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1a Prova de MAT 2453
12/04/2005 - Escola Polite´cnica
A ı´mpar e B par
Questa˜o 1. (3,0) Calcule:
(a) lim
x→+∞
[√
x+
√
x−√x
]
.
(b) lim
x→5
[
(x2 − 25) cos
(4x3 − 2x+ 5
x2 − 25
)
+
sen(x2 − 25)
x− 5
]
.
(c) lim
x→+∞
(x+ 4
x+ 2
)x
.
(a) ∀x > 0:
√
x+
√
x−√x = x+
√
x−x√
x+
√
x+
√
x
=
√
x
√
x
(√
1+ 1√
x
+1
) = 1√
1+ 1√
x
+1
.
Como lim
x→+∞
1√
x
= 0, segue lim
x→+∞
√
1 + 1√
x
+ 1 = 2. Portanto:
lim
x→+∞
[√
x+
√
x−√x
]
= lim
x→+∞
1√
1 + 1√
x
+ 1
=
1
2
.
(b) lim
x→5
[
(x2 − 25) cos
(4x3 − 2x+ 5
x2 − 25
)
+
sen(x2 − 25)
x− 5
]
.
Observe que −1 ≤ cos
(4x3 − 2x+ 5
x2 − 25
)
≤ 1 e lim
x→5
(x2 − 25) = 0. Sabemos que o produto de
uma func¸a˜o limitada por uma que vai a zero tambe´m vai a zero, donde:
lim
x→5
(x2 − 25) cos
(4x3 − 2x+ 5
x2 − 25
)
= 0
Agora,
lim
x→5
sen(x2 − 25)
x− 5 = limx→5(x+ 5)
sen(x2 − 25)
x2 − 25 (A)
O limite lim
x→5
sen(x2 − 25)
x2 − 25 e´ o limite fundamental e tende a 1. Como limx→5(x + 5) = 10, temos
que o limite em (A) vale 10.
(c) lim
x→+∞
(x+ 4
x+ 2
)x
= lim
x→+∞
(
1 +
2
x+ 2
)x
= lim
x→+∞
(
1 +
1
x+2
2
)x
.
Fazendo x+2
2
= y e substituindo, temos que o limite acima equivale a lim
y→+∞
(
1 +
1
y
)2y−2
=
lim
y→+∞
((
1 +
1
y
)y)2
×
(
1 +
1
y
)−2
= e2.
Veja que lim
y→+∞
(
1 +
1
y
)y
= e e lim
y→+∞
(
1 +
1
y
)−2
= 1.
Questa˜o 2. (2,0) Sabendo que a reta 2x− 3y+ 1 = 0 e´ tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = a
x
,
determine o valor de a e deˆ as coordenadas do ponto de tangeˆncia.
Equac¸a˜o da reta tangente a uma func¸a˜o deriva´vel f num ponto x0:
rx0,x := y − f(x0) = f ′(x0)
(
x− x0
)
Para f(x) = a
x
, temos f ′(x) = −a
x2
. Donde, a famı´lia de retas tangentes a f e´ dada por
rx0,x := y −
a
x0
=
−a
x20
(
x− x0
)
Como 2x− 3y + 1 = 0 e´ membro da familia acima, temos, igualando coeficientes angulares e
lineares,
y = −a
x20
(x− x0) + ax0
y = 2
3
x+ 1
3
−a
x20
= 2
3
a
x0
+ a
x0
= 1
3
Donde, x0 = −14 e a = − 124 .
Questa˜o 3. (2,0) A base b de um retaˆngulo diminui a uma taxa de 2 cm/s, enquanto a altura
h aumenta a uma taxa de 2 cm/s. Encontre as taxas de variac¸a˜o para a a´rea, o per´ımetro e a
diagonal do retaˆngulo quando b = 12 cm e h = 5cm.
A = bh, P = 2b + 2h, d =
√
b2 + h2, onde A = a´rea, P = per´ımetro, h = altura, b = base e
d = diagonal. Para t = t0, b(t0) = 12, h(t0) = 5, b
′(t0) = −2 e h′(t0) = 2.
Da´ı:
P ′(t0) = 2[b′(t0) + h′(t0)] = 0,
A′(t0) = b′(t0)h(t0) + b(t0)h′(t0) = 14,
d′(t0) =
b′(t0)b(t0) + h′(t0)h(t0)√
b(t0)2 + h(t0)2
= −14
13
.
Questa˜o 4. (2,0) Seja f(x) = x+ e3x e seja g a funac¸a˜o inversa de f .
(a) Calcule g(1) e g′(1).
(b) Seja h(x) = g′(x). Calcule h′(1).
f(g(x)) = x
Donde, pela regra da cadeia e do produto,
f ′(g(x))g′(x) = x′ = 1
f ′′(g(x))(g′(x))2 + f ′(g(x))g′′(x) = x′′ = 0(?)
Substituindo em valores onde f ′(g(x)) = 6= 0.
g′(x) =
1
f ′(g(x))
Agora, f ′(x) = 1 + 3e3x. Donde, temos:
f(0) = 0 + e3.0 = 1, g(1) = 0
g′(1) = 1
f ′(g(1)) =
1
f ′(0) =
1
1+3e3x
(0) = 1
4
h′(1) = g′′(1). Substituindo em ? para g(1) = 0 e f ′′(x) = 9e3x
f ′′(g(x))(g′(x))2 + f ′(g(x))g′′(x) = 0
9e3x(x=0)(g
′(1))2 + (1 + 3e3x)(x=0)g′′(1) = 0
9(1
4
)2 + (1 + 3e3.0)g′′(1) = 0
9
16
+ 4g′′(1) = 0
g′′(1) = − 9
64

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