matemática para computadores und 2 unip

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Unidade II
Unidade II
3 funções
Conforme demonstrado na unidade anterior, o conceito de função é um dos mais importantes na 
Matemática e é uma ferramenta poderosa nos processos de modelagem de problemas, ou seja, entender 
como as variáveis estão relacionadas entre si.
A ideia que vem à mente do aluno é: para que vou aprender a usar esse conceito? Será que o 
aprendizado desse conteúdo trará algum benefício para mim? A resposta para essas indagações é: 
•	 O	conceito	de	função	está	presente	em	nosso	dia	a	dia,	portanto	é	fundamental	o	entendimento	
de como as grandezas estão relacionadas entre si.
•	 A	interpretação	de	tabelas	e	gráficos,	nos	diversos	meios	de	comunicação	do	mundo	moderno,	é	
facilitada com o conceito de função. Além do mais, saber interpretá‑los contribui para ampliar o 
conhecimento do mundo que o cerca.
•	 Atividades	do	cotidiano,	como	cálculo	do	 imposto	de	renda,	que	depende,	entre	outras	coisas,	
do	valor	do	salário,	poderão	ser	entendidas	mais	facilmente.	O	conceito	de	função	está	presente	
também no cálculo do preço de uma refeição em um restaurante por quilo, que dependerá da 
quantidade de comida a ser colocada no prato, e em diversos outros ramos de atividade, como 
economia, saúde, artes etc.
O	conceito	de	função,	portanto,	 tenta	explicar	como	as	grandezas	estão	relacionadas.	De	acordo	
com Caraça (1989), esse conceito surgiu da necessidade de estudar as variações quantitativas presentes 
nos fenômenos naturais por meio de duas ferramentas principais: interdependência e variabilidade.
Na Grécia Antiga, os fenômenos eram interpretados usando mitos, e tudo o que acontecia era 
vontade	dos	deuses.	A	partir	do	desenvolvimento	da	filosofia,	houve	uma	procura	por	explicações	mais	
racionais	para	os	eventos,	e	tudo	poderia	ser	explicado	usando	conceitos	matemáticos.	
Para	introduzir	a	Matemática	na	explicação	dos	fenômenos	e	estabelecer	o	conceito	de	função,	
ou seja, relação entre grandezas que variam, foi necessário inserir o conceito de variável, o que 
se deu a partir da simbolização da álgebra, ou seja, usar símbolos para descrever determinado 
acontecimento.
Os	símbolos	que	usamos	para	designar	essas	relações	são	as	letras	x e y. Chamamos de x as variáveis 
independentes, ou seja, as que podem assumir quaisquer valores, e de y, as variáveis dependentes.
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MateMática para coMputação
A	partir	disso,	foram	criadas	várias	formas	de	descrever	como	a	correspondência	é	feita.	Existem	
descrições	 verbais	 que	 podem	 ser	 feitas	 por	 meio	 de	 um	 texto,	 por	 uma	 tabela.	 Outra	 maneira	 de	
representar	uma	função	é	utilizando	fórmulas	matemáticas,	ou	por	meio	de	um	desenho	ou	gráfico.	
Para descrever essas relações, passou‑se a utilizar um plano com duas retas graduadas 
ortogonais	destacadas,	uma	para	representar	os	valores	de	x	e	outra	para	representar	os	valores	
de	y.	Assim,	precisamos	ter	um	par	de	números	(x,	y),	chamados	coordenadas,	para	caracterizar	
uma	 função.	 O	 número	 x	 é	 conhecido	 como	 abscissa	 (do	 latim	 cortar), e o número y, como 
ordenada. Em 1692, Leibniz (1646‑1716), famoso matemático e cientista alemão, usou essa 
nomenclatura pela primeira vez.
Um	exemplo	de	representação	num	plano	é	dado	a	seguir:
xx
y
y
P(x,y)
Figura 8	–	Representação,	no	plano	cartesiano,	do	par	ordenado	P(x,y)
O	 plano	 para	 representar	 essas	 posições	 é	 chamado	 de	 plano cartesiano, em homenagem a 
Descartes,	 físico,	filósofo	e	matemático	 francês	 (1596‑1650)	que,	em	1637,	 teve	a	 ideia	de	 tratar	as	
curvas	geométricas	por	meio	de	expressões	algébricas.	 Em	1734,	Euler,	 físico,	filósofo	e	matemático	
suíço	(1707‑1783),	criou	a	notação	f(x)	para	designar	uma	função	que	depende	da	variável	x.
Pode‑se representar a dependência entre as variáveis por meio de uma tabela de dados, como a que 
descreve a posição P de um carro conforme o tempo t vai passando.
Tabela 1
t (horas) P (quilômetros)
0 0
1 70
2 140
3 210
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Unidade II
Fórmulas	algébricas	podem	descrever	o	comportamento	entre	grandezas.	Voltando	ao	caso	do	exemplo	
anterior,	a	posição	P	de	um	carro	em	função	do	tempo	t,	a	cada	hora,	somam‑se	70	km	à	sua	posição;	para	
t	=	1	h,	temos	P	=	0	+	70	=	70	km,	para	t	=	2	h,	temos	P	=	70	+	70	=	140	e	assim	por	diante;	portanto,	
generalizando esse procedimento, temos que a fórmula para o deslocamento do carro é:
P = 2t
O	mesmo	exemplo	pode	ser	utilizado	para	demonstrar	que	a	 linguagem	gráfica	também	fornece	
informações.	Os	gráficos	podem	trazer	informações	adicionais;	o	que	descreve	a	posição	de	um	ponto	P	
em função do tempo é dado por:
0																														1																														2																														3
P
t210
140
70
0
Figura 9	–	Gráfico	da	posição	de	um	ponto	P	em	função	do	tempo
3.1 simetrias: translação, rotação e reflexão
A	 natureza	 apresenta	 vários	 casos	 de	 simetria,	 e	 muitos	 seres	 vivos	 apresentam	 configurações	
simétricas. 
Figura	10 – Figura na natureza que apresenta simetria
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MateMática para coMputação
Figura 11 – Simetria na natureza
Observamos	que	as	figuras	são	simétricas,	já	que,	se	traçarmos	uma	reta	passando	pelo	centro,	
veremos que os lados divididos são iguais. Se sobrepusermos as duas partes divididas, elas se 
sobreporão.
A translação	corresponde	a	um	deslocamento	total,	ou	seja,	todos	os	pontos	da	figura	se	deslocam	
na	mesma	direção,	no	mesmo	sentido	e	de	uma	mesma	distância.	Por	exemplo:
(a) (b)
Figura 12 – Representação da translação de um objeto
A reflexão	 ocorre	 por	 meio	 de	 uma	 reta	 chamada	 eixo.	 O	 ponto	 refletido	 e	 o	 ponto	 original	
apresentam	a	mesma	distância	em	relação	a	esse	eixo.	Tomemos	como	exemplo	a	figura	a	seguir:	
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Unidade II
espelho
Figura	13	–	Representação	da	reflexão	de	um	objeto	em	torno	de	seu	centro	de	simetria
A rotação	é	o	giro	da	figura	em	torno	de	algum	ponto	e	de	um	determinado	ângulo,	como	a	figura:	
p
Figura 14 – Representação da rotação de um objeto em torno de seu centro de simetria
As simetrias são importantes no estudo das funções, conforme veremos nesta unidade. Assim, 
iniciaremos	descrevendo	funções	afins,	quadráticas,	exponenciais	e	logarítmicas;	para	cada	uma	delas,	
associaremos suas aplicações.
3.2 função afim
A	função	afim	pode	ser	definida	como	uma	função	polinomial	do	1º	grau,	em	que	existe	um	termo	dependente	
de	x	(variável	dependente)	e	outro	constante	(independente	de	x).	Matematicamente,	é	escrita	como:
f(x)=ax+b
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MateMática para coMputação
Onde	a	e	b	são	números	reais.	O	coeficiente	de	x,	a, é chamado coeficiente angular da reta, e b é 
chamado coeficiente linear da reta.
Exemplos	de	função	afim:
f(x)=2x‑1			a=2	b=‑1
f(x)=x‑1				a=1	b=‑1
f(x)=‑x‑1			a=‑1	b=‑1
f x x a b( ) = - + = - =1
3
2
1
3
2
f x
x
a b( ) = + = =1
3
1
3
1
3
Considere	agora	a	função	f(x)=2x‑4.	Note	que	f(3)=2∙(3)‑4=2,	ou	seja,	apenas	atribuímos	o	valor	
3	à	variável	x e substituímos na equação. Se substituirmos o número 2 na mesma função, teremos 
f(2)=2∙(2)‑4=0.	Quando	atribuímos	um	número	à	variável	x	e	obtemos	como	resultado	f(x)=0,	dizemos	
que	x	é	a	raiz	ou	zero	da	função.
Assim,	a	raiz	de	uma	função	real	de	variável	real	é	todo	número	x,	tal	que	f(x)=0.
A	raiz	da	função	f(x)=2x‑3	são	todos	os	valores	de	x,	tais	que	f(x)=0,	ou	seja:
f(x)=2x‑3=0
∴- = → = → =2 3 0 2 3 3
2
x x x
 Observação
Toda	função	do	1º	grau	f(x)=ax+b,	em	que	b=0	recebe	o	nome	particular	
de função linear.	São	exemplos	dessas	funções:	f(x)=2x,	f(x)=x,y=x	etc.
Vamos	calcular	as	raízes	das	seguintes	funções	do	1º	grau:
a) f x
x( ) = - +
3
1
Para	calcular	a	raiz,	ou	seja,	o	valor	de	x	que	anula	a	equação,	temos	de	igualar	a	função	a	zero,	
ou seja:
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Unidade II
f x
x
x
x
( ) = - + =
∴ - = - → =
3
1 0
3
1 3
b) f x x
x
x x
( ) = -
- =
= → = =
2 6
2 6 0
2 6
6
2
3
c) f x x
x
x x x
( ) = - +
- + =
∴- = - → = -
-
→ =
4 2
4 2 0
4 2
2
4
1
2
d) f x x
x
x
x
( ) = - +
- + =
- = -
=
1
2
2
1
2
2 0
1
2
2
4
Gráfico de uma função afim
O	gráfico	de	uma	função	afim	é	uma	reta.	A	construção	desse	gráfico	é	feita	obtendo	dois	de	seus	
pontos distintos e traçando a reta determinada por eles.
Considere	a	 função	 f(x)=3x+2.	Para	obtermos	o	gráfico,	devemos	construir	a	 tabela	usando	dois	
pontos iniciais: 
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MateMática para coMputação
f(x)=3x+2
1						2					3					4					5
17
14
11
8
5
x f(x)
1 5
2 8
3 11
Figura	15	–	Tabela	de	dados	e	representação	gráfica	da	função	f(x)=3x+2
Outro	exemplo	de	uma	função	 linear	é	a	que	determina	o	perímetro	de	um	quadrado	de	 lado	ι. 
Como o perímetro de um quadrado é a soma das medidas de seus lados ι, a função ƒ(ι) pode ser escrita 
como ƒ(ι)=4ι,	e	seu	gráfico	correspondente	é:
perímetro (cm)
lado (cm)
0					1				2			3			4			5
1,5
4
6
12
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Figura 16	–	Representação	gráfica	da	função	ƒ(ι)=4ι
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Unidade II
No	caso	de	a	função	afim	ser	constante	f(x)=4,	o	gráfico	correspondente	é:
x
6
4
 
