Aula 10 Exc. do Consumidor, VC e VE

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MICROECONOMIA 1
Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia
Notas de Aula 10 - Graduac¸a˜o
Prof. Jose´ Guilherme de Lara Resende
1 Excedente do Consumidor
Quando ocorre alguma mudanc¸a no ambiente econoˆmico, como por exemplo um aumento de
prec¸o, um novo imposto, etc, o consumidor pode ficar numa situac¸a˜o melhor ou pior do que antes.
O excedente do consumidor (EC) e´ a medida cla´ssica da mudanc¸a do bem-estar de um indiv´ıduo
devido a uma mudanc¸a no ambiente econoˆmico.
O excedente do consumidor e´ a diferenc¸a entre a utilidade total obtida pelo consumo e o valor
pago pelas unidades consumidas de um determinado bem. Ele representa o ganho que o consumidor
obte´m ao comprar va´rias unidades do bem pagando sempre o mesmo prec¸o. Graficamente, ele e´ a
a´rea hachurada superior na figura abaixo.
6
-
prec¸o
qtde
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
Curva de Demanda Inversa
rp
A
0
B
x¯
Excedente do Consumidor
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Valor pago pelas unidades consumidas
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O excedente do consumidor e´ portanto a diferenc¸a entre a quantidade ma´xima que o consumidor
esta´ disposto a pagar pelo bem e a quantia realmente paga. Lembrem-se que a curva de demanda
inversa revela o valor que o comprador assinala a cada unidade do bem. No gra´fico acima, o
consumidor decidiu comprar x¯ unidades de um bem qualquer. Todas as unidades infra-marginais
(isto e´, anteriores a` u´ltima unidade sendo consumida) geram utilidade marginal acima do prec¸o
pago por aquela unidade. A somato´ria desse excedente para todas as unidades demandadas e´ o
excedente do consumidor, que mede, portanto, os ganhos recebidos pelos compradores por fazer
trocas no mercado (e pagar o mesmo prec¸o por todas unidades compradas).
1
Suponhamos que o prec¸o do bem 1 seja p. Enta˜o o consumidor comprara´ x unidades desse
bem. A a´rea do triaˆngulo ApB na figura acima e´ o excedente do consumidor. A a´rea do retaˆngulo
0pBx¯ e´ o valor pago pelas unidades consumidas. A soma das a´reas do triaˆngulo e do retaˆngulo
e´ a utilidade total gerada pelo consumo das x¯ unidades do bem. Podemos medir o excedente do
consumidor como a a´rea do triaˆngulo na figura acima, ou seja, a a´rea entre a func¸a˜o de demanda
inversa do bem e o prec¸o do bem, onde x¯ e´ a quantidade consumida do bem:
EC =
∫ x¯
0
[p(x)− p] dx
Nota: Exclu´ımos do argumento das func¸o˜es usadas (demanda, demanda inversa) a sua de-
pendeˆncia de varia´veis mantidas constantes, como os prec¸os dos outros bens e a renda, apenas
para simplificar a notac¸a˜o.
O excedente do consumidor e´ a ferramenta cla´ssica para medir mudanc¸as no bem-estar do con-
sumidor causadas por alguma mudanc¸a de pol´ıtica. Por exemplo, qual a perda para o consumidor
se o prec¸o de um bem aumenta devido a um novo imposto sobre o consumo desse bem? A variac¸a˜o
no excedente do consumidor (∆EC) para uma mudanc¸a no prec¸o do bem de p0 para p1 , p1 > p0
(e a quantidade muda de x0 para x1, x1 < x0) e´:
∆EC = EC(p1)− EC(p0) =
∫ x1
0
[
p(x)− p1] dx− ∫ x0
0
[
p(x)− p0] dx, (1)
onde p(x) e´ a func¸a˜o de demanda inversa do bem 1. O gra´fico abaixo ilustra essa variac¸a˜o.
6
-
prec¸o
qtde
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
Curva de Demanda Inversa
sp0
x0
10
sp1
x1
EC(p0)
��
��
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EC(p1)
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��
���1XXXXXXXXXXXXXz
∆EC = EC(p1)− EC(p0) < 0�
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A variac¸a˜o do EC devido a um aumento
de prec¸os do bem e´ o EC antes do aumento
menos o EC apo´s o aumento do prec¸o.
