LIVRO 02 Parte 2 Projeto de edifícios de alvenaria estrutural 91 188

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De fato, seria interessante se a norma brasileira adotasse o conceito dos estados limites. 
Além de ser mais adequado, por permitir melhor conhecimento da segurança da estrutura, esse é 
o conceito que serve de base para as demais normas existentes no País. até mesmo para algumas 
que complementam o próprio emprego da alvenaria como sistema estrutural. Por exemplo, a NBR 
6136 - Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria Estrutural4 fala explicitamente em 
resistência característica do bloco de concreto. Além disso, é impossível a utilização da NBR 8681 -
Ações e Segurança nas Estruturas* para edificações de alvenaria estrutural. 
5 . 2 R E S I S T Ê N C I A À C O M P R E S S Ã O D A A L V E N A R I A 
A resistência à compressão é, obviamente, o parâmetro de resistência mais importante 
para a alvenaria estrutural. Dessa forma, não é de se estranhar que muitos trabalhos tenham sido 
desenvolvidos para quantificá-la. Aqui, procurar-se-á apresentar um panorama geral sobre esse 
aspecto de grande importância. 
5 . 2 . 1 INFLUÊNCIA DOS COMPONENTES NA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO 
A seguir, se faz um breve resumo sobre a influência de cada componente sobre a 
resistência à compressão da alvenaria. O principal objetivo é dar noções qualitativas, ou até mesmo 
quantitativas, sobre a maneira como cada um desses componentes atua no sentido de aumentar 
ou reduzir a referida resistência. 
5 . 2 . 1 . 1 BLOCOS 
Dentre os fatores que exercem influência na resistência à compressão dos painéis de 
parede, a resistência dos blocos tem caráter predominante. De forma geral, quanto mais resistente 
o bloco, mais resistente será a alvenaria. 
Existe um conceito muito importante quando se trata da influência da resistência dos blocos 
na resistência à compressão das paredes. É a "eficiência", ou seja, a relação entre a resistência da 
parede e a resistência do bloco que a compõe. A relação 5.4 exprime matematicamente esse conceito. 
n = f ...(5.4) 
Em que, 
fpw : resistência da parede 
f0 : resistência do bloco 
4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1980). 
5 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1984). 
A eficiência costuma variar bastante, dependendo da sua forma, material e até mesmo 
da resistência dos blocos. Normalmente, quanto mais resistente for o bloco menor será a eficiência 
e vice-versa. Também se pode considerar que usualmente os blocos cerâmicos apresentem uma 
eficiência menor que a dos blocos de concreto. Além disso, características dos outros componentes 
podem influir na eficiência parede-bloco. 
Considerando-se os casos mais comuns no Brasil: paredes executadas com blocos vazados 
de concreto ou cerâmicos (resistência entre 4,5 e 20 MPa), não-grauteadas e com argamassas 
usuais, pode-se estimar que a eficiência apresente os valores que constam da tabela 5.1. 
Tabela 5.1 - Valores da eficiência parede-bloco. 
Bloco Valor mín imo Valor máximo 
Concreto 0,40 0,60 
Cerâmico 0,20 0,50 
5 . 2 . 1 . 2 ARGAMASSA 
É interessante se destacar pelo menos dois fatores quando se trata da influência da 
argamassa na resistência à compressão das paredes: a espessura da junta horizontal e a resistência 
à compressão da argamassa. 
Quanto ao primeiro aspecto, está bem estabelecido que a espessura da junta precisa se 
situar dentro de limites muito estreitos. Ela não pode ser muito pequena, pois isso poderia permitir 
que, por falhas na execução, pontos das superfícies dos blocos acabassem se tocando. Obviamente, 
essa situação provocaria uma concentração de tensões que prejudicaria a resistência da parede. 
Entretanto, desde um trabalho pioneiro de Francis (1971) foi comprovado que a resistência da 
parede decresce com o aumento da espessura da junta horizontal. Isso se explica porque com o 
aumento da espessura diminui o confinamento da argamassa. E é exatamente esse confinamento 
que torna a argamassa pouco suscetível à ruptura, mesmo que a sua resistência à compressão, 
medida em corpos-de-prova cilíndricos, seja relativamente baixa. Assim, segundo Sahlin6 apud 
Camacho (1995), a cada aumento de 0,3 cm na espessura da argamassa há uma redução de 15% 
na resistência da parede. Numa concordância implícita com esses fatos apresentados, a NBR 
10837 especifica que a espessura da junta horizontal entre blocos deve ser igual a 1 cm, a menos 
que se justifique tecnicamente a adoção de um outro valor. 
Quanto à resistência à compressão da argamassa, conforme já se afirmou em item 
anterior, esse parâmetro não influi de forma tão significativa na resistência à compressão da parede. 
Apenas se a resistência da argamassa for menor que 30% ou 40% da resistência do bloco é que 
essa influência pode ser considerada importante. Por exemplo, segundo os resultados obtidos por 
6 SAHLIN, S. (1971). Structural Masonry. 
Gomes (1983), para paredes construídas com blocos de 7,5 MPa, variando a resistência da 
argamassa em torno de 135%, verificou-se que o acréscimo de resistência para as paredes foi de 
apenas 11,5%. A própria BS 5628 corrobora esse fato quando indica que, por exemplo, para 
blocos de 7,0 MPa, ao se aumentar a resistência da argamassa de 6,5 MPa para 16,6 MPa, a 
resistência à compressão da parede cresce apenas 6%. Na verdade, argamassas exageradamente 
resistentes podem apresentar até mesmo um efeito contrário ao desejado, reduzindo a resistência final 
da parede. Dessa forma parece interessante a recomendação de Gomes (1983), que concluiu que a 
argamassa de assentamento deve ter como resistência um valor entre 70% e 100% da própria 
resistência do bloco. Pode-se até mesmo afirmar que para argamassas com resistências em torno de 
50% da resistência dos blocos dificilmente haverá uma queda significativa na resistência da parede. 
5 . 2 . 1 . 3 GRAUTE 
A influência do graute na resistência das paredes deve ser computada levando-se em 
conta duas situações distintas. Quando o grauteamento ocorre em blocos vazados de concreto, 
esse preenchimento, realizado com um material muito semelhante ao material do próprio bloco, 
pode ser avaliado de forma relativamente simples. A utilização do graute leva a um simples aumento 
da área líquida da unidade, podendo o acréscimo de capacidade portante da parede ser quantificado 
sem grandes complicações. Trata-se, na verdade, de se promover um aumento na resistência da 
unidade, proporcional à área grauteada, obtendo-se por conseqüência um aumento da resistência 
da parede, sempre se considerando a já mencionada eficiência bloco-parede. 
Por exemplo, tomando-se um bloco de concreto de resistência na área bruta igual a 6 
MPa, com 50% de vazios, e realizando-se o preenchimento de seus furos com um graute de 
resistência igual à do material que compõe o bloco, ou seja 12 MPa, obtém-se na verdade um 
bloco com resistência à compressão na área bruta 12 MPa. Dessa forma, tomando-se 0,5 como o 
valor de eficiência bloco parede-parede, pode-se estimar que a resistência da parede seja da 
ordem de 6 MPa, sempre em relação à área bruta. Caso o grauteamento não fosse utilizado, a 
resistência estimada para a parede seria da ordem de 3 a 3,5 MPa, dependendo do valor da 
eficiência bloco-parede que fosse tomado. 
Já para os blocos cerâmicos, essa avaliação torna-se mais complexa. Por se tratarem de 
materiais diferentes, ainda que de mesma resistência, fica mais difícil prever com clareza a resistência 
final do conjunto bloco-graute. O comportamento do conjunto dos dois materiais poderia ser 
influenciado negativamente, por exemplo, pelas diferentes características elásticas de cada um. 
Entretanto, Garcia (2000), que realizou ensaios em dez paredes grauteadas, concluiu 
que a situação não deve ser muito diferente daquela que se observa para os blocos de concreto. 
Foram utilizados blocos cerâmicoscom resistência aproximada de 10 MPa e definidos dois 
esquemas de grauteamento, com cinco paredes rompidas para cada caso. Os resultados obtidos 
mostram que considerar o graute como uma redução da área de vazios dos blocos, conforme o 
que se sugeriu para os blocos de concreto, não parece muito distante da realidade. Mas, como os 
exemplares ensaiados são poucos e seriam necessários estudos complementares para corroborar 
esses resultados iniciais, é importante que essa consideração seja feita com cuidado, de modo a 
se evitar uma redução significativa do nível de segurança. 
5 . 2 . 1 . 4 ARMADURAS 
De fato, o aço nas estruturas de alvenaria acaba tendo sua capacidade pouco aproveitada 
na resistência à compressão, pois a tensão usualmente fica limitada a valores bem abaixo da 
tensão de escoamento do material. A imposição de limites relativamente baixos para as tensões 
no aço é explicada pela necessidade de se evitar uma fissuração excessiva, bem como garantir a 
aderência entre as barras de aço e o graute que as envolve. Entretanto, essa limitação leva a uma 
contribuição menor do que aquela que se poderia esperar, especialmente porque a resistência à 
compressão dos outros componentes da alvenaria é relativamente elevada. 
Assim sendo, usualmente não é interessante do ponto de vista da relação custo-benefício 
se utilizar esse recurso para aumentar a resistência à compressão. Na verdade a alvenaria armada 
parece mais adequada quando se necessita conferir ductilidade à estrutura, aumentar o limite 
normalizado para a esbeltez de paredes ou quando se necessita de acréscimo muito localizado de 
resistência. 
5 . 2 . 2 AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DAS PAREDES 
Alguns procedimentos podem ser util izados para uma avaliação da resistência à 
compressão das paredes de alvenaria. A seguir são apresentados três deles, sendo que são 
discutidas as principais vantagens e desvantagens de cada um. 
5 . 2 . 2 . 1 ESTIMATIVA ATRAVÉS DA RESISTÊNCIA DE PRISMAS 
Prismas sao elementos obtidos pela superposição de um certo número de blocos, 
normalmente dois ou três, unidos por junta de argamassa e destinados ao ensaio de compressão 
axial, conforme se apresenta na figura 5.1. 
