Calc II - P2 - Poli - 2012

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2. (2,5) Na lista de funções abaixo, existe uma função f tal que
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(0,0) existe para todo vetar
.ffunitário li e f não é contínua em (O,O).
{
y3
{
x2y
(I) f(x, y) = x2 + y2 se (x, y) =/= (O,O) (II) f(x, y)
=
x4 + y2
se (x, y) =/=(O,O)
O se (x, y) = (O,O) O se (x, y) = (O,O)
(11I) f(x, y) = V2X2 + 5y2
2. (2,5) Na lista de funções abaixo, existe uma função f tal que ~~(O,O) existe para todo vetar
B
unitário ü e f não é contínua em (O,O).
{
x2y
(1) f(x, y) = ~4 I ~.?
se (x, y) =1=(O, O)
O se (x, y) = (O,O)
(lIl) f(x, y) = V3X2 + 4y2
(x, y) =1=(O, O)
(x, y)
= (O, O)
-A-
MAT 2454 - Ca´lculo Diferencial e Integral para Engenharia II
2o semestre de 2012 - Segunda Prova - 15/10/2012
(3,0) Seja f : R2 → R uma func¸a˜o diferencia´vel. Sabe-se que:
(I) a imagem da curva Γ : R → R3 dada por Γ(t) = (t + 1, t2, 2t5 + t4 − 2t3 − t2) esta´ contida no
gra´fico de f ,
(II) a derivada direcional de f no ponto (3, 4), na direc¸a˜o do vetor ~u = (−
√
2
2
,
√
2
2
) e´ igual a 31
√
2
2
.
Determine:
1. a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (3, 4, f(3, 4)).
De (I) segue que
f(t+ 1, t2) = 2t5 + t4 − 2t3 − t2. (1)
Como f e´ diferencia´vel temos, pela regra da cadeia:
∂f
∂x
(t+ 1, t2) · 1 + ∂f
∂y
(t+ 1, t2) · 2t = 10t4 + 4t3 − 6t2 − 2t.
Tomando t = 2,
∂f
∂x
(3, 4) · 1 + ∂f
∂y
(3, 4) · 4 = 10 · 16 + 4 · 8− 6 · 4− 4 = 164. (2)
De (II), sendo f diferencia´vel, temos
∂f
∂x
(3, 4) · −
√
2
2
+
∂f
∂y
(3, 4) ·
√
2
2
=
31
√
2
2
.
Portanto
−∂f
∂x
(3, 4) +
∂f
∂y
(3, 4) = 31. (3)
Somando as equac¸o˜es (2) e (3), temos 5∂f
∂y
(3, 4) = 195⇒ ∂f
∂y
(3, 4) = 39.
De (6), ∂f
∂x
(3, 4) = 8.
Portanto
∇f(3, 4) = (8, 39)
Ale´m disso, tomando t = 2 em (1)
f(3, 4) = (2 · 25 + 24 − 2 · 23 − 22) = 60.
Portanto, a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (3, 4, f(3, 4)) = (3, 4, 60) e´
(z − 60) = 8(x− 3) + 39(y − 4), ou
z = 8x+ 39y − 120.
2. a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de n´ıvel de f que conte´m o ponto (3, 4) nesse ponto.
Se ~T e´ um vetor tangente a` curva de n´ıvel de f no ponto (3, 4), temos
~T · ∇f(3, 4) = 0⇔ ~T = λ(−39, 8), λ ∈ R.
Portanto, a equac¸a˜o da reta tangente e´
(x, y) = (3, 4) + λ(−39, 8), λ ∈ R.
-B-
MAT 2454 - Ca´lculo Diferencial e Integral para Engenharia II
2o semestre de 2012 - Segunda Prova - 15/10/2012
(3,0) Seja f : R2 → R uma func¸a˜o diferencia´vel. Sabe-se que:
(I) a imagem da curva Γ : R → R3 dada por Γ(t) = (t2, t− 1, t5 + t4 − 4t3 + 2t2) esta´ contida no
gra´fico de f ,
(II) a derivada direcional de f no ponto (4, 1), na direc¸a˜o do vetor ~u = (−
√
2
2
,
√
2
2
) e´ igual a 11
√
2.
Determine:
1. a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (4, 1, f(4, 1)).
De (I) segue que
f(t2, t− 1) = t5 + t4 − 4t3 + 2t2. (4)
Como f e´ diferencia´vel temos, pela regra da cadeia:
∂f
∂x
(t2, t− 1) · 2t+ ∂f
∂y
(t+ 1, t2) · 1 = 5t4 + 4t3 − 12t2 + 4t.
Tomando t = 2,
∂f
∂x
(4, 1) · 4 + ∂f
∂y
(4, 1) · 1 = 5 · 16 + 4 · 8− 12 · 4 + 8 = 72. (5)
De (II), sendo f diferencia´vel, temos
∂f
∂x
(4, 1) · −
√
2
2
+
∂f
∂y
(4, 1) ·
√
2
2
= 11
√
2.
Portanto
−∂f
∂x
(4, 1) +
∂f
∂y
(4, 1) = 22. (6)
Subtraindo (6) de (5), temos 5∂f
∂x
(4, 1) = 50⇒ ∂f
∂x
(4, 1) = 10.
De (6), ∂f
∂y
(4, 1) = 32.
Portanto,
∇f(4, 1) = (10, 32)
Ale´m disso, tomando t = 2 em (4)
f(4, 1) = (25 + 24 − 4 · 23 − 2 · 22) = 24.
Portanto, a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (4, 1, f(4, 1)) = (4, 1, 24) e´
(z − 24) = 10(x− 4) + 32(y − 1), ou
z = 10x+ 32y − 48.
2. a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de n´ıvel de f que conte´m o ponto (4, 1) nesse ponto.
Se ~T e´ um vetor tangente a` curva de n´ıvel de f no ponto (4, 1), temos
~T · ∇f(4, 1) = 0⇔ ~T = λ(−32, 10), λ ∈ R.
Portanto, a equac¸a˜o da reta tangente e´
(x, y) = (4, 1) + λ(−32, 10), λ ∈ R.