2018.1 ESTÁCIO MATEMÁTICA FINANCEIRA atualizada

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APOSTILA 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA
ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS
 
PROF.: MÁRIO S. TARANTO
SUMÁRIO 
CAPÍTULO 1 - MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
1.1.1 TERMO GERAL DA PA
1.1.2 SOMA DOS TERMOS DE UMA PA
1.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1.2.1 TERMO GERAL DA PG
1.2.2 SOMA DOS TERMOS DE UMA PG 
1.3 O OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.4 MOEDA
1.4.1 INFLAÇÃO
1.5 CONCEITOS-CHAVE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
1.5.1 PERCENTAGEM
1.5.2 TAXA PERCENTUAL
1.5.3 DESCONTOS SUCESSIVOS
1.5.4 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
1.6 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
CAPÍTULO 2 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
2.1 FLUXO DE CAIXA
2.2 JURO
2.2.1 ELEMENTOS BÁSICOS DO CÁLCULO DE JUROS
2.3 JUROS SIMPLES
2.3.1 FÓRMULA GERAL
2.3.2 JURO COMERCIAL E JURO EXATO
2.3.3 TAXAS PROPORCIONAIS (EQUIVALÊNCIA DE TAXAS)
CÁLCULO DO MONTANTE, DO PRINCIPAL, DA TAXA DE JUROS E DO NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO 
2.5 DESCONTO SIMPLES
2.5.1 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
2.5.2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
2.5.3 DESCONTO RACIONAL SIMPLES 
CAPÍTULO 3 - JUROS COMPOSTOS
3.1 EXPRESSÃO DA CAPITALIZAÇÃO
3.1.1 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO (FPS)
3.2 CÁLCULO DA APLICAÇÃO INICIAL 
3.2.1 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO (FSP) 
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS 
3.3.1 TAXA EFETIVA OU REAL
3.3.2 TAXA PROPORCIONAL
3.3.3 TAXA NOMINAL
CAPÍTULO 4 - DESCONTO COMPOSTO
4.1 VALOR ATUAL DO TÍTULO
4.2 DESCONTO COMPOSTO
CAPITAIS EQUIVALENTES 
4.3.1 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS APLICADOS
4.3.2 TAXA INTERNA DE RETORNO
CAPÍTULO 5 - SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS
5.1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ATRAVÉS DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS
5.1.1 SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS POSTECIPADOS
5.1.2 SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS ANTECIPADOS
5.2 AMORTIZAÇÃO COMPOSTA ATRAVÉS DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS
5.2.1 AMORTIZAÇÃO COM UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS POSTECIPADOS
5.2.2 AMORTIZAÇÃO COM UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS ANTECIPADOS
5.2.3 AMORTIZAÇÃO COM UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS DIFERIDOS 
5.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
5.4 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO 
5.5 TABELAS FINANCEIRAS
1 MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
	Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que se obtém cada termo, a partir do segundo, somando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da PA.
	As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão:
Se r > 0, a PA é crescente
Se r < 0, a PA é decrescente
Se r = 0, a PA é constante
1.1.1 TERMO GERAL DA PA
	
O termo geral an da PA é dado pela fórmula:
1.1.2 SOMA DOS TERMOS DE UMA PA
 
	A soma Sn dos n termos de uma PA é dada pela fórmula:
EXERCÍCIOS
1 – João pretende fazer uma poupança e começou com uma economia de R$ 500,00 no primeiro mês. Nos próximos meses, ele pretende aumentar gradativamente seus depósitos, economizando uma mesma importância a mais do que economizou no mês anterior. No décimo quinto mês, ele pretende economizar R$ 3.300,00. Para que isso aconteça, qual a importância que ele deverá economizar a mais por mês?
2 – O dono de uma fábrica pretende iniciar sua produção com 2.000 unidades mensais e, a cada mês, produzir 175 unidades a mais. Mantidas essas condições, em um ano quantas unidades a fábrica terá produzido no total? 
3 – Se 
 é uma P.A., então a soma dos três termos dessa P.A. é: 
4 – Numa PA o produto de seus 3 termos é 80 e a sua soma é 15, sua razão é? 
5 – Um professor de Educação Física utilizando 1.540 alunos, quer alinhá-los de modo que a figura formada seja um triângulo. Se na primeira fila for colocado um aluno, na segunda 2, na terceira 3 e assim por diante, quantas filas serão formadas? 
1.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
	Denomina-se progressão geométrica (PG) a seqüência em que se obtém cada termo, a partir do segundo, multiplicando o anterior por uma constante q. Essa constante q chama-se razão da PG.
	As progressões geométricas podem ser classificadas de acordo como valor de a1 e da razão:
Se a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1, a PG é crescente
Se a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a PG é decrescente
Para qualquer a1 com q < 0, a PG é alternante
Para qualquer a1 com q = 1, a PG é constante
1.2.1 TERMO GERAL DA PG
	
O termo geral an da PG é dado pela fórmula:
1.2.2 SOMA DOS TERMOS DE UMA PG
 
	A soma Sn dos n termos de uma PG finita é dada pela fórmula:
	
EXERCÍCIOS
6 – Numa PG sabe-se que o 4º termo é 30 e o 8º é 480, sua razão é? 
7 – A soma dos 10 primeiros termos da PG (–2, 4, –8, 16, ...) é igual a: 
8 – Se em uma P.G. de três termos reais o produto e a soma dos termos são, respectivamente, 216 e 26, então a soma dos dois primeiros termos dessa P.G., quando decrescente, é: 
9 – Bráulio abriu uma caderneta de poupança no dia 01/02/2018 com um depósito inicial de R$ 1.000,00. Supondo que o rendimento da poupança seja fixo e igual a 3% ao mês, em quantos meses ela terá um montante de aproximadamente R$ 1.512,60? 
10 – No final de 6 meses uma pessoa conseguiu poupar R$ 14.560,00. Sabendo-se que poupava a cada mês o triplo da quantia anterior, quanto ele poupou no primeiro mês? 
1.3 O OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
A Matemática Financeira tem por objetivo o manuseio de fluxos de caixa (entradas e saídas de dinheiro de um empresa ou de uma pessoa física relativas a um certo intervalo de tempo), visando suas transformações em outros fluxos equivalentes que permitam as suas comparações de maneira mais fácil e segura.
A manipulação desses fluxos de caixa só pode ser feita com a fixação dos juros, e pode-se ainda dizer que a existência da matemática financeira, com todas suas fórmulas e fatores, se prende, exclusivamente a existência dos mesmos. Assim, concluímos que o objetivo básico da matemática financeira é o cálculo do valor do dinheiro no tempo e o juro é o conceito mais diretamente associado a este cálculo.
1.4 MOEDA
Chamamos de valor da moeda ou poder aquisitiva da moeda, aquele representado pela quantidade de bens ou serviços que podem ser adquiridos com uma unidade monetária.
Dizemos que uma moeda é estável quando mantém, no decorrer do tempo, sempre o mesmo poder aquisitivo.
1.4.1 INFLAÇÃO
A depreciação do valor da moeda ou a redução do seu poder aquisitivo, é identificada como inflação. Observamos, porém, que o aumento dos preços de alguns bens e serviços, resultante, por exemplo, de uma escassez típica das entressafras, não é o bastante para caracterizar um processo inflacionário. Este só fica caracterizado se todos os bens e serviços acusam uma tendência de alta generalizada e contínua.
Assim, podemos caracterizar a inflação como uma contínua, persistente e generalizada expansão dos preços.
1.5 CONCEITOS- CHAVE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Definimos como juro a remuneração, a qualquer título, atribuída a um capital no decorrer do tempo. 
Para se determinar o valor do juro a ser cobrado ou recebido, utiliza-se a taxa percentual, referida a um intervalo de tempo, denominada taxa de juro. 
Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração desse capital durante um intervalo de tempo que denominamos período financeiro ou período de capitalização.
1.5.1 PERCENTAGEM
Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.
1.5.2 TAXA PERCENTUAL
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 unidades.
Uma razão 
, é chamado de razão centesimal ou taxa percentual. Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, é substituir o conseqüente 100 pelo símbolo %. 
Exemplos1: Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? 
Solução: Comissão = 0,03 x 3.600 = R$ 108,00.
 
