Eletromagnetismo P2 2015 segundo semestre Poli

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PTC-3213 - Eletromagnetismo 2a. Prova - 16/10/2015 
Prova sem consulta! Qualquer tentativa de cola será punida com nota zero! NOTAS: 
Duração: 100 min. 1a. (3,5) 
2a. (3,5) 
 3a. (3,0) 
 GABARITO TOTAL 
 1a. Questão (3,5) Considere o problema de se determinar a resistência entre os eletrodos (condutores
perfeitos) representados na figura abaixo. O meio entre eles tem =0, condutividade  = 2  10-3 S/m, e
espessura (dimensão normal à superfície da página) de 3 m. As linhas pontilhadas indicam o reticulado
utilizado na solução pelo método das diferenças finitas, com 1 cm de resolução.
Para V = 100 V, a matriz obtida para os potenciais está mostrada a seguir.
 
0,  = 2 mS/m 
20 cm 
20
 c
m
 
8 cm 
8 cm 
6 cm 
6 cm 
 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 4 7 9 11 12 14 15 15 15 15 15 14 12 11 9 7 4 2 0
0 4 9 13 18 22 25 28 30 30 31 30 30 28 25 22 18 13 9 4 0
0 7 13 20 27 33 39 43 45 47 47 47 45 43 39 33 27 20 13 7 0
0 9 18 27 36 46 54 59 62 64 64 64 62 59 54 46 36 27 18 9 0
0 11 22 33 46 59 73 X 80 81 82 81 80 X 73 59 46 33 22 11 0
0 12 25 39 54 73 100 100 100 100 100 100 100 100 100 73 54 39 25 12 0
0 14 28 43 59 X 100 100 X 59 43 28 14 0
0 15 30 45 62 80 100 100 80 62 45 30 15 0
0 15 30 47 64 81 100 100 81 64 47 30 15 0
0 15 31 47 64 82 100 100 82 64 47 31 15 0
0 15 30 47 64 81 100 100 81 64 47 30 15 0
0 15 30 45 62 80 100 100 80 62 45 30 15 0
0 14 28 43 59 X 100 100 X 59 43 28 14 0
0 12 25 39 54 73 100 100 100 100 100 100 100 100 100 73 54 39 25 12 0
0 11 22 33 46 59 73 X 80 81 82 81 80 X 73 59 46 33 22 11 0
0 9 18 27 36 46 54 59 62 64 64 64 62 59 54 46 36 27 18 9 0
0 7 13 20 27 33 39 43 45 47 47 47 45 43 39 33 27 20 13 7 0
0 4 9 13 18 22 25 28 30 30 31 30 30 28 25 22 18 13 9 4 0
0 2 4 7 9 11 12 14 15 15 15 15 15 14 12 11 9 7 4 2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 
 a) (0,5) Determine o valor de X, explicitando a expressão utilizada nesse cálculo.
X=59+100+73+80
4
=78V
X = __78_____ V.
 b)(1,0) A figura a seguir mostra, em destaque, uma pequena área do reticulado, indicando os valores dos
potenciais nos respectivos nós. Com base nesses valores, determine o valor da corrente elétrica que
atravessa, de baixo para cima, a superfície S mostrada (espessura 3 m, = 2  10-3 S/m).
S
1 cm
1 cm
000
1197
I=∬
S
J⃗⋅d⃗S=∑
i=1
3
J iΔ S=σ Δ e∑
i=1
3
E i=σΔ e ( (7−0)Δ +(9−0)Δ +(11−0)Δ )=
=σ e (7+9+11)=0,162 A
I (S) = ___0,162_____ A
1/7
 c) (0,5) O valor da corrente total entre os condutores foi determinado como sendo igual a 6,923 A.
Determine, então, a capacitância entre os dois condutores.
Por analogia: Q= I εσ =6,923
8,854×10−12
2×10−3
=3,065×10−8 C
C=Q
V
=3,065×10
−8
100
=3,065×10−10 F
C = __306,5 ___ pF
 d)(1,0) Supondo que R = 14,4  seja o valor exato da resistência entre
as placas da figura do início da questão ( = 2  10-3 S/m, 3 m de
espessura), utilize esse valor para calcular a resistência RAB entre as
placas condutoras perfeitas A e B da geometria ao lado, agora com
10 cm de espessura. Note as interfaces condutor/isolante no lugar
das superfícies condutoras perfeitas e atente para a simetria da
geometria anterior. O reticulado tem 1 cm de resolução.
