA = 22.450m, HB = 24.430m. 
 
foi necessário medir quatro desníveis. Sabendo que os desníveis observados foram: 
 
HA1 = 0.155m, H12 = 0.765m, H23 = 0.385m, H3B = 0.665m 
 
determine e distribua o erro de fecho. Determine as altitudes corrigidas dos pontos intermédios da linha. 
 
3 – Para ligar, com uma linha de nivelamento geométrico, dois pontos de altitudes conhecidas: 
 
HA = 131.540m, HB = 128.080m 
 
foi necessário medir quatro desníveis entre os pontos distanciados cerca de 100m: 
 
HA1 = −1.563m, H12 = +0.847m, H23 = −1.317m, H3B = −1.453m 
 
Sabendo que o comprimento da linha é cerca de 100m, proceda ao tratamento dos desníveis observados 
tendo em atenção a tolerância 
 
mm12Kt ×= 
 
onde K é o comprimento da linha em quilómetros. 
 
4 – Com um nível óptico, foi efectuado o registo de observações apresentado no quadro seguinte: 
 
Ponto Atrás Frente 
A 1.287m --- 
B 0.986m 2.765m 
C 2.100m 2.671m 
D 2.345m 1.294m 
E --- 1.786m 
 
Sabendo que HA = 75.182m e que HE = 73.386m, determine as altitudes dos pontos B, C e D. 
 
5 – Estacionado à altura de 0.32m no vértice de Montalvão (1) da rede geodésica de Lisboa, mediu com um 
teodolito e um DEM o ângulo zenital e a distância: 
 
Z1Y = 101.50 55gon, S1Y = 1 036.985m 
 
para um retro-reflector estacionado, à altura de 1.09m num ponto Y. Considerando o coeficiente de refrac-
ção vertical da trajectória igual a −0.80, determine a altitude ortométrica do ponto Y. 
 
6 – Com recurso a um taqueómetro electrónico, estacionado no vértice Poiais (1) da rede geodésica de 
Lisboa, foram medidos o ângulo zenital e a distância 
 
Z12 = 101.65 40gon, S12 = 1 217.465m 
 
para um ponto 2, situado a Sul do ponto 1, onde foi estacionado o retro-reflector do DEM. Sabendoque o 
valor de S12 já inclui a correcção ambiental, determine a altitude do ponto 2 e a distância cartográfica c12 
entre os pontos 1 e 2. Considere o coeficiente de refracção da trajectória óptica entre 1 e 2 igual a +0.30. 
As alturas do taqueómetro e do retro-reflector foram respectivamente 1.15m e 1.25m. 
 
7 – Com um taqueómetro electrónico estacionado no vértice Ajuda (1), à altura de 32cm, e um retro-
reflector estacionado sobre um ponto (X) do terreno, à altura de 1.22m, mediu o ângulo zenital e a 
distância: 
 
Z1X = 100.51 45gon, S1X = 2 121.546m 
 
Sabendo que o azimute cartográfico A1X é aproximadamente nulo, determine o desnível ortométrico H1X e 
a distância cartográfica c1X. 
 
8 – Com um taqueómetro electrónico estacionado, a uma altura de 1.26m, sobre o vértice de Belém (B) da 
rede de Lisboa, observou o ângulo zenital e a distância: 
 
ZBX = 100.07 35gon, SBX = 2 121.560m 
 
para um retro-reflector estacionado num ponto do terreno (X) à altura de 1.09m. Sabendo que o azimute 
cartográfico ABX é muito próximo do azimute cartográfico do vértice Belém para o vértice Margiochi, 
determine a altitude ortométrica HX e a distância cartográfica cBX. 
 
