capitulo-21

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Caṕıtulo 21
Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e
Integrais Definidas
21.1 Introdução
Os dois conceitos principais do cálculo são desenvolvidos a partir de idéias geométricas relativas a curvas. A derivada
provém da construção das tangentes a uma dada curva. O assunto deste e dos próximos caṕıtulos, a integral, tem
origem no cálculo de área de uma região curva.
Como vimos no ińıcio deste livro, o problema de calcular áreas já despertava, por suas aplicações práticas, grande
interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de várias fórmulas para o cálculo de áreas de figuras planas serem
conhecidas desde esta época, e até mesmo problemas do cálculo de áreas de regiões limitadas por segmentos de retas
e algumas curvas, como a parábola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, até o século XVII,
quando foram estabelecidos os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral como uma teoria matemática digna de
crédito, não se conhecia nenhuma fórmula ou método geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular
áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer.
Nos meados do século XVII, vários estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seus
trabalhos o método da exaustão, empregado por Arquimedes no cálculo de áreas de segmentos parabólicos (veja o
projeto Arquimedes e a Quadratura da Parábola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este método estava
relacionado com o Cálculo Diferencial. Este importante resultado é denominado teorema fundamental do cálculo e é
um dos resultados mais importantes de toda a matemática.
Como vimos, a derivada tem aplicações que transcendem a sua origem geométrica. Nos próximos caṕıtulos, veremos
que o mesmo acontece com a integral.
A fim de tornar clara a discussão sobre áreas, vamos introduzir na próxima seção uma notação matemática padrão
usada para abreviar somas que envolvem um número muito grande de parcelas.
21.2 A notação de somatório: uma abreviação para somas
As somas dos n primeiros termos de uma uma progressão geométrica (PG) de razão r, bem como de uma progressão
aritmética (PA) de razão d, podem ser escritas, respectivamente como:
Sn = a+ ar + ar
2 + ar3 + . . .+ ar (n−1)
Tn = a+ (a+ d) + (a+ 2 d) + . . .+ (a+ (n− 1) d)
Existe uma notação abreviada para escrever somas desse tipo, que além de tornar mais fácil escrevê-las, facilita
enormemente várias manipulações algébricas. Considere, por exemplo, a soma Sn = a1 + a2 + a3 +.... + an. Podemos
escrevê-la usando a notação abaixo:
Sn =
n∑
i=1
ai
(Lê-se: somatório de ai para i variando de 1 até n.) Essa notação significa que devemos substituir todos os valores
inteiros de i, de 1 até n, na expressão envolvendo i, no caso ai, que segue o sinal de somatório Σ e então adicionar os
resultados.
Note que a fórmula depois do sinal de somatório fornece o i-ésimo termo da soma; para i = 1 temos o primeiro,
para i = 2 o segundo e, assim por diante. Assim, as somas acima das progressões geométrica e aritmética podem ser
reescritas como
Sn =
n∑
i=1
ar (i−1) e Tn =
n−1∑
i=0
(a+ id)
277
278 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
Uma soma infinita de termos pode ser representada assim
a1 + a2 + a3 + . . . =
∞∑
i=1
Logo, a soma dos termos de uma PG infinita de razão r é assim representada
a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ ar (n−1) + . . . =
∞∑
i=1
ar (i−1)
Exemplo 1 Considere a soma Rn = 1
2 + 22 + 32 + . . . + n2. Usando a notação de somatório, podemos escrever
Rn =
n∑
i=1
i2.
Exemplo 2 Considere a soma
5∑
i=2
(i2 − 1). Escrevendo por extenso essa soma, obtemos:
5∑
i=2
(i2 − 1) = 22 − 1 + 32 − 1 + 42 − 1 + 52 − 1 = 22 + 32 + 42 + 52 − 4 = 50.
Exerćıcios
1. Converta cada uma das somas indicadas em notação de somatório:
(a) 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 + (n+ 1)2
(b) 32 + 42 + . . .+ k2
(c) k2 + (k + 1)2 + (k + 2)2 + . . .+ (n− 1)2
(d) 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− . . .
2. Escreva por extenso cada uma das somas abaixo :
(a)
5∑
i=3
(bi + 2 ci) (b)
n∑
i=m
i7
3. Com a expressão 0, 99999 . . . queremos representar a soma 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . .. Escreva essa soma usando
a notação de somatório.