A estimativa da resistência de paredes através do ensaio de prismas é o procedimento 
adotado pela NBR 10837, sendo também permitido pelo ACI 530. É extremamente interessante e 
representa um avanço significativo do ponto de vista de se obter um método de dimensionamento 
válido para praticamente qualquer condição de unidade, argamassa ou mesmo graute. Obviamente, 
é importante que os prismas sejam executados nas mesmas condições verificadas na construção. 
Devem ser mantidos materiais e mão-de-obra, para que se possa ter resultados representativos 
do que realmente ocorre durante a execução. 
J^Carga 
Bloco 
Argamassa 
Bloco 
Figura 5.1 - Prisma de dois blocos. 
Um outro ponto positivo desse procedimento é que os ensaios podem ser realizados 
com facilidade por qualquer laboratório minimamente equipado e que realize controles usuais para 
estruturas de concreto armado. Até mesmo através de uma prensa manual, instalada no próprio 
canteiro de obras, pode-se controlar a resistência ã compressão de prismas, obtendo-se um 
procedimento de verificação simples, barato e eficiente. 
A NBR 10837, em seu item 5.3.1, é enfática na especificação do prisma como resistência básica 
da alvenaria estrutural de blocos vazados de concreto, e podem-se reproduzir as suas palavras textuais 
"As tensões admissíveis para a alvenaria não-armada e para a alvenaria armada devem 
ser baseadas na resistência dos prismas (fp) aos 28 dias ou na idade na qual a estrutura está submetida 
ao carregamento total. Nas plantas submetidas à aprovação ou usadas na obra, deve constar 
claramente a resistência (fp) na idade em que todas as partes das estruturas foram projetadas". 
E é importante ressaltar que, apesar da NBR 10837 ser uma norma voltada especificamente 
aos blocos vazados de concreto, não há nenhuma incoerência conceituai em estender esse procedi-
mento a unidades de outros tipos ou material. 
Aqui também se pode utilizar um conceito que já foi apresentado no item 5.2.1.1. Trata-se 
da "eficiência", neste caso que se analisa uma relação entre a resistência do prisma e do bloco que 
o compõe. Essa relação pode ser escrita matematicamente como na equação 5.5. 
f 
- F 
...(5.5) 
Normalmente esses valores da eficiência prisma-bloco, para a prática corrente no Brasil, variam 
de 0,5 a 0,9 para os blocos de concreto e de 0,3 a 0,6 no caso dos blocos cerâmicos. Da mesma forma 
que no item 5.4.1.1, a eficiência tende a ser menor quando se aumenta a resistência do bloco e vice-
versa. Também semelhante é o comportamento em relação ao material que compõe os blocos blocos de 
concreto tendem a apresentar uma eficiência significativamente maior que os cerâmicos. 
Existe ainda uma terceira relação entre resistências que é de grande importância e que 
não deixa de ser também uma eficiência: a relação entre a resistência da parede e do prisma. É 
uma relação muito importante porque, mesmo sendo o dimensionamento e o controle feitos com 
base na resistência do prisma, o que interessa em última instância é a resistência da parede. E a 
resistência do prisma é sempre maior que a da parede, porque com o aumento do número de 
juntas que se verifica na parede, inclusive com a adição de juntas verticais que não existem no 
prisma, a resistência do painel tende a cair. 
Tomando-se um amplo conjunto de ensaios já realizados no Brasil, verifica-se que essa 
relação de resistência parede-prisma situa-se por volta de 0,7 tanto para blocos de concreto como para 
blocos cerâmicos. Esse número é corroborado implicitamente até mesmo pela NBR 10837, quando 
são observadas as expressões para dimensionamento com base na resistência de prisma ou de parede. 
Por fim, resta mencionar que a norma brasileira que regulamenta o método de ensaio 
dos prismas é a NBR 8215 - Prismas de Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria 
Estrutural - Preparo e Ensaio à Compressão7. 
5 . 2 . 2 . 2 ESTIMATIVA ATRAVÉS DOS COMPONENTES 
A estimativa da resistência à compressão das paredes através dos componentes é um 
procedimento muito bom, mas que apresenta um inconveniente sério para um país de dimensões 
continentais e com grandes diferenças regionais. Seria preciso uma boa padronização desses 
componentes para que o número de ensaios necessários a essa estimativa fosse razoável. Em 
caso contrário, a caracterização do material demandaria um número de ensaios que acabaria 
praticamente inviabilizando o próprio procedimento. 
A estimativa da resistência através dos componentes é o principal método utilizado pela 
BS 5628, que apresenta tabelas para a resistência característica à compressão das paredes em 
função do tipo de argamassa e da resistência das unidades. Por exemplo, se forem tomados os 
blocos vazados com relação entre a altura e a menor dimensão na horizontal entre 2,0 e 4,0, os 
valores da resistência característica serão os da tabela 5.2. 
É interessante ressaltar que a BS 5628 não se refere a prismas. Quando se tratar de 
uma alvenaria especial, a resistência à compressão deve ser obtida de ensaios de paredes com 
pelo menos 1,20 m de comprimento por 2,40 m de altura. 
Também o ACI 530 se utiliza deste procedimento como uma das alternativas para o cálculo da 
resistência à compressão. Podem-se apresentar, por exemplo, os valores especificados para unidades de 
concreto pelo ACI 530.1 Specifications for Masonry Structures3, organizados na tabela 5.3. A diferença em 
7 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1983). 
8 American Concrete Instituto (1992). 
relação à BS 5628 é queo ACI 530 menciona a resistência de prisma como a alternativa para a estimativa 
da resistência à compressão da alvenaria, num procedimento semelhante ao admitido pela NBR 10837. 
Tabela 5.2 - Resistência da alvenaria - Blocos vazados com altura/largura entre 2,0 e 4.0. 
Tipo da 
argamassa 
Resistência à compressão dos blocos (N/mnr) ' Tipo da 
argamassa 2,8 3.5 5 7 10 15 20 2 35 
(i) 2.8 3.5 5 5.7 6.1 6.8 7.5 11.4 
(«) 2,8 3,5 5 5,5 5,7 6,1 6.5 9,4 
(üi) 2.8 3.5 5 5.4 5.5 5,7 5.9 8.5 
(iv) 2.8 3.5 4.4 4.8 4.9 5.1 5,3 7,3 
'Obs.: 1 N/mm? = 1 MPa. 
Tabela 5.3 - Resistência da alvenaria baseada na resistência das unidades e da argamassa. 
Resistência à compressão na área líquida das 
unidades de concreto (psi)4 Resistência à compressão da alvenaria 
na área líquida (psi)* Argamassa tipo M ou S Argamassa tipo N 
Resistência à 
compressão da alvenaria 
na área líquida (psi)* 
1250 1300 1000 
1900 2150 1500 
2800 3050 2000 
3750 4050 2500 
4800 5250 3000 
*Obs.: 145.45 psi = 1 MPa. 
5 . 2 . 2 . 3 MODELOS TEÓRICOS DE RUPTURA 
Vários pesquisadores elaboraram formulações matemáticas para a determinação teórica 
de um modelo de ruptura de paredes em alvenaria. A seguir, serão comentadas as contribuições 
dadas por alguns deles, que trabalharam com prismas moldados com tijolos e com blocos vazados 
preenchidos com graute. 
Segundo Gal legos (1989), os pr imeiros estudos que se tem conhecimento foram 
realizados por Paul Haller em 1959, baseados em uma análise elástica do sistema bloco-argamassa. 
Entretanto, chegou-se a resultados absurdos, em que as resistências dos prismas resultavam 
maiores que as resistências dos blocos. 
Posteriormente, Hi lsdor f apud Muller (1984) e Francis etal. (1971) elaboraram modelos 
matemáticos também considerando o comportamento elástico dos componentes tijolo e argamassa. 
Francis etal. desenvolveram um modelo teórico para a ruptura de prismas de alvenaria submetidos 
a esforços de compressão axial. Supuseram a ocorrência de tensões de tração nos tijolos provocada 
pela excessiva deformação da argamassa, conforme a figura 5.2. Isso é explicado pela existência 
0 HILSDORF. H. K. (1969) Investigation info failure mechanism of brick masonry loaded in axial compression. 
de diferentes módulos de elasticidade dos materiais usados para a execução dos prismas. Francis 
et ai se basearam na deformação unitária dos materiais para fundamentar o seu modelo, enquanto 
que Hilsdorf baseou-se nos esforços resistidos pelos materiais. Entretanto, adotaram as mesmas 
hipóteses para as formulações das suas teorias: 
a) as unidades estruturais eram constituídas por tijolos sólidos; 
b) relação de Coulomb entre o valor da resistência à tração biaxial e à resistência à 
compressão uniaxial, def in indo a envoltór ia de ruptura do t i jolo submet ido ao 
carregamento triaxial; 
c) esforços de tração laterais uniformes na altura da unidade; 
d) esforços de tração laterais iguais nas direções x e z ; 
e) aderência perfeita entre a argamassa e o tijolo. 
y 
a 
Figura 5.2 - Estado de tensões atuantes nos blocos e nas juntas de argamassa. 
No comportamento do prisma, ao ser submetido a um estado de compressão axial, é 
suposto que a argamassa, por ter módulo de elasticidade menor, tende a deformar-se mais do que 
o bloco, submetendo-o a tensões de tração. Quando essas tensões ultrapassam a resistência à 
tração dos blocos, ocorre a fissuração da peça e sua conseqüente ruptura. 
No modelo de Francis et ai, os pesquisadores deduziram um equacionamento puramente 
teórico envolvendo, além das resistências individuais dos componentes, as características reológicas 
e mecânicas referentes a cada um. O modelo foi estudado para prismas e foram admitidos os equilíbrios 
de forças de tração lateral nas unidades e de compressão lateral nas argamassas, ou seja, a 
compatibilidade das deformações laterais nas unidades e na junta de argamassa. 
Outros autores, entretanto, verificaram a existência de grandes variações entre os valores 
teóricos obtidos com essa formulação e os experimentais. Essas variações, segundo Hendry 
(1981), ocorreram devido a aproximações feitas para a obtenção de determinados parâmetros. 
Ele também critica a utilização desse modelo para a obtenção da tensão de ruptura de paredes 
com blocos amarrados, uma vez que toda a sua formulação foi feita para prismas. 
Segundo Aly (1991), outros pesquisadores continuaram o estudo sobre os modelos de 
ruptura já apresentados e os aperfeiçoaram. No decorrer das pesquisas, alguns autores como 
Hamid e Drysdale (1979) começaram a estender os estudos para prismas de blocos vazados de 
concreto preenchidos com graute. Para isso, novas considerações tiveram que ser formuladas. 