2
0
y
1																					2																					3																				4																					5
Figura 17	–	Representação	gráfica	da	função	f(x)=4
Vamos	observar	o	gráfico	das	funções	y	=	x	e	y	=	‑x
y	=	‑x y	=	x
Figura 18	–	Representação	gráfica	das	funções	y	=	x	e	y	=	‑x
Podemos	observar	que	os	gráficos	são	simétricos.	O	gráfico	da	função	y=x	é	reflexão	de	y=x.
Agora,	vamos	ver	o	que	ocorrerá	se	acrescentarmos	1	à	função	y=x.	Vejamos	o	gráfico:
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MateMática para coMputação
y=x+1
y=x
Figura 19	–	Representação	gráfica	das	funções	y=x+1	e	y=x
Observamos	que,	para	um	mesmo	valor	de	x,	a	ordenada	 foi	acrescida	de	uma	unidade,	quando	
comparada	ao	gráfico	original.	Assim,	no	gráfico	y=x+1,	houve	uma	translação	vertical	de	uma	unidade,	
quando	comparado	ao	gráfico	de	y=x.
3.3 Variação do sinal da função
Considere	a	função	do	1º	grau:	f(x)=2x‑2
0																				1																				2																				3																				4
x
y
8
6
4
2
0
‑2
‑4
Figura	20	–	Representação	gráfica	da	função	y=2x‑2	
Observamos	que:
•	 1	é	a	raiz	da	função,	pois	f(1)=2∙(1)‑2=	0,	ou	seja,	f(x)=0;
•	 a	função	é	crescente;	
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Unidade II
•	 para	qualquer	x	real,	x>1,	temos	f(x)>0;	por	exemplo,	f(4)>0;
•	 para	qualquer	x	real,	x<1,	temos	f(x)<0;	por	exemplo,	f(0)<0.
Podemos	afirmar,	portanto,	que	a	função	anula‑se	para	x=1,	a	função	é	positiva	para	todo	x>1	e	
negativa	para	todo	x<1.	O	gráfico	a	seguir	mostra	essa	variação	no	sinal	da	função:
0																				1																				2																				3																				4
x
+
‑
y
8
6
4
2
0
‑2
‑4
Figura 21	–	Variação	do	sinal	da	função	y=2x‑2
Outro	exemplo	de	função	para	análise	da	variação	do	sinal	f(x)=‑x+1
0																				1																				2																				3																				4
x
y
8
6
4
2
0
‑2
‑4
Figura 22	–	Gráfico	da	função	y=‑x+1
Observamos	que:
•	 1	é	a	raiz	da	função,	pois	f(1)=‑1(1)+1=	0,	ou	seja,	f(x)=0;
•	 a	função	é	decrescente;	
•	 para	qualquer	x	real,	x>1,	temos	f(x)<0;	por	exemplo,	f(4)<0;
•	 para	qualquer	x	real,	x<1,	temos	f(x)>0;	por	exemplo,	f(0)>0.
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MateMática para coMputação
Podemos	afirmar,	portanto,	que	a	função	anula‑se	para	x=1,	é	positiva	para	todo	x<1	e	negativa	
para	todo	x>1.	O	gráfico	mostra	essa	variação	no	sinal	da	função:
0																				1																				2																				3																				4
x
y
8
6
4
2
0
‑2
‑4
-
+
Figura	23	–	Variação	do	sinal	da	função	y=‑x‑1
Analisemos	o	comportamento	das	seguintes	funções	do	1º	grau:
a)	f(x)=‑3x+1
Nessa	equação,	temos	a=‑3	e	b=1.
Como a é um valor negativo, essa função é decrescente.
b)	f(x)=2x+1
a=2 e b=1
A função, portanto, é crescente.
c)	Vamos	analisar	o	gráfico	da	função	f(x)=‑2x+2
0																		1																		2																		3																		4
x
y4
2
0
‑2
‑4
‑6
Figura 24
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Unidade II
Podemos ver que:
•	 1	é	a	raiz	da	função;
•	 a	função	é	decrescente;
•	 para	qualquer	x	real,	x>2,	temos	que	f(x)<0;
•	 para	qualquer	x	real,	x<2,	temos	que	f(x)>0.
 Lembrete
O	estudo	da	variação	do	sinal	das	funções	pode	ser	feito	também	sem	
o	auxílio	de	gráficos,	usando	apenas	álgebra.	
Vamos	resolver	mais	alguns	exercícios	de	função	afim,	agora	com	aplicações	práticas	do	cotidiano.	
1)	A	matemática	envolvida	no	preço	de	uma	corrida	de	táxi	poderá	ser	entendida	se	você	souber	
o	conceito	de	função.	O	preço	a	ser	pago	por	uma	corrida	de	táxi	já	vem	com	uma	parcela	fixa,	
chamada	bandeirada,	e	outra	que	depende	da	distância	percorrida.	Se	a	bandeirada	custa	R$	3,44	
e	cada	quilômetro	rodado	custa,	por	exemplo,	R$	0,86,	pergunta‑se:
a)	Qual	o	valor	a	ser	pago	em	função	da	distância	x	(em	quilômetros)	percorrida?
b)	Quanto	vai	ser	pago	por	uma	corrida	de	11	km?
c)	Qual	a	distância	percorrida	por	um	passageiro	que	pagou	R$	21,50	pela	corrida?
Solução:
a) Para resolver esse problema, precisamos, inicialmente, montar a função que caracteriza o preço P 
da	corrida	em	função	da	distância	x,	assim:	
P	=	3,44	+	0,86x
b)	Se	a	corrida	for	de	11	km,	bastará	colocar	esse	valor	no	lugar	de	x.
P	=	3,44	+	0,86∙11	=	12.9
c)	Se	um	passageiro	fez	uma	corrida	e	gastou	R$	21,50,	então	bastará	colocar	esse	valor	no	lugar	de	
P	e	calcular	x.
21,50	=	3,44	+	0,86x→→→x	=	21km
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MateMática para coMputação
2)	Um	vendedor	recebe	mensalmente	um	salário	composto	de	duas	partes:	uma	fixa,	correspondente	
a	um	valor	de	R$	900,00,	e	outra	variável,	que	corresponde	a	um	valor	de	comissão	de	8%	sobre	
tudo o que ele vender durante o mês. Pergunta‑se:
a)	Qual	a	função	que	representa	o	salário	total	do	vendedor?
b)	Qual	o	salário	do	vendedor	no	mês	em	que	ele	vendeu	R$	50.000,00	em	produtos?
Solução:
a)	A	função	que	representa	o	salário	total	é	composta	pelo	valor	fixo	de	R$	900,00	mais	8%	sobre	a	
venda dos produtos. Assim:
f	(x)	=	900	+	0,08x
b)	Se	o	vendedor	vendeu	R$	50.000,00	de	produtos,	então	o	salário	será:
f	(x)	=	900	+	0,08∙50000	=	4900,00
3)	Dado	o	gráfico,	determine	a	função	que	o	caracteriza:
4
2
0
‑2
‑4
‑6
0																				1																			2																				3
x
y
Figura	25
Solução:
Observando	o	gráfico,	vemos	que	f(2)	=	‑2	e	f(1)	=	1;	além	disso,	a	função	é	decrescente	e,	portanto,	
o	coeficiente	a é negativo. 
A	função	do	1º	grau	é	escrita	como:
f(x)	=	ax	+	b
Como f(2) = ‑2, temos:
f(2)	=	a2	+	b	=	‑2
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4-
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14
Unidade II
e f(1) = 1, o que implica:
f(1)	=	a1	+	b	=	1
Logo, o sistema apresenta duas equações e duas incógnitas: 
a2	+	b	=	‑2
a1	+	b	=	1
Isolando b na primeira equação e substituindo na segunda, temos:
b = ‑2 ‑2a
∴→a	+	(‑2	‑2a)	=	1	→	a	=	‑3
Logo:
a1	+	b	=	1
‑3	+	b	=	1	→ b = 4
Portanto:
f(x)	=	ax	+	b
f(x)	=	‑3x	+	4
Assim,	a	função	que	caracteriza	o	gráfico	é	f(x)=‑3x+4.
4)	Dado	o	gráfico,	determine	a	função	que	o	caracteriza:
‑3
x
2
y
Figura 26
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-0
4-
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MateMática para coMputação
Solução:
O	gráfico	mostra	que	f(0)	=	2	e	f(‑3)	=	0;	além	disso,	a	função	é	crescente	e,	portanto,	o	coeficiente	
a é positivo. 
A	função	do	1º	grau	é	escrita	como:
f(x)	=	ax	+	b
Como	f(0)	=	2,	temos:
f(0)	=	a	∙	0	+	b	=	2
e	f(‑3)	=	0,	o	que	implica:	
f(‑3)	=	a	∙	(‑3)	+	b	=	0
Logo, o sistema apresenta duas equações e duas incógnitas: 
a	.	0	+	b	=	2	
a	.	(‑3)	+	b	=	0
Isolando b na primeira equação, temos:
b = 2
Logo: 
a	.	(‑3)	+	2	=	0
3a	=	2	
a = 2
3
Portanto:
f x ax b
f x x
( ) = +
( ) = +2
3
2
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Unidade II
Assim,	a	função	que	caracteriza	o	gráfico	é	 f x x( ) = +2
3
2 .
5)	Estima‑se	que	a	população	de	um	certo	município,	daqui	a	x anos, a contar de hoje, será dada por 