4. É verdade que:
(a)
n∑
i=1
kai = k (
n∑
i=1
ai)? Justifique sua resposta.
(b)
n∑
i=1
(
hi
n
)2
h
n
=
h3
n3
n∑
i=1
i2? Justifique sua resposta.
21.3 O cálculo de áreas como limites
Em geral, a definição formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes dificuldades. Por exemplo, tivemos grandes
dificuldades ao tentarmos formalizar uma definição para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. A
formalização do conceito de área apresenta dificuldades semelhantes.
Em geometria elementar, são deduzidas fórmulas para áreas de muitas figuras planas, mas se pararmos para
pensar um pouco, chegaremos à conclusão de que uma definição, matematicamente aceitável de área, raramente nos
é fornecida.
A área de uma região é definida, às vezes, como o número de quadrados de lados de comprimento um que “cabem”
numa dada região. Desse modo, obtivemos fórmulas para áreas de figuras planas tais como quadrados, retângulos,
triângulos, trapézios, etc. Basta, no entanto que a região seja um pouco mais complicada para que esta definição
se mostre inadequada. Como podeŕıamos calcular, por exemplo, o número de quadrados de lado 1, ou 12 , ou
1
4 , que
cabem em um ćırculo unitário?
Neste caṕıtulo, tentaremos definir áreas de regiões com fronteiras curvas. A maior parte do nosso trabalho se
concentrará num caso particular desse problema geral. Mais especificamente, tentaremos achar a área de uma região
limitada pelo gráfico de uma função y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como mostra a
figura para a função y = x2.
W.Bianchini, A.R.Santos 279
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
O conhecimento de um método de resolução deste problema particular é suficiente para tratar regiões mais com-
plicadas. O cálculo da área de uma região cuja fronteira seja uma curva pode, com freqüência, ser reduzido a este
problema mais simples.
No Cap. 3 vimos que soluções aproximadas deste problema podem ser obtidas dividindo-se o intervalo [0, 1] em
subintervalos e calculando-se a soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos à figura, como é mostrado a
seguir.
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
À medida em que aumentamos o número de subdivisões do intervalo e, conseqüentemente, o número de retângulos
considerados, a soma das áreas desses retângulos se aproxima cada vez mais da área da região dada. Veja esta afirmação
ilustrada na figura seguinte à esquerda, onde consideramos retângulos inscritos. Observe, também, a figura à direita,
considerando retângulos circunscritos. (Execute na versão eletrônica as animações correspondentes.)
2.087962964
x
2.209490741
x
2.040000000
x
2.198347107
x
1.968750000
x
2.227040816
x
2.185000000
x
2.168724280
x
1.851851852
x
2.148437500
x
2.122448981
x
2.218934911
x
2.502057613
x
2.523437500
x
2.551020409
x
2.449704142
x
2.587962964
x
2.640000000
x
2.718750000
x
2.441326531
x
2.459490741
x
2.471074380
x
2.485000000
x
2.851851852
x
No primeiro caso, a estimativa obtida para a área da região é menor do que o seu valor exato; no segundo, maior.
Assim, podemos afirmar que o valor exato da área está entre os dois valores obtidos usando-se as aproximações acima.
Desta maneira, o erro cometido é menor do que a diferença entre estes dois valores.
Vamos provar que, à medida que aumenta o número n de retângulos considerados nestes cálculos, o erro diminui,
e tanto a soma das áreas dos retângulos inscritos quanto a soma das áreas dos retângulos circunscritos seaproximam
de um mesmo valor. Definiremos, então, a área da região dada como sendo igual ao valor deste limite único.
Vamos executar passo a passo o procedimento descrito acima para entender como o método funciona e obter um
valor aproximado para a área da região limitada pela função f(x) = x2, pelas retas x = 1 e x = 2 e pelo eixo x.
Primeiro dividimos o intervalo [1, 2] em n partes. Assim, temos que
{1= xo < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = 2} .
