Eletromagnetismo P3 2017 Poli

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PTC3213 – Terceira Prova – 8 de dezembro de 2017, 15:40 -17:30
Nome Legível: N.USP: Q1
Ass.: Turma: Q2
Prof.: Q3
Total
Atenção: Apresente todos os cálculos intermediários. Respostas sem justificativa não serão consideradas. Resolva na
própria folha de questões. Prova sem consulta! Qualquer tentativa de cola será punida com nota zero! Formulário
disponível na última página.
QUESTÃO 1 (5,0 pontos) 
Uma espira retangular de uma única volta possui dimensões a e
b, como pode ser observado na Figura ao lado. Ela está
próxima a um fio, que pode ser considerado bastante longo e
contido no mesmo plano da espira, sendo o lado a da espira
paralelo ao fio. Tanto o fio como a espira estão no ar
(permeabilidade magnética μ0 ). Admita que uma corrente de
valor I1 percorra o fio longo, ao passo que uma corrente de valor
I2 circula na bobina retangular. Tanto I1 como I2 são de natureza
contínua. Pergunta-se:
a. (1,0) Calcule a força total sobre a bobina em direção, sentido e módulo. Use para isto a ex-
pressão da força através da iteração entre indução magnética e corrente elétrica.
dF= I dl xB  F= Bli nos condutores verticais
F= B(x) l I2 + B(x+d) l I2
mas B⃗=
μ0 I
2πr
 logo F⃗=
μ0 I 1 I 2
2π ( 1x+d−1x )u⃗x
b. (1,0) Dê uma expressão para a mútua indutância entre os circuitos e explique, qualitativa-
mente, por qual motivo L1 e L2 independem de x . Note que é desnecessário o cál-
culo de L1 ou L2 . 
L1 e L2 não dependem da posição relativa entre as bobinas pois são indutâncias próprias de condu-
tores imersos no ar, ou seja, não há qualquer variação do circuito magnético dos condutores, o que implica
relutância constante para os condutores.
Já a Mútua possui dependência da posição x. O diferencial de fluxo que é produzido pela corrente I1 na bo-
bina vale:
dψ=Badr para o cálculo do fluxo: ψ=∫
x
b+x
Badr=∫
x
b+ x I1
2πr
adr=
I 1a
2π
ln(b+xx )
M= ψ
I 1
= a
2 π
ln(b+xx )
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I1 
b 
a 
0 
x 
I2 
ux 
uy 
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c. (1,0) Demonstre que a energia magnética armazenada em um sistema que contém dois
circuitos distintos pode ser expressa na forma: Wmag=
1
2
L1 I 1
2+1
2
L2 I 2
2+M I1 I 2 , em que
L1 é a indutância própria do primeiro circuito, L2 é a indutância própria do segundo cir-
cuito, M é a mútua indutância entre os circuitos e as correntes I1 e I2 circulam nos
circuitos 1 e 2, respectivamente.
Wmag=∑
i=1
2
(12ΨI)=12 (L1 I 1+M I 2) I1+ 12 (L2 I 2+M I 1) I 2
Wmag=
1
2
L1 I 1
2+1
2
L2 I 2
2+M I1 I 2
d. (1,0) A partir do Princípio do Trabalho Virtual, determine a força sobre a bobina em direção
sentido e módulo. Mostre que o resultado deste item é idêntico ao do item a).
Wmag=
1
2
L1 I 1
2+1
2
L2 I 2
2+M I1 I 2 F=
∂Wmag
∂ x |I=cte
L1e L2 não dependem de x
F=
∂Wmag
∂ x |I=cte=I 1 I 2 ∂M∂x
Mas M= a2π
ln⁡ ( b+xx ) logo: F= I 1 I 2a2π ( 1b+x−1x )
e. (1,0) Agora, suponha que I2 = 0, e que a bobina retangular se desloca na direção x com ve-
locidade constante u. Determine o módulo de ∮ E⃗⋅ d⃗l na bobina retangular.
∮ E⃗⋅ d⃗l =tensão induzida variacional
e (t)=dψ
dt
= d
d t ( I 1a2π ln(b+xx ))
e (t )=
I 1a
2 π [ u(b+ x)− ux ]= I 1abu2π (b+x) x
por tensão induzida mocional 
de=u×B ∙d l 
logo e=∫u×B ( x )∙ d l+u×B (x+a ) ∙ d l
e=∫u× I 12πx ∙d l+u×
I 1
2π ( x+b)
∙ d l
e (t )=
I 1a
2 π [ u(b+ x)− ux ]
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QUESTÃO 2 (2,5 pontos) 
O circuito magnético simétrico da figura, com entreferro de 0,3 mm, é construído com material cuja
curva de magnetização é dada abaixo. As bobinas de 200 espiras e de 300 espiras são enroladas 
na perna central. Já a bobina de 100 espiras está alojada na perna lateral esquerda. A largura do 
núcleo é de 2 cm na perna central, valendo 1 cm em todo o restante do circuito e a profundidade é
de 2 cm. Inicialmente, considere desprezíveis a dispersão e o espraiamento. A estrutura 
ferromagnética não é laminada.
a. (1,0) Supondo I2 = I3 = 0, calcule I1 para impor indução magnética de 0,5 T no entreferro. 