f x
x
( ) = -
+
10
2
1
 milhares de pessoas. Pede‑se:
a)	Qual	será	a	população	daqui	a	três	anos?
b)	Qual	será	a	população	daqui	a	dez	anos?
Solução: 
Daqui	a	três	anos,	a	população	será	dada	por:
f x
x
f x
f x
( ) = -
+
( ) = -
+
( ) = - = =
10
2
1
10
2
3 1
10
1
2
19
2
9 5,
Daqui	a	dez	anos,	a	população	será	dada	por:
f x
f x
f x
( ) = -
+
( ) = -
( ) =
10
2
10 1
10
2
11
9 820,
6)	O	gráfico	mostra	a	velocidade	v de um automóvel em função do tempo t. A velocidade v é medida 
em m/s, e o tempo t, em s.
v
8
t
0																2																								8																10
Figura 27
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MateMática para coMputação
a) Em que instante de tempo a velocidade é crescente?
b) Em que instante de tempo a velocidade é decrescente?
c) Em que instante de tempo a velocidade é constante?
Solução:
a)	A	velocidade	é	crescente	no	intervalo	0	<x	<2,	pois	a	reta	tem	inclinação	positiva.
b)	A	velocidade	é	decrescente	no	intervalo	2	<x	<10,	pois	a	reta	tem	inclinação	negativa.
c)	A	velocidade	é	constante	no	intervalo	2	<x	<8,	pois	a	reta	não	apresenta	inclinação.
3.4 função quadrática
Uma	função	quadrática	é	uma	função	do	tipo	f(x)	=	ax2 +	bx	+	c	 ,	onde	a,	b	e	c	são	constantes	
pertencentes	ao	conjunto	dos	números	reais.	São	exemplos	de	funções	do	segundo	grau:
f x x x a b e c
f x x x a b e c
f x
( ) = + + = = =
( ) = + + = = =
( ) =
2 3 1 2 3 1
4 4 1 4 4
2
2
,
,
-- + = - = =
( ) = - = - = =
( ) = - +
x x a b e c
f x x a b e c
f x x a
2
2
2
3 1 3 0
1 0 0
1
,
,
== - = =
( ) = - + = - = =
1 0 1
3 2 3 2 02
,
,
b e c
f x x x a b e c
Existem	vários	fenômenos	que	podem	ser	explicados	com	o	auxílio	dessas	funções;	por	exemplo,	
o lançamento de projéteis cujas trajetórias podem ser descritas por essas equações, o processo de 
fotossíntese realizado pelas plantas, os radares, os faróis, a administração, ao descrever as funções custo, 
receita etc. e a computação, na criação de algoritmos.
Em Arquitetura, uma aplicação interessante das funções quadráticas é no formato de pontes, como 
a JK, em Brasília, que apresenta, em sua estrutura, três arcos parabólicos que fazem parte do suporte da 
ponte	e	são	um	exemplo	concreto	dos	conceitos	de	funções	do	segundo	grau	envolvidos.
Por	falar	em	parábola,	é	ela	que	descreve	as	funções	quadráticas.	Veja,	por	exemplo,	a	função	f(x)=x2 
e	sua	representação	gráfica:
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Unidade II
‑5																		‑3																			‑1																			1																					3																				5
y
x
25
20
15
10
5
0
Figura 28	–	Gráfico	da	função	f(x)	=	x2
Para	fazermos	uma	análise	melhor	do	gráfico,	precisamos	entender	os	elementos	que	formam	uma	
parábola,	que	são:	concavidade,	vértice	e	os	pontos	em	que	os	eixos	e	os	vértices	cruzam	o	plano	cartesiano.
Observando	o	gráfico,	vemos	que	os	pontos	(1,0)	e	(0,1)	interseccionam	o	eixo	x;	os	pontos	x	que	
cortam	o	gráfico	nesse	eixo	são	chamados	raízes	da	equação.	O	vértice	é	o	ponto	em	que	a	parábola	
começa	a	mudar	sua	direção.	Nesse	caso,	dizemos	que	o	vértice	é	o	ponto	(0,0),	e	também	é	verificado	
que a parábola possui a concavidade voltada para cima, ou, numa linguagem mais popular, tem a “boca” 
voltada para cima. Como tudo isso é determinado? 
Para entender, começaremos com o conceito de raiz de uma equação do segundo grau. As raízes são 
os	pontos	em	que	f(x)	=	x2.	Para	as	determinarmos,	usamos	a	famosa	Fórmula	de	Bhaskara.	
Assim,	considere	a	função	f(x)	=	x2 +	4x	+	3.
O	primeiro	passo	é	fazer	f(x)	=	x2	+	4x	+	3	=	0.
O	cálculo	das	raízes	é	dado	pela	fórmula:
x
b
a
onde b ac= - ± = -,∆ ∆
2
42 (chamado também de discriminante).
Assim, 
f x x x
b ac
x
b
a
x
( ) = + + =
= - = - =
= - ± = - ± = - ±
∴ =
2
2 2
1
4 3 0
4 4 4 1 3 4
2
4 4
2
4 2
2
∆
∆
. .
-- = -3 12ex
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MateMática para coMputação
Temos	dois	valores	de	raízes:	x1 =	‑3	e	x2 = ‑1
Portanto,	a	solução	é	S	=	{‑3,	‑1}.
Vamos	ver	outros	exemplos	de	cálculo	de	raízes:
a)	f(x)	=	x2 +	4x	=	0
Solução:
∆
∆
= - = - =
= - ± = - ± = - ±
∴ = = -
b ac
x
b
a
x ex
2 2
1 2
4 4 4 1 0 16
2
4 16
2
4 4
2
0 4
. .
A	solução	da	equação	é	S	=	{0,‑4}
b f x x
b ac
x
b
a
x
) ( ) = - =
= - = - ⋅ ⋅- =
= - ± = ± = ±
∴ = +
2
2 2
1
9 0
4 0 4 1 9 36
2
0 36
2
6
2
∆
∆
33 32e x = -
A	solução	da	equação	é	S=	{+3,	‑3}.
c)	f(x)	=	x2 +	4x	+	4	=	0	
Solução:
∆
∆
= - = - =
= - ± = - ± = - ±
∴ = - = -
b ac
x
b
a
x ex
2 2
1 2
4 4 4 1 4 0
2
4 0
2
4 0
2
2 2
. .
A	solução	da	equação	é	S	=	{‑2,	‑2}.
d)	f(x)	=	2x2	+	x	+	1=	0	
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-0
4-
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Unidade II
Solução:
∆
∆
= - = - = -
= - ± = - ± -
b ac
x
b
a
2 4 1 4 2 1 7
2
1 7
2
. .
Quando	 o	 valor	 do	 discriminante	 é	 um	 número	 negativo,	 dizemos	 que	 a	 função	 não	 apresenta	
solução real ou raízes reais.
Assim, resumindo, temos:
Se ∆=0,	a	função	apresentará	duas	raízes	reais	e	iguais.
Figura 29
Figura	30
Se ∆	>0,	a	função	apresentará	duas	raízes	reais	e	distintas.
x
y
Pontos de corte
Figura	31
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-0
4-
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MateMática para coMputação
x
y
Pontos de corte
Figura	32
Se ∆<0,	a	função	não	apresentará	raízes	reais.
Figura	33
Figura	34
 Observação
Quando	o	discriminante	∆	<0,	as	raízes	serão	números	negativos;	portanto,	
a	 função	 não	 apresentará	 raízes	 reais,	 e	 sim	 raízes	 complexas,	 que	 serão	
estudadas	no	final	deste	livro‑texto.
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Unidade II
Determinadas	as	 raízes	da	equação,	vamos	agora	definir	em	que	pontos	ocorre	a	 intersecção	da	
parábola	com	o	eixo	x.	Para	tanto,	vamos	considerar	a	função	f(x)	=	x2	‑	6x	+	5.
Os	pontos	em	que	a	parábola	intercepta	o	eixo	y	são	obtidos	atribuindo	o	valor	0	à	variável	x,	assim:
y	=	x2 ‑	6x	+	5
y	=	02 ‑	6	.	0	+	5	=	5
Nesse	exemplo,	o	ponto	de	intersecção	é	o	ponto	(0,5).
‑5											‑3											‑1													1													35												7													9
y14
9
4
‑1
‑6
x
Figura	35
No	caso	da	função	→f(x)	=	x2	‑	4x	+	3:
∆
∆
= - = - =
= - ± = + ± = + ±
b ac
x
b
a
2 4 16 4 3 1 4
2
4 4
2
4 2
2
. .
As	raízes	são	3	e	2,	e	o	ponto	de	cruzamento	com	o	eixo	y	é	dado	por:
f(x)	=	02‑4	.	0	+	3	=	3
Portanto,	o	ponto	(0,3)	é	o	que	intercepta	o	eixo	y.
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MateMática para coMputação
‑5											‑3											‑1													1													3													5												7													9
y
16
13
10
7
4
1
2
x
Figura	36
Pelos	diversos	exemplos	mostrados,	vemos	que	o	gráfico	apresenta	ora	concavidade	para	cima,	ora	
concavidade	para	baixo,	mas	o	que	determina	essa	concavidade?
Vamos	considerar	duas	funções	e	seus	respectivos	gráficos:
f(x)	=	x2 +	2x	+	1
‑6												‑4												‑2													0													2														4													6
x
y23
19
15
11
7
3
‑1
Figura	37
 