Através de ensaios laboratoriais, Hamid e Drysdale (1979) verificaram que a ruína de prismas de 
blocos de concreto grauteados, submetidos à compressão axial, inicia-se com o aparecimento de 
fissuras verticais nos blocos. Essas fissuras se estendem com o aumento do carregamento, 
provocando, muitas vezes, o descolamento das suas faces e o rompimento do graute. O 
aparecimento de fissuras nos blocos ocorre principalmente devido à maior deformação lateral do 
graute e da argamassa em relação à do bloco, à medida que se aumenta o carregamento, 
provocando, assim, a sua ruptura prematura. Assim, os autores se basearam nas seguintes 
hipóteses para o desenvolvimento das suas teorias sobre o comportamento dos blocos grauteados 
submetidos a esforços de compressão: 
a) aderência perfeita nas interfaces bloco-argamassa-graute; 
b) distribuição proporcional de esforços verticais entre o bloco, a argamassa e o graute, 
em função do módulo de elasticidade de cada material; 
c) distribuição uniforme das tensões laterais para cada um dos materiais ao longo da altura; 
d) teoria de ruptura de Mohr (envoltória de Coulomb) adotada para expressar a ruptura 
do bloco de concreto submetido a um estado biaxial de tensão; 
e) o graute é suposto como tendo as mesmas características de um concreto convencional 
sob um estado de compressão triaxial. 
Dois modelos de ruína foram propostos, dependendo do componente que primeiro atinge 
a sua tensão de ruptura sem confinamento: o graute ou o conjunto bloco-argamassa. Quando o 
graute atinge primeiro a sua capacidade de resistência a esforços de compressão não confinada, 
grande expansão lateral ocorre devido a deformações inelásticas provocadas pela sua microfissuração. 
As faces do bloco tendem a impedir essa deformação e a confiná-lo, resultando em um estado de 
tensões de tração. Essas tensões associadas às tensões de tração provocadas pela deformação da 
argamassa provocam a ruptura prematura das faces dos blocos, conforme figura 5.3. 
Quando as faces dos blocos atingem a sua tensão máxima à compressão antes do 
graute atingir a sua tensão de compressão não confinada, o graute se encontra submetido a 
deformações elásticas. Portanto, as faces dos blocos irão apenas restringir as deformações da 
argamassa e a tensão de ruptura apresenta outro valor. Nesse caso, a resistência da parede será 
controlada tanto pela ruptura das faces dos blocos quanto pela resistência do graute. Para graute 
muito resistente ou com grandes seções transversais, é possível que mesmo após a ruptura dos 
blocos o conjunto permaneça resistindo a cargas mais elevadas. 
De fato, nenhum dos métodos teóricos apresentados tem condições de prever com 
razoável segurança a resistência de paredes à compressão. Isso pôde ser comprovado por Garcia 
(2000). Assim, o objetivo de mencioná-los aqui é muito mais discutir as suas hipóteses e os seus 
mecanismos de ruptura, esses sim bastante interessantes, do que aproveitar as expressões que 
foram deduzidas. Aliás, essas expressões nemsão aqui apresentadas principalmente pelas razões 
expostas acima, podendo ser encontradas com detalhes em Garcia (2000). 
w 
Bloco 
Graute 
w, 
Z 7 
Prisma 
Z7T 
Argamassa 
Figura 5.3 - Estado multiaxial de tensão de um prisma grauteado. 
5 . 3 C A R A C T E R Í S T I C A S G E O M É T R I C A S P A R A E L E M E N T O S DE A L V E N A R I A 
Para que se possa discutir as características geométricas de elementos de alvenaria, é 
importante se apresentarem os conceitos de parede e pilar. Segundo a NBR 10837, a parede é 
um elemento laminar vertical, apoiado de modo contínuo em toda sua base, com comprimento 
maior que cinco vezes a sua espessura. Já o pilar, ainda segundo a NBR 10837, é um elemento 
estrutural semelhante à parede, mas no qual o comprimento é menor que cinco vezes a sua 
espessura. Em caso de seções compostas por retângulos (L, T ou Z), a limitação é para cada 
ramo. A figura 5.4 ajuda a entender a diferença citada. 
Figura 5.4 - Parede e pilar. 
A diferenciação desses elementos resistentes em paredes e pilares é importante não 
apenas para as características geométricas a serem citadas, mas também para o dimensionamento. 
Os valores das máximas cargas de compressão que podem ser admitidas para esses elementos 
variam de acordo com essa classificação mencionada. Obviamente, isso ocorre porque a parede 
tem uma característica laminar mais acentuada, podendo resistir a esforços maiores que o pilar, 
que apresenta uma característica mais marcante de elemento linear. 
5 . 3 . 1 ESPESSURA EFETIVA PARA PILARES E PAREDES PORTANTES 
Nos casos usuais, a espessura efetiva de uma parede de alvenaria é sua espessura real, 
portanto, descontando-se revestimentos que possam estar presentes. Entretanto, algumas normas, 
dentre elas a BS 5628 e a NBR 10837, permitem que se considere uma espessura efetiva equivalente 
quando se tem a presença de enrijecedores. A expressão genérica para o caso seria a equação 5.6. 
Quanto aos valores de Ô, a tabela 5.4 e a figura 5.5 devem esclarecer adequadamente a questão. 
...(5.6) 
Em que, 
t p i : espessura real da parede 
Ô : coeficiente de multiplicação apresentado pela tabela 5.4 
te,: espessura efetiva 
Tabela 5.4 - Coeficiente Ô*. 
u / t . t . / tp . = 1 t . / tp. = 2 t. /tp, = 3 
6 1.0 1.4 2,0 
8 1,0 1.3 1.7 
10 1,0 1.2 1.4 
15 1,0 1.1 1.2 
>20 1.0 1.0 1.0 
*Obs.: é possível a interpolação de valores. 
pn • • • 1 / r • • / 
• • 
Figura 5.5 - Parâmetros para cálculo da espessura efetiva de paredes. 
Esses enri jecedores são muito utilizados especialmente em edifícios industriais, nos 
quais é necessário se aumentar a espessura das paredes tanto para se satisfazer os limites de 
esbeltez, que serão vistos em item subseqüente, quanto para reduzir os problemas com a 
instabilidade do elemento no dimensionamento. Ocorre que para esses edifícios a altura das paredes 
precisa ser relativamente grande, de forma a satisfazer características de uso dessas edificações. 
É importante mencionar que parede e enrijecedores devem ser executados simultaneamente e 
deve haver amarração entre os blocos na ligação entre eles. 
Em todo caso, algumas normas também apresentam valores absolutos mínimos para a 
largura efetiva de paredes portantes e pilares. A NBR 10837 menciona 14 cm para as paredes arma-
das, subentendo-se que esse limite valha também para as alvenarias não-armadas. O ACI 530, no seu 
item de dimensionamento empírico, especifica 20 cm, exceto para edificações de apenas um andar, 
para as quais o mínimo é 15 cm. Recomenda-se que esses limites mínimos de espessura absoluta 
sejam utilizados com bom senso. Existem casos em que eles se revelam muito conservadores. 
5 . 3 . 2 ALTURA EFETIVA 
A altura efetiva de paredes e pilares de alvenaria, aqui denominada heJ, é um dos 
parâmetros importantes para o cálculo da esbeltez de um elemento. A NBR 10837, o ACI 530 e a 
DIN 1053 - Alvenaria: Cálculo e Execução10 apresentam prescrições muito simples que podem ser 
resumidas nos itens seguintes: 
a) quando existe travamento na base e no topo, a altura efetiva deve ser a própria altura 
real da parede (hcf = h); 
b) quando a extremidade superior estiver livre, a altura efetiva será duas vezes a altura 
real do elemento (he. = 2 h). 
O ACI 530 acrescenta que nos casos em que se puder calcular os pontos de inflexão da 
elástica da posição deformada, a altura efetiva deve ser a distância entre esses pontos. 
A BS 5628 é menos conservadora nas suas recomendações. Suas prescrições podem 
ser resumidas no seguinte: 
a) quando existe travamento "reforçado" na base e no topo, a altura efetiva deve ser 
75% da altura real da parede (h^ = 0,75 h); 
b) quando existe travamento "simples" na base e no topo, a altura efetiva será a própria 
altura real do elemento (h = h). 
10 Deutsch Industrie Normen (1974). 
A BS 5628 considera travamento "reforçado" uma laje de concreto moldado in loco, ou 
outro esquema equivalente, que esteja presente em pelo menos um dos lados da parede. O 
travamento "simples" será considerado basicamente para pavimentos de madeira, o que não é 
usual para o Brasil. Entretanto, essa recomendação pode ser interessante quando se estiver 
considerando telhados de madeira. Nesse caso. desde que corretamente fixados à alvenaria, eles 
podem ser considerados como um travamento, se bem que um travamento "simples". O trabalho de 
Haseltine & Moore (1981) traz interessantes considerações sobre esse tópico, inclusive com detalhes 
sobre os travamentos "simples" e "reforçados". 
5 . 3 . 3 ESBELTEZ 
A esbeltez é definida usualmente pela divisão da altura efetiva pela espessura efetiva, 
ou seja, X = he! / te|. A NBR 10837 apresenta, para esse parâmetro, os valores limites que estão 
organizados na tabela 5.5. 
Tabela 5.5 - índices máximos de esbeltez da NBR 10837. 
Tipo de Alvenaria Elemento Esbeltez 
Não-armada 
Paredes 20 
Não-armada Pilares 20 Não-armada 
Pilares isolados 15 
Armada Paredes e pilares 30 
Não-estrutural Paredes 36 
Já de acordo com a BS 5628, o coeficiente de esbeltez X não deve ultrapassar 27, 
exceto nos casos de paredes com espessuras inferiores a 90 mm e em edifícios com mais de dois 
andares, para os quais não deve ultrapassar 20. 
É interessante se ressaltar que a BS 5628 permite a execução de paredes bem mais 
esbeltas que a NBR 10837. Além do limite de ?. ser maior, existe a possibilidade de se considerar 
como altura efetiva 75% da altura real, o que representa uma diferença total de 80%. Por exemplo, 
se considerarmos um bloco de 14 cm de largura, a máxima altura de uma parede usual para um 
edifício residencial seria 2,80 m, de acordo com a NBR 10837. Já de acordo com a BS 5628, esse 
valor da altura máxima seria de aproximadamente 5,00 m. É claro que se trata apenas de um limite 
construtivo. Obviamente que em casos em que a esbeltez é elevada a redução da resistência da 
parede será bem significativa. 
