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Circuitos Elétricos I – 3a Prova – 23/06/2010 GABARITO 1a Questão (2,0 pontos) Considere a 1a Série de Exercícios com o PSpice em que foi feita uma análise de transitório do circuito da Figura 1. Assumindo nula a corrente inicial no indutor Li (0 ) 0− = , a chave do circuito da Figura 1 abriu em t 5s= . Pede-se: a) (0,2) Indique no espaço abaixo o valor da corrente no indutor em t 5s= obtido através da análise TRAN do PSpice. Resolução: Esse valor poderia ser obtido a partir do gráfico da corrente no indutor ou a partir de uma tabela da análise de transitório do PSpice: TIME I(V_PRINT3) 0.000E+00 0.000E+00 2.000E-02 9.668E-03 4.000E-02 4.805E-02 ... 4.980E+00 -1.956E-02 5.000E+00 -4.958E-02 5.020E+00 -3.028E-04 5.040E+00 -1.862E-06 R1 e2 ~ v1 50 Ω L1 iL e1 0,8H R2 200 Ω 0 1 2 SW_tOpen = 5 U1 20 sin ( 2pi . 60 t ) Figura 1 Li (5) 49,584 mA= − b) (0,8) Qual a expressão da corrente no indutor após a chave ser aberta? Resolução: A constante de tempo do circuito após a chave ser aberta vale 11 2 L 0,8 1 τ 4 ms 250 s R 200 τ − = = = ⇒ = . Para t 5> , o circuito está livre e a expressão da corrente é igual a (t 5)/τ 250(t 5) L Li (t) i (5)e 0,04958 e (A,s).− − − −= = − c) (1,0) Calcule o instante de tempo 0t em que L 0i (t ) 2 mA= − após a chave ser aberta. Indique o valor de 0t no gráfico da corrente Li obtido na análise do transitório e entregue apenas esse gráfico. Dica: Para o cálculo de 0t , utilize a expressão da corrente do item b). Resolução: Usando a expressão obtida no item b), chega-se a 0 0 250(t 5) 250(t 5) 0 0 0 0,002 0,04958 e 0,0403 e ln(0,0403) 250(t 5) 0,0128 t 5 t 5 0,0128 5,0128s − − − − − = − = = − − = − ⇒ = + = O valor de 0t está indicado nos gráficos abaixo 0t 2a Questão (2,0 pontos) A equação diferencial em v2(t) que descreve o circuito da Figura 2 é dada por 2 s2 2 2 1 2 22 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 de (t)d v (t) R dv (t)1 1 1C C 1 v (t) dt R C C R dt R R C C R C dt + + + + = . Pede-se: a) (1,0) Calcule o fator de amortecimento α, a frequência própria não-amortecida 0ω e classifique o comportamento livre do circuito (super-amortecido, oscilatório ou amortecimento crítico). Justifique sua resposta. Resposta sem justificativa não será considerada. Resolução: A equação diferencial de circuitos de 2a ordem assume a forma geral 2 0 sv(t) 2α v(t) ω v(t) v (t)+ + =ɺɺ ɺ . Assim, da equação diferencial fornecida obtemos 12 1 2 2 1 2 1 0 1 2 1 2 R12α C C 1 α 0,5848 s R C C R 1 ω 0,2418 rad/s R R C C − = + + ⇒ = = = Como 0α ω> , o comportamento do circuito livre é super-amortecido. R2 v2(t) es(t) R1 C2 Dados: 1R 1 = Ω 2R 9 = Ω 1C 1 F= 2C 1,9 F= 1 2 v (0 ) 5 V v (0 ) 1V − − = = − C1 v1(t) Figura 2 b) (1,0) Determine a resposta completa de v2(t) para t 0> , considerando que o circuito é excitado com se (t) 10H(t) (V,s).= Resolução: Como o circuito é super-amortecido, a resposta completa é dada pela Equação (1.9) da apostila, ou seja, 1 2t t2 1 2 2p 2 1 2 1 v (t) e e v (t)s ss a b s a b s s s s − − + = + + − − . Em regime, os capacitores se comportarão como circuitos abertos de tal forma que 1p 2p 2pv (t) 10V e v (t) v (t) 0.= = =ɺ As frequências complexas próprias valem 2 2 1 1 0 2 2 1 2 0 α α ω 0,0523 s α α ω 1,1172 s s s − − = − + − = − = − − − = − Calculando e a b obtemos 2 2p 2 2p 2 v (0) v (0) 1 V v (0) v (0) v (0) a b = − = − = − =ɺ ɺ ɺ Podemos calcular 2v (0)b = ɺ considerando o circuito em t 0= , ou seja 2 2 2 2 2 2 2 6 2i (0) 0,6667A 9 3 i (0) 0,6667i (0) C v (0) v (0) 0,3509 V/s C 1,9 b = = = = ⇒ = = = =ɺ ɺ Finalmente, substituindo em (1.9) obtemos 0,0523t 1,1172t 2v (t) 0,7197e 0,2803e , (V,s)− −= − − ou ainda, podemos escrever [ ]0,5848t2v (t) e 0, 4393 sinh(0,5325 t) cosh(0,5325 t) , (V,s)−= − − . R2 -1V 10 V R1 C2 C1 5 V 5V 6 V 2i (0) QuestoesP3gab.pdf digitalizar0002.pdf
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