9 – Com um taqueómetro electrónico estacionado, à altura de 1.25m, num ponto (X) do terreno, de 
coordenadas desconhecidas, foram medidos o ângulo zenital e a distância: 
 
ZXM = 98.21 35gon, SXM = 2 235.863m 
 
para um retro-reflector estacionado à altura de 0.30m sobre o vértice Montalvão (M) da rede geodésica de 
Lisboa. Simultaneamente, foram medidas a temperatura e a pressão atmosférica no ponto estação: 
 
TX = 32°C, PX = 745mmHg 
 
Sabendo que o DEM da estação total é baseado num laser Rubí e a sua atmosfera de referência é igual à 
atmosfera padrão, com excepção da temperatura de referência TR = 15°C, determine a altitude ortométrica 
do ponto X. 
 
 
9 
 
5 – PLANIMETRIA 
 
1 – Dados os ângulos azimutais: 
 
A123 = 100.00gon, A432 = 90.00gon, A345 = 290.00gon, A254 = 120.00gon 
 
determine o azimute cartográfico (rumo) A52, sabendo que o azimute cartográfico da direcção entre os 
pontos 1 e 2 é: 
 
A12 = 120.00gon. 
 
2 – Determine o azimute cartográfico da direcção A67 sabendo que: 
 
A12 = 120.00gon, A123 = 230.00gon, A432 = 110.00gon, 
A345 = 240.00gon, A654 = 90.00gon, A567 = 210.00gon. 
 
3 – Determine os ângulos internos do triângulo definido pelos pontos que têm as seguintes coordenadas 
cartográficas: 
 
Ponto M (m) P (m) 
A 400.000 400.000 
B 600.000 700.000 
C 800.000 200.000 
 
4 – Considere as coordenadas cartográficas, relativas ao Hayford-Melriça, dos vértices da rede geodésica 
de Lisboa: Ajuda (1), Monsanto (2) e D. Pedro V (3). Determine o valor do ângulo azimutal orientado 
A123. Converta o ângulo para os sistemas natural, sexagesimal e horário. 
 
5 – Determine o valor dos ângulos azimutais orientados A213 e A312, que deverá obter estacionando um 
teodolito no vértice Lisboa (1) e fazendo leituras azimutais para os vértices Ribeira (2) e D. Pedro V (3). 
Converta os resultados para os sistemas natural, sexagesimal e horário. 
 
6 – Com recurso a um taqueómetro electrónico estacionado no vértice geodésico Montalvão (1) e um alvo 
retro-reflector estacionado num ponto do terreno (3) de coordenadas topográficas desconhecidas, mediu, 
com origem no vértice geodésico Belém (2) o ângulo azimutal orientado e a distância, já reduzida ao plano 
cartográfico: 
 
A213 = 38.55 85gon, c13 = 2 032.533m. 
 
Determine as coordenadas cartográficas do ponto 3, relativas ao Datum 73. 
 
7 – Estacionou um taqueómetro electrónico no vértice geodésico Ajuda (A) e apontou para o vértice geo-
désico Montes Claros (M) e para um ponto X sobre o terreno. Obteve as seguintes leituras azimutais e 
distância reduzida ao plano cartográfico: 
 
LAM = 53.34 45gon, LAX = 378.89 85gon, cAX = 989.343m 
 
Determine as coordenadas cartográficas do ponto X, relativas ao datum 73. 
 
8 – Com um teodolito estacionado nos vértices Ajuda (1) e Monsanto (2) mediu os ângulos azimutais: 
 
A213 = 350.33 45gon, A123 = 52.21 85gon, 
 
para um ponto 3 de coordenadas desconhecidas. 
a) Represente esquematicamente a posição dos pontos 1, 2 e 3 relativamente à direcção do Norte Cartográ-
fico. 
b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto 3, relativas ao Datum 73. 
 
9 – Com um teodolito estacionado nos vértices de Montalvão (1) e Extremo W (3) efectuou as seguintes 
leituras azimutais: 
 
L13 = 128.89 90gon, L14 = 180.24 55gon, L31 = 29.33 40, L34 = 379.76 65gon 
 
para um ponto 4 de coordenadas desconhecidas. 
a) Represente esquematicamente a posição dos pontos 1, 3 e 4, relativamente à direcção do Norte cartográ-
fico. 
b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto 4, relativas ao Datum 73. 
 