56
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4-
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Unidade II
f(x)	=	‑x2 +	2x	+	1
‑6													‑4													‑2														0														2															4														6
x
y2
‑2
‑6
Figura	38
Podemos	ver	que	a	única	diferença	entre	as	duas	funções	é	o	sinal	do	coeficiente	a.	Quando	a>0,	
a	concavidade	é	positiva;	quando	a<0,	a	concavidade	é	negativa.	O	valor	de	a, portanto, determina a 
concavidade da parábola.
Outro	elemento	importante	é	o	vértice	V	da	função.	O	vértice	é	o	ponto	no	qual	a	parábola	muda	de	
direção,	e	está	localizado	no	eixo	de	simetria	s que a divide em duas partes iguais. 
Para	exemplificar,	vamos	considerar	a	função	f(x)	=	x2 ‑	4x	‑	5	e	seu	respectivo	gráfico.
‑2																									0																									2																										4																									6
x
V (2.9)
s
y
3
‑1
‑5
‑9
Figura	39	–	Gráfico	da	função	→f(x)	=	x2 ‑	4x	‑	5
O	vértice	(x,	y)	pode	ser	calculado	por	meio	da	seguinte	fórmula:
V
b
a a
= - -



,
2 4
∆
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-0
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MateMática para coMputação
Para a equação, então, temos:
∆
∆
= - = - - =
= - ± = + ±
b ac
x
b
a
2 4 16 4 1 5 36
2
4 36
2
. .( )
As	raízes	são	5	e	‑1,	e	o	valor	do	vértice:
V
b
a a
= - -



= - - -



= -, ( ) , ( , )
2 4
4
2
36
4
2 9
∆
 Observação
O	 ponto	 x do vértice pode ser obtido também se fazendo a média 
aritmética das raízes da equação.
Até aqui, calculamos o vértice de funções que possuem raízes reais, mas o que ocorre quando a 
função não apresenta esse tipo de raízes? É o que veremos a seguir.
Vamos	esboçar	o	gráfico	da	função	→f(x)	=	‑x2 +	4x	‑5
‑2																									0																									2																									4																									6
x
V (2, ‑1)
y
3
‑1
‑5
‑9
Figura	40	–	Gráfico	da	função	f(x)	=	‑x2 +	4x	‑	5
Analisando	somente	o	gráfico,	podemos	ver	que	essa	função	não	apresenta	raízes	reais,	já	que	não	
existem	pontos	da	parábola	que	interceptam	o	eixo	x,	mas,	para	calcular	o	vértice,	necessitamos	apenas	
dos valores de a, b e ∆;	portanto:
∆= b2 ‑ 4ac
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Unidade II
O	valor	do	vértice	é	dado	por:
V
b
a a
= - -



= -
-
- -
-




= -( ), ( )
( )
,
( )
( )
,
2 4
4
2 1
4
4 1
2 1
∆
Valor máximo de uma função 
Vimos	que	a	concavidade	de	uma	função	está	associada	com	o	coeficiente	a	da	função	f(x)	=	ax2 +	
bx	+	c,	e	essa	concavidade	está	relacionada	aos	pontos	de	máximo	e	mínimo	da	função.	Para	funções	
com	a<0,	a	concavidade	é	para	baixo,	portanto	a	função	apresenta	um	ponto	de	máximo;	já	para	a>0,	
a concavidade é para cima, e a função apresenta um ponto de mínimo.
Assim,	seja	a	função	→f(x)	=	‑x2 +	4x	e	seu	respectivo	gráfico:
‑2																						0																						2																							4																							6
x
V (2,4)y5
2
‑1
‑4
Figura 41	–	Gráfico	da	função	f(x)	=	‑x2 +	4x
Observamos	que	o	valor	máximo	da	função	ocorre	no	ponto	de	máximo	x	=	2,	ou	seja,	f(2)	=	4.
Por	meio	da	análise	das	propriedades	do	vértice,	temos	que,	se	a<0,	a	coordenada	x dada por 
-b
a2
 é 
o	ponto	de	máximo	da	função,	e	a	coordenada	y, dada por 
-∆
4a
,	é	o	valor	máximo	dessa	função.
No	caso	da	função	f(x)	=	x2	‑	4x	e	seu	gráfico:
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MateMática para coMputação
‑2																							0																							2																							4																								6
x
V (2, ‑4)
y5
2
‑1
‑4
Figura 42	–	Gráfico	da	função	f(x)	=	x2 ‑	4x
Observamos	que	o	valor	mínimo	da	função	ocorre	no	ponto	de	máximo	x	=	2,	ou	seja,	f(2)	=	‑4.
Pela	análise	das	propriedades	do	vértice,	temos	que,	se	a>0, a coordenada x, dada por 
-b
a2
, é o ponto 
de mínimo da função, e a coordenada y, dada por -∆
4a
, é o valor mínimo dessa função.
Mais	um	exemplo	para	fixação:
Dada	a	equação	x2 ‑	2x	‑	3,	obtenha:
a)	as	raízes	da	equação;
b)	o	gráfico	da	equação;
c)	os	pontos	de	intersecção	da	parábola	com	o	eixo	das	abscissas;
d)	os	pontos	de	intersecção	da	parábola	com	o	eixo	das	ordenadas;
e)	o	vértice	da	parábola	e	os	pontos	de	máximo	ou	mínimo.
Solução:
As	raízes	são	obtidas	igualando‑se	a	função	a	zero	e	aplicando‑se	a	Fórmula	de	Bhaskara.
∆
∆
= - = - - =
= - ± = ± = ±
∴ = = -
b ac
x
b
a
x ex
2 2
1 2
4 2 4 1 3 16
2
2 16
2
2 4
2
3 1
. .( )
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Unidade II
Assim,	as	raízes	são	3	e	‑1.
‑5																		‑3																		‑1																			1																				3																			5
x
V (1, ‑4)
y5
4
3
2
1
0
‑1
‑2
‑3
‑4
‑5
Figura	43
c)	A	parábola	intercepta	o	eixo	das	abscissas,	ou	seja,	o	eixo	x,	nos	pontos	‑1	e	3.
d)	A	parábola	intercepta	o	eixo	das	ordenadas,	ou	seja,	o	eixo	y,	no	ponto	‑3.	
e)	O	vértice	é	calculado	por:
V
b
a a
= - -



= - - -
⋅




= -( ), ( ) , ,
2 4
2
2
16
4 1
1 4
∆
Como	a	função	apresenta	concavidade	para	cima,	existe	um	ponto	de	mínimo	que	corresponde	ao	
vértice dessa função. A abscissa do vértice é chamada de ponto de mínimo, e a ordenada y é o valor do 
mínimo da função. No caso, o ponto de mínimo é 1, e o valor desse ponto, ‑4.
Mais	exemplos	para	fixação:	
Calcule	a,	b	e	c,	de	modo	que	o	vértice	da	parábola	represente	a	função	f(x)	=	ax2	+	bx	+	c	,	seja	
(1,‑16)	e	que	‑3	seja	um	zero	da	função.
Solução:
Se	‑3	é	um	zero	da	função,	então	vale:
f(‑3)	=	a(‑3)2 ‑3b	+	c	=	0	 (I)
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MateMática para coMputação
O	vértice	é	dado	por:
V
b
a a
b
a
e
a
b a e
= - -



= -( )
- = - - =
∴ = - = -
, ,
2 4
116
2
1
4
16
2 64
∆
∆
∆ aa (II)
∆ = ‑64a → b2 ‑4ac = ‑64a (III)
Substituindo b = ‑2a em (III), temos:
(‑2a)2 ‑4ac = 64a
4a2 ‑ 4ac = 64a
Dividindo	por	4,	temos:
a ‑ c = 16
Agora, basta resolver o sistema: 
a(‑3)2 ‑	3b	+	c	=	0	→	9a	‑	3(2a)	+	c	=	0	→	3a	+	c	=	0
a ‑ c = 16
Então:
3a	+	c	=	0
a ‑ c = 16
4a = 16a
a = 4 → c = ‑12 e b = 2a =8
A função é, portanto, 
f(x)	=	ax2 +	bx	+	c
f(x)	=	4x2 +	8x	‑	12
Assim,	a	função	é	f(x)	=	4x2	+	8x	‑	12.
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Unidade II
Outro	exemplo:
2)	Construir	o	gráfico	da	função	f(x)	=	‑x2 +	4x	‑	5	e	determinar	sua	imagem.
Solução:
O	gráfico	é	dado	por:	
y10
5
0
‑5
‑10
‑1																															1																																	3																																5
x
Figura 44
O	vértice	é	dado	por:
V
b
a a
= - -



= -, ( , )
2 4
2 1
∆
Assim, a imagem é formadapor todos os y, tais que:
Im = {y ∈ R|y ≤	1}
3)	Um	ônibus	de	40	lugares	transporta,	diariamente,	turistas	de	determinado	hotel	para	um	passeio	
ecológico pela cidade. Se todos os lugares estiverem ocupados, o preço de cada passagem será de 
R$	20,00.	Caso	contrário,	para	cada	lugar	vago	será	acrescida	a	importância	de	R$	1,00	ao	preço	
de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela 
função	f(x)=(40	‑	x)	(20	+	x),	onde	x	indica	o	número	de	lugares	vagos	(0	≤	x	≤	40).	Determine:	
a)	Quantos	devem	ser	os	lugares	vagos	no	ônibus,	em	cada	viagem,	para	que	a	empresa	obtenha	
faturamento	máximo?	
b)	Qual	é	o	faturamento	máximo	obtido	em	cada	viagem?
Solução:
Para	que	a	empresa	tenha	faturamento	máximo,	devemos	obter	o	valor	de	x	que	maximiza	essa	
função, e isso, como sabemos, é dado pelo valor da abscissa x	do	vértice;	assim,	para	calcularmos	os	
lugares	vagos	no	ônibus	a	fim	de	atingir	o	máximo	faturamento,	devemos	proceder	da	seguinte	forma:
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14
MateMática para coMputação
f(x)	=	(40	‑	x)	(20	+	x)	=	‑x2 +	20x	+	800
‑x2 +	20x	+	800	=	0
∆ = b2 ‑	4ac	=	400	‑	4	.	(‑1)	.	800	=	3600
O	vértice	é	dado	por:
V
b
a a
= - -



=
-( )
-
-
-( )