5 . 3 . 4 COMPRIMENTO EFETIVO DE ABAS EM PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO 
Conforme já foi mencionado, abas são trechos de paredes transversais ligados a um 
determinado painel de contraventamento. As recomendações da NBR 10837 e do ACI 530 para a 
consideração do comprimento efetivo das abas são muito semelhantes. Na verdade, a norma 
brasileira é um pouco mais restritiva e suas recomendações um pouco mais complexas, pois 
dependem da altura da alvenaria sobre um determinado ponto considerado. Essas prescrições 
são as apresentadas nas equações 5.7 e na figura 5.6. 
2 bf - h / 6 e b, < 61: para o caso de seção em T ou I 
b , - h / 1 6 e b, < 61: para o caso de seção em L ou C 
...(5.7) 
Já o ACI530 é mais prático sobre esse aspecto, especificando apenas que o comprimento 
efetivo das abas deve serde seis vezes a espessura da parede para cada lado onde houver aba a 
ser considerada. Recomenda-se que essa seja a prescrição adotada, pois as recomendações da NBR 
10837 tornam a consideração mais complexa, sem acrescentar qualquer benefício significativo. 
Figura 5.6 - Comprimento efetivo de abas. 
5 . 3 . 5 TRECHOS RÍGIDOS PARA LINTÉIS 
Quando da distribuição de ações horizontais pelos painéis de contraventamento, 
mencionou-se a possibilidade de se considerar a dimensão finita dos encontros entre as paredes 
e os lintéis, na discretização de paredes com aberturas. Essa consideração pode ser feita através 
do estabelecimento de trechos rígidos para os lintéis. 
Na ausência de uma especificação especialmente voltada para a alvenaria, pode-se 
adotar a recomendação do CEB-FIP Model Code 199011, para estruturas de concreto armado, que 
se encontram apresentadas na figura 5.7. 
- I I - - I I -
h/2 h/2 
Figura 5.7 - Comprimentos de trechos rígidos para os lintéis. 
" Comitê Euro-lnternacional Du Béton (1991). 
Pr inc ipa is Pa râme t ros para o D i m e n s i o n a m e n t o de E lementos 
5 .4 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA PARA ALVENARIA 
Os parâmetros de resistência, quando se considera o ACI 530 e a NBR 10837, são 
tensões admissíveis. De fato, essas normas ainda são conceitualmente muito semelhantes, sendo 
que na verdade a NBR 10837 é uma adaptação do antigo ACI 531 - Building Code Requirements 
for Concrete Masonry Structures'2. A diferença conceituai mais significativa entre elas é o fato do 
ACI 530 considerar as tensões, tanto as atuantes quanto as resistentes, em relação à área líquida, 
enquanto a NBR 10837 as considera em relação à área bruta. Entretanto, optou-se por apresentar 
aqui apenas os parâmetros definidos pela NBR 10837. 
Entende-se que uma comparação mais interessante será obtida com a consideração da 
BS 5628. A norma inglesa, por ser baseada no método dos estados limites, tem realmente diferenças 
conceituais muito mais acentuadas em relação à NBR 10837. Assim, alguns parâmetros de 
resistência da BS 5628 é que serão resumidos em item subseqüente. 
5 . 4 . 1 PARÂMETROS DA N B R 1 0 8 3 7 
A tabela 5.6 faz um resumo das prescrições da NBR 10837 para as tensões admissíveis 
da alvenaria não-armada. De forma semelhante, a tabela 5.7 apresenta as prescrições para a 
alvenaria armada. 
Uma consideração importante pode ser feita em relação à tabela 5.6. Percebe-se que 
existe a possibilidade de se adotar a resistência de paredes, medida em ensaio normalizado pela 
NBR 8949 - Paredes de Alvenaria Estrutural - Ensaio à Compressão Simples13, para se obter a 
tensão admissível à compressão para a alvenaria não-armada. E os valores colocados confirmam 
o valor da eficiência parede-prisma como sendo 0,7. 
Além disso, através da comparação de valores prescritos nas tabelas 5.6 e 5.7, pode-se 
verificar que a contribuição da armadura para a resistência à compressão é pequena, apenas 12% 
a mais no valor da tensão admissível. 
Outro detalhe interessante a ser esclarecido são as l inhas que dão a tensão de 
cisalhamento admissível para o que na tabela 5.7 está sendo chamado de "pilar parede". Na 
verdade trata-se de paredes de contraventamento, painéis que recebem ações horizontais. Nesse 
caso, quando o momento M é relativamente grande em relação à cortante V, o limite para a tensão 
de cisalhamento diminui. E o parâmetro escolhido para quantificar essa relação entre o momento 
e a cortante é o que aparece lá discriminado, ou seja, o momento fletor dividido pelo esforço 
cortante vezes a altura útil da seção transversal. 
,2 American Concrete Institute (1979). 
,3 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1985). 
Por fim, com relação às tensões de contato, a figura 5.8 deve esclarecer a situação. São 
valores de tensões admissíveis para serem usados em casos de aplicação de cargas em áreas 
relativamente pequenas, ocupando de 1/3 da espessura a toda espessura da parede. Nesse caso, 
devido aos efeitos de confinamento, a tensão admissível acaba sendo mais elevada do que nos 
casos de cargas distribuídas por todo o comprimento da parede. 
Tabela 5.6 - Tensões admissíveis para alvenaria não-armada (NBR 10837). 
Tipo de solicitação 
Tensão admissível (MPa) 
Tipo de solicitação 
12,0 < t <17,0 5,0 < f .< 12,0 
Compressão Parede 0,20 f,R ou 0.286 U R 0.20 f .Rou 0.286 U R 
<Q CO simples Pilar 0.18 f»R 0.18 f,R 
Ê 
1 CO 0) o 
£ 
Compressão na Ilexão 0.30 f» 0.30 U Ê 
1 CO 0) o 
£ 
Tração 
Normal à liada 
0.15 (bloco vazado) 
0,25 (blooo maciço) 
0,10 (bloco vazado) 
0,15 (bloco maciço) 
Ê 
1 CO 0) o 
£ na Uoxão Paralela à fiada 0.30 (bloco vazado) 
0.55 (bloco maciço) 
0.20 (bloco vazado) 
0.40 (bloco maciço) 
Cisalhamento 0.25 0.15 
Tabela 5.7 - Tensões admissíveis para alvenaria armada (NBR 10837). 
Tipo de solicitação Tensão admissível (MPa) 
Valor máximo 
(MPa) 
Te
ns
õe
s 
no
rm
ai
s Compressão simples 
Parede 0.225 f , R 
0.33 fr S 6.2 
Te
ns
õe
s 
no
rm
ai
s Compressão simples Pilar (0,20 fp +0.30 p f . J R 
0.33 fr S 6.2 
Te
ns
õe
s 
no
rm
ai
s 
Compressão na Ilexão 0.33 f . 6.2 Te
ns
õe
s 
no
rm
ai
s 
Tração na Ilexão - -
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
ílelidas sem 
armadura 
Vigas 0.09 J J 0.35 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
ílelidas sem 
armadura 
Pi
la
re
s 
pa
re
de
 S e - ^ M 
Vxd 0.07 f à 0.25 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
ílelidas sem 
armadura 
Pi
la
re
s 
pa
re
de
 
So ^ < 1 
Vxd 0.17 J I 0.35 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
lietídas com 
armadura 
para todas as 
tensões de 
cisalhamento 
Vigas 0.25 1 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
lietídas com 
armadura 
para todas as 
tensões de 
cisalhamento 
CO G> 
i l 
£ 2. 
0.12 J J 0.5 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
lietídas com 
armadura 
para todas as 
tensões de 
cisalhamento 
CO G> 
i l 
£ 2. 
s® 773<x 0.17 J J 0.8 
0 
"O O 
,3 3 
1 § 
Em toda a espessura da parede 0.250 ÍP 
0 
"O O 
,3 3 
1 § 
Em 1/3 da espessura (mínimo) 0.375 rr 
0 
"O O 
,3 3 
1 § Entro os limites acima Interpolar os valores anteriores 
Aderência 1.0 
Em que (tabelas 5.6 e 5.7): 
fa, fp e f ^ : resistências da argamassa, prisma e parede, respectivamente 
M e V : momento fletor e força cortante em paredes de contraventamento 
d: distância entre a face comprimida e a armadura (altura útil da seção) 
R = 1 - : í a t o r d e redução da resistência associado à esbeltez (he/tc)) 
X 
x' > V31 ou x' > 50 mm 
1 
V31 < x* < t 
Figura 5.8 - Aplicação de cargas em áreas relativamente pequenas. 
Para encerrar os parâmetros de resistência da NBR 10837, a tabela 5.8 apresenta os 
valores de tensões admissíveis para as armaduras. Pela observação dos valores lá apresentados 
se percebe por que a contribuição do aço na compressão é tão pequena. Ocorre que os valores 
das tensões admissíveis são realmente muito baixos, pelo menos quando comparados aos que 
são utilizados no concreto armado, por exemplo. 
Tabela 5.8 - Tensões admissíveis no aço (NBR 10837). 
Solicitação Armadura Tensão admissível (MPa) 
Tração 
Barras com mossas, F* >412 MPa e <P < 32 mm 165 
Tração Barras colocadas na argamassa de assentamento 0.50 Í* < 206 Tração 
Outras armaduras 137 
Compressão 
Armaduras de pilares 0.40 F* <165 
Compressão 
Armaduras em paredes 62 
5 . 4 . 2 PARÂMETROS DA B S 5 6 2 8 
Conforme já foi mencionado, a BS 5628 baseia-se no método dos estados limites. Portanto. 
seus valores de resistência de cálculo são derivados de valores característicos. 
Essas resistências características podem ser obtidas na própria norma através devalores 
tabelados, como os que foram apresentados na tabela 5.2, ou através de gráficos, como o que se 
encontra na figura 5.9, para a resistência à compressão da alvenaria não-armada. 
