05.1 Lista 5

Prévia do material em texto

MAE 229 - Introduc¸a˜o a` probabilidade e Estat´ıstica II Lista 5
Lista 5 - Testes de Hipo´teses
1. Defina a varia´vel aleato´ria X de interesse e identifique as hipo´teses que esta˜o
sendo testadas em cada caso.
(a) A companhia de transporte afirma que, em me´dia, o intervalo entre sucessivos
oˆnibus e´ de 15 minutos. Uma associac¸a˜o de usua´rios de transportes coletivos
acha que a pontualidade e´ muito importante e pretende testar a afirmac¸a˜o
da companhia.
(b) Os amortecedores de automo´veis que circulam em cidades duram em me´dia
30 mil quiloˆmetros, segundo informac¸o˜es de algumas oficinas especializadas.
Um proprieta´rio de automo´vel deseja testar essa afirmac¸a˜o.
(c) Um veterina´rio afirma que obteve um ganho me´dio dia´rio de 3 litros de leite
por vaca com uma nova composic¸a˜o de rac¸a˜o. Um pecuarista acredita que o
ganho na˜o e´ ta˜o grande assim.
2. Nas situac¸o˜es abaixo, defina H0 a hipo´tese de na˜o efeito para os dois exemplos
abaixo. Descreva em palavras quais sa˜o os dois tipos de erro.
(a) O controlador de voˆo deve evitar que duas aeronaves se choquem. Quando
surge alguma situac¸a˜o de risco na tela, ele deve decidir sobre as hipo´teses:
- Existe uma aeronave clandestina muito pro´xima de um avia˜o de passa-
geiros;
- E´ apenas uma leve interfereˆncia.
(b) Em um ju´ri, um indiv´ıduo esta´ sendo julgando por um crime. As hipo´teses
sujeitas ao ju´ri sa˜o:
- O acusado e´ inocente;
- O acusado e´ culpado;
3. Considere que, ao lanc¸armos independentemente treˆs vezes uma moeda e apare-
cerem 3 coroas, decidimos rejeitar a hipo´tese de que a moeda e´ “honesta”.
(a) Defina a varia´vel aleto´ria de interesse e apresente sua distribuic¸a˜o.
(b) Apresente as hipo´teses estat´ısticas envolvidas e calcule as probabilidades do
erro tipo I e erro tipo II.
4. Para decidirmos se os habitantes de uma ilha sa˜o descendentes da civilizac¸a˜o A
ou B, iremos proceder do seguinte modo:
(i) selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha e calculamos a
altura me´dia deles;
(ii) se essa altura me´dia for superior a 176cm, diremos que sa˜o descendentes de
B, caso contra´rio, sa˜o descendentes de A.
Os paraˆmetros das alturas das duas civilizac¸o˜es sa˜o:
A : µ = 175 e σ = 10.
B : µ = 177 e σ = 10.
Professores: Alexandre G. Patriota
Monitora PAE: La´ıs H. Loose
IME - USP
MAE 229 - Introduc¸a˜o a` probabilidade e Estat´ıstica II Lista 5
Definimos:
Erro tipo I - dizer que os habitantes da ilha sa˜o descendentes de B
quando, na realidade, sa˜o de A.
Erro tipo II - dizer que sa˜o de A quando, na realidade, sa˜o de B.
(a) Qual e´ a probabilidade do erro tipo I? E do erro tipo II?
(b) Qual deve ser a regra de decisa˜o se quisermos fixar a probabilidade do erro
tipo I em 5%? Qual e´ a probabilidade do erro tipo II, nesse caso?
(c) Se σ = 5 para a civilizac¸a˜o A, como ficariam as respostas em (b)?
(d) Quais as probabilidades do erro tipo II nas condic¸o˜es da questa˜o (b), se a
me´dia de B for igual a µ = 178? E µ = 180? E µ = 181? Coloque em um
gra´fico os pares (µ, Pµ(RC na˜o ocorrer)) da civilizac¸a˜o B.
5. Seja X ∼ N(µ, σ2) e X1, . . . , Xn uma amostra aleato´ria de X. Com o objetivo de
testar as seguintes hipo´teses :
H0 : µ = 1150 (σ = 150)
H1 : µ = 1200 (σ = 200)
com n = 100, estabeleceu-se a seguinte regia˜o cr´ıtica: RC=[1170,+∞[.
(a) Qual e´ a probabilidade α de rejeitar H0 quando verdadeira?
(b) Qual e´ a probabilidade β de aceitar H0 quando H1 e´ verdadeira?
(c) Qual deve ser a regia˜o cr´ıtica para que α = β?
6. Admitindo que a pressa˜o sangu´ınea arterial X em homens siga o modelo Normal,
X ∼ N(µ, σ2), 7 pacientes foram sorteados e tiveram sua pressa˜o medida com os
seguintes resultados 84, 81, 77, 85, 69, 80, 79. Teste se a me´dia e´ no mı´nimo 82
contra a alternativa de ser menor que este valor com α = 5%.
