prova2 Marivaldo

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Séries & EDO Prof. MPMatos
Exame N. 2 Séries de Potências & Séries de Fourier
gabarito - prova 1
� Seja g (x) a função representada pela série de potências
X1
n=1
(�1)n (x� 2)2n
4nn2
:
01. Determine o domínio de g (os valores de x onde a série converge);
O fundamento básico a ser usado é o Teste da Razão: a série converge absolutamente se L < 1 e
diverge se L > 1:
Temos:
L = lim
����an+1an
���� = lim
����� (x� 2)2n+24n+1 (n+ 1)2 � 4nn2(x� 2)2n
����� = jx� 2j24 lim n2(n+ 1)2 = jx� 2j
2
4
:
Se jx� 2j2 < 4, isto é, 0 < x < 4, a série converge absolutamente e a série diverge quando x < 0 ou
x > 4: Esta é a informação contida no Teste da Razão. A convergência da série nos pontos extremos
x = 0 e x = 4 será investigada em separado.
x = 0 : neste caso a série é
X1
n=1
(�1)n
n2
(converge absolutamente)
x = 4 : neste caso a série é
X1
n=1
(�1)n
n2
(converge absolutamente)
conclusão: A série converge absolutamente no intervalo 0 � x � 4 e diverge caso contrário e este é o
domínio da função g:
02. Calcule o valor da expresão: g (2) + g0 (2) + g(9) (2)� 4g(12) (2) :
Temos que g (2) = 0 e como os termos de ordem ímpar da série são todos nulos, então as derivadas
g0 (2) e g(9) (2) são iguais a zero. Do teorema de representação de Taylor, temos que
g(2n) (2)
(2n)!
= c2n =
(�1)n
4nn2
) g
(12) (2)
12!
=
(�1)6
46 � 62 ) g
(12) (2) =
12!
36� 46
Assim, g (2) + g0 (2) + g(9) (2)� 4g(12) (2) = � 12!
9� 46
� Considere a função f (x) = 1
1� 3x .
03. Represente f em série de potências de x� 1 e determine onde a representação é válida;
Identi…quemos f (x) com a soma de uma série geométrica de razão r = 32 (x� 1). De fato:
1
1� 3x =
1
1� 3 (x� 1 + 1) =
1
�2� 3 (x� 1) = �
1
2
"
1
1 + 32 (x� 1)
#
=
= �1
2
1X
n=0
(�1)n
�
3
2
�n
(x� 1)n =
1X
n=0
(�1)n+1 3n (x� 1)n
2n+1
e a série é convergente somente quando
��3
2 (x� 1)
�� < 1, isto é, 13 < x < 53 :
04. Integre termo a termo de 1 até x a série encontrada em (03) e obtenha uma série de potências
de x� 1 para a função g (x) = ln (3x� 1).
No intervalo 13 < x <
5
3 , temos que 1� 3x < 0 e integrando termo a termo a série encontrada em (a),
obtemos::
�13 ln (3x� 1) + 13 ln 2 =
Z x
1
dt
1� 3t =
1X
n=0
(�1)n+1 3n
2n+1
Z x
1
(t� 1)n dt =
=
1X
n=0
(�1)n+1 3n (x� 1)n+1
2n+1 (n+ 1)
e daí resulta que
ln (3x� 1) = ln 2 +
1X
n=0
(�1)n 3n+1 (x� 1)n+1
2n+1 (n+ 1)
;
representação válida no intervalo
1
3
< x <
5
3
:
05. Se 0 < � < �=3, justi…que porquê
1
1� 3 cos � = �
X1
n=0
3n (1� cos �)n
2n+1
;
Se 0 < � < �=3, então x = cos � está entre 0 e 1/2 e, consequentemente, esse x se encontra no intervalo
de convergência da série encontrada em (03). Agora é só substituir na série (03) x por cos �
06. Use o resultado encontrado em (04) e calcule a soma da série
X1
n=0
(�1)n
(n+ 1) 2n+1
:
Considerando x = 4=3 na série (04), encontramos:
1X
n=0
(�1)n
(n+ 1) 2n+1
= ln 3� ln 2 = ln (3=2)
� Considere a função f (x) = �x� �; � � < x < 0:
07. Esboce o grá…co no intervalo [�3�; 3�] da extensão ímpar 2�-periódica efI de f ;
2
08. Calcule o valor da expressão 2 efI (�2��)� efI (0+) + efI (2�+)� 4 efI (3��) ;
Observando o grá…co concluímos que:
2 efI ��2���� efI �0+�+ efI �2�+�� 4 efI �3��� = �2� � � + � � 4� 0 = �2�
09. Determine a série de Fourier da extensão encontrada em (07);