Exemplo 2: Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a percentagem do lucro?
Solução: Taxa =
 = 0,08 = 8%.
1.5.3 DESCONTOS SUCESSIVOS
Basta calcularmos os líquidos parciais correspondentes efetuando os descontos oferecidos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos o valor líquido final.
VFinal = P  (1 – i1)  (1 – i2)  …  (1 – in)
Exemplo: Uma mercadoria que custava R$ 980,00 foi vendida com dois descontos sucessivos, de 5% e 7%. Qual o preço final da venda?
VFinal = 980  (1 – 0,05)  (1 – 0,07) 
VFinal = 980  0,95  0,93
VFinal = RS 865,83
1.5.4 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
Basta calcularmos os valores parciais correspondentes aos referentes acréscimos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos o valor líquido final.
VFinal = P  (1 + i1)  (1 + i2)  …  (1 + in)
Exemplo: Uma fatura de R$ 5.000,00 por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? 
VFinal = 5.000  (1 + 0,10)  (1 + 0,15)
VFinal = 5.000  1,10  1,15
VFinal = RS 6.325,00
EXERCÍCIOS 
11 – Uma pessoa gasta por semana para se deslocar para o trabalho R$ 35,00. Se o transporte sofreu um aumento de 13%, de quanto será seu gasto semanal?
12 – Certa mercadoria que custava R$ 625,00 teve um aumento passando a custar R$ 675,00. Qual o percentual de aumento ocorrido?
13 – Numa compra à vista uma mercadoria teve um desconto de 25%. Sabendo que o preço da mercadoria sem o desconto é de R$ 284,00, por quanto saiu a mercadoria?
14 – Um televisor custa R$ 420,00 e está sendo vendido com desconto de 15%. Por quanto o televisor está sendo vendido?
15 – Uma casa foi comprada por R$ 160.000,00 e vendida por R$ 188.000,00. Qual foi a taxa de lucro sobre o preço de custo? E sobre o preço de venda? 
16 – Um terreno foi comprado à vista com abatimento de 20% equivalente a R$ 15.000,00. Por quanto foi comprado o terreno?
17 – Um corretor recebe R$ 3.200,00 pela venda de duas casas, relativos à sua comissão de 5%. Sabendo que a razão dos valores das casas é de 
, quanto custou cada casa?
18 – Um produto que custava R$ 780,00 teve um aumento de 25% e, depois sobre o novo valor, um aumento de 30%. Qual o seu preço final? Qual o percentual total de aumento?
19 – Uma mercadoria custa R$ 250,00 e terá 4 aumentos consecutivos mensais: dois de 10% e dois de 15%. Qual o novo preço ao final desses 4 meses? Qual o percentual total de aumento?
20 – Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor inicial da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido final da mesma? Qual o percentual de desconto obtido?
1.6 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
	Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro. Existem dois tipos de regimes de capitalização: a juro simples e a juro composto.
No regime de capitalização a juro simples, por convenção, apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital para, também, render juro no período seguinte; dizemos, nesse caso, que os juros não são capitalizados. Já no regime de capitalização a juro composto, o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando esse montante a render juro no período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados.
2 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
2.1 FLUXO DE CAIXA
É o conjunto de entradas e saídas de dinheiro de um empresa ou de uma pessoa física relativas a um certo intervalo de tempo.
O fluxo de caixa é esquematizado por um diagrama onde se convencionou:
Colocar numa escala horizontal o período considerado (dias, meses, semestres, anos, etc...)
Indicar as entradas e saídas de dinheiro por setas: As que indicam entradas são voltadas para cima, tendo ao lado o sinal (+); As que indicam saídas são voltadas para baixo, tendo ao lado o sinal (-).
 (-) pag (+) receb
 (-) pag (+) receb
2.2 JURO 
Como já foi dito, é a quantia que se paga a título de compensação pelo uso de um dinheiro emprestado. Designa, também, a remuneração paga pelas instituições financeiras, quando nelas fazemos uma aplicação. 
2.2.1 ELEMENTOS BÁSICOS DO CÁLCULO DE JUROS
Capital - Chama-se capital ao valor de aplicação do dinheiro ou bem os quais recaem os juros. É denominado Principal e representado pelo símbolo P ou C.
Juros - Representa o valor da remuneração do capital num determinado período de tempo. Tem como símbolo J.
Taxa de juros - Dá-se o nome de taxa de juros ao número que expressa os juros relativos a 100 unidades monetárias, por uma unidade de tempo. A taxa de juros deve ser expressa em função de dois parâmetros: taxa de porcentagem e intervalo de tempo durante o qual essa taxa é computada. É representada pelo símbolo i.
Prazo - É o número de unidades de tempo em que o capital está para receber os juros. Tem como símbolo n.
Montante - Denomina-se montante, relativo a um período financeiro, a soma do valor de uma aplicação com os juros computados sobre essa mesma aplicação, durante o período considerado. Tem como símbolo S.
 S = P + J
2.3 JUROS SIMPLES
Juros simples é a operação financeira onde os juros são calculados unicamente sobre a aplicação inicial (Capital ou Principal) em qualquer que seja o número de período de capitalização.
2.3.1 FÓRMULA GERAL
Os problemas de juros simples podem ser resolvidos por meio de uma fórmula na qual o Capital ou Principal, a taxa, o tempo e os Juros, são representados pelas letras P, r, n e J, respectivamente.
Aplicação: Calculando os juros simples produzidos em n anos pela aplicação P com a taxa r ao ano, temos:
  
 
	Sendo n o número de períodos de capitalização: 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 
Fazendo i = 
, temos: J = Pin
 r  taxa de juros dada em porcentagem.
 i  taxa de juros dada em número decimal.
Obs.: É preciso que r e n se refiram a uma mesma unidade de tempo. Assim se r for % ao ano, n tem que ser expressa em anos.
Exemplo: Calcule os juros de uma aplicação de R$ 60.000,00 à taxa de 6% ao ano, pelo prazo de 2 meses. 
Dados: 
Solução: J = Pin
 
