P1 2001 PTC2313 Eletromagnetismo Poli

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PTC-2313 - Eletromagnetismo 1a. Prova - 29/03/2001 
Prova sem consulta! Qualquer tentativa de cola será NOTAS: 
punida com nota zero! 1a. (3,0) 
No. USP: Nome: GABARITO 2a. (3,5) 
 3a. (3,5) 
Assinatura: TOTAL 
1a. Questão (3,0) Considere a estrutura mostrada a seguir, onde temos um fio 
condutor muito longo conduzindo uma corrente contínua I. Essa corrente flui 
por dentro de um cilindro de condutividade 
 e permeabilidade >0, de raio a e altura 
h, distribuindo-se uniformemente no seu 
volume. As tampas desse cilindro são 
revestidas por uma película condutora 
perfeita. 
 
(1,0) a) Admitindo perfeita simetria 
cilíndrica, determine os campos H e B em 
função de r dentro e fora do cilindro, e 
esboce as linhas de H no desenho ao lado. 
 
rHdH  2 

por simetria, sendo  uma 
circunferência de raio r. 
fora do cilindro:
 

 ur
I
Bu
r
I
HISdJ
S

2
;
2
0

 
dentro do cilindro: 
 


 u
a
rI
Bu
a
rI
H
a
rI
rJSdJ
S

222
2
2
2
;
2


 
 
 
 
(1,0) b) Aplicando as condições de contorno adequadas, determine a densidade de 
corrente superficial na tampa superior, explicitando seu módulo e sentido. 
  rzdentroforaS u
a
r
r
I
u
a
rI
r
I
uHHnJ














2
2
2
1
222
ˆ  
 
 
 (1,0) c) Determine os valores (módulo e sentido) dos vetores E e J no ponto (1) 
indicado na figura (r = a+ ). 
Pela continuidade da componente tangencial do campo elétrico: 
    01;1
2
 Ju
a
I
E z


 
 
 h 
 a 
 I Tampa 
Condutora 
Perfeita 
 , 
 1 
H 
 
2a. Questão (3,5) Considere a estrutura mostrada a seguir, onde temos três placas 
planas, paralelas e condutoras perfeitas, de formato circular, com raio a. A 
região (1) entre as duas placas inferiores, de espessura d1, está preenchida por 
um material de condutividade  e permissividade 0, enquanto que a região (2), 
de espessura d2, está preenchida apenas por ar ( = 0, =0). As placas externas 
estão conectadas, através de fios condutores, a uma fonte de corrente que 
fornece uma corrente contínua I a partir do instante t=0, como indicado na 
figura. As espessuras d1 e d2 podem ser admitidas muito menores que a e, 
portanto, podemos considerar que os campos em (1) e (2) distribuem-se 
uniformemente e que o campo D é nulo acima da placa superior e abaixo da 
inferior (despreze os efeitos de borda). 
 
I 
I 
1 
2 
d1 
d2 
=2a 
s 
i 
m 
z 
 
(1,0) a) Admitindo-se que todas as placas estão descarregadas em t=0, determine as 
expressões dos campos J, E e D na região (2) (módulo e sentido). 
Dica: 
S
dt
d
I s


. 
 
        0;;0 22
0
2222


tJu
a
tI
tEu
a
tI
tDtD
t
S
I
t
zzsz
s



 
 
 
(1,0) b) Determine as expressões dos campos J, E e D na região (1) (módulo e sentido). 
SJS
dt
d
I z
i 
Dica: , 
izD 
. 
  
      z
t
z
t
z
t
t
zz
z
iz
z
i
ue
a
I
tJue
a
I
tDue
a
I
tE
e
S
I
S
I
tEE
dt
dE
S
I
E
SES
dt
d
I





































000
0
1;1;1
22
0
2
0
0













 
 
 
(0,5) c) Determine as expressões do vetor H nas regiões (1) e (2) (módulo e 
sentido), para 0<r<a. 













