Lista 3

Prévia do material em texto

Lista 3 – Introdução ao Cálculo 2016/1 
1) Considere a relação 
  }²|,{ xxyBAyxR  X
 e os conjuntos A = {1, 2, 3} e 
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
a) Determine o conjunto R. 
b) Determine domínio e imagem da relação R. 
c) R é uma função de A em B? Justifique sua resposta. 
2) Faça o estudo do sinal de cada função representada nos gráficos a seguir: 
 
 
3) Dado o gráfico da função f mostrada, responda. 
a) Qual o domínio e a imagem da função? 
b) Em que intervalos a função é crescente? 
c) Em que intervalo a função é decrescente? 
d) d) Qual o valor de 
)2()3(
)5(
ff
f

? 
4) Determine os intervalos em que as funções são crescentes, decrescentes ou 
constantes: 
 
 
5) Dado o gráfico da função f ao lado, responda 
a) indique o domínio e a imagem de f 
b) indique os intervalos onde f é crescente e 
decrescente. 
c) indique os intervalos onde f > 0 e f < 0. 
d) calcule o valor de f(0) + f(2) + f(4) + f(8) + f(12) + f(24) 
 
 
6) Determine o domínio das funções definidas por: 
a) 
3
13



x
x
y
 b) 
42
254



x
x
y
. 
c) 𝑦 =
 𝑥
 𝑥+2
+
1
𝑥
 d) 𝑦 =
2
𝑥2−3
+
1
 25−𝑥2
− 𝑥 − 5
3
 
 
7) Dada 𝑓 𝑥 =
4𝑥−3
5𝑥+6
, determine: 
a) O domínio de 𝑓. 
b) 𝑓(2𝑥), 𝑓(−2𝑥), 𝑓(−1) e 𝑓(2𝑥 + 1) 
c) 𝑥 tal que 𝑓 𝑥 = 9 
d) 𝑓 2𝑥 + 1 
8) Faça o gráfico das funções e verifique se elas são crescentes, decrescentes ou 
constantes: 
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 
b) 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3 
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 
d) 𝑓 𝑥 = 5 
9) Quais dos gráficos abaixo representam funções pares ou funções ímpares? 
 
10) Considere o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) dada abaixo, e marque V nas afirmativas 
verdadeiras e F nas falsas: 
 
a) ( ) 𝑓(𝑥) é uma função injetora. 
b) ( ) O domínio de 𝑓(𝑥) é o intervalo (−2,3]. 
c) ( ) 𝑓 𝑥 = 2 para todo 2 ≤ 𝑥 ≤ 4. 
d) ( ) 𝑓(𝑥) > 0, para todo 𝑥 ∈ 
5
2
, 0 ∪ 1,5 . 
 
11) Verifique se cada uma das funções abaixo é par ou é ímpar: 
a) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 
b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3 
d) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥 
f) 𝑓 𝑥 = 5 
g) 𝑓 𝑥 =
𝑥3
𝑥4+1
 
h) 𝑓 𝑥 =
𝑥4
𝑥3+1
 
i) 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)3 
j) 𝑓 𝑥 = 𝑥4 −
1
𝑥2
 
k) 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥2+1
 
l) 𝑓 𝑥 = 1 + 3𝑥2 − 𝑥4 
m) 𝑓 𝑥 = 1 + 3𝑥3 − 𝑥5 
 
12) Mostre que as funções abaixo não são pares nem ímpares, e expresse-as como 
uma soma de uma função par e uma função ímpar: 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 +
1
𝑥
 
 
13) Dada uma função qualquer f : [−a, a] → R, mostre que: 
a) a função g definida por g(x) = f (x) + f (−x) é uma função par; 
b) a função h definida por h(x) = f (x) − f (−x) é uma função ímpar. 
 
14) Verifique se as funções abaixo são sobrejetivas, injetivas ou bijetivas: 
 
 
 
15) Analise as afirmações abaixo classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas: 
a) ( ) Se uma função é bijetora, então ela é sobrejetora. 
b) ( ) Toda função injetora é bijetora. 
c) ( ) Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas intercepta o gráfico de 
uma função, em um único ponto, então ela é injetora. 
d) ( ) Se o contradomínio de uma função é igual ao conjunto imagem então ela é 
sobrejetora. 
e) ( ) Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é 
bijetora. 
f) ( ) Se uma função é bijetora, então ela é injetora. 
 
16) Esboce os gráficos das funções inversas de f representadas abaixo: 
 
 
17) Se 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3. Determine o valor de 𝑥 de modo que 𝑓 𝑓 𝑥 = 13. 
 
18) Mostre que a função 𝑓: 𝑅 → 𝑅, dada por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0 é bijetora. 
 
