Lista 1 - Tahimi - Dominios

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P. 1|5 
Lista de exercícios - 1: domínio de uma função real de uma variável real, (Ed - 01). 
Prof. Tahimi – Diatec, email: tahimi.diatec@gmail.com 
 
Recordação 
Seja f uma função definida explicitamente por uma expressão em x (a variável independente) da forma: f(x) = √𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜(𝑥) + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜(𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜_𝑑𝑜_𝑙𝑜𝑔(𝑥))/
𝑑𝑒𝑛(𝑥), (ou, usando o símbolo de definição f(x): = √𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜(𝑥) + ⋯). 
Sem restrições adicionais sobre os valores que a variável x pode assumir, o domínio de f é o conjunto formado por todos os números reais para os quais a expressão a 
direita do símbolo de igualdade (ou, do símbolo da definição) retorna um número real bem definido, este número é chamado f(x). 
Neste caso, o domínio de f, que denotamos Df, é igual ao conjunto (ou, é o conjunto) formado por todos os numeros x em ℝ (ou, todos os números reais x), tais que (ou, 
para os quais, as seguintes condições são satisfeitas): 1º) o radicando é não negativo (i.e. positivo ou nulo); e 2º) a função dentro do logaritmo assume um valor 
positivo; e 3º) o denominador é não nulo. 
O domínio de f se escreve simbolicamente da seguinte forma, Df = {x ∈ ℝ|(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜(𝑥) ≥ 0) ∧ (𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜_𝑑𝑜_𝑙𝑜𝑔(𝑥) > 0) ∧ (𝑑𝑒𝑛(𝑥) ≠ 0)}, onde " ∧ " é o símbolo 
da operação lógica da conjunção matemática, (𝑝 ∧ 𝑞) = (𝑝 𝑒 𝑞), com p e q duas proposições quaisquer. Analogamente, pode-se aparecer o operador da disjunção 
inclusiva (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑝 𝑜𝑢 𝑞). Equivalentemente o domínio de f pode ser escrito como interseção de conjuntos (ou, de intervalos), Df = {x ∈ ℝ|𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜(𝑥) ≥ 0} ∩
{x ∈ ℝ|𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜_𝑑𝑜_𝑙𝑜𝑔(𝑥) > 0} ∩ {x ∈ ℝ|𝑑𝑒𝑛(𝑥) ≠ 0}. 
De maneira geral, para determinar o domínio de uma função, é preciso solucionar (encontrar soluções de) inequações (neste caso: 𝑑𝑒𝑛(𝑥) ≠ 0) e desigualdades (como: 
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜(𝑥) ≥ 0 ou 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜_𝑑𝑜_𝑙𝑜𝑔(𝑥) > 0). Essas soluções são subconjuntos de ℝ. Exemplos de inequações e disegualdades e suas soluções são, 
(1) a solução da inequação: 3𝑥 − 2/5 ≠ 0 é o seguinte conjunto (expresso em diferente formas): 𝑆 = {x ∈ ℝ|3𝑥 − 2/5 ≠ 0} ou 𝑆 = ℝ − {x ∈ ℝ|3𝑥 − 2/5 = 0}, ou 𝑆 =
{x ∈ ℝ|x < 2/15} + {x ∈ ℝ|x > 2/15} ou simplesmente S = ℝ − {2/15} ou em forma de união de intervalos S = (−∞, 2/15) ∪ (2/15, ∞). 
(2) a solução da desigualdade 𝑥2 − 2 ≥ 0 é 𝑆 = {x ∈ ℝ|𝑥2 − 2 ≥ 0} ou 𝑆 = (−∞, −√2) ∪ (√2, ∞). 
(3) a solução encontrada pode ser o conjunto vazio 𝑆 = ∅, como é o caso para 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2 ≥ 0 e de 𝑥2 + 1 ≤ 0. 
