Cochran e Bartlett

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1.6.1 - TESTE DE IGUALDADE DAS VARIÂNCIAS
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fator) / Modelo Heterocedástico (/anova/16-modelo-heterocedastico) / 1.6.1 - Teste de igualdade das Variâncias
 
Para o modelo heterocedástico, vamos inicialmente testar as hipóteses
Os métodos mais utilizados são os testes de Cochran, Bartlett e de Levene.
Teste de Cochran (Homogeneidade de Variância)
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O teste de Cochran compara a maior variância com as demais. Para aplicarmos o teste de Cochran, vamos assumir
que o experimento é balanceado e seguir as seguintes etapas:
Etapa 1 - Calcular a Estatística
em que
k: representa o número de níveis do fator;
s : representa a variância amostral. 
n: representa o número de medidas em cada nível do fator.
 
Etapa 2 - Comparar com valor tabelado. 
Exemplo 1.6.1.1:
Um laboratório de metrologia contratou um novo metrologista que passou por diversos treinamentos para
integrar a equipe. Antes de liberarmos o metrologista para realizar o procedimento de calibração, realizamos um
teste para comparar a variabilidade das medições do metrologista novato com os demais metrologistas do
laboratório. Em um experimento completamente aleatorizado, um bloco padrão de 50mm foi medido 5 vezes por
cada metrologista. As medições estão na tabela a seguir.
  Metrologistas
  João Novato Moacir Roberto
Medida 1 50,0071 50,007 50,0072 50,0073
Medida 2 50,0072 50,0076 50,0074 50,0074
Medida 3 50,0072 50,0075 50,0073 50,0073
Medida 4 50,0071 50,0071 50,0072 50,0072
Medida 5 50,0072 50,0078 50,0072 50,0072
Média 50,00716 50,0074 50,00726 50,00728
Desvio Padrão 0,000055 0,00034 0,000089 0,000084
Variância 0,000000003 0,000000115 0,000000008 0,000000007
Neste caso, temos como objetivo comparar a variabilidade encontrada entre os diversos metrologistas.
Observamos que . Logo
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 (Tabela C, para de signiÖcância) =0,629. Portanto, como , a variância do
metrologista Novato não é homogênea em relação a dos demais metrologistas.
Número 
de
Grupos
Tamanho do grupo (réplicas)
2 3 4 5 6
2 - 0,975 0,939 0,906 0,877
3 0,967 0,871 0,798 0,746 0,707
4 0,906 0,768 0,684 0,629 0,69
5 0,841 0,684 0,598 0,544 0,506
6 0,781 0,616 0,532 0,48 0,445
7 0,727 0,561 0,48 0,431 0,397
8 0,68 0,516 0,438 0,391 0,3
Tabela C: Valor tabelado para nível de signiÖcância 5%.
Teste de Bartlett
A estatística do teste proposta por Bartlett é dada por
em que
Sob (igualdade das variâncias) sabemos que tem distribuição assintótica qui-quadrado com graus de
liberdade. Desta forma, rejeitamos se no qual representa o quantil 
da distribuição qui-quadrado com (k-1) graus de liberdade. Além disso, o P-valor é calculado por
>
 
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O teste de Bartlett é sensível em relação a hipótese de normalidade dos dados. Se rejeitarmos a hipótese de
normalidade, é melhor utilizarmos o teste proposto por Levene. Porém, se a hipótese de normalidade não for
violada, o teste proposto por Bartlett tem um comportamento melhor que o teste proposto por Levene.
Exemplo 1.6.1.1: 
Aplicar o teste de Bartlett para os dados do Exemplo 1.1 (/content/1-anova-um-fator#ex1).
Fator Resistencia_da_Fibra
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
 
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35 15
35 11
 (/sites/default/Öles/ANOVA/PLANILHAS/bartlet.xls)
As variâncias amostrais são
Então, temos que
Logo,
Temos também que
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo  
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Então, a estatística do teste
Como , não rejeitamos a hipótese de que todas as variância são iguais.
O p-valor para o teste de Bartlett é
Conclusão:
Como o p-valor está acima de 5% não rejeitamos a hipótese .
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
 
