p2 poli 2005

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F��sica III
Escola Polit�ecnica - 2005
FGE 2203 - GABARITO DA P2
19 de maio de 2005
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Quest~ao 1
Um resistor, com resistividade �, tem a forma de um cilindro oco de comprimento L e
raios a e b. Calcule a resiste^ncia R, como fun�c~ao de �, L, a e b, nos casos em que uma
diferen�ca de potencial V �e aplicada:
(1,0 ponto) (a) entre as bases do cilindro;
(1.5 ponto) (b) entre as superf��cies interna (de raio a) e externa (de raio b).
L
b
a
Solu�c~ao
(a) Usamos dR = � dl =A e como A = �b
2
� �a
2
�e constante obtemos
R =
Z
�
A
d` =
L
Z
0
�
�b
2
� �a
2
d` =
�L
�(b
2
� a
2
)
(b) Utilizamos as �areas laterais de cilindros conce^ntricos de espessura dr
R =
Z
�
A
d` = R =
b
Z
a
�
2�rL
dr =
�
2�L
log
�
b
a
�
�
�
	
Quest~ao 2
Um �o condutor semi-in�nito AB, percorrido por uma corente I, bifurca-se em dois �os
semi-in�nitos BCD e BEF , com correntes I=2, como mostrado na �gura.
A B
D
C
E
F
P aI
I
I 2/
/2
y
z x
(2,0 ponto) (a) Calcule o campo magn�etico no ponto P (centro da circunfere^ncia de raio a).
(0,5 ponto) (b) Obtenha a for�ca que agiria sobre uma carga pontual Q passando pelo ponto P com
velocidade ~v = v
0
~{ + v
0
~|.
Solu�c~ao
(a) Os trechos AB e CD n~ao contribuem porque neles d
~
`� r^ = 0.
O trecho EF produz metade do campo magn�etico gerado por um �o in�nito percorrido
por uma corrente I=2.
~
B
EF
=
1
2
�
0
I=2
2�a
~
k =
�
0
I
8�a
~
k
Trecho BC (Biot-Savart) =)
~
B
BC
= �
�
0
I
16a
~
k
Trecho BE (Biot-Savart) =)
~
B
BE
=
�
0
I
8a
~
k
~
B
P
=
�
�
0
I
8�a
�
�
0
I
16a
+
�
0
I
8a
�
~
k =
�
0
I
8a
�
1
�
+
1
2
�
~
k
(b) A for�ca �e dada por
~
F = Q~v �
~
B
~
F = Q(v
0
~{+ v
0
~|)�B
~
k = Qv
0
B(�~|+~{)
�
�
	
Quest~ao 3
Um �o de raio a, ao longo do eixo z est�a envolto
em uma casca cil��ndrica de raio b formando um
cabo coaxial. No �o h�a uma densidade de corrente
uniforme
~
J = J
~
k e na casca uma densidade super-
�cial de corrente
~
K = K
~
k, sendo J;K constantes
positivas.
z
a
b
(1,0 ponto) (a) Calcule o campo magn�etico
~
B em todos os pontos do volume delimitado pela casca
cil��ndrica (isto �e, nos pontos com 0 � � < b, onde � �e a dista^ncia do ponto at�e o
eixo z).
(1,0 ponto) (b) Calcule o campo magn�etico
~
B na regi~ao exterior �a casca cil��ndrica (� > b).
(0,5 ponto) (c) Desenhe um gr�a�co de j
~
Bj em fun�c~ao da coordenada cil��ndrica �.
Solu�c~ao
Usaremos no item (a) e no item (b) a lei de Amp�ere:
I
~
B � d
~
` = �
0
I
(a) Para � < a
ρ
J B2�� = �0J��
2
=)
~
B =
�
0
J
2
�
^
�
Para a < � < b
ρ B2�� = �0J�a
2
=)
~
B =
�
0
Ja
2
2
1
�
^
�
(b) Para � > b
ρ
B2�� = �
0
J�a
2
+ �
0
K2�b =)
~
B =
�
0
2
(Ja
2
+ 2Kb)
1
�
^
�
(c) Esbo�co do gr�a�co de B � �
B
a b
ρ
�
�
	
Quest~ao 4
Considere uma espira quadrada de lado a, carregando uma corrente I, localizada no plano
yz, de acordo com a �gura. A espira pode girar livremente em torno do eixo z. Considere
ainda um �o in�nito, paralelo ao eixo z, de forma que a dista^ncia entre o �o e os lados
verticais da espira �e a (veja a �gura). Pelo �o passa uma corrente I
0
.
z
x
yI0
I
a
a
1
2
3
4
(1,0 ponto) (a) Calcule o campo do �o in�nito:
~
B
1
sobre o lado vertical 1 da espira e
~
B
3
sobre o
lado vertical 3 da espira.
(1,0 ponto) (b) Calcule as for�cas:
~
F
1
sobre o lado vertical 1 da espira e
~
F
3
sobre o lado vertical 3
da espira.
(0,5 ponto) (c) Calcule o torque ~� das for�cas
~
F
1
e
~
F
3
sobre a espira, em rela�c~ao ao centro da espira,
quando ela est�a no plano yz como na �gura.
Solu�c~ao
(a) O m�odulo do campo produzido pelo �o �e dado por (veja o exemplo 22.7 do livro texto)
B(r) =
�
0
I
0
2�r
B1
F1
fio
x
y
F
B
30o
30o
3
3
espira
a a
z
A dista^ncia entre o �o e os lados 1 e 3 �e a.
~
B
1
=
�
0
I
0
2�a
 
�
1
2
~{�
p
3
2
~|
!
~
B
3
=
�
0
I
0
2�r
 
1
2
~{�
p
3
2
~|
!
(b) Sobre os lados 1 e 3 da espira
~
B �e constante, assim
~
F = I
~
`�
~
B
~
F
1
= I
~
`
1
�
~
B
1
= I(a
~
k)�
�
0
I
0
2�a
 
�
1
2
~{�
p
3
2
~|
!
=
�
0
II
0
2�
 
�
1
2
~|+
p
3
2
~{
!
~
F
3
= I
~
`
3
�
~
B
3
= I(�a
~
k)�
�
0
I
0
2�a
 
1
2
~{�
p
3
2
~|
!
=
�
0
II
0
2�
 
�
1
2
~|�
p
3
2
~{
!
(c) O torque das for�cas
~
F
1
e
~
F
3
�e dado por
~� =
�
a
2
~|
�
�
~
F
1
�
�
a
2
~|
�
�
~
F
3
= �
�
0
II
0
a
p
3
4�
~
k