= ( ),
( )
, ,
2 4
20
2 1
3600
4 1
10 900
∆
Assim,	para	que	a	empresa	tenha	faturamento	máximo,	deve	haver	dez	lugares	vagos	no	ônibus,	e	o	
valor	desse	faturamento	é	de	R$	900,00.
4)	Uma	bala	é	atirada	de	um	canhão	e	descreve	uma	parábola	de	equação	y	=	‑3x2	‑	60x	(sendo	x e 
y medidos em metros). Calcule:
a)	a	altura	máxima	atingida	pela	bala;
b) o alcance do disparo.
y
V
Figura	45
Solução:
a)	Como	a	=	‑3,	a	parábola	apresenta	concavidade	para	baixo,	portanto	um	ponto	de	máximo,	que	
é dado por:
y
a
= - = -
-
=∆
4
3600
12
300
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Unidade II
Assim,	a	altura	máxima	atingida	é	300	m.
b) Resta‑nos calcular o alcance do disparo, ou seja, devemos calcular a distância quando a bala toca 
o	solo,	que	ocorre	quando	y	=	0;	assim:
y	=	‑3x2 ‑	60x	=	0	→	x=0	 x	=	20
x	=	0	representa	o	ponto	de	partida,	então	o	alcance	do	disparo	foi	de	20	m.
5)	Um	 azulejista	 usou	 2.000	 azulejos	 quadrados	 e	 iguais	 para	 revestir	 45m2	 de	 parede.	 Qual	 é	 a	
medida do lado de cada azulejo?
Solução:
Sendo cada lado do quadrado x, temos que a área de cada quadrado é dada por: 
A	=	x2 
x
Figura 46
Foram	usados,	porém,	2.000	azulejos,	então	a	área	total	é	dada	por:
A	=	2000x2
Como	A	=	45m2
2000x2	=	45
x
x m
2 45
2000
9
400
9
400
3
20
0 15
= =
= = = ,
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14
MateMática para coMputação
Assim,	cada	lado	do	quadrado	vale	0,15	m.	
6) A área de um retângulo é de 64m2. Nessas condições, determine suas dimensões, sabendo que o 
comprimento	mede	(x	+	6)m,	e	a	largura,	(x	‑	6)m.
x‑6
x+6
Figura 47
Solução:
A	área	de	um	retângulo	de	lados	(x	+	6)	e	(x	‑	6)	é	dada	por:	
A	=	(x	+	6)	(x	‑	6)
A área tem um valor total de 64m2 ∴
64	=	(x	+	6)	(x	‑	6)
x2 ‑	36	=	64
x2 =	100
x	=	10
Se	x	=	10,	então	cada	um	dos	lados	vale:	
(x	+	6)	=	10	+	6	=	16
(x	‑	6)	=	10	‑	6	=	4
Um lado vale, portanto, 16 cm, e o outro, 4 cm.
7)	Qual	deve	ser	o	valor	do	coeficiente	b	na	equação	10x2 ‑	bx	‑	1	=	0	para	que	a	soma	de	suas	raízes	
seja igual a 
5
4
 ?
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Unidade II
Solução:
Seja	a	equação	do	2º	grau	10x2 ‑	bx	‑1	=	0.
Vamos calcular suas raízes:
10 1 0
4
4 10 1
40
2
2
2
2
2
2
x bx
b ac
b
b
x
b
a
x
b b
- - =
= -
= - ( ) -
= +
= - ±
= - ± +
∆
∆
∆
∆
. .( )
440
20
A equação apresenta, portanto, duas raízes, que são: 
x
b b
ex
b b
1
2
2
240
20
40
20
= + + = - +
	A	soma	de	x1	e	x2, conforme enunciado, é:
x x1 2
5
4
+ =
Mas:
x x
b b b b
x x
b b b b
1 2
2 2
1 2
40
20
40
20
20 20
2
20 10
+ = + + + - +
+ = + = =
Logo:
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MateMática para coMputação
b
b
10
5
4
10 5
4
20
4
=
∴ = ⋅ =
Assim,	b	=	5
8)	Esboce	o	gráfico	da	função	f(x)	=	2x2 ‑	5x	+	2.
Solução:
Essa função apresenta as seguintes características:
Concavidade	voltada	para	cima,	pois	a	=	2	>	0.
Raízes f x x x x ex( ) = - + = → = =2 5 2 0 2 1
2
2 .
Vértice V
b
a a
= - -



= -



, ,
2 4
5
4
9
8
∆
.
Intersecção	com	o	eixo	y	no	ponto	(0,	2).
 
6
4
2
0
‑2
‑0,5											0												0,5												1												1,5												2												2,5												3
x
y
Figura 48
4 funçãO expOnenciaL e LOgarítmica
Na Unidade I, vimos as propriedades de cálculos algébricos envolvendo potenciação. Neste tópico, 
usaremos esses conceitos para introduzir uma nova função matemática: as funções denominadas 
exponenciais.	Você	poderá	perguntar:	para	que	serve	isso?	Em	que	se	usa?
Você	já	deve	ter	ouvido	falar	que	a	população	do	mundo	está	crescendo	exponencialmente,	ou	que	a	
violência	nas	principais	capitais	brasileiras	está	aumentando	numa	progressão	exponencial,	ou	seja,	estamos	
falando de situações que envolvem crescimento ou decrescimento em curtos intervalos de tempo.
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Unidade II
Existem	diversas	aplicações	das	 funções	exponenciais,	 em	diversos	 ramos	das	 ciências,	 como:	na	
Biologia,	na	descrição	das	taxas	de	crescimento	de	bactérias;	na	Economia,	nos	cálculos	do	aumento	
ou	na	redução	de	taxas	de	juros,	entre	outros;	na	Computação,	na	criação	de	algoritmos	utilizados	em	
programas	que	descrevem	taxas	de	crescimento	ou	decrescimento,	em	linguagens	como	Java,	Latex	etc.
O	que	é	uma	função	exponencial?
Uma	função	exponencial	de	base	a, sendo a	um	número	real	(a	>	0	e	a	1),	toda	função	f	definida	no	
conjunto dos números reais por: 
f(x)	=	ax
O	domínio	dessa	função	é	o	conjunto	dos	números	reais,	e	o	contradomínio	é	formado	por	todos	os	
reais positivos maiores que zero.
São	exemplos	de	funções	exponenciais:
f x
f x
f x
x
x
x
( ) = 


( ) = ( )
( ) = 


-
1
2
3
1
2
2 1
O	gráfico	de	uma	função	exponencial	é	uma	curva,	e	dois	casos	devem	ser	considerados:
Para	funções	crescentes,	isto	é,	quando	a	>	1,	temos:
(0,1)
a>1
x
y
Figura 49	–	Gráfico	de	uma	função	exponencial	crescente
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MateMática para coMputação
Para	funções	decrescentes,	isto	é,	quando	a	<	1,	temos:
(0,1)
a<1
x
y
Figura	50	–	Gráfico	de	uma	função	exponencial	decrescente
Vamos	construir	o	gráfico	da	função	f(x)	=	2x.
Primeiro, atribuímos os valores de x e construímos a seguinte tabela:
Tabela 2
x ‑2 ‑1 0 1 2
y 0,25 0,5 1 2 4
Assim,	o	gráfico	tem	a	seguinte	forma:
x
y
4
2
0
‑2																							1																						0																							1																							2
Figura	51
Para a função f x
x
( ) = 


1
2
Atribuindo os valores de x e construindo a tabela, temos:
Tabela 3
x ‑2 ‑1 0 1 2
y 4 2 1 0,5 0,25
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Unidade II
O	gráfico	tem	a	seguinte	forma:
x
y
4
2
0
‑2																							1																						0																							1																							2
Figura	52
Analisando	os	dois	gráficos,	podemos	ver	as	similaridades:
•	 os	gráficos	nunca	cruzam	o	eixo	horizontal,	ou	seja,	o	eixo	dos	x,	o	que	significa	que	a	função	não	
tem	raízes;
•	 os	gráficos	interceptam	o	eixo	vertical,	eixo	y,	no	ponto	(0,1);
•	 os	valores	de	y são sempre positivos,implicando que o Conjunto Imagem é formado somente 
pelos números reais positivos.
4.1 propriedades das funções exponenciais
Considerando a, x e y números reais e k um número racional, temos as seguintes propriedades 
válidas	para	as	funções	exponenciais:
•	 ax			a^y=a^(x+y)
•	 a
a
a
x
y
x y= -
•	 (ax)y = axy
•	 (ab)x = ax bx
•	 a
b
a
b
x x
x




=
•	 a
a
x
x
- = 



1
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MateMática para coMputação
Existe	uma	constante	muito	importante	na	Matemática,	tal	que:
e	=	exp	(1)	=	ex
O	 número	 e	 é	 um	 número	 irracional	 positivo	 e,	 em	 função	 da	 definição	 do	 que	 seja	 a	 função	
exponencial,	temos:
ln e=1
Esse	número	é	estudado	em	Cálculo	Diferencial	e	Integral	(disciplina	de	nível	superior).	O	valor	de	e 
foi	obtido	a	partir	da	expressão	 1
1
2+( )x ,	definida	no	conjunto	dos	números	reais,	e	calculando	o	valor	
que	ela	assume	à	medida	que	vai	se	aproximando	de	zero.
Tabela 4
x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
y x
x
= +( )
→
lim
0
1
21 2,	594 2,705 2,717 2,7182 2,7183
À medida que x	vai	diminuindo,	esse	limite	tende	a	ficar	cada	vez	mais	próximo	do	número	2,7183. 
Essa	é	a	aproximação	para e.
 saiba mais
A constante e foi denominada assim em homenagem ao matemático 
suíço	Leonhard	Euler	(1707‑1783).	O	valor	dessa	constante	é:
e	=	2,718281828459045235360287471352662497757
Para saber mais sobre as aplicações dessa constante e sobre a obra do 
autor, consulte o livro Elementos	D´Algebra,	de	Euler,	1809.
Para	as	exponenciais	na	base	e também são válidas as propriedades:
•	 y	=	ex ↔	x	=	ln	y
•	 ln	ex	=	x
•	 ex+y	= ex ey
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Unidade II
•	 ex+y = ex ey
•	 e
e
e
x y
x
y
- =
4.2 equações exponenciais
Uma	equação	exponencial	é	toda	equação	que	contém	a	incógnita	no	expoente.	Por	exemplo:
3x = 9
6x	+	62x	=	30
2x = 4
Resolver	uma	equação	exponencial	na	 incógnita	x	significa	 igualar	as	potências	de	mesma	base;	
matematicamente, isso é entendido como:
ax = ay ↔	x=y
Vamos	 resolver	 uma	 equação	 exponencial;	 para	 isso,	 lembraremos	 os	 conceitos	 de	 fatoração	
aprendidos	na	Unidade	I;	por	exemplo,	considere	a	equação:
125x	=	625
Queremos	 determinar	 o	 valor	 de	x	 nessa	 equação;	 para	 tanto,	 devemos	 igualar	 ambos	 os	 lados	
colocando tudo em forma de potências com a mesma base. Então, devemos fatorar ambos os lados da 
seguinte forma:
125x	=	625
(53 )x	=	54
Agora, ambos os lados podem ser igualados, já que estão na mesma base.
125x	=	625
(53)x	=	54
3x	=	4
x ou seja S= = 