B e=B f=0,5T⇔H f=417 A/m (da curva); 
∮Γ H⋅dl=N1 I 1⇔
I 1=H f lf+H ee
N 1
=
[417×0,40]+[(0,5/μ0)×0,003]
200
=1,431A .
b. (1,0) Calcule as indutâncias L1, M13 e M23 (com sinal), supondo operação na parte linear da
curva B x H.
p/ B f=0,5T⇒ϕf=2⋅10
−4Wb
L1=ϕ11 /I 1=(200×2⋅10
−4)/1,431=27,95mH
M 12=ϕ21/ I 1=−(300×2⋅10
−4)/1,431=−42,58 mH
M 13=ϕ31/ I 1=−(100×1⋅10
−4)/1,431=−7,10mH
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c. (0,5) Admita apenas para este item que o espraiamento seja levado em conta para fins de
cálculo dos valores das indutâncias L1, M13 e M23 (ainda na região linear). Explique, qualitati-
vamente, qual a tendência dos novos valores de indutância L1, M13 e M23. Eles aumentam,
diminuem ou se mantêm constante. Justifique as suas afirmações.
As indutâncias diminuem (a área efetiva do entreferro aumenta).
QUESTÃO 3 (2,5 pontos) 
Considere o circuito magnético da figura abaixo à esquerda. O núcleo tem formato toroidal,
com seção transversal circular, raio interno 3,0 cm e raio externo 3,5 cm. Para o material do
núcleo, vale a curva de histerese da figura abaixo à direita. No núcleo, está enrolada uma bobi -
na de 2000 espiras. Na curva de histerese, são indicados 3 estados, ou pontos de operação.
Para todos os cálculos abaixo, a dispersão pode ser desprezada.
a. (0,5) Se B varia ciclicamente entre +1,1 e -1,1 Wb/m2, em que sentido é percorrido o ciclo 
de histerese: horário ou anti-horário? Justifique brevemente. 
Anti-horário.
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N = 2000
3,0 cm
3,5 cm
I 
1,1
H 
(A.esp/m)
B (Wb/m2)
-1,1
1050
-1050
1
-1
-500
500
1
1,1 2
3
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b. (1,0) Qual é a energia que deve ser fornecida ao núcleo para levá-lo do estado 1 ao estado 3, 
percorrendo a sequência 1-2-3?
wm=
1,1×(500+1050)
2
−0,1×1050
2
=800J/m3
τ=(πa2)(2πR)=π2×2×(0,00252)×0.0325=4⋅10−6m3
Wm=wm×τ=800×4⋅10
−6=3,2mJ
c. (1,0) Suponha que o núcleo seja levado até o estado 3. Abre-se então um entreferro de espessura 
e. Qual deve ser o valor de e para que haja um fluxo no entreferro de 8.10−6Wb? O 
espraiamento pode ser desprezado.
Da curva, para núcleo no segundo quadrante do ciclo de histerese:
B f=Be=
ϕe
Se
= 8⋅10
−6
π⋅0,00252
=0,407T⇒H e=−296 A/m
∮Γ H⋅dl=H f l+H e e=0⇔e=−
μ0H f l
Be
=(4π10
−7)×296×(2π0,0325)
0,407
=0,186mm
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FORMULÁRIO
C= 2πε l
ln( rextr i )
R=
ln(
rext
r i
)
2πσ l
d F⃗=Id l⃗× B⃗
Wmag=∑
❑
❑
(12ΨI)
F=
∂W mag
∂ x |I=cte
F=−
∂Wmag
∂x |Ψ =cte
de=(u⃗× B⃗)∙ d l⃗
e=−N dΨ
dt
∮
Γ
❑
H ∙dl=¿
U 2−U1=−∫
1
2
H⃗⋅ d⃗l∇ 2 A⃗=−μ0 J⃗
R=∮
❑
❑ dl
μS
= l
μS
Se=(a+e ) (b+e )∋¿Rψ
W M=∭
τ
❑ 1
2
B⃗⋅ H⃗ d τ=∭
τ
❑ 1
2
μ H2d τ=∭
τ
❑ 1
2μ
B2d τ=1
2∑j (Ψ´ j I j)=
1
2∑j (Ψ´ kj I j) 
Corrente somente nabobina j→{ Ψ´ j=L jj I jΨ´ kj=M kj I j 
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