(4) a solução também pode ser igual ao conjunto dos números reais, S = ℝ (é o caso da condição estar sempre verdadeira não importa qual é o número real que x 
assume), como por exemplo: 𝑥2 + 1 > 0 ou 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 2. 
Observação-1: Percebe-se que a solução, sendo um conjunto, sempre existe. Isto é, ou ela é igual a um conjunto vazio ou a um conjunto não vazio. 
Exemplo (domínio de uma função): 
O domínio da função f tal que 𝑓(𝑥) é dado pela seguinte expressão 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(2 − 𝑥)/(𝑥 − 3) + 3√1 − 𝑥2, onde 𝑙𝑛(2 − 𝑥) é o logaritmo neperiano (ou, natural) de 2 −
𝑥, é o conjunto formado por todos os números reais x para os quais as seguintes proposições (condições) são verdadeiras juntas: 𝑝1 = (2 − 𝑥 > 0); e 𝑝2 =
(𝑥 − 3 ≠ 0); e 𝑝3 = (1 − 𝑥
2 ≥ 0). Isto é: Df = {x ∈ ℝ|p1 ∧ p2 ∧ p3} = {x ∈ ℝ|𝑝1} ∩ {x ∈ ℝ|𝑝2} ∩ {x ∈ ℝ|𝑝3}, sendo {x ∈ ℝ|𝑝}, o conjunto dos números reais 𝑥 para 
os quais a proposição 𝑝 (ou, 𝑝(𝑥)) é verdadeira. 
Observação-2: uma proposição pode ser verdadeira “V” ou falsa “F” dependendo do valor de x, por exemplo, 𝑝2 = (𝑥 − 3 ≠ 0) = 𝑉 (é verdadeira) para 𝑥 ∈ (−∞, 3) ∪
(3, +∞) e é falsa, 𝑝2 = 𝐹, para 𝑥 ∈ {3}. 
Usando a lógica de proposições, pode-se simplificar uma proposição, ou seja, escrevê-la usando uma expressão equivalente, porém, mais simples, como segue, 
 𝑝1(𝑥) = (2 − 𝑥 > 0) = (2 > 𝑥) = (𝑥 < 2), que é verdadeira para: 𝑥 ∈ (−∞, 2). Portanto temos: {x ∈ ℝ|𝑝1} = (−∞, 2) 
𝑝2(𝑥) = (𝑥 − 3 ≠ 0) = (𝑥 ≠ 3). Logo, 𝑝2(𝑥) = 𝑉 para: 𝑥 ∈ (−∞, 3) ∪ (3, +∞) e temos {x ∈ ℝ|𝑝2} = (−∞, 3) ∪ (3, +∞) 
 𝑝3(𝑥) = (1 − 𝑥
2 ≥ 0) = ((1 − x)(1 + x) ≥ 0) = ((1 − x ≥ 0) ∧ (1 + x ≥ 0)) ∨ ((1 − x ≤ 0) ∧ (1 + x ≤ 0)) = ((1 ≥ x) ∧ (1 ≥ −x)) ∨ ((1 ≤ x) ∧ (1 ≤ −x)) =
((1 ≥ x) ∧ (−1 ≤ x)) ∨ ((1 ≤ x) ∧ (−1 ≥ x)) = (−1 ≤ x ≤ 1) ∨ F = (−1 ≤ x ≤ 1). Portanto, 𝑝3(𝑥) = 𝑉 para: 𝑥 ∈ [−1, 1] e temos {x ∈ ℝ|𝑝3} = [−1, 1] 
Observação-3: a proposição ((1 ≤ x) ∧ (−1 ≥ x)) foi substituída pelo valor lógico 𝐹, isto porque ela é sempre falsa (não existe x em ℝ para o qual ela é verdadeira). 
Pode-se chegar aos mesmos resultados usando operações sobre conjuntos, 
 {x ∈ ℝ|𝑝2} = {x ∈ ℝ|2 − 𝑥 > 0} = {x ∈ ℝ|2 > 𝑥} = (−∞, 2) 
 {x ∈ ℝ|𝑝3} = {x ∈ ℝ|𝑥 − 3 ≠ 0} = {x ∈ ℝ|𝑥 ≠ 3} = {x ∈ ℝ|(𝑥 < 3) ∨ (𝑥 > 3)} = {x ∈ ℝ|(𝑥 < 3)} ∪ {x ∈ ℝ|(𝑥 > 3)} = (−∞, 3) ∪ (3, +∞). 
 {X ∈ ℝ|𝑝1} = {x ∈ ℝ|1 − 𝑥
2 ≥ 0} = {x ∈ ℝ|(1 − x)(1 + x) ≥ 0} = {x ∈ ℝ|((1 − x ≥ 0) ∧ (1 + x ≥ 0)) ∨ ((1 − x ≤ 0) ∧ (1 + x ≤ 0))} = ({x ∈ ℝ|1 − x ≥ 0} ∩
{x ∈ ℝ|1 + x ≥ 0}) ∪ ({x ∈ ℝ|1 − x ≤ 0} ∩ {x ∈ ℝ|1 + x ≤ 0}) = ({x ∈ ℝ|x ≤ 1} ∩ {x ∈ ℝ|x ≥ −1}) ∪ ({x ∈ ℝ|x ≥ 1} ∩ {x ∈ ℝ|x ≤ −1}) = ((−∞, 1] ∩
[−1, +∞)) ∪ ([1, ∞) ∩ (−∞, −1]) = [−1, 1] ∪ ∅ = [−1, 1] 
Finalmente, 
 Df = {x ∈ ℝ|𝑝1} ∩ {x ∈ ℝ|𝑝2} ∩ {x ∈ ℝ|𝑝3} = (−∞, 2) ∩ ((−∞, 3) ∪ (3, +∞)) ∩ [−1, 1] = [−1, 1] 
P. 2|5 
N 
f(x) 
Df 
Sentença Matemática Representação Final 
1 1 + 2√2/π {x ∈ ℝ} ℝ 
2 𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥) {x ∈ ℝ|(x ∈ Df1) ∧ (x ∈ Df2)} Df1 ∩ Df2 
3 
e2 − √π 𝑝𝑎𝑟𝑎 x < 10 
{x ∈ ℝ| x < 10} (−∞, 10) 
Exemplo de restrição adicional sobre os valores de x. 
4 
{
1 se x < 1
0 se x ≥ 2
 
