03.1 Lista 3

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MAE 229 - Introduc¸a˜o a` probabilidade e Estat´ıstica II Lista 3
Lista 3 - Distribuic¸o˜es amostrais, TLC e propriedades de estimadores
1. A distribuic¸a˜o do nu´mero de filhos, por famı´lia, de uma zona rural esta´ na tabela abaixo.
Nu´mero de filhos Porcentagem
0 5
1 15
2 35
3 30
4 15
Total 100
(a) Deˆ, na forma de uma tabela de dupla entrada, as poss´ıveis amostras para o nu´mero de filhos
de duas famı´lias sorteadas aleatoriamentes desta populac¸a˜o e as respectivas probabilidades
de ocorreˆncia.
(b) Se fosse escolhida um amostra de tamanho 4, ou seja, se quatro famı´lias forem sorteadas
aleatoriamente, qual seria a probabilidade de se observar a qua´drupla (2 filhos, 3 filhos, 2
filhos, 1 filho)?
(c) Seja X a varia´vel aleato´ria que denota o nu´mero de filhos de uma famı´lia aleatoriamente
sorteada desta populac¸a˜o. Obtenha a me´dia e a variaˆncia de X.
(d) Defina X1 como sendo o nu´mero de filhos observados na primeira famı´lia sorteada na
populac¸a˜o e X2 o nu´mero de filhos observados na segunda famı´lia sorteada, em uma amostra
de tamanho 2. Obtenha E(Xi), Var(Xi), i = 1, 2.
(e) Construa a distribuic¸a˜o amostral de X¯ = X1+X22 .
(f) Calcule E(X¯) e Var(X¯).
(g) Fac¸a num mesmo gra´fico os histogramas de X e X¯.
(h) Calcule P (|X¯ − µ| > 1), em que µ = E(X).
2. Uma varia´vel aleato´ria X assume quatro valores (-2, -1, 1, 2) com igual probabilidade. Para
uma amostra de tamanho dois, obtenha a distribuic¸a˜o de S2 =
2∑
i=1
(Xi − X¯)2 e verifique se ele e´
na˜o viesado para estimar a variaˆncia da varia´vel.
3. Estat´ısticas do Departamento de Traˆnsito sobre o envolvimento em acidentes, de motoristas com
pouca experieˆncia (ate´ 2 anos de habilitac¸a˜o), indicam que o seguinte modelo pode ser adotado:
Nu´mero de acidentes X 0 1 2 3
pi 0,4 0,35 0,15 0,1
Uma amostra aleato´ria de 3 desses “jovens”motoristas foi sorteada.
(a) Calcule E(X) e Var(X).
(b) Obtenha a distribuic¸a˜o amostral de X¯.
(c) Obtenha E(X¯) e Var(X¯).
(d) Construa os histogramas de X e X¯ (em um mesmo diagrama).
4. O nu´mero de divo´rcios por indiv´ıduo adulto casado, em certa comunidade, foi modelado pela
varia´vel aleato´ria D cuja func¸a˜o de probabilidade e´ dada por
D 0 1 2 3
pi 0,55 0,35 0,08 0,02
Professores: Alexandre G. Patriota
Monitora PAE: La´ıs H. Loose
IME - USP
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Uma amostra aleato´ria de dois indiv´ıduos, representada por (D1, D2), foi sorteada.
(a) Obtenha a me´dia e a variaˆncia da varia´vel aleato´ria D.
(b) Fornec¸a os poss´ıveis resultados para amostras de tamanho 2, com as respectivas probabili-
dades de ocorreˆncia.
(c) Construa a distribuic¸a˜o amostral de µˆ1 =
√
D1 ×D2. Obtenha a me´dia e a variaˆncia de
µˆ1.
(d) Repita o item anterior utilizando µˆ2 = ma´ximo(D1, D2) - mı´nimo(D1, D2).
(e) Repita o item anterior utilizando µˆ3 = D¯ =
D1+D2
2 .
5. Sabe-se que 15% das pec¸as de um lote sa˜o defeituosas. Sorteiam-se 8 pec¸as, com reposic¸a˜o, e
calcula-se a proporc¸a˜o θˆ de pec¸as defeituosas na amostra.
(a) Construa a distribuic¸a˜o exata de θˆ.
(b) Indique qual e´ a aproximac¸a˜o normal a` binomial que pode ser utilizada.
(c) Obtenha utilizando a distribuic¸a˜o exata (item (a)) e a distribuic¸a˜o aproximada (item (b))
as probabilidades Pθ(θˆ ≤ q) para q = 1/4, 3/8, 1/2, 3/4 e 7/8. Compare e comente.
6. Coleta-se uma amostra de 16 observac¸o˜es independentes de uma varia´vel aleato´ria X com dis-
tribuic¸a˜o normal de me´dia 2 e variaˆncia 4, ou seja X ∼ N(2, 4). Determine a probabilidade de
a me´dia amostral:
(a) Ser inferior a 1,5.