 S
Sd
t
D
JdH




 
meio 1: 
zz
t
z
t
u
a
I
ue
a
I
ue
a
I
t
D
J



2
0
2
0
2
001 





































 
meio 2: 
zu
a
I
t
D
J



2











 
 
Portanto: 






u
a
rI
H
r
a
I
Sd
t
D
JrHdH
S






2
2
2
2
2











 

 
 
para ambas as regiões. 
 
(1,0) d) Determine as expressões do vetor de Poynting nas regiões (1) e (2) (para 
0<r<a) e aplique o teorema de Poynting* a cada uma dessas regiões 
separadamente, explicitando o cálculo de todos os seus termos. 
 
Região 1: 
r
t
z
t
ue
a
rI
u
a
rI
ue
a
I
HEN




















00 1
22
1
42
2
22





 
 
 
 
 
 
         54321
121
2
:5
0 pois ;0:4
1:3
2111:2
0 pois ;0:1
00
0000
0000
2
1
2
142
2
2
2
1
2
1
2
22
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
42
2
2



























































































tt
S
tttt
tttt
ii
e
a
dI
ade
a
aI
SdHE
t
B
d
t
B
H
ee
a
dI
dae
a
I
e
a
I
d
t
D
E
ee
a
dI
e
a
dI
dae
a
I
d
J
EdJE













































 
 
Região 2: 
 
* 
 





S
i SdHEd
t
B
Hd
t
D
Ed
J
dJE









2
 
rz u
a
trI
u
a
rI
u
a
tI
HEN

42
0
2
22
0 22   
 
 
 
 
 
 
         54321
2
2
:5
0 pois ;0:4
:3
0 pois ;0:2
0 pois ;0:1
2
0
2
2
242
0
2
2
0
2
2
2
2
22
0
2




















a
tdI
ad
a
taI
SdHE
t
B
d
t
B
H
a
tdI
da
a
I
a
tI
d
t
D
E
Jd
J
EdJE
S
ii























 
 
 
3a. Questão (3,5) Entre dois cilindros coaxiais condutores perfeitos, de raios a=1 cm e 
b=3 cm, existe um material com =20 e condutividade  = 2 mS/m. Os 
cilindros têm 1 m de comprimento. Uma tensão contínua V0= 100 V é aplicada 
entre esses cilindros. ba
+
-
=2 mS/m
 = 20I0
V0
 
(1,0) a) Determine, com valores numéricos, os vetores J, E e D e a função potencial 
(r). 
 
 
 
     
 
 
 
 
   Vln0,91;C/m 
1061,1
;A/m 
182,0
;V/m 
0,91
ln
ln
ln
;
ln
;
ln
;
ln
ln
2
ln
2222
2
9
2
00000
00
00
0
00
rbru
r
Du
r
Ju
r
E
ab
rbV
dr
rab
V
ru
rab
V
Du
rab
V
Ju
rab
V
E
V
ab
Iab
I
dr
rI
Vu
r
I
Eu
r
I
J
rrr
b
r
rrr
b
a
rr















 
 
(1,0) b) Calcule a resistência R e a capacitância C entre os cilindros. 
 
 
F
abR
C
ab
I
V
R
10
0
0
10013,1
ln
21
42,87
2
ln






 
 
 
(1,5) c) Suponha, agora, que entre os dois cilindros existam dois materiais diferentes com 
condutividades 1 = 2 mS/m, para a < r < c, e 2 = 3 mS/m para c < r < b. O valor 
de c é 2 cm. Os dois meios têm a mesma 
permissividade =0. 
Determine, neste caso, a densidade de cargas 
presente em r = c, em função de I0 (corrente 
da fonte) e o valor da resistência vista pela 
fonte. (use o verso se necessário) 
+
-
I0
bac
 
 
   
   
   


























67,76
/ln/ln
2
1
/ln
2
/ln
2
1017,1
11
2
2
;
2
2
;
2
2
210
0
2
0
1
0
210
0
8
12
00
12
2
02
2
2
0
2
1
01
1
1
0
1
0












cbac
I
V
R
cb
I
ac
I
drEdrEV
I
c
I
crDcrD
u
r
I
Du
r
I
E
u
r
I
Du
r
I
E
u
r
I
J
b
c
r
c
a
r
rrc
rr
rr
r 

