Exercícios de Cálculo Vetorial

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UFPB - Universidade Federal da Paraiba
Centro de ciências exatas e da natureza
Departamento de matemática.
CÁLCULO VETORIAL
Prof.: José Ribeiro
LISTA DE EXERCICIOS DE CÁLCULO VETORIAL
1) Determine as distâncias dos pontos A = (1,−1, 4) e B = (6,−3, 1) à reta cujas equações simétricas
são x−24 =
y
−3 =
z−1
−2 .
2) Determine a distância dos pontos R = (1, 1,−1) e S = (1, 1, 1) ao plano 2x− y + z = 2.
3) Cacule a distância da reta
r :
{
y = 2x+ 3
z = 2x+ 1,
ao plano pi : 4x− 4y + 2z − 7 = 0.
4) Calcule a distância entre as retas r1 :
{
y = x− 3
z = −x+ 1, e r2 :

x = 1− t
y = 3− 2t
z = 1− t.
5) Para cada uma das parabolas x2 = 8y e x = 12y
2, construir o gráfico encontrando o foco e a diretriz.
6) Seja a parábola de vértice V = (4, 2) e foco F = (1, 2). Trace o gráfico e obtenha a equação geral
desta parábola.
7) Dada a parábola de equação y2 + 6y − 8x + 17 = 0. Determine a equação geral, ser vértice, seu
gráfico, o foco e a diretriz desta parábola.
8) Esboce o gráfico, obtenha o foco e o vértice da parábola (x− 1)2 = 12(y − 3).
9) Obtenha as coordenadas do vértice e o foco da parábola y = −2x2 + 8x− 8.
10) Obtenha os pontos de interseção das parábolas y = x2 + 1 e y = −x2 + 3. Além disso, calcule o
vértice e as interseções com os eixos cartesianos.
11) Para cada uma das elipses abaixo, determine a medida dos eixos, o esboço dos gráficos, os focos e a
excentricidade.
1. 9x2 + 252 = 225;
2. 4x2 + y2 − 16 = 0;
3. x2 − y2 − 9 = 0.
12) Uma elipse de centro na origem tem foco em (3, 0) e medida do eixo maior igual a 8. Determine
sua equação.
13) Uma elipse cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro em (4,−2), excentricidade e = 12
e eixo menor de medida 6. Determine a equação desta elipse e esboce seu gráfico.
1
14) Dada a equação da elipse 4x2 + 9y2 − 8x − 36 + 4 = 0. Determine a equação geral, o centro, o
gráfico, os vértices, os focos e a excentricidade destta elipse.
15) Obtenha a equação da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo X, que passa pelo
ponto (1, 1) e e = a
√
2
2 .
16)Determinar a equação geral da elipse 9x2 − 4y2 − 54x− 32y + 109 = 0.
17) Para cada uma das hipérboles determine a medida dos eixos, esboce o gráfico, determine os
vértices, os focos e a excentricidade.
1. x2 − 4y2 + 16 = 0;
2. x2 − y2 = 4.
18) Uma hipérbole tem focos em F1 = (−5, 0) e F2 = (5, 0) e a medida do eixo real é 6. Determine a
sua equação geral.
19) Determine uma equação para a hipérbole de vértices A1 = (1,−2) e A2 = (5,−2). Sabendo que
F = (6,−2) é um de seus focos.
20) Identifique as quadricas representadas abaixo esboçando seus gráficos.
1. 2x2 + 4y2 + z2 − 16 = 0;
2. z = x2 + y2;
3. 4y2 + z2 − 4x = 0;
4. −x
2
4 +
z2
9 − y
2
4 = 1;
5. y = −x2 − 3z2 + 2.
21) Dada a superfície esférica x2 + y2 + z2 + 6x − 4y − 12 = 0, determine e centro, o raio e esboce
graficamente tal superfície.
22) Verifique se os pontos A = (1, 1, 0) e B = (1, 1, 3) pertencem a superfície quádrica S :
x2 + y2 + z2 − 2x+ 3y − z − 3 = 0. Esboce tal superfície.
23)Identifique e esboce graficamente a superfície S :
{
z = x2 + y2;
z = 4.
24) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos de R3 cujas distâncias ao ponto A = (2, 1,−3)
equivale ao triplo da distância ao eixo X.
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