P1 2017 Eletromagnetismo Poli

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Nome Legível: N.USP: Q1
Ass.: Turma: Q2
Prof.: Q3
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QUESTÃO 1 [x,0] Uma carga elétrica puntiforme +Q está fixa no
centro de uma casca esférica de material dielétrico com raio
interno a e raio externo b, como ilustrado na figura ao lado. A
permissividade do dielétrico vale e. Pede-se:
(a) [xx,xx] Determinar o campo elétrico, a densidade de fluxo
elétrico (módulo, direção e sentido) e o potencial elétrico em
todo o espaço.
Meio 1 : r < a --→ 
D⃗=Dr (r ) u^r=
Q
4π
1
r2
u^r→E=E r(r) u^r=
Q
4πε0
1
r2
u^r
D r1(a )=
Q
4π
1
a2
, E (a− )= Q4πε0
1
a2
Meio 2: a  r < b --→ 
D⃗=Dr (r ) u^r=
Q
4π
1
r2
u^r→E=E r2(r )u^r=
Q
4πεr ε0
1
r2
u^r→→E r2(r)=
Q
4π εr ε0
1
r2
E (a+ )= Q
4πεr ε0
1
a2
=
E (a− )
εr , E (b
− )= Q
4π εr ε0
1
b2
Meio 3: r  b --→ 
D⃗=Dr(r )u^r=
Q
4π
1
r2
u^r→E=E r3(r) u^r=
Q
4πε0
1
r2
u^r→→E r3(r)=
Q
4πε0
1
r2
E (b+ )= Q4πε0
1
b2
=εr E (b
− )→→φ(r≥b)=−∫
∞
r
E r(r) . dr→φ(r )=
Q
4πε0
1
r
Meio 2: a  r < b --→ φ(r )−φ(b)=−∫
b
r
E r2 (r) . dr→φ(r)=φ(b)+
Q
4πεr ε0
(1r−
1
b )
φ(r)= Q
4πε0
[ 1
b
(1− 1εr )+
1
εr
1
r
]→→φ(a)= Q
4π ε0
[ 1
b
+ 1εr (
1
a
−1
b
)]
Meio 1 : r < a --→ φ(r)−φ(a )=−∫
a
r
E r1(r) . dr→φ(r)=φ(a )+
Q
4π ε0
( 1
a
−1
r
)
φ(r)= Q
4πε0
[( 1
a
−1
b
)(1− 1εr )+
1
r
]
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(b) [xx,xx] Traçar os gráficos do campo elétrico, densidade de fluxo e potencial elétrico. Indicar
nos gráficos os valores das três grandezas nos pontos notáveis, a e b. Forneça o valor das
grandezas nos pontos a e b.
D: contínuo para todo r → e0K/a2 e0K/b2 K = Q/(4pe0)
E: E(a- ) = K/a2 E(a+) = E(a- )/er
E(b- ) = K/er b2 E(b+) = erE(b- )
φ(a)=K [ 1
b
+ 1εr (
1
a
−1
b
)] j(b) = K/b 
(c) Substituiu-se a casca esférica de dielétrico por outra, metálica (s-→ ), com as mesmas
dimensões, conforme a figura ao lado. No interior da coroa metálica,
entre os raios a e b, os valores do campo elétrico, densidade de fluxo e
potencial mudarão? Como? (Responda apenas qualitativamente).
Para s →  em a < r < b → E(r) = D(r) = 0 
→ j(r) =  E.dl = constante
(d) Determinar a densidade superficial de carga na parte interna da casca
esférica.
Em r =a- → D(r=a- ) = Q/(4pa2) 1→ r =a+ 2→ r =a- 
Em r =a+→ D(r=a+) = 0 → Dn1-Dn2 = rs → D(r=a+) - D(r=a- )= rs 
0 - D(r=a- )= rs → rs = - Q/(4pa2)
Resp.: rs = _____ - Q/(4pa2)_C/m2_ 
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QUESTÃO 2 [3,0] Um cabo coaxial como mostrado na figura abaixo, formado por dois condutores
metálicos concêntricos, é parcialmente preenchido com um dielétrico imperfeito (com perdas) de
condutividade s e permissividade relativa er. O comprimento total do cabo é L, e o comprimento da
parte vazia (sem o dielétrico) vale c. Os raios dos condutores interno e externo valem,
respectivamente, a e b, e o cabo é
alimentado por um gerador ideal de
tensão constante (CC) V0. Admitindo
que L >> b (efeitos de borda
desprezíveis) pede-se:
(a) [1,0] Forneça a expressão da
corrente I que circula pelo cabo.