19) Determine o domínio da função inversa 𝑓−1(𝑥) de 𝑓 𝑥 =
3𝑥+1
2−𝑥
. 
 
20) Suponha que 𝑓 e 𝑔 duas funções dadas. Então, defini-se as seguintes funções: 
 
Considere agora que, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑔 𝑥 = 16 − 𝑥2. Determine: 
 
(d) os domínios das funções dos itens acima; 
 
GABARITO 
1) a) 𝑅 = { 1,0 , 2,0 , (3,6)} b) 𝐷 𝑅 = {1,2,3} e 𝐼𝑚 𝑅 = {0,2,6} c) Sim! 
2) a) 𝑓 ≥ 0, 𝑥 ∈ (−∞, 2] e 𝑓 < 0, 𝑥 ∈ (2, +∞) 
b) 𝑓 ≥ 0, 𝑥 ∈ −
5
2
, 2 ∪ 
7
2
,
9
2
 e 𝑓 < 0, 𝑥 ∈ −5, −
5
2
 ∪ 2, 
7
2
 
c) 𝑓 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅 d) 𝑓 < 0, 𝑥 ∈ 𝑅 
3) a) 𝐷 𝑅 = [−3,6] e 𝐼𝑚 𝑅 = −3,1 ∪ {3} b) f não é crescente 
c) f é decrescente se 𝑥 ∈ [−3,2] d) 
3
4
 
4) a) f é crescente se 𝑥 ∈ 𝑅. b) f é crescente, 𝑥 ∈ (−∞, 0] e f é decrescente, 𝑥 ∈ [0, +∞) 
c) f é decrescente se 𝑥 ∈ −∞, 0 ∪ (0, +∞) 
d) f é crescente, 𝑥 ∈ [−2,1], f é decrescente, 𝑥 ∈ −4, − − 2 ∪ [3,5] e f é constante, 
𝑥 ∈ [1,3] 
e) f é crescente se 𝑥 ∈ 𝑅 
5) a) 𝐷 𝑅 = [0,24] e 𝐼𝑚 𝑅 = −5,13 
 b) f é crescente se 𝑥 ∈ 4,12 e f é decrescente se 𝑥 ∈ 0,4 ∪ [12,24] 
c) 𝑓 > 0, 𝑥 ∈ 0,2 ∪ (8,24] e 𝑓 < 0, 𝑥 ∈ (2,8) d) 16 
6) a) 𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 3 b) 𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑅/−
2
5
≤ 𝑥 < 2 c) 𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 0 
d) 𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≠ 3, 𝑥 ≠ −3 𝑒 − 5 ≤ 𝑥 ≤ 5 
7) a) 𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈
𝑅
𝑥
≠ −
6
5
 
b) 𝑓 2𝑥 =
8𝑥−3
10𝑥+6
, 𝑓 −2𝑥 =
−8𝑥−3
−10𝑥+6
, 𝑓 −1 = 7, 𝑓 2𝑥 + 1 =
8𝑥+1
10𝑥+11
 
c) 𝑥 = −
57
41
 d) 𝑓 2𝑥 + 1 =
18𝑥+3
10𝑥+6
 
8) a) crescente se 𝑥 ∈ 𝑅 b) decrescente se 𝑥 ∈ 𝑅 
c) crescente, 𝑥 ∈ (0, +∞) e decrescente, 𝑥 ∈ −∞, 0 d) constante 𝑥 ∈ 𝑅 
9) Par I e III Ímpar IV e V Nenhuma II 
10) a) F b) F c) F d) F 
11) a) Par b) Nenhuma c) Par d) Nenhuma e) Ímpar f) Par g) Ímpar h) Nenhuma 
i) Nenhuma j) Par k) Ímpar l) Par m) Nenhuma 
14) a) bijetiva b) injetiva c) sobrejetiva d) bijetiva e) injetiva f) bijetiva g) injetiva 
h) sobrejetiva 
15) a) V b) F c) V d) V e) V f) V 
17) x=1 19) 𝑓−1 𝑥 =
2𝑥−1
3+𝑥
, 𝐷 𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 ≠ −3} 
20) a) e b) 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 + 16 − 𝑥2, 𝐷 𝑓 + 𝑔 = {𝑥 ∈ 𝑅/2 ≤ 𝑥 ≤ 4} 
 𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 16 − 𝑥2 , 𝐷 𝑓. 𝑔 = {𝑥 ∈ 𝑅/2 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −4} 
 
𝑓
𝑔
 𝑥 = 
𝑥−2
16−𝑥2
 , 𝐷 
𝑓
𝑔
 = {𝑥 ∈ 𝑅/2 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −4}