2018.1 MEstII AD1 Gabarito

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AD1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2018GABARITO
Questa˜o 1A´rea sob a curva e´ a a´rea de um trape´zio:k + 0, 12 × 4 = 1⇒ k + 0, 1 = 0, 5⇒ k = 0, 4
Questa˜o 2Segmento de reta y = a+ bx determinado pelos pontos (1; 0, 4) e (5; 0, 1).
0, 4 = a+ b0, 1 = a+ 5b−0, 3 = 4bb = −0, 075
0, 4 = a− 0, 075a = 0, 475 f (x) = 0, 475− 0, 075x 1 ≤ x ≤ 5
Questa˜o 3P(X > 2 |X < 4) = P(2 < X < 4)P(X < 4)
P(2 < X < 4) = f (2) + f (4)2 × 2 =f (2) + f (4) = (0, 475− 0, 075 · 2) + (0, 475− 0, 075 · 4) =0, 325 + 0, 175 = 0, 5
P(X < 4) = f (1) + f (4)2 × 3 = 0, 4 + 0, 1752 × 3 = 0, 8625
P(X > 2 |X < 4) = P(2 < X < 4)P(X < 4) = 0, 50, 8625 = 0, 5797
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Questa˜o 4 P(X > c) = 0, 6⇒ a´rea do trape´zio sombreado = 0, 6f (c) + f (5)2 · (5− c) = 0, 6⇔[(0, 475− 0, 075c) + 0, 1] (5− c) = 1, 2⇔(0, 575− 0, 075c)(5− c) = 1, 2⇔2, 875− 0, 575c − 0, 375c + 0, 075c2 = 1, 2⇔0, 075c2 − 0, 95c + 1, 675 = 0⇔c = 0, 95±√0, 952 − 4 · 0, 075 · 1, 6752 · 0, 075 = 0, 95±
√0, 40, 15As ra´ızes sa˜o
c = 0, 95 +√0, 40, 15 = 10, 5497 fora do domı´nio de f
c = 0, 95−√0, 40, 15 = 2, 117 soluc¸a˜o!
Questa˜o 5 • f (x) ≥ 0
• A´rea sob a curva e´ a a´rea de um retaˆngulo de base 1 ealtura 0,5 (cinza claro) mais a a´rea de um triaˆngulo de base2 e altura 0,5 (cinza escuro)
A´rea = 1 · 0, 5 + 12 · 2 · 0, 5 = 0, 5 + 0, 5 = 1Condic¸o˜es satisfeitas – f e´ uma func¸a˜o densidade no intervalo [1; 4].Note que as duas a´reas sombreadas em cinza claro e cinza escurorepresentam, respectivamente, P(X < 2) = 0, 5 e P(X ≥ 2) = 0, 5
Questa˜o 6
P(X ≤ 3)︸ ︷︷ ︸cinza claro = 1− P(X > 3)︸ ︷︷ ︸cinza escuro =1− 12 · 1 · f (3) = 1− 12(1− 0, 25 · 3) = 1− 0, 125 = 0, 875
Questa˜o 7P(X > 3 |X > 2) = P(X > 3)P(X > 2) = 0, 1250, 5 = 0, 25
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Questa˜o 8
c tem que ser menor que 2, pois P(X ≥ 2) = 0, 5P(X > c)︸ ︷︷ ︸cinza escuro = 0, 6⇔ P(X < c)︸ ︷︷ ︸cinza claro = 0, 4⇔(c − 1)× 0, 5 = 0, 4⇔ c − 1 = 0, 8⇔ c = 1, 8
Questa˜o 9
P(Z > 1, 72) = 0, 5− tab(1, 72) = 0, 5− 0, 4573 = 0, 0427
Questa˜o 10
P(Z < 1, 24) = 0, 5 + tab(1, 24) = 0, 5 + 0, 3925 = 0, 8925
Questa˜o 11
P(−2, 84 < Z < −1, 32) = P(1, 32 < Z < 2, 84) =tab(2, 84)− tab(1, 32) = 0, 4977− 0, 4066 = 0, 0911
Questa˜o 12
P(−1, 96 < Z < 2, 33) = tab(2, 33)+tab(1, 96) = 0, 4901+0, 475 =0, 9651
Questa˜o 13
P(1, 12 < Z < 3, 02) = tab(3, 02)−tab(1, 12) = 0, 4987−0, 3686 =0, 1301
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Questa˜o 14 k > 0!
