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Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Centro de Educação Superior de Brasília Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília Curso: Engenharia Civil Professor: Douglas Esteves Disciplina: Mecânica Vetores Aula (1 e 2) Introdução: Todas as quantidades físicas na mecânica para engenharia são medidas usando escalares ou vetores. Escalares: Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente especificada por sua intensidade. Exemplos de quantidades escalares incluem : comprimento, massa e tempo. Vetor: Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade, uma direção e um sentido para sua completa descrição. Exemplos de vetores encontrados em estática são forças, posição e momento. Um vetor é representado graficamente por uma seta. O comprimento da seta representa a intensidade do vetor, e o ângulo ɵ entre o vetor e um eixo fixo determina a direção da sua linha de ação. A ponta da seta indica o sentido da direção do vetor. . VETORES IGUAIS E VETORES DIFERENTES Este é outro item muito importante para entendermos, definitivamente, um vetor. Para que dois vetores sejam iguais eles, necessariamente, precisam possuir módulos, sentidos e direção iguais. Por exemplo: Os vetores acima são iguais, pois possuem as três informações, que constitui um vetor, iguais. Se tivermos dois vetores que possuem módulos e direções iguais, porém sentidos diferentes, dizemos que estes vetores são diferentes e opostos. Por exemplo: Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Estes dois vetores são diferentes, pois possui a mesma direção (horizontal), o mesmo módulo, porém o sentido contrário e opostos. CÁLCULOS COM VETORES Agora que já sabemos tudo o que é importante sobre um vetor, irá aprender a trabalhar com eles. Alguns dos cálculos que iremos analisar necessitarão das lembranças que possuímos sobre trigonometria, se por algum acaso você não se lembrar deles, recomendo que faça uma pequena revisão com seu livro ou caderno para que depois possamos estar dando continuidade a este estudo. ADIÇÃO DE VETORES Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da adição. Para ilustrar, os dois vetores ‘componentes’ A e B na figura abaixo, eles são somados para formar um vetor ‘resultante’ R = A+B usando o seguinte procedimento: - Primeiro uma as origens dos vetores componentes em um ponto de modo que se tornem concorrentes. Depois a partir da extremidade de B, desenhe uma linha paralela a A. Desenhe outra linha a partir da extremidade A que seja paralela a B. Essas duas linhas se interceptam em um ponto P para formar os lados adjacentes de um paralelogramo. A diagonal desse paralelogramo que se estende até P forma R, que então representa o vetor resultante R= A+B. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Também podemos A e B usando a regra do triângulo, que é um caso especial da lei do paralelogramo, em que o vetor B é somado ao vetor A da forma ‘extremidade-para-origem’ ou seja conectando a extremidade de A com a origem de B. O resultante se estende da origem de A à extremidade de B. De modo análogo podemos fazer a soma de B+A, vejamos: Observamos então que a adição de vetores é comutativa, em outras palavras podemos somar os vetores em qualquer ordem, ou seja R = A+B = B+A. Cálculo do módulo do vetor resultante. Dado um triângulo qualquer se tivermos o valor de dois lados do triângulo e o valor de um ângulo devemos utilizar a lei dos cossenos. √ ou √ A diferença na utilização dessa lei é: - Utiliza-se a expressão com (+) se o ângulo analisado for o ângulo formado entre os vetores como é o caso do ângulo α na figura acima. - Utiliza-se a expressão com (-) se o ângulo analisado for o ângulo oposto ao vetor resultante como é o caso do ângulo β na figura acima. Pois o ângulo α e o ângulo β são suplementares ou seja cos β = - cos Porém se o triângulo formado nos fornecer o valor de dois ângulos e o valor de um lado devemos utilizar a lei dos senos: Lei dos Senos: “Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos lados opostos”. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Quando temos um caso particular onde os vetores estão em posições ortogonais entre si, basta aplicar o teorema de Pitágoras. Exemplos: 1)Dados os vetores ⃗ ⃗⃗ , calcule o módulo do vetor soma e faça a sua representação gráfica. Dado cos 60º = 0,5 RESOLUÇÃO Pela regra do paralelogramo encontramos o vetor resultante graficamente. Módulo: S² = a² + b² + 2 · a · b · cos 60º S² = 3² + 4² + 2 · 3 · 4 · 0,5 S² = 9 + 16 + 12 S = 6,1 cm 2) Dados os vetores , e , represente graficamente os vetores: a) + b) + c) + + Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com RESOLUÇÃO Regra dos Vetores Consecutivos (Método Poligonal) a) A Resultante + tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor . b) A Resultante + tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor . c) A Resultante + + tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor . SUBTRAÇÃO ENTRE DOIS VETORES Dados dois vetores = A - O e = B - O, o vetor resultante é dado por = - = (A - O) - (B - O) = A - O - B + O; = A - B, onde A é a extremidade e B é a origem. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Analiticamente o vetor é dado por: Módulo: é dado pela Lei dos cosseno, √ . Direção: da reta AB Sentido: de B para A Se tivéssemos efetuado = A - B, o sentido seria de A para B e o módulo seria o mesmo. Exemplo: Dados os vetores e conforme a figura, determine graficamente o vetor diferença = - e calcule o seu módulo. Dados: | | = 4 cm | | = 3 cm cos 60º = 0,5 RESOLUÇÃO 1. = - = + (- ) 2. Trocar o sentido do vetor 3. Utilizar a regra do paralelogramo 4. Calcular o Módulo d ² = a ² + b ² - 2·a·b·cos 60º d ² = 4 ² + 3 ² - 2·4·3·0,5 d ² = 16 + 9 -12 d ² = 13 d = 3,7 cm Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com PRODUTO DE UM NÚMERO POR UM VETOR O produto de um número a por um vetor , resultará em um outro vetor dado por: Módulo: | | = a · Direção: A mesma de ; Sentido: 1) se a > 0 - o mesmo sentido de 2) se a < 0 - contrário de . Exemplo: Dados os vetores: , e . Represente graficamente : 2 , -3 e 2 . RESOLUÇÃO VETOR OPOSTO Antes de entrarmos em outra parte importante do estudo de vetor, precisamos entender o que é um vetor oposto. Denomina-se vetor oposto de um vetor , o vetor com as seguintes características: Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com A figura representa o vetor e o seu oposto . Preste Atenção para dois detalhes: 1. Quando dois vetores tiverem a mesma direção e o mesmo sentido (a = 0º), o vetor resultante será: 2. Quando dois vetores tiverem a mesma direção e os sentidos opostos (a = 180º), o vetor resultante será: DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR São dados um vetor e um sistema de dois eixos ortogonais x e y: Projetando ortogonalmente as extremidades do vetor nos eixos x e y, obtendo suas componentes retangulares e . Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Analiticamente temos: o triângulo OP'P é retângulo, portanto Exemplo: Determine as projeções do vetor nos eixos x e y. Dados: | | = a = 2 cm, cos 60º = 0,5 e sen 60 = 0,87. RESOLUÇÃO a) Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos traçar uma reta paralela ao eixo y, da extremidade do vetor até o eixo x. Módulo: | | = a · cos 60º | | = 2 · 0,5 = 1 cm | | = 1 cm b) Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos traçar uma reta paralela ao eixo x, da extremidade do vetor até o eixo y. Módulo: | | = a · sen 60º | | = 2 · 0,87 1,74 cm | | = 1,74 cm Portanto: = 1 cm = 1,74 cm Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com ADIÇÃO DE MAIS DE DOIS VETORES (método do polígono) Neste método o objetivo é formar um polígono com os vetores que se deseja somar, obedecendo ao seguinte critério: a partir de um ponto, previamente escolhido, coloca-se um vetor eqüipolente a um dos outros vetores dados e assim sucessivamente. O vetor soma ou resultante será aquele que tem origem na origem do primeiro e extremidade do último. Vetor eqüipolente é um vetor que tem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor considerado. Exemplo: Determinar o vetor soma dos vetores abaixo. Resolução: Fixando o ponto O arbitrariamente Note que: Quando a extremidade do último vetor coincidir com a origem do primeiro, isto é, quando o polígono for fechado, o vetor resultante será nulo. (R = 0) Em qualquer ordem de colocação dos vetores, o vetor Resultante terá o mesmo módulo. VETOR SOMA DE MAIS DE DOIS VETORES Quando o sistema é formado por mais de dois vetores concorrentes e coplanares, a solução analítica é possível. Para tanto se deve empregar o método das projeções de cada vetor em dois eixos perpendiculares. Neste item vamos considerar o ângulo que o vetor forma com o eixo de referência como sendo um ângulo menor ou igual a 90º. O eixo de referência será sempre o eixo x. De acordo com esta convenção, observa-se o ângulo que cada vetor da figura forma com o eixo x. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Exemplo: Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Exercícios 1) Obtenha o módulo e faça o desenho do vetor resultante da soma de dois vetores de módulo 10 m cada um, o ângulo entre eles é de 135º. 2) Na figura abaixo todos os vetores tem o mesmo módulo, de 5 cm, decomponha todos os vetores os eixos x e y, calcule o módulo do vetor resultante. 3) Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60° e possuem módulos iguais a 8,0 m. Calcule os módulos dos deslocamentos faça os desenhos do vetor resultante para os casos: Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 4) Determine a intensidade da força resultante em cada um dos casos. a) b) 5) Determine o ângulo de para conectar o membro A a chapa de modo que a força resultante FA e FB seja direcionada horizontalmente para direita. Além disso informe qual é a intensidade da força resultante. 6) Decomponha F1 e F2 nas componentes que atuam ao longo dos eixos u e v e determine suas intensidades. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre )Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 7) Calcule o módulo do vetor resultante do vetor e em cada caso abaixo. 8) Os módulos das forças representadas na figura são F1 = 30N, F2 = 20 N e F3 = 10N. Determine o módulo da força resultante: a) 14,2 N b) 18,6 N c) 25,0 N d) 21,3 N e) 28,1 N 9) Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercícidas pelos rebocadores é de 5,00kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine a tração em cada corda sabendo que . Solução: Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 10) Um carro avariado é puxado por duas cordas, como na figura abaixo. A tração em AB é de 400 N, e o ângulo , sabendo que a resultante das duas forças aplicadas em A tem a direção do eixo do carro, utilizando trigonometria determine: a) a tração na corda AC e b) a intensidade da resultante das duas forças aplicadas em A. 11) Utilizando trigonometria , determine o módulo da resultante das duas forças da figura abaixo. 12) Determine o módulo e a direção da resultante das duas forças ilustradas na figura abaixo. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 13) Uma estaca é arrancada do solo com o auxílio de duas cordas, como na figura abaixo. Sendo α = 30°, determine o módulo da força P necessário para que a resultante seja vertical e o módulo correspondente da resultante? 14) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2 . Determine o módulo e a direção da força resultante. 15) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 16) termine a intensidade da força resultante que atua sobre o pino e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. 17) Sabendo que a tração na haste AC vale 638 N, determine a resultante das três forças exercidas no ponto A da viga AB. Respostas: 1) 7,7m 3) √ 4) a) 6,8 kN ; b) 666N 5) 6) F1v = 129 N , F1u = 183N , F2v =77,6N , F2u = 150N 7) a - cm b - 7 m c - 5 m 8) D 9) T1 = 3,66 N e T2 = 2,59N 10 ) a) 588 N b) 894N 11) 413 N 12) 707,4 N e a direção de 50,7° 13 ) P = 108 N e resultante = 197 N 14) FR= 298,25 N e θ = 9,06° 15) FCA = 20,52kN e FCB = 15,96 kN 16) FR = 338,2 e direção 11,3º , 17) Rx = 84,7 N e Ry = -189,2 N Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Notação escalar Quando as componentes formam um triângulo retângulo, suas intensidades podem ser determinadas por: No entanto, no lugar de utilizar o ângulo Ɵ, como o triângulo abc e o triângulo maior sombreado são semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece: Notação vetorial cartesiana Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de vetores cartesianos unitários i e j. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano. Vetores cartesianos As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os vetores forem primeiro representados na forma de um vetor cartesiano. Sistema de coordenadas destro Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z, quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo e direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo. Componentes retangulares de um vetor 3D Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decompô-lo em componentes, como: A = A’ + Az e depois A’ = Ax + Ay. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado pela soma vetorial de suas três componentes retangulares, A = Ax + Ay + Az Componentes retangulares de um vetor 3D A = Axi + Ayj + Azk Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente,simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente em três dimensões. É sempre possível obter a intensidade do vetor A, desde que ele seja expresso sob a forma de um vetor cartesiano. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Direção de um vetor cartesiano 3D A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados (alfa), (beta) e (gama), medidos entre A e os eixos x, y, z positivos, desde que sejam concorrentes na origem de A. Para determinarmos vamos considerar as projeções de A sobre os eixos x, y, z. Os ângulos estão nos planos de projeção. Notas de Aula : MecânicaCurso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor unitário uA na direção de A. “Direção de um vetor cartesiano 3D”. Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = Ax i + Ay j + Az k, então para que uA tenha uma intensidade unitária e seja adimensional, A será dividido pela sua intensidade, ou seja, vemos que as componentes i, j, k de uA representam os cossenos diretores de A, ou seja, uA = cos α i + cos β j + cos γ k Existe uma relação importante entre os cossenos diretores: = 1 A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como: A = A uA A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k A = Ax i + Ay j + Az k Pontos importantes _ A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver problemas em três dimensões. _ A intensidade de um vetor cartesiano é dada por _ A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção coordenados que o vetor forma com os eixos x, y, z positivos, respectivamente. As componentes do vetor unitário uA = A/A representam os cossenos diretores Apenas dois dos ângulos precisam ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação: cos2 + cos2 + cos2 = 1. _ Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulos e Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas por decomposição vetorial usando trigonometria. _ Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes (que se interceptam em um ponto), expresse cada força como um vetor cartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas as forças do sistema. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Formulação cartesiana do produto escalar Se quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e B expressos na forma de um vetor cartesiano, teremos: A · B = (Axi + Ayj + Azk) · (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx(i · i) + AxBy(i · j) + AxBz(i · k)+ AyBx(j · i) + AyBy(j · j) + AyBz(j · k)+ AzBx(k · i) + AzBy(k · j) + AzBz(k · k) Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final: A · B = AxBx + AyBy + AzBz Exemplos: 1) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. Vetor força resultante: Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Os ângulos diretores são calculados agora. Calculamos o vetor unitário da força resultante: Agora calculamos o valor dos ângulos. Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 2) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Solução: Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com Exercícios: 18) Determine a força resultante que atua sobre o gancho. Resposta: ( Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 19) Determine a intensidade e a direção da força resultante que atua sobre o encanamento. Resposta: Fr = 3768 kN 20) As duas forças F1 e F2 que atuam em A possuem uma força resultante FR = [- 100K] N. Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados de F2. Respostas: 21) A engrenagem está submetida às duas forças causadas pelo contato com outras engrenagens. Expresse cada força como um vetor cartesiano. Respostas: F1 = [70J – 140K] N F2 = [450i - 636,4J + 450K]N Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 22) O elo da figura está submetido as forças F1 e F2, determine a intensidade e aorientação da força resultante. Respostas: FR = 629 N e Ɵ = 67,9º 23) A extremidade da barra está submetida a três forças concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante. Respostas: FR = 485 N e Ɵ = 37,8º ESTEVES, Douglas. Aula de vetores: Vetores. 14-21 de feb de 2014. 34 p. Notas de Aula. Material retirado do livro: mecânica para engenheiros ( estática) 12 ed do Hibbeler..
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