Resistência à compressão característica de alvenaria 
_ de blocos (2.0 < h/t < 4.0) 
n* 12 o •CO 
(0 10 
O "C 
F 
c <D 8 
o > o ra 
<0 ca b ro u 
o K) c o 4 
in o 2 o 
d o C3 
ca 0 o 
Argamassa tipo (i) 
Argamassa tipo (il) 
Argamassa tipo (iii) 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 
Resist. à compressão da unidade (MPa) 
Figura 5.9 - Gráfico de resistência característica da alvenaria não-armada - BS 5628. 
Então, os valores característicos precisam ser multiplicados e divididos por coeficientes 
adequados para se obter os valores de cálculo, ou valores de projeto. No caso da resistência à 
compressão de paredes, para se obter os valores de cálculo, deve-se utilizar a expressão 5.8. 
...(5.8) 
Em que, 
fd : resistência à compressão de cálculo 
p : fator de redução devido à esbeltez e à excentricidade 
ym : coeficiente de segurança parcial para o material 
O coeficiente p pode ser obtido da tabela 5.9, em função do coeficiente de esbeltez X e 
da excentricidade ex, que é devida ao carregamento. 
Tabela 5.9 - Coeficiente p - BS 5628. 
Esbeltez 
A = hrf / 
Excentricidade das cargas no topo da parede, e, Esbeltez 
A = hrf / S0.05 t 0,1 t 0.2 t 0,3 t 
0 1,00 0,88 0,66 0,44 
6 1,00 0,88 0,66 0,44 
8 1,00 0,88 0,66 0,44 
10 0,97 0,88 0,66 0,44 
12 0,93 0,87 0,66 0,44 
14 0,89 0,83 0,66 0,44 
16 0,83 0,77 0,64 0,44 
18 0,77 0,70 0,57 0,44 
20 0,70 0,64 0,51 0,37 
22 0,62 0,56 0,43 0,30 
24 0,53 0,47 0,34 • 
26 0,45 0,38 - -
27 0,40 0,33 - -
O valor de e<t por sua vez, ó calculado segundo o que se apresenta nas equações 7.9, 
para laje atuando por apenas um lado da parede, e 7.10, laje atuando pelos dois lados. Os valores 
de C,, carga centrada que vem dos pavimentos superiores, C2 e C3, cargas com excentricidade 
que vêm das lajes no próprio nível considerado, podem ser vistos na figura 5.10. 
e = 
C2(t/6) 
C , + C2 
...(5.9) 
e =• (C?- C3)t/3 
c,+ c 2 +c. 
...(5.10) 
w w 
Figura 5.10 - Valores de C,, C2 e C3 para cálculo das excentricidades. 
Por fim, ym, que é o coeficiente se segurança parcial para o material, pode ser obtido na 
tabela 5.10, em função do controle existente na manufatura dos blocos e na construção. 
Tabela 5.10 - Coeficiente de segurança parcial - BS 5628. 
Valores de Ym 
Categoria do controle na 
construção Valores de Ym 
Especial Normal 
Categoria do controle 
na produção dos blocos 
Especial 2,5 3,1 Categoria do controle 
na produção dos blocos Normal 2,8 3,5 
A tensão de compressão para paredes é um exemplo de determinação de uma tensão de 
cálculo pela BS 5628. Claro que existem alguns outros valores a serem considerados, como, por 
exemplo, tensão de cisalhamento, tração normal à fiada, tração na direção da fiada, compressão na 
flexão, etc. Entretanto, para não se tornar muito extenso, o objetivo deste capítulo é apenas apresentar 
um exemplo interessante. E a escolha recaiu sobre a resistência à compressão da alvenaria não-
armada devido à sua importância no dimensionamento da maioria dos elementos de uma edificação. 
Obviamente, a determinação da resistência de projeto à compressão de paredes pela 
BS 5628 é mais complexa do que a simples utilização de valores admissíveis. Ainda mais se 
considerarmos que os carregamentos também devem ser mult ipl icados por coef ic ientes de 
segurança parcia is especí f icos para o cálculo da tensão atuante. Entretanto, essa maior 
complexidade é que realmente permite se obter economias mais significativas, quando isso é 
possível, ou então penalizações adequadas para situações de risco. A complexidade, nesse caso, 
é justificável exatamente por tratar de forma diferente situações que são realmente diferentes. 
5 . 5 P A R Â M E T R O S E L Á S T I C O S P A R A A L V E N A R I A 
A relação entre a tensão e deformação da alvenaria é importante parâmetro de projeto 
no cálculo dos elementos que utilizam este material, tendo influência significativa na configuração 
deformada da estrutura. Além disso, é utilizada diretamente na definição da razão modular entre a 
alvenaria e o aço, parâmetro básico para o equacionamento da flexão. 
Apesar de sua importância, este tema ainda gera dúvidas e grande controvérsia entre 
diversos autores, que acabam por apresentar diferentes valores e relações para a determinação 
do módulo de deformação. Usualmente este módulo é calculado por expressões do tipo E,.. = Ç fp, 
em que ç é baseado em resultados obtidos em grandes conjuntos de testes. 
Pedreschi (1998) cita ensaios realizados com prismas feitos com diferentes blocos, nos 
quais também foram variáveis o tipo de argamassa, o padrão de assentamento e a direção do 
carregamento (paralelo ou perpendicular à junta de assentamento). Para blocos de concreto, esse 
autor obteve do conjunto de ensaios a expressão Ealv = 1000 fp. Sugere, no entanto, adotar como 
módulo de elasticidade, para todos os tipos de blocos, o valor Ealv = 900 fp, uma vez que os 
parâmetros obtidos são aproximados e difíceis de serem medidos. 
Andrade (1998) apresenta ensaios realizados por diversos autores, como Gallegos (1989), 
Drysdale (1994)14 apud Andrade (1998) e Gomes (1983). Estes propuseram limites de variação de Ç, 
sugerindo as relações 400 fp < Ea>, < 1290fp , e concluíram que algumas normas estrangeiras 
superestimam os valores de E1tv e G r v , adotando ç = 1000. Como valor de referência, é proposto o valor 
Ç = 750 para alvenaria de blocos de concreto e Ç = 500 a 600 para alvenaria de tijolos cerâmicos. 
Amrhein (1998) utiliza ç = 750 para o cálculo do módulo de elasticidade, tanto na resolução 
de exemplos como também na confecção de ábacos e tabelas, e o texto da ABCI (1990) sugere o 
uso de Ealv = 1000 fp. Além de todos esses números, a NBR 10837 apresenta valores ainda mais 
discrepantes, pois prescreve 400 f„ para o módulo de deformação longitudinal e 200 fp para o 
módulo de deformação transversal para blocos de concreto. 
Conforme se pode verificar, as sugestões para os valores do módulo de deformação da 
alvenaria são bastante diversas. A opinião do autor deste texto é que sejam adotados os valores 
constantes na tabela 5.11. 
Tabela 5.11 - Módulos de deformação da alvenaria. 
Bloco Módulo de deformação E * (MPa) 
Valor máximo 
(MPa) 
Concreto 
Longitudinal soo rp 16.000 Concreto 
Transversal 400 fp 6.000 
Cerâmico 
Longitudinal 600 fp 12.000 Cerâmico 
Transversal 300 fP 4.500 
14 DRYSDALE. R. G. (1994) Masonry structures: behavior and design. 
6 
Dimens ionamento de Elementos CA
P
Í
T
U
L
O
 
6 . 1 I N T R O D U Ç Ã O 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
Neste capítulo são apresentados os principais procedimentos para o dimensionamento 
de elementos de alvenaria. Para não se estender demais esses tópicos, serão normalmente 
considerados apenas os procedimentos prescritos pela NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural 
de Blocos Vazados de Concreto1. Em muitos casos, nos quais isso for interessante, serão 
mencionadas e discutidas as recomendações do ACI 530 - Building Code Requirements for Ma-
sonry Structures2 e pela BS 5628 - Code of Practice for Use of Masonry3, sempre no sentido de 
estabelecer comparações e apresentar sugestões sobre possíveis aprimoramentos a serem 
oportunamente agregados à NBR 10837. 
Neste texto, optou-se por apresentar os dimensionamentos pelo ponto de vista das 
solicitações, e não dos elementos em si. Esta opção pareceu mais conveniente, pois elementos do 
mesmo tipo podem estar submetidos a solicitações variadas, dependendo dos casos específicos 
que se considere. Por exemplo, uma paredepode estar submetida desde a uma compressão 
simples até a uma flexão composta oblíqua. 
De fato, deve-se considerar que na realidade quase todos os elementos presentes numa 
estrutura acabam sendo submetidos a um estado combinado de solicitações. Paredes submetidas 
à compressão simples na realidade não existem, pois as excentricidades inevitáveis nas aplicações 
dos carregamentos têm como conseqüência uma solicitação mais complexa do que a que se 
imagina inicialmente. O que se admite é que sendo uma dessas solicitações muito pequena em 
relação às demais, ela possa ser desconsiderada e, por simplicidade, um determinado elemento 
possa ser dimensionado com segurança através de um procedimento mais simples. 
Mesmo assim, no início de cada item se apresentam algumas indicações sobre quais elementos 
são com mais freqüência submetidos àquela solicitação considerada. O objetivo é realizar a ligação 
entre a solicitação analisada e a situação de projeto na qual ela é provavelmente mais importante. 
6 . 2 C O M P R E S S Ã O S I M P L E S 
A compressão é a solicitação mais comum e a mais simples de ser considerada. No 
capítulo anterior foram discutidas todas as prescrições necessárias ao dimensionamento de 
elementos sob compressão simples. Até mesmo o procedimento da BS 5628, uma norma que se 
baseia nos estados limites, foi discutido com detalhes suficientes para a sua correta aplicação. 
Portanto, restaria a este item apenas a apresentação de exemplos de dimensionamento. Entretanto, 
1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
2 American Concrete Instituto (1992). 
3 Britsh Standards Inslitution (1992). 
optou-se pela realização de uma comparação entre os dimensionamentos efetuados com a NBR 
10837, o ACI 530 e a BS 5628, de forma a se verificar as principais vantagens e desvantagens, 
tanto em relação à economia obtida quanto à complexidade desses procedimentos. 
