CALCULO I Aula1

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Aula 1: Elementos de Ca´lculo I.
Profa. Dra. Michele Valentino
0.1 Introduc¸a˜o a teoria dos conjuntos
0.1.1 Primeiros conceitos
Um conjunto e´ simplesmente uma colec¸a˜o de objetos distintos satisfazendo uma
certa propriedade. Facilmente encontramos exemplos de conjuntos:
• Um cardume;
• O alfabeto;
• P = {homens, mulheres};
• A = {a, b, 1, 2, 3};
• A = {α, β, pi, ϕ, ν, τ, υ, χ, ζ}
• Soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 = 4.
Notac¸a˜o: Denota-se um conjunto utilizando letras maiu´sculas de nosso alfabeto:
A, B,..., Z, por exemplo:
Os elementos de um conjunto sa˜o os objetos o compo˜em, por exemplo,
• Os peixes do cardume;
• As letras do alfabeto;
• a, b, 1, 2, 3 sa˜o os elementos de A = {a, b, 1, 2, 3};
• {−2, 2} sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 = 4;
• {n/ n e´ um nu´mero natural}.
Notac¸a˜o: Um elemento arbitra´rio de um conjunto gene´rico e´ normalmente repre-
sentado por letras minusculas do alfabeto a, b,...,x,z e utiliza-se as chaves { } nesta
representac¸a˜o: A = {a, b, x, y}.
Observac¸a˜o: Os elementos de um conjunto devem ser distintos. Enta˜o na˜o es-
crevemos A = {1, 2, 2, 3, 3, 4}, mas sim A = {1, 2, 3, 4}.
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Um conjunto pode tambe´m ser descrito atrave´s de uma propriedade P , comum a
todos elementos:
A = {x | x tem a propriedade P},
por exemplo, se P = ‘ser um nu´mero par e positivo’, enta˜o
P = {x | x e´ um nu´mero par} = {2, 4, 6, 8, ...}.
Definic¸a˜o 0.1.1. A cardinalidade de um conjunto A e´ definida como sendo o nu´mero
de elementos distintos deste conjunto. Denota-se |A| para a cardinalidade de um con-
junto A.
• Seja V = {a, e, i, o, u}, enta˜o |V | = 5;
• Seja N = {x/x e´ um nu´mero par positivo} = {2, 4, 6, 8...}, enta˜o |N| e´ um nu´mero
infinito.
Alguns Conjuntos Importantes:
• Quando a cardinalidade de um conjunto A e´ zero (|A| = 0), dizemos que A = Φ
(Conjunto Vazio);
• Quando a cardinalidade de um conjunto A e´ um (|A| = 1), dizemos que A e´ um
Conjunto Unita´rio;
• Se a cardinalidade de um conjunto e´ um nu´mero natural, enta˜o o conjunto e´ dito
finito caso contra´rio, e´ infinito;
• O conjunto U que possui todos os subconjuntos que estamos trabalhando e´
chamado de Conjunto Universo;
• P (A) e´ o Conjunto das Partes de A, isto e´, o conjunto formado por todos os
subconjuntos de A.
Uma maneira pra´tica de determinar P (A), e´ pensar em todos os subconjuntos com
um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.
Por exemplo, seja A = {a, b, c}. Enta˜o
P (A) = {φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}.
0.1.2 Relac¸a˜o entre conjuntos
A relac¸a˜o de pertineˆncia (na˜o pertineˆncia) entre um elemento a de um conjunto A
e´ denotada pela expressa˜o a ∈ A (a /∈ A), significando que a pertence ao conjunto A
(a na˜o pertence ao conjunto A).
• Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, enta˜o 2 ∈ A;
• a ∈ Alfabeto;
0.1 Introduc¸a˜o a teoria dos conjuntos 3
• 0.5 /∈ A;
• 11 /∈ Alfabeto.