J = 60.000 x 0,005 x 2
J = 600. 
Logo: Juros da aplicação = R$ 600,00.
2.3.2 JURO COMERCIAL E JURO EXATO
	A técnica mais utilizada no cálculo do juro simples é denominada juro simples comercial (1 ano = 360 dias). Entretanto, podemos obter o juro fazendo o uso do número exato de dias do ano (365 dias ou 366 dias, se o ano for bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato. 
	Normalmente utilizamos a taxa do juro simples comercial para o número exato de dias; é a que proporciona o juro máximo em qualquer transação. 
	Podemos obter o número exato de dias entre duas datas pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que um ano é bissexto quando seu número é divisível por 4. 
2.3.3 TAXAS PROPORCIONAIS (EQUIVALÊNCIA DE TAXAS)
Duas taxas são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo de juros simples de um mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais.
As taxas proporcionais são: 
 i ao ano = 2 i ao semestre = 4 i ao trimestre = 12 i ao mês = 360 i ao dia
EXERCÍCIOS 
21 – Calcule os juros de uma aplicação de R$ 12.000,00 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de um semestre.
22 – Que principal, que aplicadoa 2% ao mês durante 2 anos e 6 meses, produzirá R$ 2.400,00 de juros?
23 – O capital de R$ 500.000,00, à taxa de 12% ao ano, rendeu R$ 120.000,00 de juros. Quantos anos este capital esteve aplicado?
24 – Calcule os juros de uma aplicação de R$ 35.000,00, a taxa de 4% ao mês, pelo prazo de 72 dias.
25 – Que quantia se deve investir à taxa de 3% ao mês, para que se tenha ao final de 84 dias uma renda de R$ 9.720,00?
26 – Calcule os juros de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias.
27 – Um investimento de R$ 2.800,00 rendeu em 1 ano, 5 meses e 3 dias a importância de R$ 2.873,00. Calcular a taxa mensal dessa rentabilidade.
28 – Calcule os juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 à taxa de 33,6% ao ano pelo prazo de 2 anos, 5 meses e 12 dias.
29 – Que quantia se deve aplicar durante 1 ano, 6 meses e 24 dias, à taxa de 42% ao ano, para obter R$ 18.424,00 de juros?
30 – Um investidor aplica 2/5 do seu capital a 3,5% ao mês e o restante a 24% ao semestre. Decorrido 2 anos 3 meses e 15 dias recebe um total de R$ 313.500,00 de juros. Calcule o seu principal.
2.4 CÁLCULO DO MONTANTE, DO PRINCIPAL, DA TAXA DE JUROS E DO NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO
Sabendo que o montante é a soma do principal com os juros, onde:
S = P + J 
sendo S o montante, P o Principal e J os juros e J = Pin. 
Substituindo o valor de J na expressão, temos:
S = P + Pin  S = P ( 1 + in ) 
Nota: O binômio (1 + in) é chamado de fator de capitalização simples e o binômio 
 fator de descapitalização simples. 
Exemplo: Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a 30% ao mês, pelo prazo de 9 meses. 
	
Dados: 
	Solução: S = P ( 1 + in )
S = 5.000 ( 1 + 0,3 x 9 )
S = 5.000 ( 1 + 2,7 )
S = 5.000 x 3,7
S = 18.500
Logo: Montante = R$ 18.500,00. 
EXERCÍCIOS
31 – Qual o montante acumulado em 24 meses, a uma taxa de 2% ao mês no regime de juros simples, a partir de um Principal de R$ 2.000,00?
32 – Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?
33 – Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples?
34 – Quanto se deve investir à taxa de 3,5% ao mês, para que no final de 135 dias se tenha um montante de R$ 5.678,00?
35 – Um aparelho de som custa R$ 230,00. Como vou compra-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará juros simples de 3,5% ao mês. Quanto vou pagar por esse aparelho?
36 – A que taxa anual esteve aplicada a quantia de R$ 3.082,60 para acumular em 2 anos, 1 mês e 6 dias o montante de R$ 3.500,00?
37 – Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada.
38 – Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 8.320,00?
39 – Uma concessionária vende um automóvel por R$ 15.000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16.540,00, sendo R$ 4.000,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro simples mensal cobrada?
40 – Um investidor aplicou R$ 200.000,00 no dia 06/01/18, à taxa de 27% ao ano, no regime de juro simples. Em que data esse capital elevar-se-á a R$ 219.500,00?
 
2.5 DESCONTO SIMPLES
	Numa dívida em dinheiro em uma data futura, é normal que o devedor dê ao credor um título de crédito como comprovante dessa dívida. Entretanto, se o devedor deseja resgatar sua dívida antecipadamente, ele tem direito de resgatá-la com um abatimento que é denominado desconto. 
	Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória (comprovante da aplicação de um capital em determinada data de vencimento), a duplicata (título emitido pela pessoa jurídica ao cliente a ser pago no futuro firmado em contrato) e a letra de câmbio (comprovante da aplicação de um capital em determinada data de vencimento emitido exclusivamente por uma instituição financeira).
O Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal de um título e valor nominal é a importância a ser paga na data do vencimento desse título.
O desconto pode ser sobre o valor nominal (desconto comercial) ou valor atual (desconto racional) de um título, que é o valor antes de seu vencimento.
2.5.1 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
	Chamamos de desconto comercial simples o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do título em determinado período de tempo com uma taxa fixa.
	Para o cálculo do valor comercial a ser descontado, temos:
N  valor nominal do título.
i  taxa de desconto.
n  tempo.
Nota: Para calcular o valor atual do título, basta fazer: A = N - d.
EXERCÍCIOS
41 – Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado 45 dias antes de seu vencimento, à taxa de 2,1% ao mês. Determine o valor do desconto comercial e o valor atual comercial.
42 – Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês.
43 – Uma duplicata, cujo o valor nominal é de R$ 2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?
44 – Um título, no valor nominal de R$ 8.400,00,com vencimento em 18/10/17, foi resgatado em 20/07/17. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor comercial descontado?
45 – Um título de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate.
2.5.2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
	Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes em determinada data, quando seus valores atuais são iguais nesta data.
	No regime de juro simples, essa data de equivalência deve ser a data que foi contraída a dívida. 
EXERCÍCIOS
46 – Quero substituir um título de R$ 5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título?
47 – Um título de valor nominal igual a R$ 6.300,00 para 90 dias deverá ser substituído por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, sendo à taxa de desconto comercial simples de 2,5% ao mês.
48 – Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 3.000,00 e o outro de R$ 3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de desconto comercial simples igual a 3% ao mês, qual será o valor do novo título?
49 – Um industrial deve pagar dois títulos: um de R$ 14.400,00 para 2 meses e outro de R$ 19.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal do novo título, sendo a taxa de desconto comercial simples igual a 3,8% ao mês?
50 – Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000,00 para 90 dias e outro de R$ 12.000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês.
51 – Substitua três títulos, um de R$ 4.000,00 para 30 dias, outro de R$ 10.000,00 para 60 dias e outro de R$ 16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês?
52 – Um indivíduo tem uma dívida a ser pagaem três parcelas: uma de R$ 10.000,00 de hoje a seis meses, outra de R$ 20.000,00 de hoje a nove meses e a terceira de R$ 30.000,00 de hoje a doze meses. O credor aceita o pagamento da dívida em duas parcelas iguais, no 6º mês e no 12º mês, a partir de hoje, utilizando-se uma taxa de juros simples de 45% ao ano. Calcule o valor de cada pagamento, adotando-se desconto comercial e a data zero como referência.
2.5.4 DESCONTO RACIONAL SIMPLES
Chamamos de desconto racional simples o quociente encontrado entre o desconto comercial simples e o fator de capitalização para uma taxa fixada, durante um tempo correspondente.
	Para determinar o valor atual racional fazemos 
.
EXERCÍCIOS
53 – Um título de R$ 13.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,5% ao mês 90 dias antes do seu vencimento. Determine o valor atual racional do título.
54 – Determine o valor do desconto e do valor atual racionais de um título de R$ 50.000,00, disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês.
55 – Um título tem desconto comercial simples de R$ 212,40 a três meses do seu vencimento. Se a taxa da operação é de 6% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.
56 – Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota uma taxa de 8% ao mês e o desconto comercial simples. O valor do desconto foi de R$ 1.344,00. Se na operação fosse adotado o desconto racional simples, o valor do desconto seria reduzido em R$ 144,00. Nessas condições, determine o valor nominal da duplicata.
57 – Dois títulos com o mesmo valor nominal foram descontados cinco meses antes do vencimento, aplicando-se uma taxa simples de desconto de 2% ao mês. O primeiro foi descontado pela modalidade de desconto racional simples, e o segundo pelo desconto comercial simples. Se o desconto sofrido totalizou R$ 23.100,00, qual o valor nominal de cada título?
58 – Um indivíduo deverá liquidar duas dívidas, expressas por dois títulos, um de R$ 37.000,00 e outro de R$ 49.800,00, vencíveis, respectivamente, em 8 e 11 meses, a partir de hoje. A taxa atual de juros simples é de 6% ao mês. Utilizando-se o crédito do valor atual racional, para que uma promissória de R$ 59.950,00 seja equivalente, hoje, aos dois títulos especificados, calcule o prazo de vencimento da promissória. 
3 JUROS COMPOSTOS
 