Os elementos comumente considerados como submetidos à compressão simples são as 
paredes e os pilares, sejam eles armados ou não. Dessa forma, fica evidente a importância desse tipo 
de dimensionamento, já que paredes e pilares são os elementos mais importantes em qualquer estrutura 
de edifício de alvenaria. Aliás, para edifícios de altura relativamente reduzida, até seis pavimentos em 
casos usuais, esse é o único dimensionamento necessário na prática. Nem mesmo as vergas sobre 
aberturas de janelas e portas com vãos convencionais precisariam de fato ser verificadas. Normalmente, 
qualquer armadura construtiva adotada é suficiente para se garantir a resistência necessária. 
6 . 2 . 1 TENSÃO ATUANTE 
A tensão atuante em elementos comprimidos será sempre a carga dividida pela área da 
seção transversal desse elemento. A NBR 10837 e a BS 5628 trabalham com a área bruta da seção 
dos elementos, portanto desconsiderando a existência de vazios. Já o ACI 530 considera a área líquida, 
e dessa forma a área da seção transversal deve ser calculada descontando-se a área de vazios. 
A tensão atuante não sofre nenhuma correção quando o dimensionamento se dá segundo 
a NBR 10837 e o ACI 530. Essas normas, sendo baseadas no método das tensões admissíveis, 
não prevêem coeficientes de segurança parciais a serem aplicados aos carregamentos. Toda a 
segurança está embutida no próprio valor da tensão admissível. 
Já com a BS 5628 ocorre uma situação diferente. Nesse caso, existem coeficientes parciais de 
segurança a serem aplicados aos carregamentos, transformando-os de valores característicos em valores 
de cálculo. Um resumo dos valores de y, apresentados por essa norma podem ser vistos na tabela 6.1. 
Tabela 6.1 - Valores de coeficientes parciais de segurança para ações (yf). 
Combinação Carregamentos Combinação 
Permanente Variável Vento Terra/Agua 
Permanente e variável 0,9 ou 1,4 1,6 - 1.4 
Permanente e vento 0,9 ou 1,4 - 1.4 1.4 
Permanente, variável e vento 1.2 1.2 1.2 1.2 
Dano acidental 0,95 ou 1,05 0,35 - 0,35 
6 . 2 . 2 COMPARAÇÃO DE DIMENSIONAMENTOS 
Não é muito fácil produzir uma comparação consistente de dimensionamentos obtidos 
pela NBR 10837 e o ACI 530 com o resultante da BS 5628. Entretanto, neste item procurar-se-á 
obter a máxima tensão de compressão à qual pode estar submetida uma parede não-armada de 
alvenaria estrutural com as seguintes condições: 
D i m e n s i o n a m e n t o de E lementos 
a) espessura 14 cm; 
b) alturas 240, 260 e 280 cm; 
c) resistência média de prisma de 8 MPa; 
d) resistência característica de parede de 4,7 MPa; 
e) contraventamento por laje de concreto armado na base e no topo; 
f) tensão atuante para 80% de cargas permanentes e 20% de cargas variáveis; 
g) excentricidade das cargas menor ou igual a 5% da espessura. 
Essas condições especificadas são típicas para as situações normalmente encontradas 
em edificações residenciais no Brasil. Através delas obter-se-á um panorama interessante sobre 
os resultados a serem alcançados pelo dimensionamento segundo as três normas mencionadas. 
Existe um ponto relativamente polêmico a ser destacado. Trata-se da resistência 
característica da parede, o parâmetro básico para o dimensionamento segundo a BS 5628, a ser 
obtida com base na resistência média de prisma. Pode-se adotar, com razoável segurança, que a 
relação entre a resistência de parede e a resistência de prisma seja 0,7. Isso faria com que 8 MPa 
para a resistência média de prisma representasse uma resistência média de parede de 5,6 MPa. 
Além disso, a própria BS 5628 menciona que se pode obter a resistência característica de uma 
parede dividindo-se a resistência média obtida para dois exemplares ensaiados por 1,2. Portanto, 
se a resistência média de parede for 5,6 MPa, a sua resistência característica pode ser suposta 
como sendo da ordem de 4,7 MPa, o valor adotado para as simulações apresentadas. 
Um último detalhe a ser esclarecido é sobre o coeficiente parcial de segurança a ser 
adotado para o carregamento, y|( também no caso da BS 5628. Considerando-se a relação entre 
cargas permanentes e variáveis admitida para o carregamento, pode-se estimá-lo em 1,45, tomando-
se em consideração os valores apresentados na tabela 6.1. 
Um resultado parcial interessante é o valor do coeficiente de redução da tensão relativo 
à esbeltez. A tabela 6.2 apresenta um resumo desses valores para as três alturas de parede 
adotadas e para as três normas analisadas. Através dela pode-se observar que, apesar das 
peculiaridades de cada código até mesmo em relação à altura efetiva que deve ser considerada, 
os valores não são muito díspares, pelo menos quando se toma a NDR 10G37 e a D3 GG28. O ACI 
530 é que prescreve alguns valores um pouco mais conservadores. 
Finalmente, a tabela 6.3 resume os resultados obtidos para a referida tensão máxima 
que pode ser aplicada na parede segundo as condições anteriormente especificadas. 
Uma observação dos resultados obtidos permite perceber que a BS 5628 fornece 
resultados bem mais conservadores que o ACI 530 ou mesmo a NBR 10837. Mesmo considerando-
se o controle especial tanto para a manufatura das unidades como para a execução da obra, as 
diferenças chegam a 20% em relação à NBR 10837 e a 30% em relação ao ACI 530. 
A extensa utilização da NBR 10837, e também do ACI 530, não traz evidências de que a 
segurança esteja sendo minimizada por esses dois códigos. Então, parece ser o caso de se imaginar 
que a BS 5628 poderia reduzir um pouco seus coeficientes. Especialmente o coeficiente ym parece 
um pouco exagerado, quando se considera que está aplicado sobre uma resistência característica 
de parede. Se sua faixa de variação fosse alterada para algo entre 1,8 e 2,3, provavelmente os 
resultados obtidos continuariam a ser seguros e poderiam ser considerados mais satisfatórios. 
Quantoà utilização em si, os procedimentos baseados nas tensões admissíveis são realmente 
mais simples de ser aplicados. Entretanto, até mesmo considerando-se as normas existentes para os 
demais materiais utilizados em estruturas, a tendência aos estados limites parece ser irreversível. 
Ademais, a maior complexidade da BS 5628 não compromete a sua correta utilização, especialmente 
quando se dispõe de recursos computacionais fartos e relativamente baratos para viabilizá-la. 
Tabela 6.2 - Coeficiente de redução devido à esbeltez. 
Altura parede (cm) NBR 10837 ACI 530 BS 5628* 
240 0,921 0,820 0,905 
260 0,900 0,789 0,888 
280 0,875 0,755 0,860 
'Obs.: excentricidade das cargas menor ou igual a 5% da espessura. 
Tabela 6.3 - Máxima tensão na área bruta para a parede exemplo (MPa). 
Altura 
(cm) NBR 10837 
ACI 530 BS 5628 
Controle normal* 
BS 5628 
Controle especial* 
240 1,474 1,640 0,838 1,173 
260 1,440 1,578 0,822 1,151 
280 1,400 1,510 0,796 1,115 
'Obs.: tipo de controle tanto para as unidades quanto para a construção. 
6 . 3 F L E X Ã O S I M P L E S 
Vigas e vergas são elementos estruturais lineares destinados a suportar e transmitir 
ações verticais mediante um comportamento predominante de flexão. Normalmente utiliza-se o 
termo verga quando o elemento estrutural está colocado sobre vãos de aberturas de portas e 
janelas. E esses são os elementos mais comuns que estão submetidos à flexão simples numa 
edificação de alvenaria estrutural. Entretanto, muros de arrimo e paredes de reservatório, que 
também são e lementos encontrados com muita f reqüência nessas edif icações, podem ser 
considerados como submetidos à flexão simples, bastando que as tensões de compressão sejam 
relativamente pequenas em relação às de flexão. Portanto, a flexão simples pode ser considerada 
uma solicitação bastante importante e comum em edificações de alvenaria. Provavelmente a mais 
comum, logo após os casos de compressão. 
Por fim, menciona-se que a notação adotada para os equacionamentos aqui apresentados, 
sempre que possível, baseia-se na notação utilizada pela NBR 10837. Pretende-se, dessa forma, 
facilitar a sua utilização, tornando mais direta a identificação das variáveis presentes. 
6 . 3 . 1 DIFERENÇAS CONCEITUAIS ENTRE A N B R 1 0 8 3 7 E A B S 5 6 2 8 
No Brasil, a diferença básica entre a análise de elementos de alvenaria estrutural e de 
concreto armado está no modelo de cálculo adotado para cada material. A NBR 6118 - Projeto e 
execução de obras de concreto armado4, que utiliza o método dos estados limites, admite, por 
exemplo, a possibil idade da plastificação da armadura ou deformações no concreto iguais às 
convencionais de ruptura, na situação última de cálculo. 
Já a NBR 10837, que adota o método das tensões admissíveis, busca garantir distância apropriada 
entre as tensões atuantes e as que provocam o escoamento ou ruptura dos materiais. Nesse método, as 
tensões resistentes devem ser calculadas admitindo comportamento elástico e linear do material. 
Assim, no caso de elementos fletidos, enquanto o concreto normalmente é suposto 
trabalhando no Estádio III, a NBR 10837, que fixa as hipóteses de cálculo em alvenaria, especifica que 
os mesmos devem ser calculados no Estádio II. Já a BS 5628, que também trabalha com estados 
limites, acaba admitindo para a alvenaria um comportamento muito semelhante ao do concreto armado. 
Dessa forma, conforme já se explicou no início deste capítulo, aqui serão apresentadas 
as hipóteses básicas da NBR 10837, e o equacionamento desenvolvido tomará por base as suas 
considerações. Se o enfoque fosse o da BS 5628, todo o equacionamento seria o mesmo já 
tradicionalmente apresentado para a flexão simples de elementos de concreto armado. Até mesmo 
tabelas e ábacos desenvolvidos para o concreto poder iam ser uti l izados, bastando tomar a 
resistência à compressão adequada. No caso, a BS 5628 menciona que a resistência à compressão 
da alvenaria na flexão deve ser a metade da prescrita para compressão simples. 
6 . 3 . 2 HIPÓTESES BÁSICAS DA N B R 1 0 8 3 7 
O item 5.2.2 da NBR 10837 é que fixa as hipóteses de cálculo dos elementos fletidos. 