A relac¸a˜o de contenc¸a˜o (na˜o contenc¸a˜o) entre os conjuntos A e B e´ denotada por
A ⊂ B (A 6⊂ B), ou seja, todo elemento de A e´ tambe´m elemento de B (nem todo
elemento de A e´ elemento de B).
• Sejam A = {a, b, c, 1, 2, 3} e B = {a, b, c, 1, 2}, enta˜o A 6⊂ B, mas B ⊂ A.
Observac¸a˜o: Os conjuntos A e B sa˜o iguais (A = B) se todo elemento de A e´
elemento de B e tambe´m todo elemento de B e´ elemento de A.
• Sejam A = {a, b, c, 1, 2} e B = {a, b, c, 1, 2}, enta˜o A = B.
Fica claro desta definic¸a˜o que para quaisquer conjuntos A,B,C, a inclusa˜o ⊂ sat-
isfaz as seguintes propriedades1
• (reflexividade) A ⊂ A, para qualquer conjunto A;
• (transitividade) Se B ⊂ A e C ⊂ B, enta˜o C ⊂ A;
Figura 1: Propriedade de contenc¸a˜o de conjuntos.
• (antissimetria) Se A ⊂ B e B ⊂ A, enta˜o A = B.
IMPORTANTE: A relac¸a˜o de pertineˆncia somente e´ va´lida entre elemento
e conjunto, ja´ a relac¸a˜o de contenc¸a˜o so´ e´ va´lida entre conjuntos. Portanto
e´ ERRADO dizer:
• a ⊂ A;
• A ∈ B.
(
1Idem para a igualdade =.
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0.1.3 Operac¸a˜o entre conjuntos
A definic¸a˜o a seguir caracteriza algumas das mais importantes relac¸o˜es entre con-
juntos.
Definic¸a˜o 0.1.2. Sejam A e B dois conjuntos. Defini-se unia˜o
A ∪B = {x/ x ∈ A ou x ∈ B}.
• Sejam A = {a, b, c} e B = {1, 2}, enta˜o A ∪ B = {a, b, c, 1, 2}.
A unia˜o de treˆs conjuntos A,B,C sera´ representada por
A ∪ B ∪ C = {x/ x ∈ A ou x ∈ B ou x ∈ C}.
E de forma mais geral a unia˜o de n conjuntos A1, ..., An e´ denotada por
A1 ∪ ... ∪ An =
n⋃
i=1
Ai.
Figura 2: Diagrama de Venn-Euler da unia˜o de conjuntos.
Definic¸a˜o 0.1.3. Sejam A e B dois conjuntos. Defini-se a intersec¸a˜o entre os con-
juntos A e B como sendo
A ∩B = {x/ x ∈ A e x ∈ B}.
• Sejam A = {a, b, c} e B = {b, 1, 2}, enta˜o A ∩B = {b}.
A intersec¸a˜o de treˆs conjuntos A,B,C sera´ representada por
A ∩B ∩ C = {x/ x ∈ A e x ∈ B e x ∈ C}.
E de forma mais geral a intersec¸a˜o de n conjuntos A1, ..., An e´ denotada por
A1 ∩ ... ∩ An =
n⋂
i=1
Ai.
No caso em que A ∩B = φ, diz-se que A e B sa˜o disjuntos.
Levando em conta o conjunto universo U (conte´m todos os subconjuntos em questa˜o),
defini-se:
0.1 Introduc¸a˜o a teoria dos conjuntos 5
Figura 3: Diagrama de Venn-Euler da intersec¸a˜o de conjuntos.
Figura 4: Diagrama de Venn-Euler do complementar do conjunto A com relac¸a˜o ao
conjunto Universo.
Definic¸a˜o 0.1.4. O complementar de um conjunto A em relac¸a˜o ao conjunto U e´ dado
por:
Ac = {x ∈ U/ x /∈ A}.
