CALCULO I Aula2

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0.1.4 Conjunto dos nu´meros reais
O conjunto dos nu´meros reais (R) e´ dividido da seguinte forma:
Figura 10: Conjunto dos nu´meros reais
• O conjunto dos nu´meros racionais sa˜o os nu´meros da forma a
b
, em que a e b sa˜o
nu´meros inteiros com b 6= 0;
• O conjunto dos nu´meros irracionais sa˜o os nu´meros que podem ser escritos como
a raza˜o de dois nu´meros inteiros;
• Todo nu´mero inteiro pode ser escrito como a raza˜o de dois inteiros, basta fazer
b = 1. portanto, Z e N sa˜o subconjuntos de Q, ou seja, Z ⊂ Q e N ⊂ Q;
• Sejam a
b
e c
d
dois nu´meros racionais, enta˜o
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
e
a
b
c
d
=
ac
bd
.
Exemplo 0.1.9. Sejam a
b
= 5
3
e c
d
= 7
4
, enta˜o a
b
+ c
d
= 5.4+3.4
3.4
= 32
12
, simplificando por
4, tem-se 8
3
. Ja´ a
b
c
d
= 5.7
3.4
= 35
12
.
• Sejam a e b dois nu´meros reais, se a ≤ b enta˜o
a+c ≤ b+c, ∀c ∈ R
a−c ≤ b−c, ∀c ∈ R
a
c
≤ b
c
, ∀c ∈ R+
ca ≤ cb, ∀c ∈ R+
da ≥ db, ∀d ∈ R−
0.1 Introduc¸a˜o a teoria dos conjuntos 9
Exemplo 0.1.10. Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o 5x+ 3 < 2x+ 7.
5x+ 3− 3 < 2x+ 7− 3
5x− 2x < 4
3x < 4
x <
4
3
.
Assim, {x ∈ R/x < 4
3
} e´ o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o.
Exemplo 0.1.11. Estude o sinal da expressa˜o x− 3.
x− 3 > 0
x− 3 + 3 > 3
x > 3.
Assim, {x ∈ R/x > 3} e´ o conjunto das soluc¸o˜es onde x − 3 e´ maior que zero. E
{x ∈ R/x < 3} e´ o conjunto das soluc¸o˜es onde x− 3 e´ menor que zero
Exemplo 0.1.12. Estude o sinal da expressa˜o x+3
x−2
.
Figura 11: Estudo do sinal de x+3
x−2
Portanto, {x ∈ R/ − 3 < x < 2} e´ o conjunto soluc¸a˜o de x+3
x−2
< 0, e {x ∈ R/x <
−3oux > 2} e´ o conjunto soluc¸a˜o de x+3
x−2
> 0.
Exemplo 0.1.13. Estude o sinal de (−x+ 2)(x+ 3).
Figura 12: Estudo do sinal de (−x+ 2)(x+ 3)
Portanto, {x ∈ R/ − 3 < x < 2} e´ o conjunto soluc¸a˜o de (x + 3)(x − 2) > 0, e
{x ∈ R/x < −3} ∪ {x ∈ R/x > 2} e´ o conjunto soluc¸a˜o de (x+ 3)(x− 2) < 0.
Exemplo 0.1.14. O conjunto {x ∈ R/ − 3 < x < 1} ∪ {x ∈ R/x > 2} e´ o conjunto
soluc¸a˜o de x+1
x2−x−6
> 0, e {x ∈ R/x < −3} ∪ {x ∈ R/1 < x < 2} e´ o conjunto soluc¸a˜o
de x+1
x2−x−6
< 0.
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0.1.5 Mo´dulo de um nu´mero real
Seja x um nu´mero real, definimos o mo´dulo de x por:
|x| =
{
x, sex ≥ 0
−x, sex < 0
Observac¸a˜o: O mo´dulo de um nu´mero real e´ sempre um nu´mero positivo. tambe´m
pode-se dizer que |x| = √x2.
Exemplo 0.1.15. |5|=5, |-3|=3.
Exemplo 0.1.16. Resolva a equac¸a˜o |2x+ 1| = 3. Portanto,
2x+ 1 = 3, enta˜o x = 1
ou
2x+ 1 = −3, enta˜o x = −2.
Assim, {x ∈ R/x = 1 ou x = −2} e´ o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Exemplo 0.1.17. Elimine o mo´dulo em |x− 1|+ |x+ 2|. Enta˜o,
Figura 13: Estudo do sinal de (x− 1)e(x+ 2)
Se x < −2, x− 1 < 0 e x+ 2 < 0, enta˜o
|x− 1|+ |x+ 2| = −(x− 1)− (x+ 2) = −2x− 1.