No regime de juros compostos, a capitalização cresce exponencialmente, pois os juros de cada período financeiro são incorporados ao montante do período anterior.
No exemplo da tabela abaixo observamos a capitalização de R$ 1.000,00 num período de 6 meses, à taxa de 5% ao mês, no regime de juros compostos:
 
	n
	aplicação
	juros
	1
	1.000,00
	50,00
	2
	1.050,00
	52,50
	3
	1.102,50
	55,13
	4 
	1.157,63
	57,88
	5
	1.215,51
	60,78
	6
	1.276,29
	63,81
	Total de juros: R$ 340,10
 
Observando a tabela notamos que os juros incorporados também passam a produzir juros, o que não acontece no regime de juros simples.
3.1 EXPRESSÃO DA CAPITALIZAÇÃO
Sendo S o montante gerado em uma aplicação P (valor principal) e i a taxa, temos:
 
S1 = P x ( 1 + i )
S2 = P x ( 1 + i ) x ( 1 + i )  S1 = P x ( 1 + i )2
S3 = P x ( 1 + i )2 x ( 1 + i )  S1 = P x ( 1 + i )3
S4 = P x ( 1 + i )3 x ( 1 + i )  S1 = P x ( 1 + i )4
É fácil verificar que esse processo se repete quantas vezes forem necessárias, e que o que ocorre é uma multiplicação de potência de mesma base, onde o expoente é a quantidade de meses da aplicação. 
Logo:
Sn = P  ( 1 + i )n
3.1.1 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO
A expressão ( 1 + i )n é o binômio que denomina o fator de P para S, ou seja, fator de capitalização, indicado por: 
 FPS ( r; n ) = ( 1 + i )n 
Substituindo o valor desse binômio em Sn = P ( 1 + i )n resulta:
 
Sn = P  FPS ( r; n ) 
Exemplo: Calcule o montante de uma aplicação de R$ 500,00 por um prazo de 8 meses, no regime de juros compostos, a taxa de 4% ao mês. 
	Dados: 
Sn = P  ( 1 + i )n 
	
S8 = 500  ( 1 + 0,04 )8
S8= 500  1,048
S8 = 500 x 1,36856 
S8 = 684,28
Logo: Montante = R$ 684,28.
Para calcular o montante também poderíamos utilizar a fórmula Sn = P  FPS ( r; n ).
3.2 CÁLCULO DA APLICAÇÃO INICIAL 
 
Sn = P  ( 1 + i )n  P = 
  P = Sn  
 ou P = Sn  
3.2.1 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO 
A expressão 
 é denominada fator de S para P, ou seja, fator de descapitalização, indicado por: 
FSP ( r; n ) = 
 
 
substituindo o valor desse binômio em P = Sn  
resulta:
P = Sn  FSP (r; n ) 
EXERCÍCIOS
59 – Calcular a aplicação inicial que no prazo de 3 meses, a 4% ao mês, a juros compostos, produzirá o montante de R$ 1.349,84?
60 – Calcular o montante de uma aplicação de R$ 850,00, a juros compostos e taxa de 3,5% ao mês, capitalizados durante 9 meses.
61 – Calcular o montante de uma aplicação de R$ 420,00 a juros compostos, à taxa de 42% ao ano, durante 3 anos e 4 meses.
62 – Quanto devemos aplicar, no regime de juros compostos, à taxa de 36% ao ano, para obtermos em 2 anos, 3 meses e 20 dias a importância de R$ 4.368,38?
63 – Quanto devemos aplicar à taxa de 2,5% ao mês, no regime de juros compostos, para obtermos em 1 ano e 4 meses a importância de R$ 2.000,00?
64 – Por quanto tempo (dias, meses e anos) se deve empregar R$ 6.000,00 à taxa de 30% ao ano, para obter o montante de R$ 11.394,00?
65 – Em que prazo a quantia de R$ 120.000,00 a 4% ao mês, renderá de juros compostos a importância de R$ 90.535,71?
 
66 – Determine:
FPS (5,5%; 8 ) =
FSP (3%; 4 ) =
FPS (2,5%; 6 ) =
FSP (15%; 3 ) =
3.3 RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS
O montante Sn de uma aplicação P, relativo as taxas mensais e anuais é obtido pelas fórmulas:
 
Sn = P  ( 1 + i )12 e Sn = P  ( 1 + i ), 
onde igualando os dois segundos membros dessas expressões e simplificando, obtemos:
( 1 + i )12 = ( 1 + i )
Por analogia, com as outras taxas equivalentes, temos: 
 ( 1 + i ) = ( 1 + i )2 = ( 1 + i )4 = ( 1 + i )12 = ( 1 + i )360
 
Exemplo: Calcule a taxa mensal equivalente a 36% ao ano.
	( 1 + i ) = ( 1 + i ) 12
 
( 1 + 0,36 ) = ( 1 + i )12
1,36 = ( 1 + i )12
1 + i = 
	i = 
- 1 
i = 1,02595 - 1
i = 0, 02595 
Logo: r = 2,595% ao mês.
3.3.1 TAXA EFETIVA OU REAL
Uma taxa é efetiva ou real quando a sua unidade de tempo coincide com a unidade de tempo do período de capitalização.
Exemplos: a) 5% ao mês capitalizados mensalmente.
 b) 10% ao trimestre capitalizados trimestralmente.
3.3.2 TAXA PROPORCIONAL
	Duas taxas são proporcionais quando seus valores formarem uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos a mesma unidade.
Exemplos: a) 48% ao ano é proporcional a 4% ao mês.
 b) 36% ao ano é proporcional a 3% ao mês.
3.3.3 TAXA NOMINAL
Se a unidade de tempo da taxa é diferente da unidade de tempo do período de capitalização, dizemos que a taxa é nominal.
Exemplo: a) 18% ao ano capitalizados mensalmente.
 b) 24% ao ano capitalizados trimestralmente.
Observações:
1 - Em geral a taxa nominal é dada com o período em anos. 
2 - Nos cálculos não se opera com a taxa nominal e sim com a taxa efetiva correspondente.
3 - Para converter uma taxa nominal em taxa efetiva, basta reduzir o seu período ao período de capitalização. A redução da taxa nominal à taxa efetiva anual é feita de acordo com o seguinte procedimento:converte-se a taxa nominal em taxa efetiva e calcula-se em seguida a taxa equivalente à taxa efetiva encontrada.
Exemplo: Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 36% ao ano, com capitalização trimestral. 
1º passo: Converter a taxa nominal em taxa efetiva, com capitalização trimestral.
 ao trimestre.
 
2º passo: Calcular a taxa equivalente de acordo com o solicitado.
 