Em matemática, uma divisão deste tipo é chamada de partição do intervalo [1, 2]. No nosso caso, vamos considerar
uma partição ou divisão do intervalo dado em n partes iguais. Deste modo, os comprimentos dos subintervalos da
forma [xi−1, xi], para 1 ≤ i ≤ n, são iguais e a partição do intervalo é dita regular. Usaremos o śımbolo ∆x para
denotar este comprimento, isto é,
∆x = x1 − x0 = x2 − x1 = x3 − x2 = . . . = xi − xi−1 = . . . = xn − xn−1 =
2− 1
n
=
1
n
.
280 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
A soma das áreas dos retângulos inscritos, chamada soma inferior, será dada por:
SI = f(c0)∆x+ f(c1)∆x+ . . .+ f(cn−1)∆x =
n−1∑
i=0
f(ci)∆x
onde f(ci) é o menor valor da função f em cada subintervalo [xi−1, xi]. No exemplo que estamos estudando, este
valor ocorre em xi, extremo inferior de cada subintervalo, portanto, a soma inferior será dada por
SI = f(x0)∆x+ f(x1)∆x+ . . .+ f(xn−1)∆x =
n−1∑
i=0
f(xi)∆x
A soma das áreas dos retângulos circunscritos, chamada soma superior, será obtida calculando-se:
SS = f(w1)∆x+ . . .+ f(wn)∆x =
n∑
i=1
f(wi)∆x
onde f(wi) é o maior valor da função f no intervalo [xi−1, xi]. No nosso exemplo, este valor extremo ocorre em xi,
que é o extremo superior de cada um dos subintervalos considerados. Neste caso particular, portanto, a soma superior
será dada por
SS = f(x1)∆x+ . . .+ f(xn)∆x =
n∑
i=1
f(xi)∆x
Assim,
SI ≤ área da figura ≤ SS
Para obtermos estimativas para a área da figura dada, nossa tarefa se reduz agora, a calcular os valores de SI e
SS. Do modo como foi definida a partição, temos que:
x1 = 1 +
1
n
; x2 = x1 +
1
n
= 1 +
2
n
; x3 = 1 +
3
n
; ...; xn = 1 +
n
n
= 2 .
Lembrando que neste exemplo particular, f(x) = x2, o valor da soma inferior será dado por:
SI :=
n−1∑
i=0
(1 +
i
n
)2
n
Veja o diagrama a seguir, onde foram constrúıdos retângulos inscritos para n = 3, 5, 8, 11, 14, e 17, sucessivamente.
Lembre-se de que o valor de n define o número de subintervalos e, conseqüentemente, de retângulos determinados pela
partição.
Raciocinando da mesma maneira, para a soma superior obtemos a seguinte expressão
SS :=
n∑
i=1
(1 +
i
n
)2
n
que fornece o valor da soma das áreas de n retângulos circunscritos à figura.
Nesse ponto, vamos usar o Maple para mostrar que à medida em que n cresce, a diferença entre SS e SI tende
a zero e a soma das áreas, quer dos retângulos inscritos, quer dos retângulos circunscritos, converge para o mesmo
limite.
Para isso, primeiro definimos a função f e o valor de ∆x
W.Bianchini, A.R.Santos 281
> f:=x->x^2;
f := x→ x2
> Delta_x:=1/n;
Delta x :=
1
n
A seguir, usamos o comando sum para calcular o valor de SI e de SS e o comando simplify para simplificar as
expressões obtidas
> SI:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=0..n-1)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i
> =0..n-1);
SI :=
n−1∑
i=0
(1 +
i
n
)2
n
=
7
3
− 3
2
1
n
+
1
6
1
n2
> simplify(SI);
1
n3
n−1∑
i=0
(n+ i)2 =
1
6
14n2 − 9n+ 1
n2
> SS:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1..n)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1
> ..n);
SS :=
n∑
i=1
(1 +
i
n
)2
n
=
n+ 1
n
+
(n+ 1)2
n2
− n+ 1
n2
+
1
3
(n+ 1)3
n3
− 1
2
(n+ 1)2
n3
+
1
6
n+ 1
n3
− 1
n
> simplify(SS);
1
n3
n∑
i=1
(n+ i)2 =
1
6
14n2 + 9n+ 1
n2
• Você é capaz de provar que as fórmulas obtidas acima para SI e SS são verdadeiras? (Veja o projeto O Maple e o
prinćıpio da indução matemática.)