Para maior clareza, apresentam-se as suas prescrições, que são as seguintes: 
"...Os componentes fletidos são calculados no Estádio II. Nestes cálculos, as hipóteses 
básicas são as seguintes: 
a) a seção que é plana antes de se fletir permanece plana após a flexão; 
b) o módulo de deformação da alvenaria e da armadura permanece constante; 
4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
c) as armaduras são completamente envolvidas pelo graute pelos elementos constituintes 
da alvenaria, de modo que ambos trabalhem como material homogêneo dentro dos 
limites das tensões admissíveis". 
É interessante ressaltar que no Estádio II supõe-se que a alvenaria não suporte tensões 
de tração, que deve ser totalmente resistida pelas armaduras. Além disso, o comportamento dos 
materiais é admitido como sendo linear, ou seja, supõe-se aplicável a lei de Hooke, até os limites 
admissíveis das tensões. 
6 . 3 . 3 EQUACIONAMENTO BÁSICO 
O equacionamento necessário para a análise de seções submetidas à flexão reta simples, 
pelo método das tensões admissíveis, pode ser realizado a partir das hipóteses básicas deste 
método, apresentadas anteriormente. Busca-se conhecer a situação deformada da seção, que 
pode ser caracterizada pela posição da linha neutra e pela inclinação do plano da seção após a 
aplicação da solicitação. A figura 6.1 apresenta alguns dos principais parâmetros necessários ao 
equacionamento mencionado. 
Figura 6.1 - Seção Retangular - Flexão Simples - Armadura Simples. 
As distâncias x e z. respectivamente profundidade da linha neutra e braço entre as resultantes no 
aço e na alvenaria, serão referenciadas por parâmetros adimensionais k, e k^, relacionados à altura útil: 
...(6.1) 
...(6.2) 
Além disso, serão utilizadas duas grandezas auxiliares: a razão de tensões m e a razão 
modular n. Elas são definidas como: 
= m ...(6.3) 
= n ...(6.4) 
em que f5 e falvsão as tensões atuantes no aço e na alvenaria. Es e EaJv os módulos de deformação 
do aço e da alvenaria, respectivamente. 
O primeiro passo para o equacionamento propriamente dito pode ser a aplicação da lei 
de Hooke para as tensões atuantes no aço e na alvenaria: 
faV=E*vea 
...(6.5) 
Já a compatibilidade de deformações, de acordo com a hipótese de a seção permanecer 
plana após a deformação, exige que: 
1 - k _ d - x 
x " k ...(6.6) 
Utilizando-se a condição de equilíbrio da flexão simples, ou seja, força normal igual a 
zero, pode-se escrever: 
...(6.7) 
Define-se a taxa geométrica de armadura através da relação: 
p = b d ...(6.8) 
Portanto, levando-se em conta as equações 6.3, 6.7 e 6.8, pode-se escrever: 
m = 
2p 
...(6.9) 
Já pela divisão, membro a membro, das equações 6.5, chega-se a: 
L 
...(6.10) 
Assim, substituindo-se em 6.10 as relações 6.4, 6.6 e 6.9 obtém-se a equação de 
segundo grau: 
Kx?+ 2npkx- 2np = 0 ...(6.11) 
Resolvendo-se a equação e tomando apenas a raiz que interessa, chega-se à posição 
da linha neutra, dada por: 
...(6.12) k< = -pn + V(Pn)2 + 2pn 
A área de armadura e a máxima tensão atuante, na alvenaria e nas armaduras, podem 
ser obtidas pela equivalência do momento fletor atuante e o produzido pelas resultantes de tração 
e compressão na seção. Considerando-se a resultante de tração na armadura, pode-se escrever: 
...(6.13) M = fs As k. d 
Então, a tensão na armadura iguala-se a: 
f = 
M 
E a área de aço resulta em: 
em que. 
a _ 1 _M M_ 
' f .k. d * d 
k = 
f A 
...(6.14) 
...(6.15) 
De maneira semelhante, pode-se calcular a máxima tensão na alvenaria, a partirdo 
momento atuante: 
M ^ i ^ f ^ b ( M ) ( k i d ) b f . em que. 
Então, pode-se escrever o valor de fa.v, a máxima tensão na alvenaria: 
f _ 2 M 
* kx kz bd:' 
...(6.16) 
...(6.17) 
Mas, considerando-se a equação 6.2, o parâmetro k pode ser também igualado a: 
k . = 
L M 3 - k ) 
...(6.18) 
É também interessante se expressar kx e a taxa geométrica de armadura p em função dos 
parâmetros m e n, o que pode ser realizado tomando-se as equações 6.4 e 6.6 e substituindo-se em 
6.10. Assim se obtém: 
kx = n n + m 
Então, utilizando-se a equação 6.9, chega-se a: 
P = 2m (m + n) 
...(6.19) 
...(6.20) 
6 . 3 . 4 DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 
A situação de dimensionamento balanceado, que corresponde ao melhor aproveitamento 
dos materiais, é obtida quando a tensão atuante na alvenaria é igual à tensão admissível à 
compressão na flexão e a tensão atuante no aço é igual à tensão admissível à tração: 
Nesse caso, a posição da linha neutra e a taxa de armadura podem ser facilmente obtidas 
com as relações 6.19 e 6.20: 
" n + m . 
P.,= 2mti (m. + n) 
...(6.21) 
...(6.22) 
A altura útil correspondente a este dimensionamento é obtida através da reorganização 
da equação 6.16, com a utilização da tensão admissível à compressão na flexão para a alvenaria: 
4> 
M 
K>x Krt. bx f irfv.l 
...(6.23) 
Em que corresponde ao dimensionamento balanceado. 
6 . 3 . 5 DIMENSIONAMENTO SUBARMADO 
No dimensionamento subarmado, que ocorre quando a altura útil disponível é maior ou igual 
à necessária ao dimensionamento balanceado, d • db, não são conhecidas, de início, as tensões 
desenvolvidas na alvenaria, sendo que apenas o aço estará submetido à tensão admissível, ou seja: 
Então, deve ser utilizado um processo iterativo para a determinação da posição da linha 
neutra e da área de aço necessária ao elemento. Esse procedimento pode ser realizado com o 
auxílio da planilha de cálculo apresentada na tabela 6.4. O processo iterativo pode ser iniciado 
com o valor de prosseguindo até a convergência deste parâmetro, ou seja, quando a diferença 
entre a última e a primeira coluna estiver dentro de uma margem considerada satisfatória. 
Tabela 6.4 - Flexão de seções subarmadas. 
/ k. K . K * k„= -pn*V(Pn), + 2pn 
1 kit» — > — > — > — > — > 
2 — > — > — » — » — > — > 
— » — > —> — > — > — > 
Observe-se que ao final deve-se verificar a tensão atuante na alvenaria, com o emprego 
da equação 6.17, de forma a se garantir que seu valor seja menor que o limite admissível. 
6 . 3 . 6 DIMENSIONAMENTO SUPERARMADO 
Caso a altura útil seja menor que a do dimensionamento balanceado, ou seja, d < d^, 
uma das opções que se pode adotar é o dimensionamento superarmado, no qual a tensão admissível 
da alvenaria é atingida antes que a do aço. Portanto, tem-se: 
'a* ~ ^Ar.l 
Então, utilizando-se a equação 6.16, com a expressão de kalw que aparece em 6.18, e o 
valor limite para fav, obtém-se: 
...(6.24) 
Dessa forma, reorganizando-se a expressão 6.24, obtém-se a equação de segundo grau: 
...(6.25) 
txFf alv.l 
Assim, após a determinação de kx5, e o correspondente k^ através da equação 6.2, o 
objetivo é o cálculo da área de aço necessária. Isso pode ser feito através da equação 6.26, obtida 
quando se isola o valor de m da equação 6.19 e se substitui na expressão 6.9. 
P=- 2n (1 - k,) 
...(6.26) 
É claro que, determinada a taxa geométrica de armadura, o valor de As pode ser 
encontrado pela equação 6.8. Um último detalhe diz respeito à verificação da tensão no aço. Isso 
pode ser feito pela equação 6.14, ou seja: 
f = 
M 
A M " f w 
...(6.27) 
6 . 3 . 7 DIMENSIONAMENTO COM ARMADURA DUPLA 
O dimensionamento da seção retangular com armadura dupla é realizado determinando-
se inicialmente a parcela do momento fletor que é absorvida pela seção considerando-se armadura 
simples e dimensionamento balanceado, M0, e a correspondente parcela complementar, DM. Esta 
segunda parcela deve ser absorvida por um binário de forças resultantes de armaduras adicionais, 
uma tracionada e outra comprimida. 
6 A determinação é feita escolhendo-se a raiz da equação que tenha siginificado físico. 
L 
/ X/-5 , ) 
/ X Í W x b A 
d - x 
— * — 
z / 
d-d" 
• W 
Figura 6.2 - Seção Retangular - Flexão Simples - Armadura Dupla. 
O momento M pode ser obtido da equação 6.16 quando se utiliza f igual ao limite 
admissível, ou seja: 
bd2 M0 = U i ~2 ...(6.28) 
A correspondente armadura tracionada pode ser obtida da equação 6.15, adotando-se 
os valores de M0 e da tensão admissível do aço: 
1 Mo 
LK 6 «,1 Ib 
...(6.29) 
A parcela complementar do momento AM = M - M0, pode ser igualada ao momento 
produzido pelo binário de forças das armaduras adicionais, A., na região tracionada e A..' na região 
comprimida. Sabe-se, de antemão, que a tensão na armadura tracionada correspondente ao valor 
para o dimensionamento balanceado, ou seja, é o valor admissível. A tensão na armadura comprimida 
pode ser obtida através da compatibilidade de deformações, com o auxílio da figura 6.2. 
x - d' x - d 
Da lei de Hooke e da condição de 
x - d s 4 x - d 
...(6.30) 
, obtém-se a tensão na armadura comprimida. 
...(6.31) 
Por equivalência estática do momento complementar com as forças de tração e compressão 
nas armaduras, considerando-se d - d' o braço de alavanca, obtêm-se as áreas de armadura As2 e As'. 
...(6.32) AM A^ (d - d') = fs' Au' (d - d') 
R _ A M 
A . A M A M x d - x x 1 
f5(d - d') " (d - d ' ) " x - d' í , 
...(6.33) 
...(6.34) 
A área de armadura tracionada para o dimensionamento com armadura dupla é igual à 
soma das parcelas As l e A r2. 