	( 1 + i ) = ( 1 + i )4
( 1 + i ) = ( 1 + 0,09 )4
( 1 + i ) = ( 1,09 )4 
1 + i = 1,41158
	i = 1,41158 - 1
i = 0,41158
r = 41,16% ao ano.
EXERCÍCIOS
67 – Qual a taxa mensal que é proporcional à taxa de 7,5% ao semestre?
68 – Qual taxa diária proporcional à taxa de 24% ao ano?
69 – Calcule a taxa anual equivalente a 3% ao mês.
70 – Calcule a taxa trimestral equivalente a 12% ao semestre.
71 – Calcule a taxa efetiva mensal equivalente à taxa nominal de 24% ao ano, capitalizados mensalmente.
72 – Qual a taxa diária equivalente à taxa de 12% ao semestre? 
73 – Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 48% ao ano, capitalizados mensalmente.
74 – Uma loja de eletrodomésticos financia as mercadorias que vende. Sua taxa de juros é de 42% ao ano, capitalizados mensalmente. Determine a taxa efetiva anual equivalente neste caso.
4 VALOR ATUAL DE UM TÍTULO E DESCONTO COMPOSTO
4.1 VALOR ATUAL DE UM TÍTULO
Chama-se valor atual de um título, resgatável em n anos, a aplicação P que a juros compostos durante n anos, adquire Sn( valor nominal).
Sn = P  ( 1 + i )n  P = 
  P = Sn  FSP (r; n)
Substituindo P por VA e Sn por, temos: 
VA = N  FSP (r; n) ou VA = N  
consequentemente, 
N = VA  (1 + i)n
onde: 
VA  valor atual
N  valor nominal
Vn  FSP (r; n) ou FNVA (r; n)
4.2 DESCONTO COMPOSTO
É a diferença entre o valor nominal e o valor atual do título.
	Utilizando a definição dada acima para desconto composto, temos:
D = N - VA  D = N - N  
  D = N  
Exemplo: Calcule o desconto composto de um título de R$ 30.000,00 resgatado 4 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de 9,5% ao mês.
	Dados:
N = 30.000
n = ao mês.
R = 9,5% ao mês.
I = 0,095
	FSP (r; n) = 
 = 
 = 0,69557
	
D = N  
 
	D = 30.000 x ( 1 - 0,69557 ) = 30.000 x 0,30443 = 9.132,9
Logo: Desconto = R$ 9.132,90.
EXERCÍCIOS
75 – Determine o valor atual e o desconto de um título de R$ 25.000,00 resgatado 7 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 3,5% ao mês.
76 – Determine o valor atual e o desconto de um título de R$ 9.500,00 resgatado 4 trimestres antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 10% ao trimestre.
77 – Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$ 8.000,00, faltando ainda 3 anos para seu vencimento. Calcule o valor atual e o desconto, sabendo que a taxa de desconto é de 2,5% ao mês.
78 – Um título cujo o valor nominal é de R$ 7.000,00 foi resgatado por R$ 3.110,61, com uma antecipação de 1 ano e 4 meses. Calcule a taxa de desconto.
79 – Uma promissória de R$ 15.000,00 foi resgatada com desconto de 20% ao ano, por R$ 9.567,00. Calcule o tempo de antecipação do resgate.
4.3 CAPITAIS EQUIVALENTES 
Dois ou mais capitais são equivalentes, numa certa época, se nessa época seus valores atuais são iguais, quando calculados com a mesma taxa.
4.3.1 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS APLICADOS
Para substituir dois ou mais títulos com vencimentos diferentes por um único, pode ocorrer os seguintes problemas:
Cálculo do valor nominal do título único, dado o seu vencimento.
Determinação do vencimento quando nele é fixado um valor nominal. 
Se o valor nominal do título único é N e os dos títulos a serem substituídos N1, N2, N3, ... , etc, respectivamente, podemos resolver esses problemas com o emprego da fórmula:
 
 = 
 + 
 + ... + 
Exemplo: Um negociante deseja substituir dois títulos, um de R$ 180,00 e outro de R$ 320,00, com vencimento para 10/07/14 e 15/08/14, respectivamente, por um único com vencimento para 25/11/14. Calcule o valor nominal deste ultimo, considerando a operação concluída no dia 25/06/14, a taxa de desconto composto é de 2,4% ao mês.
	Utilizando a relação de equivalência entre taxas, temos que:
r = 24% ao mês  r = 0,079 ao dia  i = 0,00079 
 
 = 
 + 
 = 
 = 177,87967 + 307,61245
 = 485,49212
N = 485,49212  1,12575 = 546,54
	Logo o valor nominal do novo título é de R$ 546,54. 
EXERCÍCIOS
80 – Um comerciante deseja substituir duas promissórias por um título único. O valor nominal da primeira promissória é de é de R$ 4.000,00 e ainda restam 1 ano e 3 meses para o seu vencimento. O da segunda que deve vencer daqui a 8 meses, é de R$ 6.000,00. Calcule o valor desse título único, sabendo que a taxa de desconto é de 4,5% ao mês e o prazo é de 6 meses.
81 – Uma firma deve a um banco a importância de R$ 9.000,00, representados por 3 títulos: Um de R$ 5.200,00, outro de R$ 1.800,00 e o terceiro de R$ 2.000,00, vencíveis respectivamente em 1 ano e 2 meses,1 ano e 6 meses e 2 anos. Calcule o valor nominal do título único que exprime o valor da divida, com vencimentos para 1ano e 4 meses. A taxa de toda transação é a mesma: 22% ao ano. 
82 – Determine o vencimento de um título de R$ 8.000,00, que deverá substituir, a partir de 17/06/17, um de R$ 2.500,00 e outro de R$ 4.000,00, com vencimentos respectivos para 20/07/17 e 12/10/17. A taxa de desconto é de 3% ao mês.
83 – Um agricultor contraiu um empréstimo de R$ 50.000,00, pagáveis em 3 anos, à taxa de 18% ao ano, capitalizados mensalmente. Decorrido 1 ano resolve saldar a dívida. Calcule o valor do resgate, sabendo que a taxa de desconto é de 12% ao ano. 
84 – Dois títulos, um de R$ 3.000,00 e outro de R$ 4.000,00, com vencimentos para 20/07/07 e 25/08/07, respectivamente, devem ser substituídos por um único, com vencimento para 30/11/07. Calcule o valor nominal deste último, considerando a operação concluída no dia 30/06/07 e com taxa de desconto de 2,4% ao mês.
4.3.2 TAXA INTERNA DE RETORNO
	A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos com o valor presente de um ou mais recebimentos. 
Como normalmente temos um fluxo de caixa inicial que representa o valor do investimento, ou do empréstimo ou do financiamento, e diversos fluxos futuros de caixa representando os valores das receitas, ou das prestações, a equação que nos dá a taxa interna de retorno (TIR) é a mesma da equivalência de capitais aplicados.
	A solução dos problemas de TIR somente pode ser obtida pelo processo interativo, ou seja, por “tentativa e erro” utilizando o processo de interpolação linear.
EXERCÍCIOS
85 – Determine a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de R$ 1.000,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 400,00.
86 – Um empréstimo no valor de R$ 2.000,00 deverá ser quitado em três prestações de R$ 550,00, R$ 670,00 e R$ 940,00, com vencimentos a 42, 57 e 84 dias, respectivamente. Calcule a taxa mensal de juros cobrada nessa operação, de acordo com o critério de juros compostos.
5 SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS
	Quando fazemos um investimento, como por exemplo: construir um capital com depósitos periódicos de determinada quantia ou pagar prestações mensalmente, podemos construir um capital ou resgatá-lo depositando ou pagando certas quantias nesses períodos.
	Nas séries de pagamentos iguais, chamamos de capitalização o fato de construir um capital com depósitos periódicos e de amortização as prestações pagas também periodicamente.Quanto a data do vencimento da primeira prestação, pode ser postecipada, antecipada 
ou diferida:
I - Postecipada: ocorre quando o vencimento da primeira prestação se dá no fim do primeiro período a contar da data zero (data da assinatura do contrato).
Exemplo: A compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinatura do contrato.
 