{x ∈ ℝ|(x ≥ 2) ∨ (x < 1)} (−∞, 1) ∪ [2, ∞) Onde “∨” é o símbolo matemático de disjunção “ou” (apenas um dos dois operantes 
precisa ser verdadeiro para que o resultado da operação o seja). 
5 
a, a ∈ ℕ, ℤ, ℚ, ou ℝ 
{x ∈ ℝ} ℝ 
ℕ = {0,1,2, … } 
Conjunto de números 
naturais 
ℤ = {… , −2, −1,0,1,2, … } 
................................... 
inteiros 
ℚ = {p/q |(p, q ∈ ℤ) ∧ (q ≠ 0)} 
................................... 
racionais 
ℝ = ℚ ∪ {√2, π, −5π, e, e2 … } 
................................... 
reais 
6 x {x ∈ ℝ} ℝ 
7 x + x {x ∈ ℝ} ℝ 
8 2x {x ∈ ℝ} ℝ 
9 ax, a ∈ ℕ, ℤ, ℚ, ou ℝ {x ∈ ℝ} ℝ 
10 (2x)(7x) {x ∈ ℝ} ℝ 
11 14 x2 {x ∈ ℝ} ℝ 
12 ax3, a ∈ ℝ {x ∈ ℝ} ℝ 
13 
a x0 
{x ∈ ℝ} ℝ 
 x0 = 1 para x ∈ ℝ − {0}. Em relação a 𝑥 = 0, por convenção, consideramos o 
valor do número zero elevado a zero como sendo igual a 1. Adotando esta 
convenção, podemos escrever brevemente ∑ aix
in
i=0 , em vez de 𝑎0 + ∑ aix
in
i=1 . 
A não confundir este tratamento especial em 𝑥 = 0 com o limite de x0 quando x 
tende a zero, que é uma indeterminação (chama-se indeterminação porque ele 
pode se manifestar para diferentes comportamentos de f na vizinhança de 0). 
Conclusão, f é definida em zero e 𝑓(0) = a 00 = a (que é um valor real bem 
definido). 
14 axn, n ∈ ℕ {x ∈ ℝ} ℝ 
15 
∑ aix
i
n
i=0
= a0x
0 + a1x
1 + ⋯ + anx
n,
ai ∈ R para i = 0, n̅̅ ̅̅̅, n ∈ ℕ
∗
 {x ∈ ℝ} ℝ 
16 a/x {x ∈ ℝ|x ≠ 0} ℝ − {0} 
17 a/(x + sen(4)) {x ∈ ℝ|x + sen(4) ≠ 0} ℝ − {−sen(4)} 
18 a/(x − sen(4)) {x ∈ ℝ|x − sen(4) ≠ 0} ℝ − {+sen(4)} 
19 a/(x2 − sen(4)2) {x ∈ ℝ|x2 − sen(4)2 ≠ 0} 
ℝ
− {−sen(4), +sen(4)} 
20 a/(x2 + sen(4)2) {x ∈ ℝ|x2 + sen(4)2 ≠ 0} ℝ 
21 a/(x2 − x02), 𝑥0 ≠ 0 {x ∈ ℝ|x2 − x02 ≠ 0} ℝ − {−x0, +x0} 
P. 3|5 
22 a/(x2 + x02) {x ∈ ℝ|x2 + x02 ≠ 0} ℝ 
23 ax−5 {x ∈ ℝ|x ≠ 0} ℝ − {0} 
24 axn, n ∈ ℤ {
{x ∈ ℝ} se n ≥ 0
{x ∈ ℝ|x ≠ 0} se n < 0
 {
ℝ se n ≥ 0
ℝ − {0} se n < 0
 