2
A variac¸a˜o no EC causada por um aumento do prec¸o do bem pode ser decomposta em duas
a´reas. A primeira e´ a perda gerada pelo aumento do prec¸o nas quantidades do bem que ainda sa˜o
consumidas (a´rea A na figura abaixo). A segunda e´ a perda gerada pela diminuic¸a˜o do consumo do
bem causada pelo aumento do prec¸o (a´rea B na figura abaixo). Note que pela fo´rmula (1) acima,
o valor do excedente do consumidor sera´ negativo. O sinal negativo serve apenas para indicar que,
com o aumento do prec¸o do bem, houve uma queda no bem-estar do consumidor.
6
-
prec¸o
qtde
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
Curva de Demanda Inversa
10
sp0 A
x0
sp1
B
x1
∆EC2
��
��*
∆EC1
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���
∆ECTotal = ∆EC1 + ∆EC2�
�
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Decomposic¸a˜o do EC em duas a´reas, no caso
de um aumento do prec¸o do bem:
1. A e´ a perda por pagar mais pelas unidades
ainda consumidas do bem, e
2. B e´ a perda por consumir menos do bem.
Podemos simplificar a expressa˜o (1) usando a seguinte propriedade de integrais:∫ x0
0
p(x)dx =
∫ x1
0
p(x)dx+
∫ x0
x1
p(x)dx
Enta˜o a expressa˜o para ∆EC torna-se:
∆EC =
∫ x1
0
p(x)dx−
(∫ x1
0
p(x)dx+
∫ x0
x1
p(x)dx
)
−
∫ x1
0
p1dx+
∫ x0
0
p0dx
Simplificando a expressa˜o acima, obtemos:
∆EC = −
[∫ x0
x1
(
p(x)− p0) dx+ (p1x1 − p0x1)] , (2)
onde a integral na expressa˜o (2) representa a a´rea B da figura anterior e o termo (p1x1 − p0x1)
representa a a´rea A da figura acima, e o sinal de menos indica que houve uma queda no bem-estar
do consumidor.
3
A interpretac¸a˜o do EC usando a func¸a˜o de demanda inversa e´ bem intuitiva. Pore´m, para cal-
cular o EC para uma mudanc¸a de prec¸os, pode ser mais conveniente usar a demanda Marshalliana
diretamente. Nesse caso, o EC para um n´ıvel de prec¸os p e´:
EC =
∫ p¯
p
xM(p)dp,
onde p¯ e´ o menor prec¸o que faz a demanda se igualar a zero (x(p¯) = 0).
Portanto, para uma alterac¸a˜o no prec¸o do bem, de p0 para p1, a variac¸a˜o no excedente do
consumidor e´:
∆EC =
∫ p0
p1
xM(p)dp
Logo, o ∆EC calculado usando a demanda diretamente e´ apenas a a´rea abaixo da demanda
do bem, como ilustra a figura abaixo.
6
-
qtde
prec¸o
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
Curva de Demanda
sx1
p1
sx0
p0
∆EC
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�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
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�
�
��
Exemplo: Suponha que a func¸a˜o de demanda de um bem para um certo consumidor e´ x(p) =
20 − 2p. Imagine que o prec¸o desse bem aumentou de R$ 2,00 para R$ 3.,00. A variac¸a˜o no
excedente do consumidor para esse aumento de prec¸o e´:
∆EC =
∫ 2
3
[20− 2p] dp = −
∫ 3
2
[20− 2p] dp = − [20(3− 2)− (32 − 22)] = −15
Nesse caso, como o prec¸o aumentou, invertermos os limites da integral acima. Observe que
a variac¸a˜o no excedente do consumidor e´ negativa, indicando uma perda de bem-estar para o
consumidor.
4
Vamos agora calcular a variac¸a˜o do EC usando a demanda inversa, dada por p = 10 − x/2.
Como estamos representando o mesmo consumidor, ∆EC calculado desse modo tem que ser igual
a −15 tambe´m. Vamos verificar isso usando a fo´rmula abaixo:
∆EC = −
[∫ x0
x1
(p(x)− p0)dx+
(
p1x1 − p0x1)] = −[∫ x0
x1
p(x)dx+
(
p1x1 − p0x0)]
Precisamos achar as quantidades x0 e x1. Elas sa˜o encontradas usando a func¸a˜o de demanda:
p0 = 2 ⇒ x0 = x(p0) = 20− 2p0 = 16
p1 = 3 ⇒ x1 = x(p1) = 20− 2p1 = 14
Usando esses valores na fo´rmula para ∆EC acima, temos que:
∆EC = −
[∫ 16
14
[
10− x
2
]
dx+
(
p1x1 − p0x0)]
= −
[
10(16− 14)− 1
4
(
162 − 142)+ (3× 14− 2× 16)] = −15,
e, portanto, a variac¸a˜o no excedente do consumidor, calculada usando a demanda inversa, e´ igual a`
variac¸a˜o calculada usando a demanda Marshalliana, como era de se esperar. Note que o consumidor
perdeu 15 unidades do seu excedente original com o aumento do prec¸o (o excedente do consumidor
e´ negativo, para indicar uma perda de bem-estar).