(b) Ser superior a 1,8.
(c) Estar entre 1 e 2,4.
7. Determine a probabilidade de a me´dia amostral de 3 observac¸o˜es aleato´rias de uma varia´vel
aleato´ria X com distribuic¸a˜o Binomial, dada por X ∼ Binomial(2; 0, 3) ser inferior a 1.
8. Uma varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o normal, com me´dia 90 e desvio padra˜o 10.
(a) Calcule P (86 < X < 95).
(b) Se X¯ e´ a me´dia de uma amostra de 16 elementos retirados dessa populac¸a˜o, calcule P (86 <
X¯ < 95).
(c) Desenhe, num u´nico gra´fico, as distribuic¸o˜es de X e X¯.
(d) Que tamanho deveria ter a amostra para que P (86 < X¯ < 94) = 0, 96?
9. Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza 85% dos casos. Uma amostra de 75
indiv´ıduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imunizac¸a˜o
ou na˜o desses indiv´ıduos. Se o fabricante estiver correto, qual e´ a probabilidade da proporc¸a˜o
de imunizados na amostra ser inferior a` 0,81? E superior a` 0,88?
10. A durac¸a˜o do “tonner”de uma ma´quina de fotoco´pias pode ser modelada por uma distribuic¸a˜o
normal com me´dia 15 e desvio padra˜o 2 (em milhares de co´pias). Para uma amostra de 12
fotocopiadoras a durac¸a˜o do “tonner”sera´ observada, qual a probabilidade da me´dia amostral
do “tonner”durar:
(a) Menos de 16 mil co´pias?
(b) Mais de 13 mil co´pias?
(c) Entre 12 e 14 mil co´pias?
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11. Definimos a varia´vel e = X¯ − θ como sendo o erro amostral da me´dia. Considere que a varia´vel
aleato´ria X representa o sala´rio de trabalhadores residentes em uma determinada regia˜o e supo-
nha que a variaˆncia dos sala´rios seja 324 unidades. Se necessa´rio utilize a distribuic¸a˜o amostral
aproximada (usando o Teorema do Limite Central).
(a) Determine Eθ(e) e Varθ(e).
(b) Que proporc¸a˜o das amostras de tamanho 25 tera´ erro amostral absoluto maior do que 2
unidades?
(c) E que proporc¸a˜o das amostras de tamanho 100?
(d) Neste u´ltimo caso, qual e´ o valor de d tal que Pθ(|e| > d) = 0, 01?
(e) Qual deve ser o tamanho da amostra para que 96% dos erros amostrais absolutos sejam
inferiores a uma unidade?
12. Considere um experimento consistindo de n provas de Bernoulli, com probabilidade de sucesso
θ. Seja X o nu´mero de sucessos e considere os estimadores
(i) θˆ1 = X/n;
(ii) θˆ2 =
{
1, se sucesso na primeira prova
0, se fracasso na primeira prova.
(a) Determine a esperanc¸a e variaˆncia de cada estimador. Por que θˆ2 na˜o e´ um “bom” estima-
dor?
(b) Verifique se θˆ1 e θˆ2 sa˜o consistentes.
(c) Considere um estimador para a variaˆncia da populac¸a˜o σ2θ = θ(1− θ), dado por θˆ1(1− θˆ1).
Em me´dia este estimador acertaria a verdadeira variaˆncia da populac¸a˜o?
(d) Sugira um estimador para a variaˆncia da populac¸a˜o diferente do sugerido em (c) e justifique.
13. Para estimar a me´dia θ desconhecida de uma populac¸a˜o, foram propostos dois estimadores na˜o-
viesados independentes, θˆ1 e θˆ2, de tal foram que Varθ(θˆ1) = Varθ(θˆ2)/3. Considere os seguintes
estimadores ponderados de θ:
(i) T1 = (θˆ1 + θˆ2)/2;
(ii) T2 = (4θˆ1 + θˆ2)/5;
(iii) T3 = θˆ1.
(a) Quais estimadores sa˜o na˜o viesados?
(b) Disponha esses estimadores em ordem crescente de eficieˆncia.
14. Seja X1, X2, . . . Xn uma amostra aleato´ria da varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o uniforme em
[0, θ], ou seja X ∼ U(0, θ), cuja func¸a˜o densidade e´ dada por:
fθ(x) =
{ 1
θ
, 0 ≤ x ≤ θ,
0, caso contra´rio.
(a) Encontre o estimador de θ pelo me´todo de momentos e me´todo de ma´xima verossimilhanc¸a.
(b) Calcule as me´dias e variaˆncias dos dois estimadores. Qual deles seria preferido?
(c) Considere o estimador θ̂ =
n+ 1
n
max {X1, . . . , Xn} verifique se e´ um estimador na˜o viesado
de θ, ou seja, verifique se Eθ(θˆ)− θ = 0 .
Professores: Alexandre G. Patriota
Monitora PAE: La´ıs H. Loose
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