Aula 1 1

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Sinais e Sistemas 
 
Prof. Eng. Viviana R. Zurro MSc. 
 
Aula 1-1 1 Sinais e Sistemas – Oppenheim - Willsky 
 
Aula 1: Energia e potência de um sinal 
Tomando como exemplo um circuito simples: 
 
𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡). 𝑖(𝑡) =
1
𝑅
𝑣2(𝑡) 
A energia total dissipada no intervalo 𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡2 é: 
∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
= ∫
1
𝑅
𝑣2(𝑡)𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
 
Por definição potência é energia dissipada por unidade de tempo, portanto a potência 
média é: 
1
𝑡2 − 𝑡1
∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
=
1
𝑡2 − 𝑡1
∫
1
𝑅
𝑣2(𝑡)𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
 
Considerando este exemplo físico é possível usar esta terminologia para qualquer sinal 
em tempo continuo 𝑥(𝑡) ou em tempo discreto 𝑥[𝑛]. Em tempo contínuo a energia é definida 
como: 
 𝐸 = ∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
 (1) 
E a potência média como: 
 𝑃 =
𝐸
𝑡2 − 𝑡1
 
(2) 
Em tempo discreto a energia é definida como: 
 𝐸 = ∑ |𝑥[𝑛]|2
𝑛2
𝑛=𝑛1
 
(3) 
E a potência média como: 
 𝑃 =
𝐸
𝑛2 − 𝑛1 + 1
 
(4) 
Muitas vezes será necessário examinar potência e energia de um sinal em intervalos 
de duração infinita. Nestes casos poderemos definir a energia em tempo contínuo e discreto 
como: 
 𝐸∞ ≜ lim
𝑇→∞
∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
T
−T
= ∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
∞
−∞
 
(5) 
 𝐸∞ ≜ lim
𝑛→∞
∑ |𝑥[𝑛]|2
𝑁
𝑛=−𝑁
= ∑ |𝑥[𝑛]|2
∞
𝑛=∞
 
(6) 
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Aula 1-1 2 Sinais e Sistemas – Oppenheim - Willsky 
 
Nos dois casos para alguns sinais as equações 5 e 6 podem não ser convergentes. 
Sinais desse tipo tem energia infinita: 𝐸∞ = ∞ (sinais 𝑥(𝑡) ou 𝑥[𝑛] constantes e ≠ 0 ∀𝑡 ou 𝑛). 
Caso contrário, se as equações são convergentes os sinais tem energia finita 𝐸∞ < ∞. 
A potencia média num intervalo de duração finita pode ser calculada para sinais 
contínuos e discretos como: 
 𝑃∞ ≜ lim
𝑇→∞
1
2𝑇
∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
T
−T
 
(7) 
 𝑃∞ ≜ lim
𝑛→∞
1
2𝑁 + 1
∑ |𝑥[𝑛]|2
𝑁
𝑛=−𝑁
 
(8) 
Com estas definições podemos identificar 3 classes importantes de sinais: 
• Sinais com energia finita 𝐸∞ < ∞: 
𝑃∞ ≜ lim
𝑇→∞
𝐸∞
2𝑇
= 0 
• Sinais com potência média finita: 𝑃∞ > 0 ⇒ 𝐸∞ = ∞. Se há energia média diferente de 
zero por unidade de tempo, se integrarmos ou somarmos num intervalo infinito, a 
energia será infinita. 
• Sinais que nem 𝑃∞ nem 𝐸∞ são finitos. Por exemplo o sinal 𝑥(𝑡) = 𝑡.