6 . 4 C I S A L H A M E N T O 
...(6.35) 
O cisalhamento ocorre normalmente em conjunto com a solicitação por momento fletor. Vergas, 
vigas ou paredes que participam do sistema de contraventamento são os elementos nos quais o cisalhamento 
deve ser usualmente verificado. Essa solicitação também ocorre em paredes de arrimo ou de reservatórios, 
mas, devido ao fato de esses elementos trabalharem segundo a direção de menor inércia, é muito pouco 
provável que nesses casos ocorram tensões cisalhantes que ultrapassem os limites admissíveis. 
6 . 4 . 1 TENSÕES ATUANTES 
A NBR 10837 é bastante confusa quando se trata de definir a tensão de cisalhamento 
atuante. Por exemplo, para elementos de alvenaria não-armada. utiliza expressões como "esforço 
cortante horizontal" sem que essa direção "horizontal" esteja direta ou indiretamente definida. Ainda 
apresenta expressões conflitantes, confundindo comprimento da seção com altura útil para o caso 
das alvenarias armadas. Além disso, se refere à variável utilizada para o cálculo da tensão atuante, 
ta l v , como " tensão de c i sa lhamento de referência, para e lementos de a lvenar ia não-
armada, e como "tensão convencional de cisalhamento", para elementos de alvenaria armada. 
Enfim, não contribui em nada para elucidar a correta aplicação de seus preceitos. 
Para se colocar o cálculo da tensão de cisalhamento atuante em peças de alvenaria em 
termos claros, o que se pode recomendar é que para elementos não-armados se utilize a expressão: 
V 
...(6.36) 
Em que, 
V: esforço cortante 
A: área da seção transversal do elemento 
Já para os elementos com armaduras longitudinais, pode-se tomar o seguinte valor: 
...(6.37) T_V. = V 
b d 
Em que, 
V: esforço cortante 
b: largura da seção 
d: altura útil, ou seja, distância da face comprimida ao centróide das armaduras tracionadas 
Como referência interessante, menciona-se que a BS 5628 adota sempre a tensão atuante 
como sendo a força cortante dividida pela área da seção transversal, mesmo no caso de alvenarias 
armadas. É uma posição defensávele pode ser adotada mesmo por quem pretende utilizar os 
valores limites recomendados pela NBR 10837. Nesse caso a expressão 6.36 poderia ser 
considerada tanto para alvenaria armada como para alvenaria não-armada. 
Já o ACI 530 recomenda que a tensão atuante seja calculada da forma apresentada pela 
expressão 6.36. ou seja, força cortante divida pela área, apenas quando parte da seção transver-
sal estiver submetida a tensões normais de tração. Caso a seção apresente apenas tensões de 
compressão, a tensão de cisalhamento atuante deve ser calculada pela expressão tradicional da 
resistência dos materiais, força cortante vezes momento estático, divididos pela espessura e pelo 
momento de inércia à flexão. 
Como última recomendação importante, deve-se observar que no caso de seção trans-
versal em forma de T, I ou L, as abas não devem ser consideradas no cálculo da tensão de 
cisalhamento. Todo o cisalhamento deve ser absorvido pela alma da seção transversal do elemento. 
6 . 4 . 2 DIMENSIONAMENTO COM OU SEM ARMADURAS 
Apesar de muito confusa na definição da tensão atuante, a verificação e o dimensionamento 
são fáceis e rápidos de ser realizados pela NBR 10837. Isso pode ser verificado pelo exame da 
tabela resumo apresentada no capítulo anterior. 
Para o caso de elementos não-armados. por exemplo paredes do sistema de contraventamento 
que não tenham armaduras verticais, os limites são absolutos: 0,15 MPa e 0,25 MPa, respec-
tivamente para o caso de argamassas entre 5 e 12 MPa ou 12 e 17 MPa. Portanto, basta comparar 
o T , obtido com esses limites. alv 
No caso de elementos de alvenaria armada, deve-se fazer uma distinção entre peças fletidas 
sem armadura para resistir às tensões de cisalhamento e aquelas que possuem armaduras para resistir 
a toda tensão de cisalhamento atuante. Dentro de cada um desses grupos ainda é importante se destacar 
o caso de vigas ou vergas e o caso de pilares paredes. Mais especificamente ainda, para pilares parede, 
ainda há duas condições: a situação em que o momento fletor é preponderante e a situação em que a 
força cortante é preponderante. Entretanto, localizado o valor a ser utilizado para o elemento e a circunstância 
específica que se analisa, não existe nenhuma outra dificuldade a ser considerada pois todos os valores 
sâo simplesmente definidos em função da raiz quadrada da resistência de prisma. Basta, como no caso 
das alvenarias não-armadas, comparar o valor de xaV com o limite adequado. 
6 . 4 . 3 CÁLCULO DA ÁREA E DISPOSIÇÃO DAS ARMADURAS PARA O CISALHAMENTO 
Se for necessário prever a utilização de armadura específica para o combate às tensões 
de cisalhamento, ela pode ser determinada mediante a aplicação da analogia de treliça, como se 
ilustra de forma genérica na figura 6.3. As bielas de compressão são admitidas com inclinação (3, 
enquanto as armaduras estão inclinadas de a, sempre em relação ao eixo longitudinal da peça. 
biela de armadura A § w a 
concreto média 
Biela de 
Compressão 
Figura 6.3 - Analogia de treliça. 
A força resultante na armadura média, V/sencz, deve ser absorvida pelo conjunto de 
barras dispostas no comprimento z(cot« + cotfi). Assim sendo, pode-se escrever: 
...(6.38) V _ z (cota + cotp) A j 
sena 
Então, a armadura transversal é dada por: 
A =. Vs 
fs l z (cota + cotp) sena 
...(6.39) 
Admitindo-se que as bielas tenham inclinação (5 = 45° e aproximando z por d a expressão 
anterior ganha a seguinte redação: 
A, =. Vs 
fMd (cota + sena) ...(6.40) 
Se forem utilizados apenas estribos a 90°, a armadura de cisalhamento necessária será: 
...(6.41) A =-V§_ 
4W" 
Essas duas últimas expressões também estão presentes na NBR 10837. Na verdade é 
quase impossível, para os casos usuais, se prescrever armaduras com inclinações diferentes de 
90°. Portanto, a expressão 6.41 é que realmente tem importância prática para o problema. 
Para a correta utilização da expressão 6.41, deve-se lembrar que o espaçamento "s" 
precisa ser considerado em relação à dimensão dos blocos, pois é totalmente inadequado se 
prever furos para a colocação das armaduras. Assim, o correto é se adotarem espaçamentos de 
20 e 40 cm para blocos de comprimento múltiplo de 20 cm, ou espaçamentos de 15 e 30 cm, 
quando da utilização de blocos de comprimento múltiplo de 15 cm. 
Além disso, a tensão admissível do aço deve se limitar aos valores apresentados na 
tabela correspondente do capítulo anterior. Essa observação é importante, pois a NBR 10837 
limita essa tensão a valores relativamente baixos, 165 MPa para os casos usuais. 
Finalmente, ainda com respeito à disposição das armaduras, deve-se lembrar que a 
NBR 10837 especifica que cada linha de fissura potencial precisa ser atravessada por pelo menos 
uma barra da armadura transversal. Com base nessa prescrição, a figura 6.4 apresenta os espaçamentos 
máximos a serem observados tanto para o caso dos estribos quanto para as barras dobradas a 45°. O 
limite de 30 cm é adotado por analogia às prescrições para as peças de concreto armado, 
fissura fissura 
Figura 6.4 - Espaçamento mínimo para barras de armaduras transversais. 
6 . 5 F L E X Ã O C O M P O S T A 
A flexão composta, em que ocorre interação entre carregamento axial e momentos fletores, 
é também uma solicitação muito comum em elementos de alvenaria estrutural, particularmente 
quando se anal isam estruturas portantes de edifícios. Nestes, a lém de suportar as cargas 
gravitacionais, as paredes que fazem parte do sistema de contraventamento lateral resistem às 
ações horizontais provenientes do vento e do desaprumo. 
Este tipo de solicitação também ocorre em elementos sujeitos a cargas verticais atuando 
conjuntamente com ações laterais provenientes do empuxo do solo ou da água, e ainda quando o 
carregamento vertical é excêntrico em relação ao eixo do elemento. 
6 . 5 . 1 SOLICITAÇÕES COMBINADAS SEGUNDO A N B R 1 0 8 3 7 
A primeira verif icação a ser feita quando se analisa uma seção submetida à flexão 
composta é a respeito de eventuais tensões de tração que possam ocorrer. Essa verificação é feita 
através da seguinte expressão: 
...(6.42) 
Em que, 
f i l v f : tensão atuante devida à flexão 
f i l v c : tensão atuante devida à compressão 
f : tensão admissível à tração da alvenaria não-armada (normal à fiada) 
Se a relação 6.42 for atendida, isso significa que a seção transversal estará submetida a 
tensões menores que aquelas que podem ser resistidas pela alvenaria não-armada. Nesse caso, 
não será realmente necessário se lançar mão de armaduras para resistir a essas tensões, bastando para 
tanto verificar as tensões de compressão conforme as expressões 6.43 ou 6.44 apresentadas a seguir. 
Em caso contrário, quando a tensão admissível de tração é ultrapassada, deve-se providenciar 
armaduras para absorvê-la. Então, será necessário considerar o equacionamento apresentado no 
item subseqüente para se conseguir a solução do problema. 
É interessante observar-se que na relação 6.42 a NBR 10837 está implicitamente admitindo 
que 75% das cargas verticais são permanentes. Tal consideração é, em muitos casos, conservadora. 
Para edifícios residenciais essa parcela varia de 80% a 85%. Pode-se considerar que é razoável verificar 
em cada caso qual a parcela de carga permanente e utilizá-la na verificação da tração. 
Exista ou não tensão de tração acima do limite admissível, as tensões de compressão advindas 
dos carregamentos combinados devem satisfazer a uma das expressões de interação apresentadas a 
seguir. Quando para o cálculo das tensões atuantes estiverem sendo consideradas apenas as cargas 
permanentes e ações variáveis, a verificação será feita através da relação: 
nt/.c 
f 
<1,00 ...{6.43) 
Em que, 
r v c : tensão de compressão