II - Antecipada: ocorre quando o vencimento da primeira prestação se dá na data zero. 
Exemplo: Os depósitos mensais de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo determinado.
III - Diferida: ocorre quando o vencimento da primeira prestação se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero.
Exemplo: A compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação no fim de um determinado número de meses. 
Notas:
Sempre que o tipo de série de pagamentos não for especificado, deveremos supor que se trata de uma série postecipada, por ser o tipo mais comum.
5.1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ATRAVÉS DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS
	É a determinação do montante constituído por depósitos periódicos de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa. 
5.1.1 SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS POSTECIPADOS
É a determinação de um montante através da soma de depósitos capitalizados periodicamente no final do período.
	
Exemplo 1: Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de dada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.
	O que se pede no problema é a determinação do montante desses depósitos na data final, sendo que o último depósito não terá rendimento.
Partindo da fórmula: Sn = P  (1 + i)n , temos:
0	1	2	3	4	5
100	100	100	100	100
				100 (1 + 0,02) = 100 x 1,02
				
				100 (1 + 0,02)2 = 100 x 1,022
				100 (1 + 0,02)3 = 100 x 1,023
	
				100 (1 + 0,02)4 = 100 x 1,024
Representando o montante de uma renda antecipada por 
, e pela definição, temos:
 = (100) + (100 x 1,02) + (100 x 1,022) + (100 x 1,023) + (100 x 1,024)
 = 100 (1 + 1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024)
 = 100 (1 + 1,02 + 1,0404 + 1,06121 + 1, 08243) 
 = 100 x 5,20404
 = 520,40
	Logo, o montante da renda é de R$ 520,40.
A fórmula que nos dá o montante de uma série de pagamentos postecipados sem que necessitemos da utilização desses cálculos é dada utilizando as seguintes denotações:
 
 = T  
 
 
Se utilizarmos a fórmula no mesmo problema dado como exemplo, confirmamos que:
 = 100 x 
 
 = 100 x 
 
 = 100 x 
 
 = 100 x 
 
 = 100 x 5,204 
 = 520,4
	Logo, confirmamos através da fórmula que o montante realmente é de R$ 520,40.
EXERCÍCIOS
87 – Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2,5 anos?
88 – Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00?
89 – Calcule o depósito anual que produzirá um montante de R$ 200.000,00, à taxa de 25% ao ano, no período de 6 anos.
90 – Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00?
91 – Quantas mensalidades postecipadas de R$ 2.000,00 serão necessárias para, a 0,5% ao mês, constituirmos um capital de R$ 16.283,00?
5.1.2 SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS ANTECIPADOS
Na capitalização de uma série de pagamentos antecipados, o depósito ocorre no início do período, fazendo com que ao final desse, já se origine um montante. 
Para a fórmula desse tipo de capitalização, utilizamos as denotações abaixo:
= T  
 
 
Exemplo 1: Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante sabendo que essa financeira paga juros de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.
Utilizando a fórmula 
= T  
, temos:
= 100 x 
= 100 x 
= 100 x 
= 100 x 
= 100 x 
= 100 x 5,308
= 530,8
Logo, o montante da renda depositada é de R$ 530,80.
Exemplo 2: Qual o montante de uma série de pagamentos antecipados no período de 10 meses, para uma aplicação mensal de R$ 500,00, à taxa de 1,5% ao mês?
= 500 x 
= 500 x 
= 500 x 
= 500 x 
= 500 x 
= 500 x 10,86333 = 5.431,665
Logo, o montante é de R$ 5.431,67.
 
EXERCÍCIOS
92 – Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 depósitos de R$ 7.000,00, sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos.
93 – Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18% ao ano, para constituir um montante de R$ 5.000,00 no fim de 3 anos, sendo os juros capitalizados semestralmente?
94 – Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição financeira, à taxa de 1,5% ao mês, de modo que com 8 depósitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000,00. Calcule a importância.
95 – Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 15.614,00 serão necessários para constituir o montante de R$ 200.000,00, à taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?
96 – Calcule o número de depósitos de uma renda anual antecipada, à taxa de 10% ao ano, de R$ 20.000,00, cujo montante é de R$ 169.743,00.
5.2 AMORTIZAÇÃO COMPOSTA ATRAVÉS DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS
	É o pagamento de prestações periódicas em quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa. 
5.2.1 AMORTIZAÇÃO PARA UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS POSTECIPADOS
	É a determinação da soma dos valores dessas prestações na data zero (data da assinatura do contrato).
Exemplo 1: Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a taxa de juro?
	Temos:
	Assim, cada prestação (T = 100) representa o valor futuro individual de um valor atual que não conhecemos, aplicado a 2% ao mês e por prazos que vão de 1 a 5 meses.
Analogamente, utilizando a fórmula: Sn = P  (1 + i)n , encontramos a fórmula que nos dá o valor atual: 
An = N  (1 + i)-n.
Temos, então:
0	1	2	3	4	5
100	100	100	100	100
100 (1 + 0,02) -1 = 100 x 1,02 -1
				
100 (1 + 0,02) -2 = 100 x 1,02 -2
100 (1 + 0,02) -3 = 100 x 1,02 -3
	
100 (1 + 0,02) -4 = 100 x 1,02 -4
100 (1 + 0,02) -5 = 100 x 1,02 -5
	
Pela definição para amortização de uma renda imediata e representando seu montante por 
, temos:
 = 100 x 1,02-1 + 100 x 1,02-2 + 100 x 1,02-3 + 100 x 1,02-4 + 100 x 1,02-5
 = 100 (1,02-1 + 1,02-2 + 1,02-3 + 1,02-4 + 1,02-5)
 = 100 (0,98045 + 0,96123 + 0,94238 + 0,92392 + 0,90579) 
 = 100 x 4,71377
 = 471,377
	Logo, a dívida para a amortizada de uma renda imediata é de R$ 471,38.
A fórmula que nos dá o valor atual para esse tipo de amortização sem que necessitemos da utilização desses cálculos é dada utilizando as seguintes denotações:
	Temos então, para o valor atual desse tipo de amortização a fórmula:
 = T  
Se a utilizarmos no mesmo problema dado como exemplo, confirmamos que:
 = 100 x 
 
 = 100 x 
 
 = 100 x 
 
 = 100 x 
 
 = 100 x 4,71377 
 = 471,377
	Logo, também confirmamos através da fórmula da amortização de uma renda imediata que a dívida realmente é de R$ 471,38.
Exemplo 2: Qual o valor atual de uma renda imediata em 12 pagamentos mensais iguais de R$ 15.000,00 cada um, à taxa de 6% ao mês?
Utilizando a fórmula= T  
, temos:
 = 15.000 x 
 = 15.000 x 
 = 15.000 x 
 = 15.000 x 8,384
 = 125.760
	Logo, o valor atual é a importância de R$ 125.760,00.
EXERCÍCIOS 
97 – Que dívida pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$ 800,00 cada uma, sendo de 2% ao mês a taxa de juro?
98 – Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 10 prestações, um empréstimo de R$ 15.000,00 a juros de 2,5% ao mês.
99 – Quantas prestações mensais de R$ 900,00 serão necessárias para, a 3,5% ao mês, se pagar uma dívida de R$ 12.791,00?
100 – O preço de um carro é de R$ 17.700,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é financiado à taxa de 5% ao mês em 10 meses. Calcule o valor da prestação mensal.
101 – O valor atual de uma renda anual e imediata de prestações de R$ 900,00, a taxa de 6% ao ano, é de R$ 6.624,10. Calcule o número de prestações.
5.2.2 AMORTIZAÇÃO PARA UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS ANTECIPADOS
	No caso da amortização através de uma série de pagamentos antecipados, a primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato. Seu valor atual é determinado pela soma dos valores das prestações incluindo a da data zero. (data da assinatura do contrato).
	Assim, a fórmula que nos dá o valor atual desse tipo de amortização é dada utilizando as mesmas denotações já vistas:
	Temos então, para o valor atual desse tipo de amortização a fórmula:
 = T  
Exemplo 1: Calcule o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 prestações mensais de R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês.
Utilizando a fórmula, temos:
 = 250 x 
 = 250 x 
 = 250 x 
 = 250 x 
 = 250 x 
 = 250 x 10,25187
 = 2.562,9675
	Logo, o valor atual da anuidade antecipada é de R$ 2.562,97.
Exemplo 2: Qual o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar, com 6 pagamentos, uma compra de R$ 6.500,00, com juro de 2,5% ao mês?
 