Calculando a diferença SS − SI,
> Erro:=SS-SI;
Erro :=
n+ 1
n
+
(n+ 1)2
n2
− n+ 1
n2
+
1
3
(n+ 1)3
n3
− 1
2
(n+ 1)2
n3
+
1
6
n+ 1
n3
+
1
2
1
n
− 7
3
− 1
6
1
n2
> simplify(Erro);
3
1
n
verificamos facilmente que esta expressão tende a zero, quando n→ ∞ e, conseqüentemente, SI e SS convergem para
o mesmo valor, neste caso 73 . (Examine as expressões de SI e SS e comprove que realmente limn→∞
SI = lim
n→∞
SS =
7
3
.)
No exemplo estudado, a função f é crescente e, geometricamente, podemos ver que o valor da diferença SS − SI
é dada por
( f(x1)− f(x0) + f(x2)− f(x1) + ... + f(xn−1) + f(xn)) ∆x = f(2)−f(1)n .
Esta última expressão torna fácil verificar que, para funções crescentes (ou decrescentes!), quando n → ∞, o erro
cometido na aproximação por somas superiores ou inferiores realmente tende a zero (Veja problema 1).
Podemos repetir o processo acima, considerando retângulos cuja altura seja o valor da função em qualquer ponto
do subintervalo [xi−1, xi], por exemplo, o ponto médio de cada subintervalo. (Veja a figura abaixo.)
282 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
2.331018519 2.331632654
2.328125000 2.330000000
2.332304526
2.324074074
2.3326446282.332500000
2.332031250
A soma das áreas dos retângulos assim constrúıdos converge para o mesmo limite anterior, como mostramos a
seguir.
Considere a soma, SM, das áreas dos retângulos cujas alturas são o valor da função f , calculada no ponto médio
de cada subintervalo [xi−1, xi], isto é, no ponto 1 +
i∆ x
2 . Com a ajuda do Maple, obtemos
SM :=
n−1∑
i=0
(1 +
i
n
+
1
2
1
n
)2
n
=
7
3
− 1
12
1
n2
(Para provar a fórmula acima veja o projeto O Maple e o prinćıpio da indução matemática.)
Calculando o limite desta expressão quando n→ ∞, temos
lim
n→∞
7
3
− 1
12
1
n2
=
7
3
.
Destes cálculos, podemos concluir que, à medida em que n aumenta, quaisquer das somas acima tende a um mesmo
número, que será o valor da área da região considerada.
Note que a partição do intervalo [1, 2] considerada tem a propriedade de que à medida que n cresce o valor de
∆x tende a zero. Esta propriedade é fundamental para que as somas SS, SI e SM convirjam para a área da região.
Considere, por exemplo, a seguinte partição em 20 partes (n = 20) do intervalo [ 1, 2 ]:
> particao:=[seq(2-1/i,i=1..n)];
particao := [1,
3
2
,
5
3
,
7
4
,
9
5
,
11
6
,
13
7
,
15
8
,
17
9
,
19
10
,
21
11
,
23
12
,
25
13
,
27
14
,
29
15
,
31
16
,
33
17
,
35
18
,
37
19
,
39
20
, 2]
O diagrama ilustra o que pode acontecer para várias partições deste tipo (n = 3, 5, 8 e 11, respectivamente):
1.367606481
1.558049983 1.658122331
1.106481481
4.
3.
2.
1.
2.1.51..50
4.
3.
2.
1.
2.1.51..50
4.
3.
2.
1.
2.1.51..50
4.
3.
2.
1.
2.1.51..50
Observe que, neste caso,mesmo considerando valores de n cada vez maiores, a soma das áreas dos retângulos
inscritos, jamais se aproximará da área da região em questão. Como mostra este exemplo, o importante não é a
divisão em partes iguais, mas o fato do comprimento de cada um dos subintervalos [xi, xi+1] tender a zero à medida
que se aumenta o número de divisões do intervalo.