25 a(x − 10π)n, n ∈ ℕ {x ∈ ℝ} ℝ 
26 a(x − 10π)n, n ∈ ℤ {
{x ∈ ℝ} se n > 0
{x ∈ ℝ|x − 10π ≠ 0} se n ≤ 0
 {
ℝ se n ≥ 0
ℝ − {10π} se n < 0
 
27 a(x − x0)n,x0 ∈ ℝ, n ∈ ℤ {
{x ∈ ℝ} se n > 0
{x ∈ ℝ|x ≠ x0} se n ≤ 0
 {
ℝ se n ≥ 0
ℝ − {x0} se n < 0
 
28 a3(x − x0)3 + a12(x − x0)12, a3, a12 ∈ ℝ {x ∈ ℝ} ℝ 
29 
∑ 𝑎𝑖(x − xi)
𝑖
𝑛
𝑖=0
= 𝑎0(x − x0)
0 + ⋯ + 𝑎𝑛(x − xn)
𝑛 ,
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑖, xi ∈ ℝ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅, n ∈ ℕ
 
{x ∈ ℝ} ℝ 
𝑖 = 0, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅ É uma forma compacta de escrever n= 0,1, … , 𝑛 
30 √7x−1 + 2(x − x0)−3 {x ∈ ℝ|(x ≠ 0) ∧ (x ≠ x0)} R − {0, x0} 
31 f1(x) + f2(x) {x ∈ ℝ|(x ∈ Df1) ∧ (x ∈ Df2)} Df1 ∩ Df2 
32 f1(x)f2(x) {x ∈ ℝ|(x ∈ Df1) ∧ (x ∈ Df2)} Df1 ∩ Df2 
33 f1(x)f1(x)f1(x) {x ∈ ℝ|x ∈ Df1 } Df1 
34 
f1(x)
0 
{x ∈ ℝ|x ∈ Df1 } Df1 
Um número real (qualquer, incluindo o zero por convenção) elevado a zero é igual 
a 1, o que implique que f1(x)
0 é definido (já que ele é igual a 1) para todos os 
números reais para os quais f1(x) é definido, (todos os x em Df1). Simbolicamente, 
escrevemos: 
(x ∈ Df1) ⟹ (f1(x) definido) ⇒ (f1(x)
0 = 1) ⟹ (f1(x)
0 definido) 
(x ∈ Df1
̅̅ ̅̅ = ℝ − Df1) ⟹ (f1(x) não definido) ⟹ (f1(x)
0 não definido) 
35 
f1(x)/f1(x) 
{x ∈ R|(x ∈ Df1) ∧ (f1(x) ≠ 0)} 
Df1 − {x ∈ R| f1(x) = 0} 
 A lei da função, tal que é formulada, não se aplica sobre os valores de x que anulam 
o denominador (i.e. as raízes da equação f1(x) = 0). 
36 f1(x)n, n ∈ ℕ {x ∈ R|x ∈ Df1 } Df1 
37 f1(x)n, n ∈ ℤ {
{x ∈ R|x ∈ Df1 } se n ≥ 0
{x ∈ R|(x ∈ Df1) ∧ (f1(x) ≠ 0)} se n < 0
 Df1 
38 ∑ fi(x)
n
i=0
 {x ∈ R| ⋀(x ∈ Dfi)
n
i=0
} ⋂ Dfi
n
i=0
 
39 ∑ 1/(aix − bi)
n
i=0
=
1
(a0x − b0)
+
1
(a1x − b1)
+ ⋯ +
1
(anxn − bn)
 
40 ∏ fi(x)
n
i=0
 {x ∈ R| ⋀(x ∈ Dfi)
n
i=0
} ⋂ Dfi
n
i=0
 
41 ∏ 1/(aix − bi)
n
i=0
=
1
(a0x − b0)
1
(a1x − b1)
…
1
(anxn − bn)
= 1/ ∏(aix − bi)
n
i=0
 