 Se 
 = T  
, temos:
6.500 = T x 
6.500 = T x 
6.500 = T x 
6.500 = T x 
6.500 = T x 
6.500 = T x 5,64675
T 
 = 1.151,1046
	Logo, o valor da prestação mensal antecipada é de R$ 1.151,10.
EXERCÍCIOS
102 – Calcule o valor atual de uma série de 15 prestações antecipadas iguais a R$ 200,00 cada uma, à taxa de 2,5% ao mês.
103 – Que dívida pode ser amortizada por 12 prestações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 cada uma, sendo de 5% ao bimestre a taxa de juro?
104 – Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações antecipadas, um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 3% ao mês.
105 – Quantas prestações anuais antecipadas de R$ 48.831,00 serão necessárias para pagar uma dívida de R$ 165.000,00 com taxa de juros de 40% ao ano?
106 – Quantas prestações bimestrais antecipadas de R$ 23.000,00 são necessárias para pagar uma dívida de R$ 202.080,00, à taxa de 3% ao bimestre?
5.2.3 AMORTIZAÇÃO PARA UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS DIFERIDO
As séries de pagamentos iguais diferido são aquelas em que o primeiro pagamento é exigível a partir de um certo período de carência. 
Assim, essa série de pagamentos, com n prestações e que apresente um diferimento (período de carência) igual a m tem a seguinte representação esquemática:
0 1 2	 (m - 1) m (m + 1) (m + 2)	 (m + n - 2) (m + n - 1) (m + n)
 
 T1 T2 Tn - 2 Tn - 1 Tn 
 
Para efeito de raciocínio, consideramos os pagamentos postecipados hipotéticos desde a época 1 até a época m. Assim, a série de pagamentos iguais em questão passa ser formada de (m + n) prestações:
0 1 2	 (m - 1) m (m + 1) (m + 2)	 (m + n - 2) (m + n - 1) (m + n)
(T) (T) (T) (T) T T T T T T 
O valor atual, na época zero, é:
= T 
Se desse valor subtrairmos o valor atual da renda hipotética, que é evidentemente:
= T 
ficaremos com o valor atual da renda diferida. 
 	Indicando o valor atual de uma série de pagamentos iguais diferido com um período de carência igual a m pelo símbolo 
, podemos escrever: 
= 
 - 

= T  
 - T 
	Colocando T em evidência no segundo membro, vem:
= T  
 - T 

= T  
que é a fórmula que nos dá o valor atual de uma série de pagamentos iguais diferido.
Exemplo 1: Qual o valor atual de uma renda de 15 prestações mensais de R$ 700,00, com 3 meses de carência, a taxa de 1,5% ao mês?
Utilizando a fórmula 
= T  
, temos:
= 700 x 
= 700 x 
= 700 x 
= 700 x 
= 700 x 
= 700 x 12,75936
= 8.931,552
Logo, o valor atual é de R$ 8.931,55.
Exemplo 2: Calcule o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada com 10 prestações mensais de R$ 500,00, sendo de 2% a taxa de juro e devendo a primeira prestação ser paga 3 meses depois de realizado o empréstimo.
	Utilizando a mesma fórmula, temos:
= 500 x 
= 500 x 
= 500 x 
= 500 x 
= 500 x 
= 500 x 8,63592
= 4.317,96
Logo, o valor atual é de R$ 4.317,96.
 EXERCÍCIOS
107 – Calcule a dívida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestações mensais de R$ 500,00, a juros de 3% ao mês, com uma carência de 6 meses.
108 – Que dívida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de R$ 1.000,00, sendo de 7% ao bimestre a taxa de juro e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois de realizado o empréstimo?
109 – Uma dívida de R$ 20.000,00 foi amortizada com 6 prestações mensais. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juro igual a 1,5% ao mês e tendo havido uma carência de 2 meses?
110 – Uma dívida de R$ 16.000,00 deve ser amortizada com 4 pagamentos bimestrais consecutivos, sendo de 4% ao bimestre a taxa de juro. Calcule o valor dessas prestações, sabendo que o pagamento da primeira delas deve ser efetuado 3 bimestres após a realização do empréstimo.
5.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
	No Sistema de Amortização Constante o mutuário paga a dívida em prestações periódicas e imediatas que englobam juros e amortizações. 
A amortização é constante em todos os períodos e os juros são sobre o saldo devedor, portanto as prestações são decrescentes.
Exemplo: Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo sistema de Amortização Constante em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização.
Temos:
Inicialmente calcula-se o valor da amortização constante:
	1º Período:
J1 = i x D0 = 0,15 x 100.000 = R$ 15.000,00
T1 = A + J1 = 25.000 + 15.000 = R$ 40.000,00 
D1 = D0 - A = 100.000 - 25.000 = R$ 75.000,00
	2º Período:
J2 = i x D1 = 0,15 x 75.000 = R$ 11.250,00
T2 = A + J2 = 25.000 + 11.250 = R$ 36.250,00 
D2 = D1 - A = 75.000 - 25.000 = R$ 50.000,00
	3º Período:
J3 = i x D2 = 0,15 x 50.000 = R$ 7.500,00
T3 = A + J3 = 25.000 + 7.500 = R$ 32.500,00 
D3 = D2 - A = 50.000 - 25.000 = R$ 25.000,00
	4º Período:
J4 = i x D3 = 0,15 x 25.000 = R$ 3.750,00
T4 = A + J4 = 25.000 + 3.750 = R$ 28.750,00 
D4 = D3 - A = 25.000 - 25.000 = R$ 0,00
Logo:
	PERÍODO
	PRESTAÇÃO
	JURO
	AMORTIZAÇÃO
	SALDO DEVEDOR
	0
1
2
3
4
	
R$ 40.000,00
R$ 36.250,00
R$ 32.500,00
R$ 28.750,00
	
R$ 15.000,00
R$ 11.250,00
R$ 7.500,00
R$ 3.750,00
	
R$ 25.000,00
R$ 25.000,00
R$ 25.000,00
R$ 25.000,00
	R$ 100.000,00
R$ 75.000,00
R$ 50.000,00
R$ 25.000,00
R$ 0,00
	TOTAL
	R$ 137.500,00R$ 37.500,00
	R$ 100.000,00
	