4 4
3 3
, , .
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MateMática para coMputação
Resolver a equação 3x = 1.
Como	sabemos,	1	pode	ser	escrito	em	termos	de	qualquer	base	com	expoente	0.	Assim:
3x	=	30
x	=	0,	ou	seja,	S	=	{0}.
Outro	exemplo:	resolver	a	equação	4x	‑ 6 . 2x	+	8	=	0.
Quando	temos	uma	equação	assim,	podemos	reescrevê‑la	da	seguinte	maneira:
22x	‑ 6 . 2x	+	8	=	0
22x	‑ 6 . 2x	+	8	=	0
Chamando 2x = t, temos:
t2 ‑	6t	+	8	=	0
Portanto,	uma	equação	do	2º	grau;	resolvendo,	chegamos	a:	
t t
b ac
t
b
a
t et
2
2
1 2
6 8 0
4 36 32 4
2
6 4
2
4 2
- + =
= - = - =
= - ± = ±
∴ = =
∆
∆
Mas 2x = t, então:
2x = 4 e 2x = 2
2x	= 22 →	x	=	2
2x = 21 →	x	=	1
As	soluções	dessa	equação,	portanto,	são	os	números	1	e	2,	ou	seja,	S	=	{1,2}.
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Unidade II
 Lembrete
Quando	 se	 resolvem	 equações	 exponenciais,	 é	 sempre	 importante	
lembrar‑se das propriedades das potências, que facilitam muito a resolução 
dos problemas.
Exemplo de aplicação
Resolver a equação 2x	=	3x.
Dividindo‑se	ambos	os	lados	por	3x, temos:
2
3
3
3
x
x
x
x=
Que	pode	ser	escrito	como:
2
3
1
x
x =
Contudo, 1 pode ser escrito em termos de qualquer base, como: 
2
3
2
3
2
3
2
3
0
0
0
0x
x
x
x= → 



= 



→ =
Portanto:
S	=	{0}.
Mais	exemplos	para	fixação:
1)	Determine	o	Conjunto	Solução	da	equação:
5^x‑5^(2∙)	5^(‑x)=24
Solução:
Preparando a equação, temos:
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MateMática para coMputação
5 5 5 24
5
5
5
24
5 25 24 5
5 24 5 25 0
2
2
2
2
x x
x
x
x x
x x
- =
- =
∴ - =
( ) - - =
-.
.
.
Chamando	5x = y, temos:
(y)2	‑	24	.	y	‑	25	=	0
Resolvendo	a	equação	do	segundo	grau,	obtemos	dois	valores	para	y:	25	e	‑1.
Voltando à equação:
5x	=	25	→	5x	=	52 →	x	=	2
5x = ‑1 não tem raiz no Conjunto dos Números Reais.
Assim,	a	solução	é	S	=	{2}.
2)	Uma	empresa	produziu,	num	certo	ano,	8.000	unidades	de	um	produto.	Pensando	em	um	aumento	
anual	de	50%	na	produção,	determine:
a) Produção P da empresa t anos depois de três anos.
b)	Após	quantos	anos	a	produção	da	empresa	será	de	40.500	unidades?
Solução:
Para resolver o problema, vamos pensar assim:
Após	um	ano,	a	produção	será	de:	8000	+	50%	.	8000	=	8000	.	1,5
Após	dois	anos,	a	produção	será	de:	8000	.	1,50	+	50%	.	(8000	.	1,5)	=	8000	.	(1,5)2
Após três anos, a produção será de:
8000	.	(1,5)2	+	50%	.	(8000	.	(1,5)2)	=	8000	.	(1,5)3
Assim, generalizando:
P	=	8000	.	(1,5)t
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Unidade II
Onde	x	representa	o	número	de	anos.	
Fazendo	P	=	40.500,	temos	que:
40500 8000 15
15
40500
8000
15
3
2
40500
8000
8
= ( )
( ) =
( ) = =
. ,
,
,
t
t
como e
11
16
3
2
3
2
3
2
4
4
= 







= 



t
As	bases	são	iguais,	portanto	os	expoentes	podem	ser	igualados.	
Assim,	após	quatro	anos,	a	produção	anual	da	empresa	será	de	40.500	unidades.
3)	Encontre	o	valor	da	expressão:
3 3 3
3 3 3
12 11 10
11 10 10
- -
+ +
Solução:
Colocando	em	evidência	310, tanto no numerador como no denominador, teremos:
3 3 3 1
3 3 1 1
5
5
1
10 2
10
- -( )
+ +( )
= =
4)	Na	figura,	está	representado	o	gráfico	de	f(x)	=	a	2x, sendo a	uma	constante	real.	Determine	f(3).
1
x
y
0,75
Figura	53
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MateMática para coMputação
Solução:
A	função	é	dada	por	f(x)	=	a	2x
Pelo	gráfico,	temos:	
f a
a
1 2
3
4
3
8
1( ) = =
=
Logo, f x x( ) = 3
8
2
Assim, 
f
f
3
3
8
2
3
3
8
8 3
3( ) =
( ) = =
5)	Calcule	x.
73x+4 = 492x‑3
Solução:
73x+4 = (72)2x‑3
73x+4 = 74x‑6
3x	+	4	=	4x	‑6
x	=	10
6)	Calcule	a	equação	exponencial	a	seguir:
2 16
3 1 3 2 1( ) = ( )- -x x
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Unidade II
Solução:
2 2
2 2
2
1
2
3 1
43
2 1
1
2
3 1 4
3
2 1
3






= ( )






=






-
-
- -
x
x
x x
xx x
x x
Assim
x x
x
- -
- -
=






= =
- = -
- =
1
2
4
3
2 1
3 1
2
8 4
3
2
2 2
3 1
2
8 4
3
9 3 1
:
66 8
7 5
x
x
-
=
Portanto, x =
5
7
Assim, a solução do sistema é S = 




5
7
7) Se 0 4
5
2
4 1 3,( ) =+x
Solução:
Primeiro, vamos transformar os decimais (números com vírgulas) em frações:
4
10
5
2
4 1
3



=
+x
Podemos	simplificar	a	fração	da	esquerda	e	transformar	em	potência	o	lado	direito	da	igualdade:
2
5
5
2
4 1
1
3



= 



+x
As bases estão quase igualadas, mas uma é o inverso da outra. Vamos inverter uma delas e adicionar 
o	expoente	‑1.
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MateMática para coMputação
2
5
2
5
4 1
1
3



= 



+ -x
As	bases	estão	igualadas,	entãopodemos	cortá‑las	e	igualar	os	expoentes.
4 1
1
3
3 4 1 1
12 3 1
12 1 3
12 4
1
3
x
x
x
x
x
x
+ == -
+( ) = -
+ = -
= - -
= -
= -
Portanto,	x	vale	 = - 1
3
8) Se determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor t anos, após sua compra, 
é dado por v(t) = v0 . 2
‑0,2t, em que v0 é uma constante real, após dez anos, se a máquina estiver valendo 
R$	12.000,00,	determine	o	valor	pelo	qual	ela	foi	comprada.
Solução:
Após dez anos.
Então,
v(10)	=	v0 . 2
‑0,2	.	10
Mas	v(10)	=	12000;	logo,
12000 2
12000 2
12000
1
4
0
0 2 10
0
2
0
=
=
=
-
-
v
v
v
.
.
.
, .
Portanto, v0	=	48000
Assim,	a	máquina	foi	comprada	por	R$	48.000,00.
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Unidade II
9) Se f x x( ) =
+
16
1
1
,	calcule	f(‑1)	+	f(‑2)	+	f(‑4).
Solução:
Para	resolver,	basta	calcular	a	função	substituindo	o	valor	de	x:
f x
f
f
f
f
x( ) =
-( ) =
-( ) =
-( ) =
-( ) = =
+
+
-
-
16
1 16
1 16
1 1
2 16 16
1
1
1
1
1
0
1
1
2
1
2 ==
-( ) = =
-( ) = ( )
-( ) = =
-
4
4 16 16
4 2
4 2 8
1
1
4
3
4
4 34
3
f
f
f
Portanto:
(‑1)	+	f(‑2)	+	f(‑4)	=	1	+	4	+	8	=	13
4.3 Logaritmos
Formalizada	pelo	escocês	John	Napier	(1550‑1617),	a	Teoria	dos	Logaritmos	tornou‑se	extremamente	
importante na descrição de vários fenômenos da natureza, bem como na resolução de vários problemas 
complexos	na	Matemática.	Podemos	citar	como	exemplos	de	uso	dos	 logaritmos:	medidas	de	níveis	
sonoros, medidas de intensidade de um terremoto, em Astronomia, para medir a intensidade do brilho 
de estrelas, entre tantas outras aplicações.
O	que	vem	a	ser	um	logaritmo?	Como	ele	é	representado?	Para	responder	a	essas	perguntas,	vamos	
voltar	ao	tópico	anterior,	em	que	estudamos	as	funções	exponenciais.
Vamos	lembrar,	por	exemplo,	que	o	número	16	pode	ser	decomposto	como:
16 = 24
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Ao	expoente	dessa	potência	damos	o	nome	de	logaritmo.	Portanto,	4	é	o	logaritmo	de	16	na	base	2.	
Usando a simbologia dos logaritmos, temos:
16 = 24 → log2 16 = 4
Outros	exemplos:
36	=	62 → log6	36	=	2
32	=	25 → log2	32	=	5
4 = 22 → log2 4 = 2
Podemos	definir	matematicamente	o	logaritmo	como:	
Dados	dois	números,	a e b, sendo a	>	0	e	a ≠ 1 e b	>	0,	existe	somente	um	real	x,	tal	que:
ax	= b → loga	b	=	x
Na nomenclatura dos logaritmos, temos:
•	 a: base do logaritmo
•	 b: logaritmando
•	 c: logaritmo
Exemplos	de	cálculos	de	logaritmos:
log1
4
1
32
1
4
32
4 32
→ 



=
( ) =-
x
x
Escrevendo o número 4 em potência de 2:
(2‑2)	x	=	25
2‑2x	= 25
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Unidade II
Igualando as bases:
- = → = -
→( ) =
( ) = → =
2 5
5
2
1 7 1
7 7 0
7
0
x x
x
x
x
log
Assim,	x	=	0.
log3
1
2
3
1
2
3
2
27 3 27
3 27
3 3
3 3
3
2
→ =
=
= ( )
= → =
x
x
x
x x
Portanto, x = 3
2
.
 Observação
O	logaritmo	de	base	10	é	chamado	logaritmo	decimal,	e	é	representado	por	
log a.	Quando	o	logaritmo	é	escrito	dessa	maneira,	a	base	fica	subentendida.
4.4 propriedades dos logaritmos
•	 loga	1	=	0,	o	log	1	em	qualquer	base	é	sempre	igual	a	0.
	 De	fato,	loga	1	=	x	→ a
x	= 1 → ax = a0 →	x	=	0.
•	 loga a = 1, o logaritmo da base, qualquer que seja a base, é sempre 1.
 