P(Z > k) = 0, 015⇔ tab(k) = 0, 5− 0, 015 = 0, 485⇔ k = 2, 17
Questa˜o 15 k < 0!P(Z < k) = 0, 03⇔ P(Z > −k) = 0, 03⇔tab(−k) = 0, 5− 0, 03 = 0, 47⇔ −k = 1, 88⇔ k = −1, 88
Valor mais pro´ximo de 0,47 e´ 0,4699!
Questa˜o 16 k < 0!
P(Z > k) = 0, 8⇔ tab(−k) = 0, 3⇔ −k = 0, 84⇔ k = −0, 84
Valor mais pro´ximo de 0,3 e´ 0,2995!
Questa˜o 17 k > 0!
P(|Z | > k) = 0, 05⇔ P(|Z | ≤ k) = 0, 95⇔P(−k ≤ Z ≤ k) = 0, 95 ⇔ 2 · tab(k) = 0, 95 ⇔ tab(k) = 0, 475 ⇔k = 1, 96
Questa˜o 18 k > 0!P(|Z | < k) = 0, 80⇔P(−k ≤ Z ≤ k) = 0, 80 ⇔ 2 · tab(k) = 0, 80 ⇔ tab(k) = 0, 40 ⇔k = 1, 28
Valor mais pro´ximo de 0,40 e´ 0,3997!
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Questa˜o 19 k > 100!
P(X > k) = 0, 1⇔ P(Z > k − 1005
) = 0, 1⇔
tab(k − 1005
) = 0, 40⇔ k − 1005 = 1, 28⇔ k = 106, 4
Questa˜o 20 k < 100!P(X < k) = 0, 02 ⇔ P(Z < k − 1005
) = 0, 02 ⇔
P(Z > 100− k5
) = 0, 02 ⇔ tab(100− k5
) = 0, 48 ⇔100− k5 = 2, 05⇔ k = 100− 5× 2, 05⇔ k = 89, 75
Valor mais pro´ximo de 0,48 e´ 0,4798!
Questa˜o 21 k > 100!P(X < k) = 0, 95 ⇔ P(Z < k − 1005
) = 0, 95 ⇔
tab(k − 1005
) = 0, 45⇔ k − 1005 = 1, 64⇔ k = 108, 2
Outras soluc¸o˜es poss´ıveis correspondem a` abscissa 1,65 ou 1,645:k = 108, 25 ou k = 108, 225.
Questa˜o 22 k > 0!P(|X − 100| < k) = 0, 99 ⇔ P(−k < X − 100 < k) = 0, 99 ⇔P(−k5 < Z < k5
) = 0, 99⇔ 2 · tab(k5
) = 0, 99⇔
tab(k5
) = 0, 495⇔ k5 = 2, 58⇔ k = 12, 9
Outras soluc¸o˜es poss´ıveis correspondem a` abscissa 2,57 ou 2,575:k = 12, 85 ou k = 12, 875.
Questa˜o 23 k > 0!P(|X − 100| > k) = 0, 05⇔ P(|X − 100| ≤ k) = 0, 95⇔P(−k ≤ X − 100 ≤ k) = 0, 95 ⇔ P(−k5 ≤ Z ≤ k5
) = 0, 95 ⇔
2 · tab(k5
) = 0, 95⇔ tab(k5
) = 0, 475⇔ k5 = 1, 96⇔ k = 9, 8
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