2 Variac¸a˜o Compensadora e Variac¸a˜o Equivalente
Outrasduas medidas de bem-estar do consumidor sa˜o a variac¸a˜o compensadora (V C) e a
variac¸a˜o equivalente (V E). Em certas situac¸o˜es, essas medidas sa˜o mais adequadas do que o
excedente do consumidor para medir o efeito no bem-estar causado por uma mudanc¸a qualquer
(veremos a raza˜o disso mais a frente).
Suponha uma mudanc¸a de pol´ıtica econoˆmica qualquer que resulta na reduc¸a˜o do prec¸o de um
certo bem de p0 para p1 (ou seja, p1 < p0). Uma medida natural da variac¸a˜o no bem-estar do
consumidor causada pela mudanc¸a de prec¸o e´ dada pela variac¸a˜o na sua utilidade indireta:
v(p1,m)− v(p0,m)
Essa diferenc¸a e´ positiva no caso de uma reduc¸a˜o no prec¸o do bem, ja´ que essa redc¸a˜o de
prec¸o beneficia o consumidor. Se o prec¸o tivesse aumentado, a diferenc¸a acima seria negativa,
significando que a mudanc¸a de pol´ıtica dimininui o bem-estar do consumidor.
5
Pore´m, essa medida e´ vazia de sentido. Na˜o ha´ significado pra´tico nela, ja´ que considera a
utilidade indireta, que depende da forma funcional da utilidade usada. Isso ocorre por que a teoria
do consumidor que estamos analisand e´ uma teoria puramente ordinal.
Pore´m, podemos utilizar a utilidade indireta para calcular duas medidas de bem-estar do
consumidor, que sa˜o independentes da representac¸a˜o da utilidade usada. Essas duas medidas
foram propostas pelo economista John Hicks, no seu livro Value and capital, publicado em 1939.
A variac¸a˜o compensadora (V C) pode ser definida como a quantidade de dinheiro que temos
que tirar do indiv´ıduo depois da variac¸a˜o de prec¸os, para deixa´-lo com o mesmo bem-estar que
tinha antes dessa variac¸a˜o. Portanto, a V C pode ser calculada implicitamente como o valor tal
que:
v(p1,m− V C) = v(p0,m) (3)
Como p0 > p1, enta˜o V C > 0 (a queda do prec¸o do bem beneficia o consumidor, para deixa´-lo
com o mesmo n´ıvel de satisfac¸a˜o anterior, precisamos reduzir a sua renda).
Vamos calcular V C explicitamente. Usando a igualdade acima, podemos usar a func¸a˜o dispeˆndio
para encontrar V C:
e(p1, v(p1,m− V C)) = e(p1, v(p0,m))
Como e(p, v(p,m)) = m, enncontramos:
V C = m− e(p1, v(p0,m))
Essa e´ a forma expl´ıcita de calcular a variac¸a˜o compensadora: ela e´ a diferenc¸a entre a renda
original e a renda que, aos novos prec¸os, mante´m o consumidor com o n´ıvel de utilidade original.
Essa diferenc¸a nesse caso e´ positiva: como o prec¸o baixou, precisamos diminuir a renda m do
consumidor para que, frente aos novos prec¸os, continue com o n´ıvel de utilidade original.
A V E pode ser definida como a quantidade de dinheiro que temos que dar ao indiv´ıduo antes da
variac¸a˜o de prec¸os, para deixa´-lo com o mesmo bem-estar que tera´ depois dessa variac¸a˜o (compare
com a definic¸a˜o acima da V C). Portanto, a V E pode ser calculada implicitamente por:
v(p1,m) = v(p0,m+ V E) (4)
Como p0 > p1, enta˜o V E > 0 (a queda do prec¸o do bem beneficia o consumidor. Para deixa´-lo
hoje com o mesmo n´ıvel de satisfac¸a˜o que tera´ amanha˜, apo´s o aumento do prec¸o, precisamos
aumentar a sua renda).