 loga a = 1 → a
x = a → ax = a1 →	x	=	1.
•	 loga a
m = m, o logaritmo de uma potência a	é	igual	ao	expoente	m.
 loga a
m	=	x	→ ax = am → ax	= am →	x	=	m.
•	 loga b = loga	c,	se	dois	logaritmos	com	a	mesma	base	são	iguais,	então	significa	que	os	logaritmandos	
são iguais, portanto a = b. 
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MateMática para coMputação
loga	b	=	x	→ a
x = b
loga	c	=	x	→ a
x	= c
Logo, a = c.
•	 a	loga loga b = ab
Se loga a
m = m, então loga loga b = b, portanto, a loga loga b = ab.
Exemplos 
1) Sabendo que logb	a	=	3,	calcule	logb a
5.
Solução:
logb a
5	=	5	logb a mas logb	a	=	3	∴ logb a
5	=	5	.	3	=	15
2)	Calcule	o	valor	de	A	=	52+log5→3.
Solução:
52+log5→3	=	52	.	5log5→3
Usando	a	propriedade,	temos	que	5log5→3	=	3
Assim,	52+log5→3	=	52	.	5log5→3	=	25	.	3	=	75.
3)Sabendo	se	que	logb a = 4, calcule logb a
56 .
Solução:
log log logb b ba a a
56
5
6 5
6
= =
Como logb a = 4
∴ = = =log . .b a
56 5
6
4
20
6
10
3
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Unidade II
4.5 propriedades operacionais dos logaritmos
•	 O	logaritmo	de	um	produto	é	igual	à	soma	dos	logaritmos	dos	fatores,	ou	seja,	
logb (m . n) = logb	m	+	logb n
•	 O	logaritmo	de	um	quociente	é	dado	por:
log log logb b b
m
n
m n



= -
•	 O	logaritmo	de	uma	potência	é	dado	por:
logb m
k	=	k	logb m
Existem	momentos	em	que	nos	deparamos	com	certo	logaritmo	em	determinada	base	e	temos	de	
convertê‑lo	em	outra	base.	Por	exemplo,	se	quisermos	calcular	log7 2, não conseguiremos por meio de 
calculadoras,	pois	estas	 só	 trabalham	com	 logaritmos	na	base	10	ou	na	base	neperiana.	Nesse	caso,	
devemos fazer uso de um artifício matemático que permite calcular esse logaritmo a partir de logaritmos 
de bases conhecidas. Essa ferramenta poderosa que facilita os cálculos chama‑se mudança de base. 
Como fazer isso? Essa mudança não altera o resultado?
A	mudança	de	base	é	definida	como:
log
log
logb
c
c
a
a
b
c= ≠ 1
Essa	mudança	não	altera	o	resultado;	vejamos	alguns	exemplos:
log
log
log64
2
2
32
32
64
5
6
= =
log
log
log81
3
3
9
9
81
2
4
= =
4.6 função logarítmica
Podemos	dizer	que	uma	função	logarítmica	é	toda	função	definida	pela	Lei	de	Formação	f(x)	=	logax,	
com a ≠	1	e	a	>	0.	Nesse	tipo	de	função,	o	domínio	é	representado	pelo	conjunto	dos	números	reais	
maiores que zero, e o contradomínio, pelo conjunto dos reais.
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MateMática para coMputação
Alguns	exemplos	de	funções	logarítmicas:
f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
( ) =
( ) =
( ) =
( ) =
( ) =
log
log
log
log
log
2
3
1
2
2
10
No caso das funções logarítmicas, dois casos devem ser considerados para análise.
Caso 1:	A	>	1,	o	gráfico	tem	a	seguinte	forma	quando	são	atribuídos	a	x	os	infinitos	valores	reais	
positivos, conforme tabela a seguir:
Tabela 5
x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
y 0,25 0,5 1 0 1 2 3
0																					2																					4																				6																					8
y
x
2
0
‑2
Figura	54	–	Gráfico	de	uma	função	logarítmica	no	caso	em	que	a	>	1
Observamos	que	essa	é	uma	função	crescente	em	todo	o	seu	domínio.
Caso 2:	0	<	a	<	1,	o	gráfico	tem	a	seguinte	forma	quando	são	atribuídos	a	x os	infinitos	valores	reais	
positivos, conforme tabela a seguir:
Tabela 6
x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
y 3 2 1 0 ‑1 ‑2 ‑3
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Unidade II
0																					2																					4																						6																					8
y
x
3
1
‑1
‑3
Figura	55	–	Gráfico	de	uma	função	logarítmica	no	caso	em	que	0	<	a	<	1
Comparando	os	dois	gráficos,	podemos	observar	que:
•	 estão	totalmente	à	direita	do	eixo	y,	pois	está	definido	para	y	>	0.
•	 ambos	 interceptam,	 ou	 seja,	 cruzam	 o	 eixo	 do	 x,	 no	 ponto	 (1,0),	 o	 que	 mostra	 que	 a	 função	
apresenta uma raiz.
•	 y	assume	todos	os	valores	reais.
 Observação
Conforme pode ser observado, a função logarítmica é o inverso da 
função	exponencial.
4.7 equação logarítmica
Para	 finalizar	 esta	 unidade,	 vamos	 estudar	 as	 equações	 logarítmicas,	 ou	 seja,	 aquelas	 em	 que	 a	
incógnita x apresenta‑se na base de um logaritmo ou no logaritmando. Para resolver essas equações,devemos usar as propriedades dos logaritmos.
Temos	dois	casos	de	equações	logarítmicas:
Caso 1: loga	r	=	f(x)	→	f(x)	=	a
r
Exemplo:
log x x
x
x x
S
2
43 1 4 2 3 1
3 1 16
3 15 5
5
+( ) = → = +( )
+ =
= → =
∴ = { }
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MateMática para coMputação
Caso 2: loga	f(x)	=	loga	g(x)	→	f(x)	=	g(x)
Exemplo:	log(x+2)	+	log(x‑2)	=	log	3x
Usando a propriedade dos logaritmos logb (m . n) = logb	m	+	logb n, podemos reescrever a equação 
assim:
log(x+2)	(x‑2)	=	log	3x
Usando a propriedade dos produtos notáveis, visto na unidade 1, temos:
log(x2 ‑	4)	=	log	3x
Como as bases são iguais, basta igualar os logaritmandos, portanto:
x2 ‑	4	=	3x,	
que é uma equação do segundo grau. Assim, precisamos calcular as raízes:
x x
b ac
x
b
a
x ex
2
2
1 2
4 3 0
4 9 16 25
2
3 25
2
4 1
- - =
= - = + =
= - ± = ± → = = -
∆
∆
Obtemos	dois	valores	para	as	soluções,	porém	temos	de	analisar	as	condições,	já	que:
(x	+	2)	>	0	e	(x	‑	2)	>	0	→	x	>	‑2	e	x	>	2
A	solução	que	satisfaz	a	condição,	portanto,	é	S	=	{4}.
Outro	exemplo	para	ilustrar	o	uso	das	propriedades	dos	logaritmos	na	resolução	das	equações:
log log
log ( )
3 3
3
2
2
1 7 2
1 7 2
1 7 3
6 7
x x
x x
x x
x x
+( ) + -( ) =
+( ) - =
+( ) -( ) =
- - = 99
6 16 02x x- - =
Resolvendo	a	equação,	obtemos	x1 =	8	e	x2 = ‑2.
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Unidade II
Observando	as	condições	de	existência	x	>	‑1	e	x	>	7	∴	a	única	solução	possível	é	S	=	{8}.
 saiba mais
Uma aplicação interessante é a medição da intensidade de um terremoto 
medida	 na	 Escala	 Richter.	 Vários	 filmes	 descrevem	 esse	 tipo	 de	 desastre	
natural e podem ajudar na interação com esse conteúdo, como: 
2012.	Direção:	Roland	Emmerich.	Estados	Unidos:	Columbia	Pictures,	
2012.	VHS	(158	min).
TERREMOTO.	 Direção:	 Mark	 Robson.	 Estados	 Unidos:	 Universal	
Pictures,	1974.	VHS	(123	min).	
Mais	exercícios	para	fixação:	
1) Resolver a equação log2	(x	+	2)	+	log2	(x	‑	2)	‑5.
Solução:
Devemos	estabelecer	as	condições	de	existência,	que	são:	x	>	‑2	e	x	>	2;	portanto,	para	que	essas	
duas	condições	sejam	satisfeitas,	temos	que	x	>	2.
A propriedade do logaritmo de um produto permite‑nos reescrever a equação como:
log2	(x	+	2)	(x	‑	2)	=	5
Pela	definição	de	logaritmo:
(x	+	2)	(x	‑	2)	=	25
Calculando o produto, temos:
x2 ‑	4	=	32
x2 =	36
x	=	±	6
Somente	6	satisfaz	a	condição	inicial,	e,	portanto,	S	=	{6}.
2) Resolver a equação log2	x	+	log4	x	+	log16	x	=	7.
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MateMática para coMputação
Solução:
A	condição	de	existência	é	x	>	0.
Vamos escrever tudo na base 2 para facilitar os cálculos, ou seja, vamos mudar de base.
log log log
log
log
log
log
log
log
2 4 16
2
2
2
2
2
2
7
4 16
7
4
x x x
x
x x
Mas
+ + =
+ + =
==
+ + =
=
+ + =
= → =
2
2 4
7
2 4
7
7
4
7 4
2
2 2
2
log
log log
log :
x
x x
Chamando x y
y
y y
y
y
MMas x y x x
Porta to S
log log
n ,
2 2 4 16
16
= → = → =
= { }
3)	Determine	o	Conjunto	Solução	da	equação:
2 log2	(x	‑	3)	‑	log2	(x	‑	3)	=	0	
Solução:
Usando a propriedade da subtração de dois logaritmos, podemos reescrever a equação como:
2 3 3
3
3
3 02 2
2
2log ( ) log log ( )x x
x
x
x- ÷ -( ) = -( )
-( ) → - =
Pela propriedade dos logaritmos, temos:
x x- = = → =3 2 1 40 
4) A Escala Richter relaciona a magnitude M de um terremoto à sua energia liberada E (em ergs) pela 
equação:
logE	=	11,8	+	1,5M
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Unidade II
Se	um	terremoto	liberou	energia	equivalente	a	1025 ergs, então calcule sua magnitude.
Solução:
logE	=	11,8	+	1,5M
log1025	=	11,8	+	1,5M
Usando a propriedade dos logaritmos, temos:
25	=	11,8	+	1,5M
1,5M	=	13,2
M = 8,8
A magnitude associada a esse terremoto, portanto, foi de 8,8.
5)	Construir	o	gráfico	da	função	 f x x( ) = log1
2
.
Solução:
Para	fazer	o	gráfico,	atribuímos	valores	a	x, conforme a tabela:
Tabela 7
x 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125
y ‑3 ‑2 ‑1 0 1 2 3
y
3
1
‑1
3
‑3																																																							1																																																									5
x
Figura	56
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MateMática para coMputação
Observando	a	curva	formada	pelo	gráfico,	nos	pontos	em	que	y	≥	0,	notamos	que	essa	se	assemelha	
a	uma	famosa	torre:	a	Torre	Eiffel.	É	a	matemática	aplicada	em	Arquitetura	e	Engenharia.
6) Calcule log5	625	+	log	100	‑	log3 27.
Solução:
log5	625	é	expoente	da	potência	de	base	5,	que	resulta	em	625.
log5	625	=	x	→	5
x	=	625
625	pode	ser	fatorado,	por	meio	de	sua	decomposição,	em	fatores	primos.
Assim,	625	=	54
Logo,	5x	=	54 →	x	=	4
log100	é	o	expoente	da	potência	de	base	10,	que	resulta	em	100.
log100	=	x	→	10x	=	100
Como	se	sabe,	uma	potência	de	10	com	expoente	natural	resulta	em	um	número	começando	pelo	
algarismo 1 seguido	de	tantos	zeros	quanto	indicados	por	esse	expoente.
O	número	100	possui	dois	zeros	após	1,	porque	o	expoente	da	potência	de	base	10	é	igual	a	2.
Assim:
10x	=	102 →	x	=	2
O	log3	27	é	igual	a	3,	visto	que	o	número	27	pode	ser	decomposto	em	fatores	primos,	resultando	em:
27	=	33
Assim,
log3	27	=	x	→	x	=	3
Portanto,
log5	625	+	log100	‑	log3	27	=	4	+	2	‑	3	=	3
7) Calcule log3	5	sabendo	que	log3	45	=	3,464974.
http://www.matematicadidatica.com.br/Potenciacao.aspx
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Unidade II
Solução:
log3	5	pode	ser	escrito	como:
log3
45
9
Portanto,
log log3 35
45
9
=
Pela propriedade dos logaritmos, podemos escrever:
log log log
log
3 3 3
3
5 45 9
9 2
= -
=
Portanto,
log log log
log ,
log ,
3 3 3
3
3
5 45 9
5 3 464974 2
5 2 464974
= -
= -
=
8) Sabendo‑se que logx 2 = a e logx	3	=	b,	calcule	 logx 12
3
Solução:
Primeiramente vamos utilizar a propriedade dos logaritmos e escrever logx 12
3 como:
log log logx x x12 12
1
3
123
1
3= =
Vamos	escrever	12	como	um	produto	entre	4	e	3.
Assim,
1
3
12
1
3
4 3log log .x x=
Utilizando a propriedade dos logaritmos, que diz que um produto pode ser separado numa soma, 
temos:
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MateMática para coMputação
1
3
4 3
1
3
4
1
3
3
1
3
4
1
3
2
2
3
22
log . log log
log log log
x x x
x x x
= +
= =
Portanto, 
1
3
4 3
2
3
2
1
3
3log . log logx x x= +
 