I=∬
S lat
J⃗⋅d⃗S→→ J⃗=σ E⃗→→ E⃗=Er (r) u^r
E t1=E t 2=E r(r )=
J r(r)
σ →→ I= J r(r)⋅S lat→ J r(r)=
I
2π r (L−c)
E r(r)=
I
2πσ r (L−c)
→→V 0=φ(a)−φ(b)=−∫
b
a
E r(r)⋅dr
∫
a
b I
2πσ r (L−c)⋅dr=
I
2πσ r (L−c)∫a
b dr
r →→V 0=
I
2πσ r (L−c) ln(
b
a )
I=
V 0 2πσ(L−c)
ln (b
a
)
I=
V 0 2πσ(L−c)
ln( ba )
Resp.: I = ________________________________________ A.
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(b) Demonstrar que a capacitância do cabo vale: C=
2πε0
ln (ba )
[c+εr(L−c)]
C= QV 0
→→Q=Qar+Qdie→→Q=∬
S ar
ε0 E⃗⋅d⃗S+∬
S die
εr ε0 E⃗⋅d⃗S
Q=ε0 E r S ar+εr ε0 E r S die=ε0 E r(Sar+εr S die)=ε0 E r 2π r [c+εr(L−c)]
Q=
ε0 I
σ(L−c)
[c+εr(L−c)]
V 0=
I
2πσ r (L−c) ln (
b
a
)→→C= Q
V 0
=
2πε0
ln (b
a
)
[c+εr(L−c)]
QUESTÃO 3 [x,x] O capacitor da figura ao lado possui duas placas
verticais paralelas idênticas, de área S, separadas por uma distância
d, desprezível face às dimensões das placas (efeitos de borda
desprezíveis). A permissividade elétrica do dielétrico que preenche o
espaço entre elas é constante e vale e, e o meio externo tem as
mesmas propriedades do vácuo. 
O volume entre as placas é totalmente preenchido por uma densidade
volumétrica de carga não homogênea, valendo rv(x) = r0 x(x-d). As
duas placas estão aterradas, ou seja, j(0) = j(d) = 0. Responder às
questões a seguir:
(a) O problema é regido pela equação de Laplace ou de Poisson?
Justifique sua afirmativa.
a) ∇⋅D=ρv∇⋅ε (−∇φ )=ρv , ou seja, ∇⋅(∇ φ)=
−ρv
ε =∇
2φ Equação de Poisson,
pois rv é não nulo.
(b) Demonstre que o potencial elétrico na forma φ ( x )=
−ρ0
12ε
x4+
d ρ0
6ε
x3+ax+b é solução 
para o problema, sendo que a e b são duas constantes. Determine os valores de a e b.
Se φ ( x )=
−ρ0
12ε
x4+
d ρ0
6ε
x3+ax+b é solução, então ela deve obedecer ∇2φ=
−ρv
ε
∂φ ( x )
∂ x
=
−ρ0
ε
x3
3
+
ρ0 d
2ε
x2+a
∂2φ ( x )
∂ x2
=
−ρ0
ε x
2+
ρ0 d
ε x=
ρ0
ε x (d−x )=
−ρ0
ε x ( x−d )=ρv (cqd)
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Mas φ (0)=0 , então b=0 e φ (d )=0 logo 
−ρ0
1ε
d 4+
d ρ0
6ε
d 3+ad =0, ou seja,
a=
−ρ0
ε
d3
12
(c) Qual a expressão do vetor campo elétrico em função da distância x?
 E⃗=−∇ φ=(+ρ0ε x
3
3
−
ρ0d
2 ε
x2+
ρ0
ε
d3
12)i⃗
(d) Qual a expressão do vetor deslocamento elétrico em função da distância x?
D⃗=ε E⃗=ρ0( x
3
3
−d
2
x2+ d
3
12)i⃗
(
e) Determine o componente normal do campo elétrico em x=0-. (Dica: nas condições do problema 
não há carga superficial nas duas superfícies). 
Em x=0+ --> D⃗=ρ0
d3
12
i⃗ , ou seja, em x=0- --> D⃗=ρ0
d3
12
i⃗ , porque não há cargas 
superficiais. Logo E⃗=
ρ0
ε0
d3
12
i⃗ .
(f) Determine os valores dos componentes nas direções y e z do vetor campo elétrico na parte 
externa do capacitor. Justifique sua afirmação.
Nas direções y e z o vetor E tem componentes nulos no interior do capacitor. Sabe-se que os
componentes tangenciais a um plano do vetor E são constantes. Logo, na parte externa, há
somente componente não nula na direção horizontal.
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