 
5.3.1 DETERMINAÇÃO DO SALDO DEVEDOR
Para calcular o saldo devedor no Sistema de Amortização Constante, subtrai-se do valor da dívida o produto do valor da amortização constante pelo número de prestações pagas. 
EXERCÍCIOS
111 – Um empréstimo de R$ 200.000,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo Sistema de Amortização Constante, tendo sido contratada a taxa de juros de 10% ao semestre. Construa a planilha de amortização.
112 – Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e com um prazo de carência de 3 anos. Construa a planilha de amortização.
113 – Uma dívida de R$ 600.000,00 vai ser amortizada através do Sistema de amortização Constante em 12 prestações anuais à taxa de 20% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a oitava prestação.
5.4 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO
	No Sistema Francês de Amortização o mutuário paga a dívida em prestações constantes, periódicas e imediatas. Nesse sistema, como as prestações são constantes, à medida que são pagas a dívida diminui e os juros passam a ser menores enquanto as cotas de amortização aumentam.
	para calcular o valor de cada prestação, dividi-se o valor a ser amortizado pelo fator de amortização do financiamento.
Exemplo: Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema Francês de Amortização em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização.
Temos:
Primeiramente calcula-se o valor da prestação:
	1º Período:
J1 = i x D0 = 0,15 x 100.000 = R$ 15.000,00
A1 = T - J1 = 35.027 - 15.000 = R$ 20.027,00 
D1 = D0 - A = 100.000 - 20.027 = R$ 79.973,00
	3º Período:
J3 = i x D2 = 0,15 x 56.942 = R$ 8.541,00
A3 = T - J3 = 35.027 - 8.541 = R$ 26.486,00 
D3 = D2 - A = 56.942 - 26.486 = R$ 30.456,00
	2º Período:
J2 = i x D1 = 0,15 x 79.973 = R$ 11.996,00
A2 = T - J2 = 35.027 - 11.996 = R$ 23.031,00 
D2 = D1 - A = 79.973 - 23.031 = R$ 56.942,00
	4º Período:
J4 = i x D3 = 0,15 x 30.456 = R$ 4.568,00
A4 = T - J4 = 35.027 - 4.568 = R$ 30.459,00 
D4 = D3 - A = 30.456 - 30.459 = - R$ 3,00
Logo:
	PERÍODO
	PRESTAÇÃO
	JURO
	AMORTIZAÇÃO
	SALDO DEVEDOR
	0
1
2
3
4
	
R$ 35.027,00
R$ 35.027,00
R$ 35.027,00
R$ 35.024,00
	
R$ 15.000,00
R$ 11.996,00
R$ 8.541,00
R$ 4.568,00
	
R$ 20.027,00
R$ 23.031,00
R$ 26.486,00
R$ 30.456,00
	R$ 100.000,00
R$ 79.973,00
R$ 56.942,00
R$ 30.456,00
R$ 0,00
	TOTAL
	R$ 140.105,00
	R$ 40.105,00
	R$ 100.000,00
	
5.4.1 DETERMINAÇÃO DO SALDO DEVEDOR
 	Para calcular o saldo devedor no Sistema Francês de Amortização, multiplica-se o valor da prestação calculada pelo fator de amortização do período da dívida restante.
 
EXERCÍCIOS
114 – Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 8% ao ano. Sabendo que será adotado o Sistema Francês de Amortização, construa a planilha de amortização.
115 – Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema Francês de Amortização em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e com um prazo de carência de 3 anos. Construa a planilha de amortização.
 
116 – Uma dívida de R$ 50.000,00 vai ser amortizada através do Sistema Francês de Amortização em 8 prestações anuais à taxa de juro de 20% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a terceira prestação.
117 – Um banco empresta R$ 200.000,00 para serem pagos pelo Sistema Francês de Amortização em 20 prestações anuais à taxa de 25% ao ano. Calcule o saldo devedor após o pagamento da décima segunda prestação.
5.4.1 SISTEMA PRICE
	o Sistema Price é um caso particular do SFA onde a taxa do financiamento é dada ao ano e para o cálculo das prestações utiliza-se a taxa mensal proporcional.
EXERCÍCIOS
118 – Uma financeira emprestou R$ 100.000,00 à taxa de 18% ao ano para ser pago em seis prestações mensais pelo Sistema Price de Amortização. Construa a planilha.
119 – Uma financeira emprestou R$ 80.000,00 sendo a taxa cobrada de 18% ao ano para ser liquidado em oito meses pelo Sistema Price de Amortização. Construa a planilha.
5.5 TABELAS FINANCEIRAS
	É o instrumento que nos dá os valores de (1 + i)n para várias taxas relacionadas ao tempo e para localizá-los, procuramos a tabela da taxa percentual correspondente a i e na primeira coluna, o valor de n. O valor procurado de (1 + i)n é aquele que se encontra na interseção da coluna com a linha (número de períodos).
	Nessa tabela, o número de períodos já é dado na unidade de tempo da taxa. Veremos, agora, alguns exemplos de tabelas em função de suas taxas: 
	
	 i = 0,5%
	
	i = 1%
	
	N
	(1+ i)n
	(1+i)-n
	an] i
	sn] i
	
	n
	(1+ i)n
	(1+i)-n
	an] i
	sn] i
	1
	1,00500
	0,99502
	0,99502
	1,00000
	
	1
	1,01000
	0,99010
	0,99010
	1,00000
	2
	1,01002
	0,99007
	1,98510
	2,00500
	
	2
	1,02010
	0,98030
	1,97040
	2,01000
	3
	1,01508
	0,98515
	2,97025
	3,01502
	
	3
	1,03030
	0,97059
	2,94099
	3,03010
	4
	1,02015
	0,98025
	3,95050
	4,03010
	
	4
	1,04060
	0,96098
	3,90197
	4,06040
	5
	1,02525
	0,97537
	4,92587
	5,05025
	
	5
	1,05101
	0,95147
	4,85343
	5,10101
	6
	1,03038
	0,97052
	5,89638
	6,07550
	
	6
	1,06152
	0,94205
	5,79548
	6,15202
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	7
	1,03553
	0,96569
	6,86207
	7,10588
	
	7
	1,07214
	0,93272
	6,72819
	7,21354
	8
	1,04071
	0,96089
	7,82296
	8,14141
	
	8
	1,08286
	0,92348
	7,65168
	8,28567
	9
	1,04591
	0,95610
	8,77906
	9,18212
	
	9
	1,09369
	0,91434
	8,56602
	9,36853
	10
	1,05114
	0,95135
	9,73041
	10,22803
	
	10
	1,10462
	0,90529
	9,47130
	10,46221
	11
	1,05640
	0,94661
	10,67703
	11,27917
	
	11
	1,11567
	0,89632
	10,36763
	11,56683
	12
	1,06168
	0,94191
	11,61893
	12,33556
	
	12
	1,12683
	0,88745
	11,25508
	12,68250
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	13
	1,06699
	0,93722
	12,55615
	13,39724
	
	13
	1,13809
	0,87866
	12,13374
	13,80933
	14
	1,07232
	0,93256
	13,48871
	14,46423
	
	14
	1,14947
	0,86996
	13,00370
	14,94742
	15
	1,07768
	0,92792
	14,41662
	15,53655
	
	15
	1,16097
	0,86135
	13,86505
	16,09690
	16
	1,08307
	0,92330
	15,33993
	16,61423
	
	16
	1,17258
	0,85282
	14,71787
	17,25786
	17
	1,08849
	0,91871
	16,25863
	17,69730
	
	17
	1,18430
	0,84438
	15,56225
	18,43044
	18
	1,09393
	0,91414
	17,17277
	18,78579
	
	18
	1,19615
	0,83602
	16,39827
	19,61475
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	19
	1,09940
	0,90959
	18,08236
	19,87972
	
	19
	1,20811
	0,82774
	17,22601
	20,81090
	20
	1,10490
	0,90506
	18,98742
	20,97912
	
	20
	1,22019
	0,81954
	18,04555
	22,01900
	21
	1,11042
	0,90066
	19,88798
	22,08401
	
	21
	1,23239
	0,81143
	18,85698
	23,23919
	22
	1,11597
	0,89608
	20,78406
	23,19443
	
	22
	1,24472
	0,80340
	19,66038
	24,47159
	23
	1,12155
	0,89162
	21,67568
	24,31040
	
	23
	1,25716
	0,79544
	20,45582
	25,71630
	24
	1,12716
	0,88719
	22,56287
	25,43196
	
	24
	1,26973
	0,78757
	21,24339
	26,97346
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	25
	1,13280
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DE APOIO:
BRUNI, A., FAMA, R., “Matemática Financeira”, Editora ATLAS S. A., São paulo, 2003. 
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