Por dualidade, e notando que temos um quarto da figura original
(resistência 4 vezes maior) que apresentava simetria vertical e
horizontal, temos que
R=k 1
σ e
⇒ k=Rσ e
RAB=
1
4 k
1
σ e '
=
1
4Rσ e
1
σ e '
=
1
4×14,4×(2×10−3)2×3×0,1
=14,47kΩ
RAB = ____14,47_k__ 
 e) (0,5) Com relação ao valor da capacitância CAB entre as placas A e B anteriores pode-se afirmar que
(assinale a alternativa correta):
( ) CAB = RAB ε0 σ ( ) CAB = ε0 /(σ RAB) (X) CAB > ε0 /(σ RAB) ( ) CAB < ε0 /(σ RAB) 
Justifique.
Parte do fluxo elétrico (vetor D) flui pelo ar enquanto que na expressão RC=ε/σ considera-se apenas o
fluxo através do dielétrico. Assim, o fluxo total é maior que o calculado dentro do dielétrico e, portanto 
CAB > ε0 /(σ RAB).
2/7
 
A 
B 
0,  = 2 mS/m 
 = 0 
 = 0 
 = 0 
 2a. Questão (3,5) Considere o problema de uma nuvem carregada
negativamente na atmosfera a uma dada altura da superfície do solo. A
nuvem carregada pode ser aproximada por uma distribuição volumétrica
uniforme de carga negativa −ρ v [C/m3], e de formato esférico de raio 1,0
km, como ilustrado na figura ao lado. A superfície terrestre pode ser
aproximada pela superfície plana de um semiespaço condutor perfeito.
Considerando que: (i) na origem do sistema de coordenadas (0,0,0), sobre a
superfície terrestre e abaixo do centro da nuvem, a magnitude da
intensidade de campo elétrico vale |E (0,0+ ,0)|=3×106 V/m, e (ii)
fazendo uso do Método das Imagens, pede-se:
 a)(0,5) desenhar a configuração equivalente à figura acima, de acordo com
o Método das Imagens, indicando todas as dimensões relevantes;
x (km)
y (km)
–ρ
v
+ρ
v
2 
km
1 km
2 
km
1 km
Esfera imagem
com carga positiva
P(x,y,z)
 b)(0,5) a densidade volumétrica de carga da nuvem que produz um campo elétrico de magnitude 3 MV/m
no ponto (0,0,0) |E (0,0+ ,0)|=3×106 V/m;
Na superfície do solo E(x,y,z) = Ey(x,0+,z)
Emax = Ey(0,0+,0) = Ey1(0,0+,0) + Ey2(0,0+,0)
E1 (0,0+,0) = Ey1 (0,0+,0) = Q/(4πε0 R12) ûr1 = Q/(4πε0 d2) ûy
E2 (0,0+,0) = Ey2 (0,0+,0) = Q/(4πε0 R22) ûr2 = Q/(4πε0 d2) ûy
Emax = Ey(0,0+,0) = 2Q/(4πε0 d2) ûy
Emax = Ey(0,0+,0) = 2Q/(4πε0 4106) = 3106 ==>> Qnuvem = 667 C 
Q = V. = V. 4πa3/ 3 , a= 1000 m
Resposta: V = 0,16 C/m3 
ρv =___ –0 ,16 μ C/m3
 c) (0,5) a densidade superficial de carga ρs na superfície terrestre, abaixo do centro da nuvem (0,0,0);
S (0,0,0) = Dn(0,0+,0) = Dy(0,0+,0) = ε0 Ey(0,0+,0) = 3106 . 10-9/36π
ρs(0,0,0) =___26,5 μ________ C/m2
3/7
 d)(0,5) sem calcular, esboçar qualitativamente um gráfico ilustrando a variação de ρs com a distância
