CALCULO I Aula5

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0.2 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 23
0.2.3 Func¸o˜es inversas
Definic¸a˜o 0.2.23. De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma
func¸a˜o f , denotada por f−1, e´ a func¸a˜o que desfaz a operac¸a˜o executada pela func¸a˜o
f .
Figura 28: Func¸a˜o inversa
Observac¸o˜es:
• f(−2) = −16 e f−1(−16) = −2;
• A e´ o domı´nio de f e Imf e´ o domı´nio de f−1;
• B e´ contradomı´nio de f e A e´ contradomı´nio de f−1;
• f−1(f(x)) = x. Por exemplo, f−1(f(−2)) = f−1(−16) = −2 e f−1(f(−1)) =
f−1(−2) = −1;
• Domı´nio da f−1 e´ a imagem de f ;
• Imagem de f−1 e´ o domı´nio de f ;
• f−1 NA˜O e´ igual a 1
f(x)
;
• Nem todas as func¸o˜es admitem inversa.
Exemplo 0.2.24. Existe inversa da func¸a˜o f abaixo, pois cada elemento de B tem
um u´nico correspondente no conjunto A, logo f−1 : Imf → A e´ uma func¸a˜o.
Figura 29: Func¸a˜o que admite inversa
Na˜o existe inversa da func¸a˜o g abaixo, pois o elemento −16 de B tem dois corre-
spondentes em A (-2 e 0.5), logo g−1 na˜o e´ uma func¸a˜o.
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Figura 30: Func¸a˜o que na˜o admite inversa
Definic¸a˜o 0.2.25. Toda func¸a˜o f : A→ B injetora admite a sua inversa f−1 : Imf →
A.
Exemplo 0.2.26. Verifique se a func¸a˜o f : A → B admite inversa e calcule f−1 :
Imf → A. Caso na˜o possua inversa verifique se existe alguma condic¸a˜o para que passe
a existir.
1. f : R→ R definida como f(x) = x2.
Sabemos que a func¸a˜o f na˜o e´ injetora, pois x1 = 2 e x2 = −2 temos que f(2) =
f(−2) = 4, assim, a func¸a˜o na˜o admite inversa. Se tomarmos f : R+ → R definida por
f(x) = x2, enta˜o f sera´ injetora e portanto admite inversa, que pode ser calculada da
seguinte forma:
Trocar x por y e y por x: x = y2.
Isolar y: y =
√
x.
Portanto, f−1 : R+ → R+ e´ definida por f−1(x) = √x.
O gra´fico da func¸a˜o inversa e´ a reflexa˜o do gra´fico da f com relac¸a˜o a reta x = y.
Figura 31: Func¸a˜o quadrada e sua inversa
0.2.4 Alguns tipos de func¸o˜es
Func¸a˜o constante
Definic¸a˜o 0.2.27. Uma func¸a˜o e´ chamada de func¸a˜o constante quando pode ser escrita
da forma
f(x) = k, k ∈ R.
0.2 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 25
Em uma func¸a˜o constante, qualquer que seja o elemento do domı´nio eles sempre
tera˜o a mesma imagem, ao variarmos x encontramos sempre o mesmo valor k, portanto
Imf = {k}.
Exemplo 0.2.28. Considere uma churrascaria com o sistema de rod´ızio que cobra
R$20, 00 por pessoa, na˜o importando a quantidade que essa pessoa consome. Desta
forma o prec¸o u´nico pago sera´ sempre de R$20, 00. O gra´fico da func¸a˜o e´ dado por:
Figura 32: Func¸a˜o constante
A func¸a˜o f : R+ → {20} na˜o e´ injetora, pois para x1 = 0.1 e x2 = 1 temos que
f(x1) = f(x2) = 20. Portanto, na˜o admite inversa.
Func¸a˜o afim
Definic¸a˜o 0.2.29. Uma func¸a˜o e´ chamada de func¸a˜o afim quando pode ser escrita da
forma
f(x) = ax+ b, a, b ∈ R.
O gra´fico dessa func¸a˜o e´ uma reta, em que a e´ o coeficiente angular e b e´ o coeficiente
linear.
Figura 33: Func¸a˜o afim
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Exemplo 0.2.30. Suponha que voceˆ trabalhe como representante de uma firma que
se dedica a` criac¸a˜o de jogos para computador. Seu sala´rio e´ de R$2000, 00 fixos por
meˆs acrescidos de R$20, 00 por jogo vendido.
a) Se em um meˆs voceˆ vender 15 jogos, quanto voceˆ recebera´ ?
b) No per´ıodo de um meˆs, qual a func¸a˜o que relaciona o nu´mero de jogos vendidos com
o valor do seu sala´rio, em reais ?
Com tais informac¸o˜es podemos escrever a equac¸a˜o que nos permite calcular a quan-
tia em dinheiro que ele recebe por meˆs em func¸a˜o da quantidade de jogos vendidos.
Representemos por y a quantia em dinheiro, e por x a quantidade de jogos que foram
vendidos, teremos a seguinte equac¸a˜o:
f(x) = 20x+ 2000
Utilizando esta fo´rmula, calcularemos o quanto em dinheiro, num meˆs, ele conseguira´
se vender 15 jogos.
f(x) = 20.15 + 2000 = 2300
Portanto, se ele vender 15 jogos, recebera´ no meˆs R$2.300, 00.
Figura 34: Func¸a˜o afim
Podemos notar atrave´s do gra´fico que a func¸a˜o e´ injetora e portanto admite inversa
f−1 : R→ R, que e´ dada por:
x = 20y + 2000
f−1(x) =
x− 2000
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	Introdução a teoria dos conjuntos
	Primeiros conceitos 
	Relação entre conjuntos
	Operação entre conjuntos
	Conjunto dos números reais
	Módulo de um número real
	Existência de raízes
	Funções de uma variável real a valores reais
	Determinar o domínio de uma função
	Propriedades de funções
	Funções inversas
	Alguns tipos de funções