42 𝑠𝑒𝑛(𝑥) {x ∈ ℝ} ℝ 
43 𝑐𝑜𝑠(𝑥) {x ∈ ℝ} ℝ 
44 1/𝑠𝑒𝑛(𝑥) {x ∈ ℝ|x ≠ kπ, k ∈ ℤ} ℝ − {kπ| k ∈ ℤ} 
45 1/𝑐𝑜𝑠(𝑥) {x ∈ ℝ|x ≠ 0} ℝ − {0} 
P. 4|5 
46 𝑡𝑔(𝑥) {x ∈ ℝ|x ≠ 0} ℝ − {0} 
47 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) {x ∈ ℝ|x ≠ 0} ℝ − {0} 
48 1/𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑥 + 𝜑), 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜔, 𝜑 ∈ 𝑅 {x ∈ ℝ|x ≠ 0} ℝ − {0} 
49 1/𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑥 + 𝜑), 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜔, 𝜑 ∈ 𝑅 {x ∈ ℝ|x ≠ 0} ℝ − {0} 
50 
∑ 𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑛(ωix − φi)
𝑛
𝑖=0
= 𝑎0 𝑠𝑒𝑛(ω0x − φ0) + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑛(ωnx − φn),
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑖, ωi, φi ∈ ℝ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅ 
 {x ∈ ℝ} ℝ 
51 ∑ 𝑎𝑖/𝑠𝑒𝑛(ωix − φi)
𝑛
𝑖=0
= 𝑎0/𝑠𝑒𝑛(ω0x − φ0) + ⋯ + 𝑎𝑛/𝑠𝑒𝑛(ωnx − φn) {x ∈ ℝ|ωix − φi ≠ kπ, k ∈ ℤ} 
ℝ
− {
(kπ + φi)
ωi
, k ∈ ℤ, i
= 0, n} 
52 ∑ 𝑎𝑖/𝑐𝑜𝑠(ωix − φi)
𝑛
𝑖=0
= 𝑎0/𝑐𝑜𝑠(ω0x − φ0) + ⋯ + 𝑎𝑛/𝑐𝑜𝑠(ωnx − φn) 
53 ∑ 𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑛(ωix − φi)𝑖
𝑛
𝑖=0
𝑐𝑜𝑠(ωn−ix − φn−i)
𝑛−𝑖 {x ∈ ℝ} ℝ 
54 ∑ 𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑛(ωix − φi)𝑖−2
𝑛
𝑖=0
𝑐𝑜𝑠(ωn−ix − φn−i)
𝑛−𝑖+1 
55 1/(sen(x)2 + x02), 𝑥0 ∈ ℝ − {0} 
56 1/(sen(x)2 − x02), 𝑥0 ∈ ℤ − {0} 
57 1/(sen(x)2 − x02), 𝑥0 ∈ [2,3] {x ∈ ℝ} ℝ 
58 x1/2 
59 x1/3 
60 x1/(2n), n ∈ ℕ 
61 x1/(2n+1), 
62 (x1/(2n))2, m ∈ ℕ 
63 (x1/(2n))3 
64 (x1/(2n))m 
65 (xm)1/(2n) 
66 xm/(2n) 
67 (x1/(2n+1))2 
68 (x1/(2n+1))3 
69 (x1/(2n+1))m 
70 (xm)1/(2n+1) 
71 xm/(2n+1) 
72 x−m/(2n) 
73 x−m/(2n+1) 
74 xp/q, (p, q ∈ ℤ) ∧ (q ≠ 0) 
75 xa , a ∈ ℝ 
76 2𝑥 , x ∈ ℕ 
77 2𝑥 , x ∈ ℤ 
78 2𝑥 , x ∈ ℚ 
79 2𝑥 , x ∈ ℝ 
P. 5|5 
80 (3/5)𝑥 
81 1𝑥 
82 (1/2)𝑥 
83 0𝑥 
84 𝑎𝑥 , a ∈ ℚ+∗ 
85 (−2)𝑥 , x ∈ ℕ 
86 (−2)𝑥 , x ∈ ℤ 
87 (−2)𝑥 , x ∈ ℚ 
88 (−2)𝑥 , x ∈ ℝ 
89 𝑒𝑥 
90 (𝑒 + 3)𝑥 
91 (𝑒 − 3)𝑥 
92 𝑒(1−𝑥2) 
93 𝑙𝑛(1 − 𝑥2) 
94 𝑙𝑛(𝑥2 − 1) 
95 𝑙𝑛(𝑥(3 − 𝑥)) 
96 𝑙𝑛(𝑥(3 − 𝑥2)) 
97 𝑙𝑜𝑔5 (
3
2
+ 𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥) − 𝑒√2)) 
98 𝑙𝑜𝑔(𝑒−1)(1 − 𝑓(𝑥)2) 
99 𝑙𝑜𝑔(𝑒−3)(𝑓(𝑥))