r=√ x2+ z2 do ponto (0,0,0) na superfície do solo (x,0,z);
r (km)
ρ
s
 (μC/m2)
26,5
 e) (0,5) o potencial eletrostático para qualquer ponto P(x , y , z) do espaço fora da nuvem, acima do solo
y≥0 ;
ϕ(P)=ϕ1(P)+ϕ2(P)=
−Q
4πε0R1
+ Q
4 πε0 R2
= Q
4 πε0 ( 1R2− 1R1 )= Q4 πε0 ( 1R2− 1R1 )
R1=√ x2+( y−2000)2+z2 R2=√ x2+( y+2000)2+z2
ϕ( x , y , z) =______________ (V) y≥0,√ x2+( y−2000)2+z2≥1000 m
 f) (0,5) o potencial eletrostático no ponto inferior da superfície da nuvem e na superfície terrestre;
Ponto inferior da nuvem: P=(0, da, 0) = (0,1000,0) 
R12 = (yd)2 = a2 ==>> R1 = a = 1000 m 
R22 = (yd)2 ==>> R2 = 2da = 3000 m 
ϕ(P) = [Q/(4πε0)] .[ (1/3000)(1/1000) ] = [667/(4πε0)] (2/3)/1000
ϕ(P) = 4109 V ===>>> Vnuvem = 4109 V
Superfície terrestre: y = 0 Vsolo = ϕ(x, y=0, z) = 0
nuvem: ϕ(0,1000,0) =___4109___V ϕ( y=0) =______0________ V
 g)(0,5) a carga total na superfície terrestre.
Qsolo = Qnuvem = + 667 C
Qsolo = __667____ C
4/7
 3a. Questão (3,0) Um cabo coaxial tem condutores de raios a = 1 cm e c = 3 cm. O espaço entre eles é
preenchido por duas camadas de materiais isolantes ( =0) com 1=3 0 (para a < r < b) e 2=2 0 (para
b < r < c), sendo b=2 cm. A tensão entre os condutores é V0, e a carga resultante no condutor interno é ρl
C/m.
 
+ 
- c a b V0 
1 
2 
 a)(0,5) Escreva as condições de contorno radiais e tangenciais aplicáveis à interface r = b.
Dr1 (b-) = Dr2 (b+); Et1 (b-) = Et2 (b+) = 0 devido à simetria.
 b)(1,0) Determine os vetores D⃗ e E⃗ , em função de ρl e r nos dois materiais. Para qual valor de r e 
em que material o campo será máximo?
D⃗=
ρl
2 π r
u^rE⃗1=
ρl
2 πε1r
u^r E⃗2=
ρl
2πε2r
u^r
D⃗1=
ρl
2π r
u^r E⃗1=
ρl
6 πε0 r
u^r a<r<b E⃗1−max=
ρl
6 πε0a
u^r=
100ρl
6 πε0
u^r
D⃗2=
ρl
2 π r
u^r E⃗2=
ρl
4 πε0 r
u^r b<r<c E⃗2−max=
ρl
4 πε0b
u^r=
100ρl
8πε0
u^r
D⃗1 =___________________ E⃗1 =___________________
D⃗2 =___________________ E⃗2 =___________________
Emax ocorre no material (_1_) em r = __1___ cm
5/7
 c) (1,0) Sabendo-se que a rigidez dielétrica (máximo campo elétrico que o material suporta) de ambos os 
materiais é 6 MV/m, determine a máxima carga por metro, ρl−max , e a máxima tensão, V0max, que pode 
ser aplicada entre os condutores.
ρl
6πε0a
<6×106 V/m⇒ρl<6×10
6×6 πε0a=10
−5 C/m
V 0−max=∫
a
c
E⃗⋅d⃗l=∫
a
b ρl−max
6 πε0 r
dr+∫
b
c ρl−max
4 πε0 r
dr=
ρl−max
6 πε0 r
ln b
a
+
ρl−max
4 πε0r
ln c
b
=78 kV
ρl−max =___10–5___ C/m V0max =____78 k_______ V
 d)(0,5) Qual o valor da capacitância deste cabo coaxial por unidade de comprimento? 