Vamos calcular V E explicitamente. Usando a igualdade acima, novamente usamos a func¸a˜o
dispeˆndio para encontrar V E:
e(p0, v(p1,m)) = e(p0, v(p0,m+ V E))
6
Como e(p, v(p,m)) = m, encontramos:
V E = e(p0, v(p1,m))−m
Essa e´ a forma expl´ıcita de calcular a variac¸a˜o equivalente: ela e´ a diferenc¸a entre a renda que,
aos prec¸os antigos, mante´m o consumidor com o n´ıvel de utilidade que tera´ apo´s a mudanc¸a de
prec¸os e a renda original. Essa diferenc¸a nesse caso e´ positiva: como o prec¸o baixou, precisamos
aumentar a renda m do consumidor para que, aos prec¸os antigos, ele alcance hoje o n´ıvel de
utilidade que tera´ amanha˜, apo´s a mudanc¸a de prec¸os.
Pelo modo como definimos V E e V C, os duas medidas tera˜o sempre o mesmo sinal. Mais
ainda, se a mudanc¸a ocorrida melhorou o bem-estar do indiv´ıduo, enta˜o V C > 0 e V E > 0. Se
a mudanc¸a ocorrida piorou o bem-estar do indiv´ıduo, enta˜o V C < 0 e V E < 0. Note que o sinal
de V C e V E e´ igual ao sinal da variac¸a˜o do EC: se a variac¸a˜o de prec¸os melhora o bem-estar do
consumidor, enta˜o V C > 0, V E > 0 e ∆EC > 0; se a variac¸a˜o de prec¸os piora o bem-estar do
consumidor, enta˜o V C < 0, V E < 0 e ∆EC < 0.
A func¸a˜o µ(p1, p2,m) = e(p1, v(p2,m)), usada para calcular ambas a V C e a V E, mede quanto
dinheiro o consumidor precisa aos prec¸os p1 para estar ta˜o bem quanto estaria aos prec¸os p2 e
renda m. Ela e´ chamada de func¸a˜o indireta da me´trica do dinheiro. Essa func¸a˜o tem a propriedade
deseja´vel de conter apenas varia´veis observa´veis e de na˜o existir nenhuma ambiguidade quanto a
transformac¸o˜es monotoˆnicas da func¸a˜o utilidade.
Se escrevermos as VC e VE em termos da func¸a˜o indireta da me´trica do dinheiro, obtemos:
V C = µ(p1, p1,m)− µ(p1, p0,m)
V E = µ(p0, p1,m)− µ(p0, p0,m),
pois µ(p, p,m) = m (relac¸a˜o de dualidade e(p, v(p,m)) = m). Logo, as duas medidas diferem
apenas com relac¸a˜o ao prec¸o usado como base. A V C usa o prec¸o p1 como base e diz a variac¸a˜o
de renda necessa´ria para compensar o consumidor pela variac¸a˜o no prec¸o. Ja´ a V E usa o prec¸o p0
como prec¸o base e diz a variac¸a˜o de renda necessa´ria para compensar o consumidor pela variac¸a˜o
no prec¸o.
Vamos analisar graficamente essas duas medidas, ainda para o caso de uma queda do prec¸o
do bem 1. Suponha que os prec¸os e a renda originais sa˜o m∗ e p∗1, com p
∗
2 = 1 (o prec¸o do
bem 2 e´ normalizado em R$ 1,00). A escolha o´tima do consumidor antes da mudanc¸a de prec¸o
e´ representada por E = (x∗1, x
∗
2), onde ele alcanc¸a o n´ıvel de utilidade u
∗. A escolha o´tima do
consumidor apo´s da mudanc¸a de prec¸o e´ representada por Eˆ = (xˆ∗1, xˆ
∗
2), onde ele alcanc¸a o n´ıvel
de utilidade uˆ∗. As duas medidas de bem-estar esta˜o representadas nos gra´ficos abaixo.
7
6
-
x2
x1
Variac¸a˜o Equivalente: quanto de dinheiro tem que
ser dado ao indiv´ıduo antes da mudanc¸a de prec¸os,
para deixa´-lo com a mesma utilidade que ele tera´
apo´s a variac¸a˜o de prec¸os.
m∗
V E
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
rE rEˆ
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
6
-
x2
x1
Variac¸a˜o Compensadora: quanto de dinheiro tem que
ser tirado do indiv´ıduo apo´s a mudanc¸a de prec¸os, para
deixa´-lo com a mesma utilidade que ele tinha antes da
variac¸a˜o de prec¸os.
m∗
V C
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
rE rEˆ
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
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• Varian, cap. 14 - “O Excedente do Consumidor.
• Pindick e Rubinfeld, cap. 4 - “Demanda Individual e Demanda de Mercado”, sec¸a˜o 4 -
“Excedente do Consumidor”.
• Nicholson e Snyder, cap. 5 - “Income and Subsitution Effects”, sec¸a˜o 8 - “Consumer Sur-
plus”.
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