10 – Com um teodolito estacionado nos vértices Ajuda (1) e num ponto Y de coordenadas desconhecidas 
mediu os ângulos azimutais: 
 
A21Y = 51.56 75gon, A1Y2 = 49.33 15gon 
 
onde 2 é o vértice Montes Claros da rede geodésica de Lisboa. 
a) Represente esquematicamente a posição dos pontos 1, 2 e Y, relativamente à direcção do Norte Carto-
gráfico. 
b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto Y, relativas ao Datum 73. 
 
11 – Com recurso a um teodolito, que estacionou, primeiro no ponto 3, de coordenadas topográficas desco-
nhecidas, e depois no vértice geodésico Montes Claros (1), obteve as seguintes leituras azimutais: 
 
L31 = 208.9595gon, L32 = 115.2885gon, L13 = 26.9890gon, L12 = 98.1515gon 
 
onde 2 representa o vértice geodésico Tapada. 
a) Represente esquematicamente a posição relativa dos 3 pontos, em relação à direcção do Norte Cartográ-
fico. 
b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto 3, relativas ao Datum 73. 
 
12 – Com um teodolito, estacionado num ponto Y do terreno, observou sucessivamente os ângulos azimu-
tais: 
 
ABYV = 45.65 35gon, AVYL = 40.56 25gon 
 
onde B, V e L simbolizam os vértices Instituto Botânico, D. Pedro V e Lisboa, da rede geodésica de 
Lisboa. 
a) Represente esquematicamente a posição dos pontos B, V, L e Y, relativamente à direcção do Norte Car-
tográfico. 
b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto Y, relativas ao Datum 73. 
 
 
13 – Com um teodolito estacionado num ponto Y, foram visados os vértices Montes Claros (k), Tapada (i) 
e Margiochi (j), com as seguintes leituras azimutais: 
 
Lk = 10.05 65gon, Li = 42.25 60gon, Lj = 110.42 30gon. 
 
11 
Determine as coordenadas cartográficas do ponto Y, relativas ao Datum 73. 
 
14 – Com recurso a um taqueómetro electrónico estacionado no ponto 4, de coordenadas topográficas 
desconhecidas, do qual eram visíveis os vértices geodésicos Montes Claros (1), Tapada (2) e Margiochi 
(3), da rede geodésica de Lisboa, foram medidos os ângulos azimutais orientados: 
 
A142 = 48.75 60gon, A243 = 35.01 25gon 
 
a) Tendo em atenção os valores dos ângulos orientados, represente esquematicamente a posição relativa 
dos pontos 1, 2, 3 e 4, relativamente ao Norte Cartográfico. 
b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto 4, relativas ao Datum 73. 
 
15 – Com recurso a um taqueómetro electrónico, estacionado sucessivamente nos pontos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, 
observou os seguintes ângulos azimutais (em gon): 
 
A012 = 385.236, A123 = 160.609, A234 = 122.073, A345 = 118.565, A456 = 110.889, A561 = 211.563 
 
e distâncias, já reduzidas ao plano cartográfico (em metros): 
 
c12 = 78.753, c23 = 26.854, c34 = 64.623 c45 = 60.224, c56 = 40.215, c61 = 42.415. 
 
Sabendo que as coordenadas cartográficas dos pontos 0 e 1 são: 
 
Ponto M (m) P (m) 
0 −87 146.597 −106 255.400 
1 −87 261.134 −106 272.078 
 
determine as coordenadas cartográficas dos pontos 2, 3, 4, 5 e 6, relativas ao Datum 73.6 – FOTOGRAMETRIA 
 
1 – Uma fotografia do terreno obtida, com uma câmara fotogramétrica aerotransportada, apresenta a 
imagem de um tanque de planta quadrada. Sabendo que o eixo óptico da câmara se encontrava vertical, 
com o centro óptico à altura de 420m no momento da exposição, e que o lado do tanque, que tem 10m de 
comprimento, mede 5mm na imagem, determine o ângulo de abertura da câmara. 
 