Como: 
logx 2 = a e logx	3	=	b,	temos:
logx a b12
2
3
1
3
3 = +
 
Portanto, logx a b12
2
3
1
3
3 = + .
9)	Calcule	log	100,23	sabendo	que	log	10123	=	2,09.
Solução:
Queremos	calcular	log	101,23,	então	vamos	escrevê‑lo	como:
log	101,23	=	log	10123	.	10‑2
Utilizando a propriedade, temos:
log . log
og , , :
log ,
10123 10 10 10123
10123 2 09
101
2 2- -=
=Como l temos
223 10 10123
10123 10 2 09
10123 0 0209
2
2
=
=
=
-
-
.
.
log
log , ,
log , ,
log . log
og , , :
log ,
10123 10 10 10123
10123 2 09
101
2 2- -=
=Como l temos
223 10 10123
10123 10 2 09
10123 0 0209
2
2
=
=
=
-
-
.
.
log
log , ,
log , ,
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Unidade II
 resumo
Na Unidade II, pudemos aprender mais sobre funções e suas 
propriedades. Mais do que isso, vimos que a Matemática apresenta uma 
forma progressiva de aprendizado, tanto que conceitos aprendidos na 
Unidade I foram utilizados aqui.
O	conhecimento	de	funções	impulsionou	o	desenvolvimento	tecnológico	
em	todas	as	áreas.	As	funções	permeiam	nossa	vida	cotidiana,	por	exemplo,o valor da conta de luz, o cálculo do imposto de renda etc. A noção de 
função permite que possamos estabelecer relações de dependência entre 
as quantidades.
Começamos	esta	unidade	descrevendo	as	funções	do	1º	e	do	2º	grau,	
vimos como essas funções se comportam e aprendemos a calcular as 
raízes.	 Aprendemos	 sobre	 análise	 de	 gráficos,	 identificamos,	 no	 caso	
das	 funções	 do	 2º	 grau,	 a	 concavidade	 e	 os	 elementos	 da	 parábola,	
crescimento e decrescimento de funções, bem como o cálculo de seus 
máximos	e	mínimos.
Verificamos	 suas	 aplicações	 em	 diversos	 ramos	 da	 ciência,	 como	 na	
Física (na descrição de movimentos), na Biologia (ao descrever o processo 
de	 fotossíntese),	na	Administração	 (cálculo	de	 taxas	de	 juro,	 cálculo	das	
funções receita e lucro), entre outras.
Aprendemos	sobre	funções	exponenciais	e	 logarítmicas,	seus	gráficos	
e	 equações.	 Pudemos	 ver	 que	 existe	 uma	 relação	 entre	 essas	 duas	
funções	 e	 suas	 aplicações	 no	 mundo;	 por	 exemplo,	 em	 Geografia,	 as	
funções	exponenciais	podem	ser	utilizadas	para	descrever	fenômenos	de	
crescimento	populacional;	em	Biologia,	nos	processos	de	crescimento	de	
culturas bacterianas. Já as funções logarítmicas podem ser utilizadas na 
descrição	de	processos	complexos	cujas	medidas	(muito	grandes	ou	muito	
pequenas)	estão	situadas	em	intervalos	com	uma	amplitude	muito	grande;	
por	exemplo,	em	Astronomia,	o	brilho	de	uma	estrela	é	medido	por	meio	
de logaritmos, bem como em Geologia é medida a intensidade de um 
terremoto. 
Nesta unidade, portanto, vimos que a Matemática é dinâmica, está 
presente em nossa vida cotidiana e nos possibilita entender e interpretar 
melhor alguns fenômenos que nos cercam.
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MateMática para coMputação
 exercícios
Questão 1. (Enade	2008) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para 
o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola 
seja	uma	parábola,	com	ponto	de	máximo	em	Q,	exatamente	acima	da	barreira,	a	3	metros	do	chão,	
como	ilustra	a	figura	a	seguir.
3
Q
x P
gol
R
8 12
parábola
barreira
posição da falta
0 x
y
Sabendo‑se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
A)	3/2	m
B)	4/3	m
C) 1 m
D)	2	m
E)	5/3	m
Resposta correta: alternativa E.
Justificativa geral
Para encontrarmos a alternativa correta, devemos utilizar a teoria de funções do 2° grau e desenvolver 
os	cálculos	de	acordo	com	os	dados	do	exercício.
A função do 2° grau tem a forma geral y = ax²	+ bx	+ c, sendo a, b e c constantes reais e a ≠ 0.
A	partir	dos	dados	do	enunciado,	para	x	=	0,	temos:
y = ax²	+ bx	+ c
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Unidade II
y = a(0)²	+ b(0)	+ c
y = c
c = 3
Portanto,	se	x	=	0,	temos	y	=	c.	No	caso,	c	=	3.
Considerando	dois	pontos	conhecidos	da	parábola	{(0,	12)	e	(0,	‑12)},	fazemos:
y = ax²	+ bx	+ c
0	=	a(12)²	+	b(12)	+	3→(I)
0	=	a(‑	12)²	+	b(‑	12)	+	3	→(II)
Então:
144a +12b = -3	(I)
144a -12b = -3	(II)
Somando as equações (I) e (II), temos:
288 6
6
288
3
144
a a a= - → = - → = -
Para calcularmos b, fazemos:
144a +12b = -3
144
3
144
12 3 3 12 3 12 3 3 0
-



+ = - → - + = - → = - + → =b b b b
Conhecidos os valores de a, b e c, a função do 2° grau que representa a trajetória parabólica da 
bola é:
y x= - +3
144
32
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MateMática para coMputação
Para	calcularmos	a	altura	da	bola	quando	x	=	‑8,	fazemos:
y x y y y
y
= - + → = - -( ) + → = - ⋅ + → = - + →
→ = -
3
144
3
3
144
8 3
3 64
144
3
192
144
3
4
3
2 2
++ → = - + =3 4 9
3
5
3
y y
Logo, a altura da bola quando ela atinge o gol é igual a 
5
3
m.
Questão 2. (Enade	 2008) Na	 discussão	 relativa	 a	 funções	 exponenciais,	 um	 professor	 propôs	 a	
seguinte	questão:	para	que	valores	não	nulos	de	k	e	m	a	função	f(x)	=	mekx é uma função crescente? 
Como	estratégia	de	trabalho	para	que	os	alunos	respondam	à	questão	proposta,	é	adequado	e	suficiente	
o professor sugerir que os alunos:
A)	Considerem	m	=	1	e	k	=	1,	utilizem	uma	planilha	eletrônica	para	calcular	valores	da	função	f	em	
muitos pontos e comparem os valores obtidos.
B)	Considerem	m	=	1	e	 k	=	1,	m	=	 ‑1	e	 k	=	1,	 esbocem	os	gráficos	da	 função	 f	 e,	 em	 seguida,	
comparem	esses	dois	gráficos.
C)	Formem	pequenos	grupos,	e	cada	grupo	deve	esboçar	o	gráfico	de	uma	das	funções	y	=	mex, para 
m	=	1,	2,	3,	4	ou	5,	e	comparem,	em	seguida,	os	gráficos	encontrados.
D)	Esbocem	os	gráficos	das	funções	y	=	ex e y = e‑x	e	analisem	o	que	acontece	com	esses	gráficos	
quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes positivas ou negativas.
E)	Construam	uma	tabela	com	os	valores	de	f	para	x	número	inteiro	variando	de	‑5	a	5,	fixando	
m	=	1	e	k	=	1	e,	em	seguida,	comparem	os	valores	encontrados.
Resolução desta questão na plataforma.