A extensão efI é uma função ímpar e, sendo assim, sua série de Fourier é uma série de senos, isto é,
a0 = 0 e an = 0; 8n: Os coe…cientes bn são calculados da seguinte forma:
bn =
2
�
Z 0
��
f (x) sennxdx =
2
�
Z 0
��
(�x� �) sennxdx =
= � 2
�
hsennx
n2
� x cosnx
n
i0
��
+ 2
hcosnx
n
i0
��
= � 2
�n
[� cosn�] +
2
n
[1� cosn�] = 2
n
:
Logo, a série de Fourier de efI é:
2
1X
n=1
sennx
n
:
10. Calcule a soma da série
X1
n=1
(�1)n
2n� 1 :
A série de Fourier (09) representa no intervalo [��; �] a extensão efI e considerando que essa extensão
é contínua em x = �=2, obtemos:
�=2 = efI (�=2) = 2 1X
n=1
sen (n�=2)
n
) �=4 =
1X
n=1
(�1)n
2n� 1
3
gabarito - prova 2
� Uma função real f é de…nida pela série f (x) =
X1
n=0
(n+ 1)xn:
01. Determine o domínio de f ( o intervalo de convergência da série);
O domínio de f é precisamente o intervalo de convergência da série. Os coe…cientes da série são
cn = n+ 1 e o raio de convergência é, neste caso, R = 1=l, onde:
l = lim
����cn+1cn
���� = lim n+ 2n+ 1 = 1:
Logo, o raio de convergência é R = 1 e, sendo assim, a série converge absolutamente quando jxj < 1 e
diverge se jxj > 1: O Teste do n-ésimo termo garante divergência da série nas extremidades x = �1:
Portanto, o domínio de f é o intervalo �1 < x < 1:
02. Calcule o valor da derivada: f (15) (0) ;
Observando a série que representa f (x) deduzimos que
f (n) (0)
n!
= cn = n+ 1 e, portanto,
f (15) (0)
15!
=
16. Logo, f (15) (0) = 16� 15!
03. Se �1 < x < 1; mostre que R x0 f (t) dt = x1� x ;
Integrando termo a termo a série de f (x) e usando a soma da série geométrica, encontramos:Z x
0
f (t) dt =
1X
n=0
xn+1 = x
1X
n=0
xn = x
�
1
1� x
�
=
x
1� x: (1)
04. Por derivação, deduza que f (x) =
1
(1� x)2 ;
Com auxílio do Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos:
f (x) =
d
dx
Z x
0
f (t) dt =
d
dx
�
x
1� x
�
=
1
(1� x)2 : (2)
05. Calcule a soma da série
X1
n=0
(�1)n (n+ 1)
3n
:
De (2) segue que
1
(1� x)2 =
1X
n=0
(n+ 1)xn (3)
4
e considerando em (3) x = �1=3, encontramos
1
(1� 1=3)2 =
1X
n=0
(n+ 1) (�1)n
3n
=) 9
4
=
1X
n=0
(�1)n (n+ 1)
3n
� Seja f a função de…nida no intervalo � < x < 2� por f (x) = �x+ 2�:
06. Esboce no intervalo [�3�; 3�] o grá…co da extensão par 2�-periódica ef de f ;
07. Determine a série de Fourier da extensão ef ;
Trata-se de uma função par e no intervalo 0 < x < � seu valor é f (x) = x. Os coe…cientes de Fourier
bn são todos nulos e os coe…cientes an são dados por:
a0 =
2
�
Z �
0
xdx = �
an =
2
�
Z �
0
x cosnxdx =
2
�
hcosnx
n2
+
x sennx
n
i�
0
=
������ 0, se n é par�4
n2�
, se n é ímpar.
Assim a série de Fourier de f é
�
2
� 4
�
1X
n=1
cos (2n� 1)x
(2n� 1)2 (4)
e sendo f (x) contínua, a série converge para f (x) em cada x real.
08. Calcule a soma da série
X1
n=1
1
(2n� 1)2 :
Se considerarmos em (4) x = 0, obteremos
0 =
�
2
� 4
�
1X
n=1
1
(2n� 1)2 =)
�2
8
=
1X
n=1
1
(2n�1)2
5
� Considere a função 2�-periódica f (x) de…nida no intervalo �� � x � � por
f(x) =
���������
0; se � � � x � 0
1; se 0 < x � �=2
0, se �=2 < x � �
09. Esboce o grá…co de f no intervalo [�3�; 3�] ;
10. Se F (x) representa a soma da série de Fourier de f no ponto x, calcule o valor da expressão
F (0) + F (�=4)�F (�=2) :
Observando o grá…co da função f (x) e usando o teorema de convergência de Fourier, deduzimos que:
F (0) + F (�=4)�F (�=2) = 1
2
+ 1� 1
2
= 1
6
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