7. O peso me´dio X de uma determinada pec¸a satisfazendo normas de qualidade
estabelecidas, deve ser de 300 kg, assuma que X ∼ N(µ, σ2) . Recolhida uma
amostra com o peso de 30 pec¸as obteve-se os seguintes valores: 250, 265, 267,
269, 271, 275, 277, 281, 283, 284, 287, 289, 291, 293, 293, 298, 301, 303, 306, 307,
307, 309, 311, 315, 319, 322, 324, 328, 335, 339. Teste as hipo´teses de interesse, e
argumente se esta amostra satisfaz a especificac¸a˜o. Use α = 6%.
8. Um levantamento de opinia˜o mostrou que nos u´ltimos meses a proporc¸a˜o p de
habitantes de certo pa´ıs que desaprovam a pol´ıtica de economia de energia do
governo federal e´ igual a 75%. O presidente do pa´ıs introduz uma se´rie de mu-
danc¸as na pol´ıtica de economia de energia e seus assessores garantem que essa
proporc¸a˜o diminuiu. Para isso, 60 pessoas sa˜o entrevistadas depois da introduc¸a˜o
das mudanc¸as.
(a) Formule esse problema como um teste de hipo´teses.
(b) Qual e´ o significado do erro do tipo I e do tipo II para o problema?
(c) Qual e´ a regia˜o cr´ıtica para um n´ıvel de significaˆncia de 5%?
(d) Se 38 das 60 pessoas entrevistadas desaprovam a pol´ıtica de economia de
energia do governo federal, qual e´ a conclusa˜o?
Professores: Alexandre G. Patriota
Monitora PAE: La´ıs H. Loose
IME - USP
MAE 229 - Introduc¸a˜o a` probabilidade e Estat´ıstica II Lista 5
9. O custo X de manutenc¸a˜o de um certo equipamento segue uma distribuic¸a˜o nor-
mal, X ∼ N(µ, 400). Durante muito tempo o paraˆmetro µ tem sido adotado
como igual a 200. Suspeita-se que esse paraˆmetro aumentou, e so´ nos interessa
saber se o novo paraˆmetro e´ igual a 210. Assim, queremos planejar um teste em
que α = 5% (quando µ = 200) e β = 10% (quando µ = 210).
(a) Qual deve ser o tamanho da amostra?
(b) Qual e´ a regia˜o cr´ıtica nesse caso?
10. O sala´rio me´dio dos empregados das indu´strias sideru´rgicas e´ de 2,6 sala´rios
mı´nimos, com um desvio-padra˜o de 0,6 sala´rio mı´nimo. Para uma amostra de
50 empregados de determinada indu´stria particular, obteve-se sala´rio me´dio de
2,3 sala´rios mı´nimos. Esses resultados evidenciam que esta indu´stria paga sala´rio
me´dio inferior ao padra˜o nacional, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%?
11. Para verificar se um dado era viciado, este foi lanc¸ado 120 vezes. Obteve-se 25
vezes o nu´mero 5. Com α = 1% voceˆ diria que o dado e´ viciado?
12. Certa instituic¸a˜o financeira tem uma determinada linha de cre´dito que 65% dos
clientes conseguem pagar, sem se tornarem inadimplentes. Para diminuir a taxa
de inadimpleˆncia, um estudo foi feito e novas regras de cre´dito foram estabelecidas.
Com essas novas regras, espera-se que a porcentagem de bons clientes aumente.
Para verificar se essas mudanc¸as sa˜o efetivas, a instituic¸a˜o decide fazer um teste,
escolhendo 22 clientes que receberam o cre´dito segundo as novas regras.
(a) Formule este problema como um problema de teste de hipo´teses.
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
(c) Se, dentre os 22 clientes que receberam o cre´dito, 15 deles conseguiram li-
quidar todo o pagamento, qual e´ o n´ıvel descritivo e qual e´ a decisa˜o a ser
tomada?
(d) Se, numa etapa seguinte, e´ feito um estudo com 220 clientes e 150 deles
liquidam o pagamento, qual seria o n´ıvel descritivo e a decisa˜o a ser tomada,
para um n´ıvel de significaˆncia de 4%? (Use a aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o
binomial pela distribuic¸a˜o normal).
(e) Compare os resultados com os do item (c). Eles sa˜o compat´ıveis? Explique.
13. Uma empresa de comidas ra´pidas registra o ingresso me´dio bruto de R$ 3000,00
por dia. Para saber se uma crise econoˆmica tem afetado os ingressos, o depar-
tamento financeiro encomendou um estudo que registrou os ingressos de 8 dias
seguidos. Os valores registrados foram: R$ 3050,00; R$ 3212,00; R$ 2880,00; R$
3121,00; R$ 3205,00; R$ 3018,00; R$ 2980,00; R$ 3188,00.
(a) Quais as hipo´teses de estudo?
(b) Os dados sa˜o suficientemente significativos, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%,
para provarque houve uma mudanc¸a?
(c) E ao n´ıvel de significaˆncia de 1%?
(d) Calcule o n´ıvel descritivo (p-valor) para este caso.
OBS: o separador decimal utilizado e´ a v´ırgula.
Professores: Alexandre G. Patriota
Monitora PAE: La´ıs H. Loose
IME - USP