2 – Considere uma cãmara fotogramétrica, com ângulo de abertura normal, transportada num avião, cujo 
sentido de voo é de Oeste para Este. Admita que o eixo óptico da câmara se encontra rigorosamente 
vertical no instante da exposição. Sabendo que as fotocoordenadas de um ponto P do terreno, bem 
identificado na imagem, são: 
x = 7.252mm, y = 10.893mm 
 
e que as diferenças entre as coordenadas cartográficas do ponto P e do centro óptico da câmara no momen-
to da exposição são: 
∆M = −50m, ∆P = −75m 
 
determine o desnível entre o ponto P e o centro óptico da câmara. 
 
3 – Pretende cobrir um elemento de terreno, com a forma de um rectângulo de 1.1km por 1.5km, com um 
único par estereoscópico de imagens fotográficas, com uma sobreposição longitudinal de 60%. Determine 
a altura de voo mínima, necessária para cobrir estereoscopicamente o elemento de terreno com uma câmara 
super grande angular. 
 
 
4 – Pretende realizar o levantamento aerofotogramétrico de uma faixa do terreno com 10km de 
comprimento e 1km de largura, para a elaboração de uma planta topográfica à escala 1:1000. Qual o 
número mínimo de fotografias à escala 1:5000, necessário para cobrir a faixa de terreno, com uma câmara 
normal, com uma só fiada, com uma sobreposição longitudinal de 65%? 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO 1 
 
 
FIGURAS 
 
 
 
Figura 1 - Identificação de Erros de Representação 
 
 
60
7
0
70
70
6
0
50
6
0
 
3 
Figura 2 - Traçado de Linhas de Água e Linhas de Festo 
 
 
 
 
Figura 3 - Carta Hipsométrica (escala 1/25000) 
 
5 
Figura 4 - Determinação de Cotas por Interpolação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Pontos Cotados para Desenho de Curvas de Nível 
 
-95900
Escala 1/1 000
87.89
89.56
96.63
97.21
99.74
99.46
99.72
87.56
86.29
87.78
88.16
89.63
91.56
92.57
94.63
95.93
95.20
96.55
96.14
98.44
97.54
87.6288.16
87.39
88.20
87.92
87.80
88.32
96.8496.90
97.0496.44
97.03
97.14
96.74
97.29
97.48
100.13
99.94
99.65
99.75
100.35
99.12
99.56
97.51
98.49
100.29
100.31
100.57
100.00
99.83 99.91
100.01
97.60
98.03
98.87
99.87
99.36
100.46
97.34
98.25
99.94
97.61
97.29
89.14
90.56
92.96
94.74
96.08
96.30
96.89
96.74
96.71
91.21
92.80
96.05
96.59
93.36
95.91
93.32
95.92
96.22
96.46
89.83
91.07
92.89
92.79
90.16
93.63
95.30
93.56
94.95 94.73
95.64
96.31
96.05
96.80
88.92
90.6190.42
89.35
90.89
87.16
87.2389.25
88.01 86.8386.8086.95
87.07
88.67
90.59
-96000
-95800
-
10
09
00
-
10
10
00
7 
 
Figura 6 - Carta de Declives (escala 1/10000) 
 
 
Figura 7 - Carta de Visibilidades (escala 1/25000) 
9 
 
Figura 8 - Bacia Hidrográfica da Rib. da Lobagueira (escala 1/20000) 
 
 
 
 
Figura 9 - Implantação de Barragem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Figura 10 - Implantação de Estrada (escala 1/2000) 
«
1