Chegamos, assim, à seguinte definição:
Definição
Considere a região limitada pelo gráfico de uma função cont́ınua e positiva y = f(x), pelas retas verticais x = a e
x = b e pelo eixo x. Considere uma partição do intervalo [a, b]
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b ,
W.Bianchini, A.R.Santos 283
tal que, para todo i, ∆xi → 0 quando n → ∞, onde ∆xi = xi − xi−1 é o comprimento de cada subintervalo da
partição. Então, a área da região é dada por
lim
n→∞
n−1∑
i=0
f(ci)∆x
onde ci é um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi].
Vamos ilustrar esta definição com outro exemplo. Considere a função g(x) = sen(x), para x no intervalo [0, π] .
Queremos calcular a área hachurada mostrada na figura:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Primeiro dividimos o intervalo [0, π] em n partes iguais. Nestecaso, ∆x = πn . Considerando retângulos cujas
alturas são iguais ao valor da função na extremidade xi−1 de cada subintervalo [xi−1, xi], obtemos as seguintes
aproximações para a área, quando dividimos o intervalo [0, π] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes, respectivamente:
1.9337655981.8961188981.813799365
1.966316679 1.9742316031.954097234
Considerando retângulos cujas alturas são o valor da função na extremidade xi de cada subintervalo [xi−1, xi],
obtemos as aproximações mostradas na figura, à esquerda. Da mesma maneira, tomando retângulos cujas alturas são
o valor da função no ponto médio de cada subintervalo [xi, xi+1], obtemos as aproximações mostradas na figura à
direita.
1.9742316031.9663166791.954097234
1.8961188981.813799365 1.933765598
2.012909086
2.052344307
2.016884178
2.094395102
2.023030320
2.033281478
As estimativas observadas nas figuras parecem indicar que a área procurada deve ser igual a 2. Vamos usar o
Maple para calcular as somas que aparecem nos três casos considerados e calcular o seu limite quando o número
de retângulos cresce sem limite (tende a infinito). Seja SN1 a soma das áreas dos retângulos cujas alturas são as
extremidades inferiores dos subintervalos. Assim,
SN1 :=
π
(
n−1∑
i=0
sen(
i π
n
)
)
n
284 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
Simplificando a soma acima obtém-se:
π
(
n−1∑
i=0
sen(
i π
n
)
)
n
= −
sen(
π
n
)
n (cos(
π
n
)− 1)
Calculando o limite desta expressão, quando n→ ∞, tem-se que
lim
n→∞
n−1∑
i=0
sin(
i π
n
)π
n
= 2
Da mesma maneira, considerando-se retângulos cujas alturas são o valor da função na extremidade xi1 de cada
subintervalo [xi−1, xi], obtém-se:
π
(
n∑
i=1
sen(
i π
n
)
)
n
= −
π sen(
π
n
)
n (cos(
π
n
)− 1)
e
lim
n→∞
π
(
n∑
i=1
sin(
i π
n
)
)
n
= 2
Considerando retângulos cujas alturas são o valor da função no ponto médio de cada subintervalo [xi−1, xi], temos
também
π
n−1∑
i=0
sen
(i+ 12)π
n


n
= −
π sen(
π
n
)
n (cos(
π
n
)− 1)
e
lim
n→∞
π
n−1∑
i=0
sen
(i+ 12)π
n


n
= 2
O valor do limite será o mesmo para qualquer soma do tipo
∑
i
f(ci)∆xi escolhida, onde ci ∈ [xi−1, xi]. Este
limite único é, por definição, a área da região R limitada pelo gráfico de uma função f cont́ınua e positiva, pelo eixo
x e pelas retas x = a e x = b.
21.4 A Integral Definida
21.4.1 Definição
Vimos na seção anterior como calcular a área A de uma região limitada por uma função positiva, pelas retas x = a,
x = b e pelo eixo x. O que fizemos foi dividir o intervalo fechado [a, b] em n partes iguais e aproximar o valor da área
por somas do tipo
n∑
i=1
f(ci)∆x. Vimos que, à medida que n cresce, o valor da soma se aproxima do valor de A. Esta
definição para áreas de regiões motiva a extensão deste procedimento a outras funções que não sejam necessariamente
positivas. Deste modo, vamos definir o que chamamos de integral de uma função f , onde f é uma função qualquer
definida em um intervalo fechado [a, b]. Para isso, considere uma divisão do intervalo [a, b], em n partes
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < ... < xn−1 < xn = b .