Definic¸a˜o 0.1.5. Dados dois conjuntos A e B, o conjunto
A ∩ Bc = {x ∈ U/ x ∈ A e x /∈ B}
e´ chamado de diferenc¸a de A e B e e´ geralmente representado por A − B, ou seja,
A−B = A ∩ Bc.
Figura 5: Diagrama de Venn-Euler da diferenc¸a entre conjuntos.
Definic¸a˜o 0.1.6. Dados dois conjuntos A e B, chamaremos de produto cartesiano
de A por B, o conjunto dos pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B. Formalmente,
A×B = {(a, b), a ∈ A e b ∈ B}.
Sejam A = {1, 2} e B = {3, 5, 7}, enta˜o
• A×B = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7)};
• B × A = {(3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), (7, 2)}
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Figura 6: Representac¸a˜o gra´fica de A× B.
Observac¸a˜o: Note que A×B e´ diferente de B × A.
Um benef´ıcio imediato do uso de sistemas de coordenadas cartesianas e´ o fato de
que a distaˆncia entre quaisquer dois pontos no plano pode ser expressa ta˜o somente em
termos de suas coordenadas.
Figura 7: Distaˆncia entre dois pontos no plano.
Portanto, usando o Teorema de Pita´goras (hipotenusa2 = cateto2
1
+ cateto2
2
), a
distaˆncia entre os pontos A = (XA, YA) e B = (XB, YB) e´ dada por
d =
√
(XB −XA)2 + (YB − YA)2.
Exemplo 0.1.7. A distaˆncia entre os pontos A = (1, 2) e B = (4, 3) e´ dada por
d =
√
(4− 1)2 + (3− 2)2 = √10.
O Teorema a seguir relaciona os conceitos apresentados, listando algumas das pro-
priedades principais da teoria de conjuntos.
Teorema 0.1.8. Dados os conjuntos A, B e C valem
1. A ∩ A = A e A ∪ A = A
2. A ∪ φ = A e A ∩ φ = φ.
3. A ⊂ B se, e somente se, A ∪B = B.
4. A ⊂ B se, e somente se, A ∩B = A.
5. (Associatividade da unia˜o) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
6. (Associatividade da intersec¸a˜o) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
0.1 Introduc¸a˜o a teoria dos conjuntos 7
7. (Distributiva da intersec¸a˜o com relac¸a˜o a unia˜o) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
8. (Distributiva da unia˜o com relac¸a˜o a intersec¸a˜o) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
9. A ∪ Ac = U , A ∩ Ac = φ, φc = U e U c = φ.
10. (Ac)c = A.
11. A ⊂ B se, e somente se, Bc ⊂ Ac.
12. (De Morgan) (A ∪ B)c = Ac ∩Bc e (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.
Demonstrac¸a˜o: Para (7): Utilizaremos os diagramas de Venn-Euler das Figuras 8 e
9. Tendo em mente, primeiramente, a expressa˜o A∩ (B∩C) (veja Figura8), temos que
Figura 8: A ∩ (B ∪ C)
em (1) a a´rea colorida denota o conjunto A e em (2) o conjunto B ∪ C. Comparando
(1) e (2) conclu´ımos que a a´rea colorida em (3) representa o que ha´ emcomum nas
a´reas coloridas de (1) e (2). Agora, para a expressa˜o (A∩B)∪ (A∩C) (veja Figura9),
notando que a a´rea colorida em (4) representa o conjunto A ∩ B e a a´rea colorida em
(5) representa A∩C, vemos que a unia˜o de tais a´reas e´ representada pela a´rea colorida
em (6). Ou seja, vemos que as a´reas coloridas de (3) e (6) coincidem, comprovando a
igualdade A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Figura 9: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Exerc´ıcios
1- Demonstrar todos itens (restantes) do Teorema 0.1.8 por meio do diagrama de Venn-
Euler.
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	Introdução a teoria dos conjuntos
	Primeiros conceitos 
	Relação entre conjuntos
	Operação entre conjuntos
	Exercícios