CALCULO I Aula4

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0.2.2 Propriedades de func¸o˜es
Definic¸a˜o 0.2.11. Sejam A,B,CeD subconjuntos na˜o-vazios de R e f : A → B,
g : C → D duas func¸o˜es. Enta˜o:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ A ∩ C = Dom(f + g);
2. (f − g)(x) = f(x)− g(x), para todo x ∈ A ∩ C = Dom(f − g);
3. (cf)(x) = cf(x), para todo x ∈ A e c ∈ R;
4. (f.g)(x) = f(x)g(x), para todo x ∈ A ∩ C = Dom(f.g);
5. (f
g
)(x) = f(x)
g(x)
, para todo x ∈ Dom( fg ) = {x/x ∈ A ∩ C e g(x) 6= 0}.
Exemplo 0.2.12. Sejam f(x) =
√
9− x2 e g(x) = x2 − 1 duas func¸o˜es. Determinar a
soma, a diferenc¸a, o produto e o quociente de f e g, e ache o domı´nio de cada uma.
Sabemos que Domf = [−3, 3] e Domg = R. Assim, Domf ∩Domg = [−3, 3] e:
(f + g)(x) =
√
9− x2 + x2− 1, ∀x ∈ Domf+g = [−3, 3],
(f − g)(x) =
√
9− x2 − x2 + 1, ∀x ∈ Domf−g = [−3, 3],
(fg)(x) = (
√
9− x2)(x2 − 1), ∀x ∈ Domfg = [−3, 3]
f
g
(x) =
√
9− x2
x2 − 1 , ∀x ∈ Dom fg = [−3, 3]− {−1, 1}.
Definic¸a˜o 0.2.13. Sejam A,B e C subconjuntos na˜o-vazios de R e f : A → B ,
g : B → C duas func¸o˜es. Enta˜o, podemos construir uma nova func¸a˜o, denotada por
gof , cujo valor em x ∈ A e´
(gof(x)) = g(f(x)),
isto e´, primeiro determina o valor de f em x para depois determinar o valor de g em
f(x). A func¸a˜o gof e´ chamada a func¸a˜o composta de f com g e
Domgof = {x ∈ A/f(x) ∈ B} ⊆ Domf e Imgof ⊆ Img.
Figura 21: Func¸a˜o composta de f com g
Exemplo 0.2.14. Sejam f(x) =
√
9− x2 e g(x) = x2 − 1 duas func¸o˜es. Determinar
fog e gof e encontrar o domı´nio de cada uma.
0.2 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 19
fog(x) = f(g(x)) = f(x2 − 1) =
√
9− (x2 − 1)2,
gof(x) = g(f(x)) = g(
√
9− x2) = (
√
9− x2)2 − 1 = 8− x2.
Como Domf = [−3, 3] e Domg = R temos que
Domfog = {x ∈ R/g(x) ∈ [−3, 3]} = [−2, 2],
Domgof = {x ∈ [−3, 3]/f(x) ∈ R} = [−3, 3].
Definic¸a˜o 0.2.15. Uma func¸a˜o f e´ chamada de func¸a˜o crescente em um intervalo I
se
f(x1) < f(x2), sempre que x1 < x2 em I.
A func¸a˜o e´ decrescente em I se
f(x1) > f(x2), sempre que x1 < x2 em I.
Exemplo 0.2.16. Seja f : R→ R dada por f(x) = x2.
Figura 22: Func¸a˜o f(x) = x2
Temos que ∀x ∈] − ∞, 0[ tal que x1 < x2, f(x1) > f(x2). Portanto, a func¸a˜o e´
decrescente em ]∞, 0[. Ainda, ∀x ∈]0,+∞[ tal que x1 < x2, f(x1) < f(x2), enta˜o a
func¸a˜o e´ crescente em ]0,+∞[.
Exemplo 0.2.17. Encontre os intervalos de cresceˆncia e decresceˆncia das func¸o˜es
abaixo.
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Figura 23: Func¸o˜es do exemplo anterior
Definic¸a˜o 0.2.18. Dizemos que a func¸a˜o f : A → B e´ injetora, quando para todo
x1, x2 ∈ A tal que x1 6= x2 temos f(x1) 6= f(x2).
Figura 24: Func¸o˜es injetoras e na˜o injetoras
Figura 25: Func¸a˜o injetora e na˜o injetora
Exemplo 0.2.19. Sejam f(x) = x2 e g(x) = x3. Verifique se essas func¸o˜es sa˜o inje-
toras.
Seja f(x1) = f(x2), ou seja, x
2
1 = x
2
2, enta˜o x1 = −x2 ou x1 = x2. Portanto f na˜o e´
uma func¸a˜o injetora. Seja g(x1) = g(x2), enta˜o x
3
1 = x
3
2 e x1 = x2. Portanto a func¸a˜o
g e´ injetora.
Definic¸a˜o 0.2.20. Dizemos que a func¸a˜o f : A → B e´ sobrejetora quando para todo
y ∈ B existe um x pertencente a A tal que y = f(x), ou seja, quando Imf = B.
0.2 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 21
Figura 26: Func¸o˜es sobrejetoras e na˜o sobrejetoras
Figura 27: Func¸a˜o sobrejetora e na˜o sobrejetora
Exemplo 0.2.21. Considere as func¸o˜es f(x) = 3x+ 1 e g(x) = x2 + 3. Determinar se
f e g sa˜o sobrejetoras.
Sabemos que Domf = Domg = R. Dado y ∈ R existe um
x =
y − 1
3
∈ R.
Portanto, a func¸a˜o f e´ sobrejetora. Note que para a func¸a˜o g
x =
√
y − 3 ∈ (R+ ∪ {0}) 6= R.
Portanto, para y = 2 na˜o existe x =
√
2− 3 = √−1, logo a func¸a˜o g na˜o e´ sobrejetora.
Definic¸a˜o 0.2.22. Uma func¸a˜o f : A → B e´ bijetora quando e´ injetora e sobrejetora
ao mesmo tempo.
Exerc´ıcios
1- Sejam f(x) = x−4k e g(x) = x2−k duas func¸o˜es. Determinar o valor de k sabendo-
se que (fog)(1) = 16.
2- Determinar a soma, a diferenc¸a, o produto, o quociente e seus domı´nios, de cada
func¸a˜o abaixo:
a)f(x) =
√
x+ 5 e g(x) =
√
x+ 5;
b)f(x) = 2x
x−4 e g(x) =
x
x+5
;
c) f(x) = x
x−2 e g(x) =
3x
x+4
.
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3- Determinar no exerc´ıcio acima fog e gof . Determinar tambe´m os domı´nios.
4- Deˆ exemplo de uma func¸a˜o f : R→ R que:
(a) seja injetora mas na˜o seja sobrejetora;
(b) seja sobrejetora mas na˜o seja injetora.
5-Sejam f : R→ R e g : R∗ → R duas func¸o˜es tais que g(x) = x−1
x
e (fog)(x) = x2+ 1
x2
.
Determinar f(4).
6- Seja f : R → R∗+ uma func¸a˜o tal que f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R, e f(1) = 9.
Determinar f(2), f(0) e f(1
2
). Agora, determine f(n) e f( 1
n
), para todo n ∈ N.
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	Introdução a teoria dos conjuntos
	Primeiros conceitos 
	Relação entre conjuntos
	Operação entre conjuntos
	Conjunto dos números reais
	Módulo de um número real
	Existência de raízes
	Funções de uma variável real a valores reais
	Determinar o domínio de uma função
	Propriedades de funções