 
 
 
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 (/manual-anova/teste-
de-bartlett-para-analise-de-
resistencia-da-Öbra)
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode
consultar o manual do usuário. (/manual-anova/teste-de-bartlett-para-
analise-de-resistencia-da-Öbra)
 
Teste de Levene
Este procedimento consiste em fazer uma transformação dos dados originais e aplicar aos dados transformados o
teste da ANOVA. Levene (1960) propôs a seguinte transformação:
onde
: representa os dados após transformação;
: representa os dados originais; e
: representa a média do nível , para os dados originais.
Uma transformação (robusta) alternativa considerada para o procedimento de Levene, proposto por Brown
(1974), é substituir a média do nível pela mediana.
Para obter a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de
dados for ímpar, a mediana será o dado central. Se o número de dados for par, a mediana será a média aritmética
dos dois dados centrais.
Com isso, a expressão a seguir é substituída por
 
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em que
: representa os dados após transformação;
: representa os dados originais; e
: representa a mediana do nível , para os dados originais.
Com isso, temos a seguinte estatística:
em que, e  
Após a transformação dos dados originais pela expressão (1.6.1.1), aplicamos o teste da ANOVA. Se a estatística F
for signiÖcativa rejeitamos a hipótese de igualdade das variâncias.
Teste de Levene para os dados do Exemplo 1 (/content/1-anova-um-fator#ex1).
Usando a expressão (1.6.1.1 ), obtemos a seguinte tabela, com os dados transformados.
Algodão % Resistência da Fibra
15 2 2 6 2 0
20 5 0 5 1 1
25 4 0 0 1 1
30 3 3 0 3 1
35 4 1 0 4 0
Tabela: Dados transformados para a resistência da Öbra.
 
Fator Resistência da Fibra
15 2
 
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15 2
15 6
15 2
15 0
20 5
20 0
20 5
20 1
20 1
25 4
25 0
25 0
25 1
25 1
30 3
30 3
30 0
30 3
30 1
35 4
35 1
35 0
35 4
35 0
 (/sites/default/Öles/ANOVA/PLANILHAS/levene.xls)
A soma de quadrados é dada por: 
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
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Conclusão:
Comoo p-valor é maior que 5%, não temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias.
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
 
Tabela: Análise de Variância para os dados transformados.
 
 
 
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 (/manual-anova/teste-
de-levene-para-analise-de-
resistencia-da-Öbra)
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode
consultar o manual do usuário.  (/manual-anova/teste-de-levene-para-
analise-de-resistencia-da-Öbra)
 
Dados brutos:
Exemplo 1.6.1.1: 
Aplicar o teste de Bartlett para os dados do Exemplo 1.1 (/content/1-anova-um-fator#ex1).
Fator Resistencia_da_Fibra
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
 
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20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
35 15
35 11
 (/sites/default/Öles/ANOVA/PLANILHAS/bartlet.xls)
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
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‹ 1.6 - Modelo Heterocedástico (/anova/16-modelo-
heterocedastico)
acima
(/anova/16-
modelo-
heterocedastico)
1.6.2 Teste de Welch › (/anova/162-teste-de-welch)
Conclusão:
Como o p-valor é maior que 5%, não temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias.
 
 
Dúvidas sobre esse conteúdo? Comente:
 
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2 Comentários Portal Action Entrar1
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 • Responder •
Rafaela • 4 meses atrás
Qual o critério que uso para escolher entre o Barlett e o Cochran?
△ ▽
 • Responder •
Equipe Portal • 4 meses atrásMod > Rafaela
Olá Rafaela, o teste de Cochran é o mais comum pois os cálculos são simples. Já o
teste de Bartlett é sensível em relação a hipótese de normalidade dos dados. Se
rejeitarmos a hipótese de normalidade, é melhor utilizarmos o teste proposto por
Levene.
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