C= ρl/V = 128,2 pF/m
C = ____128,2_____ F/m
6/7
Formulário
μ0=4 π×10
−7 H/m; ε0=8,854×10
−12 F/m
A⃗×B⃗=−B⃗×A⃗ A⃗×B⃗=| u^x u^ y u^zA x A y A zB x By B z|
área da superfície esférica = 4 π r 2 volume da esfera= 
4
3
π r3
Coordenadas cartesianas:
∇ S=∂ S
∂ x
u^x+
∂ S
∂ y
u^ y+
∂S
∂ z
u^ z ∇⋅F⃗=
∂F x
∂ x
+
∂ F y
∂ y
+
∂F z
∂ z
∇× F⃗=(∂F z∂ y −∂ F y∂ z ) u^x+(∂ F x∂ z −∂ F z∂ x ) u^ y+(∂ F y∂ x −∂F x∂ y ) u^z
∇2 S=∂
2 S
∂ x2
∂
2 S
∂ y2
∂
2 S
∂ z2
Coordenadas cilíndricas:
∇ S=∂ S∂ρ u^ρ+
1
ρ
∂ S
∂ϕ u^φ+
∂ S
∂ z
u^z ∇⋅F⃗=
1
ρ
∂(ρ Fρ)
∂ ρ +
1
ρ
∂ F φ
∂φ +
∂ F z
∂ z
∇× F⃗=( 1ρ ∂ F z∂ φ −∂ F φ∂ z ) u^r+(∂F ρ∂ z −∂ F z∂ρ ) u^φ+ 1ρ ( ∂ρ F ϕ∂ρ −∂ F r∂ φ ) u^ z
∇2 S=1ρ
∂
∂ρ (ρ ∂ S∂ρ )+ 1ρ2
∂2 S
∂φ2
+∂
2 S
∂ z 2
Coordenadas esféricas:
∇ S=∂ S
∂ r
u^r+
1
r
∂ S
∂θ u^θ+
1
r senθ
∂ S
∂φ u^φ ∇⋅F⃗=
1
r 2
∂(r 2 F r )
∂ r
+ 1
r sen θ
∂(sen θF θ)
∂ θ +
1
r sen θ
∂ F φ
∂ φ
∇× F⃗= 1
r sen θ (∂(F φ sen θ)∂ θ −∂F θ∂φ ) u^r+ 1r ( 1sen θ ∂F r∂φ −∂(r F φ)∂ r ) u^θ+ 1r (∂(r Fθ)∂ r −∂ F r∂θ ) u^φ
∇2 S= 1
r 2
∂
∂ r (r 2 ∂ S∂ r )+ 1r 2sen θ ∂∂θ ( senθ ∂ S∂θ )+ 1r 2 sen2θ ∂
2 S
∂φ2
∇× E⃗=−∂ B⃗
∂ t
∇×H⃗= J⃗ +∂ D⃗
∂ t
∇⋅D⃗=ρv ∇⋅B⃗=0 ∇⋅J⃗=
−∂ρv
∂ t
D⃗=ε E⃗ J⃗=σ E B⃗=μ H⃗
Bn1−Bn2=0 Dn1−Dn2=ρ s J n1−J n 2=
−∂ρs
∂ t
E⃗ t1− E⃗ t 2=0 H⃗ t 1−H⃗ t2= J⃗ S×n^
∭
τ
E⃗ i⋅J⃗ d τ=∭
τ
|J⃗|2
σ d τ+∭
τ
E⃗⋅∂ D⃗
∂ t
d τ+∭
τ
H⃗⋅∂ B⃗
∂ t
d τ+∯
Σ
E⃗×H⃗⋅d S⃗
E⃗=−∇ϕ ϕ2−ϕ1=−∫
1
2
E⃗⋅d⃗l ∇2ϕ=−ρε
ϕ=
ρl
2πε
ln ( ρ−ρ+ ) ϕ=
q
4 πε r
ϕ=
V 0
ln (b/ a )
ln (b /ρ ) ϕ=
V 0
1/a−1/b ( 1r− 1b )
E⃗=
ρl
2 πε r
u^ρ E⃗=
q
4 πε r2
u^r E⃗=
V 0
ρ ln (b /a )
u^ρ E⃗=
V 0
(1/ a−1/b)r 2
u^r
7/7