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Circuitos Elétricos I - PSI3212 - P3 2010 - Poli

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Circuitos Elétricos I – 3a Prova – 23/06/2010 
GABARITO 
1a Questão (2,0 pontos) 
 
Considere a 1a Série de Exercícios com o PSpice em que foi feita uma análise de transitório 
do circuito da Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assumindo nula a corrente inicial no indutor Li (0 ) 0− = , a chave do circuito da Figura 1 
abriu em t 5s= . 
 
Pede-se: 
 
a) (0,2) Indique no espaço abaixo o valor da corrente no indutor em t 5s= obtido 
através da análise TRAN do PSpice. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
Esse valor poderia ser obtido a partir do gráfico da corrente no indutor ou a partir de 
uma tabela da análise de transitório do PSpice: 
 
 TIME I(V_PRINT3) 
 
 0.000E+00 0.000E+00 
 2.000E-02 9.668E-03 
 4.000E-02 4.805E-02 
 ... 
 
 4.980E+00 -1.956E-02 
 5.000E+00 -4.958E-02 
 5.020E+00 -3.028E-04 
 5.040E+00 -1.862E-06
 
R1 
e2 
~ v1 
50 Ω 
L1 
iL 
e1 
0,8H R2 200 Ω 
0 
1 2 
SW_tOpen = 5 
U1 
20 sin ( 2pi
 
.
 
60 t ) 
Figura 1 
Li (5) 49,584 mA= − 
b) (0,8) Qual a expressão da corrente no indutor após a chave ser aberta? 
 
Resolução: 
 
A constante de tempo do circuito após a chave ser aberta vale 
11
2
L 0,8 1
τ 4 ms 250 s
R 200 τ
−
= = = ⇒ = . 
 
Para t 5> , o circuito está livre e a expressão da corrente é igual a 
(t 5)/τ 250(t 5)
L Li (t) i (5)e 0,04958 e (A,s).− − − −= = − 
 
 
c) (1,0) Calcule o instante de tempo 0t em que L 0i (t ) 2 mA= − após a chave ser 
aberta. Indique o valor de 0t no gráfico da corrente Li obtido na análise do 
transitório e entregue apenas esse gráfico. 
 
Dica: Para o cálculo de 0t , utilize a expressão da corrente do item b). 
 
 
Resolução: 
 
Usando a expressão obtida no item b), chega-se a 
0
0
250(t 5)
250(t 5)
0
0
0
0,002 0,04958 e
0,0403 e
ln(0,0403) 250(t 5)
0,0128 t 5
t 5 0,0128 5,0128s
− −
− −
− = −
=
= − −
= −
⇒ = + =
 
 
O valor de 0t está indicado nos gráficos abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0t 
2a Questão (2,0 pontos) 
 
 
A equação diferencial em v2(t) que descreve o circuito da Figura 2 é dada por 
 
2
s2 2 2
1 2 22
2 1 2 1 1 2 1 2 2 2
de (t)d v (t) R dv (t)1 1 1C C 1 v (t)
dt R C C R dt R R C C R C dt
  
+ + + + =  
  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
a) (1,0) Calcule o fator de amortecimento α, a frequência própria não-amortecida 0ω 
e classifique o comportamento livre do circuito (super-amortecido, oscilatório ou 
amortecimento crítico). Justifique sua resposta. Resposta sem justificativa não 
será considerada. 
 
Resolução: 
 
A equação diferencial de circuitos de 2a ordem assume a forma geral 
2
0 sv(t) 2α v(t) ω v(t) v (t)+ + =ɺɺ ɺ . 
Assim, da equação diferencial fornecida obtemos 
 
12
1 2
2 1 2 1
0
1 2 1 2
R12α C C 1 α 0,5848 s
R C C R
1
ω 0,2418 rad/s
R R C C
−
  
= + + ⇒ =  
  
= =
 
 
 
Como 0α ω> , o comportamento do circuito livre é super-amortecido. 
 
 
 
 
R2 
v2(t) es(t) R1 C2 
Dados: 
1R 1 = Ω 
2R 9 = Ω 
1C 1 F= 
2C 1,9 F= 
1
2
v (0 ) 5 V
v (0 ) 1V
−
−
=
= −
 
C1 
v1(t)
Figura 2 
b) (1,0) Determine a resposta completa de v2(t) para t 0> , considerando que o circuito 
é excitado com se (t) 10H(t) (V,s).= 
Resolução: 
Como o circuito é super-amortecido, a resposta completa é dada pela Equação (1.9) da 
apostila, ou seja, 
 
1 2t t2 1
2 2p
2 1 2 1
v (t) e e v (t)s ss a b s a b
s s s s
− − +
= + +
− −
. 
 
Em regime, os capacitores se comportarão como circuitos abertos de tal forma que 
1p 2p 2pv (t) 10V e v (t) v (t) 0.= = =ɺ 
 
As frequências complexas próprias valem 
2 2 1
1 0
2 2 1
2 0
α α ω 0,0523 s
α α ω 1,1172 s
s
s
−
−
= − + − = −
= − − − = −
 
 
Calculando e a b obtemos 
2 2p
2 2p 2
v (0) v (0) 1 V
v (0) v (0) v (0)
a
b
= − = −
= − =ɺ ɺ ɺ
 
 
Podemos calcular 2v (0)b = ɺ considerando o circuito em t 0= , ou seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2 2 2 2
2
6 2i (0) 0,6667A
9 3
i (0) 0,6667i (0) C v (0) v (0) 0,3509 V/s 
C 1,9
b
= = =
= ⇒ = = = =ɺ ɺ
 
Finalmente, substituindo em (1.9) obtemos 
 
0,0523t 1,1172t
2v (t) 0,7197e 0,2803e , (V,s)− −= − − 
 
ou ainda, podemos escrever 
[ ]0,5848t2v (t) e 0, 4393 sinh(0,5325 t) cosh(0,5325 t) , (V,s)−= − − . 
R2 
-1V 10 V R1 C2 
C1 
5 V 
5V 
6 V 
2i (0) 
	QuestoesP3gab.pdf
	digitalizar0002.pdf

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