Se −2 ≤ x < 1, x− 1 < 0 e x+ 2 ≥ 0, enta˜o
|x− 1|+ |x+ 2| = −(x− 1) + (x+ 2) = 3.
Se x ≥ 1, x− 1 ≥ 0 e x+ 2 ≥ 0, enta˜o
|x− 1|+ |x+ 2| = (x− 1) + (x+ 2) = 2x+ 1.
Conclusa˜o,
|x− 1|+ |x+ 2| =


−2x− 1, se x < −2
3, se − 2 ≤ x < 1
2x+ 1 se x ≥ 1
0.1 Introduc¸a˜o a teoria dos conjuntos 11
0.1.6 Existeˆncia de ra´ızes
Sejam a > 0 um nu´mero real e n ≥ 1 um nu´mero natural. Enta˜o existe um u´nico
real positivo satisfazendo αn = a e´ esse nu´mero e´ dado por α = n
√
a.
Algumas propriedades
a) n
√
a n
√
b = n
√
ab;
b) n
√
ap = nm
√
amp;
c) n
√
m
√
a = mn
√
a;
d) a < b ⇔ n√a < n√b;
e) Seja r = m
n
um nu´mero racional, enta˜o ar = a
m
n = n
√
am.
Exerc´ıcios
1- Verifique se esta´ certo ou errado.
(a)3 = {3}, (b)3 ∈ {3}, (c)3 ⊂ {3},
(d){2, 8} ⊂ {2, 8, 9}, (e)1 6⊂ {2, 3, 4}.
2- Qual a relac¸a˜o entre os conjuntos A e B dados abaixo?
(a)A = {x ∈ Z/x < 5} e B = {x ∈ Z/(x+ 1)2 < 28},
(b)A = {x ∈ N/x < 6} e B = {x ∈ N/(x+ 1)2 < 40}.
3- Considere o conjunto D = {1, 2, 3, a}, calcule P (D). Qual a cardinalidade do con-
junto D?
4- Sejam D = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {1, 3}, A 6= ∅ e B 6= ∅. Determinar o conjunto A nos
casos em que:
(a)A ∩ B = ∅ e B = {1},
(b)B ⊂ A e A ∪ B = {4, 5},
(c)A ∩ B = {3}, A ∪ B = {2, 3, 4} e B ∪ C = {1, 2, 3},
(d)A ∩ B = ∅, B ∩ C 6= ∅ e A ∪ B = {1, 2}.
5- Considere U = {1, 2, 3, ..., 25}, A = {2, 4, 6, ..., 24}, B = {1, 3, 5, ..., 25}, C =
{3, 6, 9, ..., 24}, calcule:
(a)Cc, (b)B ∪ Cc, (c)B ∩ Ac.
6- Verificar se as igualdades abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
(a)(A ∪ B)− C = A ∪ (B − C), (b)A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ (C ∪ B),
(c)A ∩ (B − A) = ∅, (d)A∪(B − A) = ∅,
(e)(A∩B)c = Ac ∪ Bc.
7- Pa´ginas 10 a` 13 do livro Guidorizzi
(1)a-e, (2)g-i-l-o, (3)h-j-i, (5)a-b-c-d-e,
(6)a-c-l-m, (10)a,c,f,j, (11)a-f-i-j, (17)a-e, (19)b-d.
8- Pa´gina 17 do Guidorizzi.
(1)a-b, (2)b-f (3)c-h-l-n, (5)a-d.
9- Pa´gina 18 do Guidorizzi.
(1)a-b-c-d
Gabarito
1- (a)errada, (b)correta, (c)errada, (d)correta, (e)errada.
2- (a)B ⊂ A, (b)A = B.
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3- P (D) = {∅, D, {1}, {2}, {3}, {a}, {1, 2}, {1, 3}, {1, a}, {2, 3}, {2, a}, {3, a}, {1, 2, 3},
{1, 2, a}, {1, 3, a}, {2, 3, a}}, |P (D)| = 16.
4- (a)A pode ser qualquer conjunto diferente de ∅ que na˜o tenha o elemento 1,
(b)A = {4, 5}, (c)A = {3, 4}, (d)A = {2}.
5- (a) {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23}, (b){1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 14,
16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25}, (c)B.
6- (a)falsa, (b)falsa, (c)verdadeira, (d)falsa, (e)verdadeira.
7- Verificar livro do Guidorizzi.
8- Verificar livro do Guidorizzi.
9- Verificar livro do Guidorizzi.
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	Introdução a teoria dos conjuntos
	Primeiros conceitos 
	Relação entre conjuntos
	Operação entre conjuntos
	Conjunto dos números reais
	Módulo de um número real
	Existência de raízes