Esta divisão, como já vimos, define uma partição do intervalo a, b], que chamaremos de P . Seja ∆xi = xi − xi−1,
tal que, para todo i, ∆xi → 0 quando n → +∞. Formemos a soma
W.Bianchini, A.R.Santos 285
Sn =
n∑
i=1
f(ci)∆xi,
onde ci é um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi]. Esta soma é chamada soma de Riemann para f associada à
partição P . (O nome soma de Riemann foi dado em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann (1826-
1866), que, em seus trabalhos, estabeleceu o conceito de integral em bases matemáticas rigorosas.)
Se existir o limite
I = lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
n∑
i=1
f(ci)∆xi = lim
∆ xi→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi
para toda soma de Riemann associada à partição P de [a, b], dizemos que a função f é integrável em [a, b] e que a
integral definida de f , de a até b, denotada por
∫ b
a
f(x) dx, é este limite, isto é,
I =
∫ b
a
f(x) dx = lim
n→∞
Sn = lim
∆ xi→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi .
O maior dos números ∆xi é chamado norma da partição P e denotado por ||P ||. Usando esta notação e a definição
rigorosa de limite, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que se P é uma partição de
[a, b] sendo ||P || < δ, então ∣∣∣∣∣
(
n∑
i=1
f(ci)∆xi
)
− I
∣∣∣∣∣ < ε
para qualquer escolha dos números ci nos subintervalos [xi−1, xi].
A notação para integrais foi introduzida pelo matemático alemão G. W. Leibniz (1646-1716). O śımbolo
∫
é
uma estilização da letra S da palavra Summa e é chamado sinal de integral. Os números a e b são chamados,
respectivamente, limite inferior e limite superior da integral. A função f é chamada de integrando, e o śımbolo dx
indica que a função está sendo integrada com respeito a variável independente x, que neste contexto não deve ser
confundido com a diferencial de x. A variável x na integral é o que chamamos de uma variável muda. Ela pode ser
substitúıda por qualquer outra letra sem afetar o valor da integral. Assim, se f é integrável em [a, b], podemos escrever∫ b
a
f(y) dy =
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(z) dz . . . etc.
Na definição de integral, temos que a < b, mas é conveniente também definirmos integral no caso em que b < a.
Neste caso, definimos ∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx,
desde que esta última integral exista.
Além disso, se f(a) existe, então
∫ a
a
f(x) dx = 0.
Na definição de integral não impomos restrições sobre a função f , apenas sobre a partição do intervalo [a, b]. Isto
nos leva à questão de saber quais funções são integráveis. O exemplo a seguir mostra que existem funções que não o
são.
Exemplo 1
Considere a função f definida em [0, 1] por:
f(x) =
{
0 , para x racional
1 , para x irracional
.
Qualquer que seja a partição do intervalo [0, 1], os subintervalos associados a essa partição sempre conterão pontos
racionais e irracionais. Se considerarmos duas somas de Riemann, uma do tipo
n∑
x=1
f(ci)∆x, onde cada ci seja racional
e outra onde cada ci seja irracional, teremos, para a primeira delas, o valor zero; para a outra, o valor 1, o que mostra
que o limite depende da soma particular considerada, portanto, f não é integrável.
Exemplo 2
286 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
Considere a função f definida em [0, 1] por
f(x) =

1
x
, se x ̸= 0
1 , se x = 0
.
Temos que lim
x→0+
f(x) = ∞. Então, no primeiro subintervalo [0, x1], de qualquer partição P de [0, 1], podemos
achar um número ci, tal que f(ci)∆xi supera qualquer número dado M . Assim, para qualquer partição P podemos
encontrar uma soma de Riemann arbitrariamente grande. Logo, qualquer que seja o número real I, existem somas
de Riemann Rp associadas a qualquer partição P do intervalo [0, 1], tais que |Rp − I | é arbitrariamente grande. Isto
implica que f não é integrável. Por argumentos análogos, podemos mostrar que qualquer função que se torne ilimitada
em qualquer ponto de um intervalo [a, b] não é integrável. Assim:
Se f é integrável em [a, b], então é limitada em [a, b], isto é, existe um número real M tal que | f(x) | ≤M , para
todo x em [a, b].
Observações
1. Repare que | f(x) | ≤M significa, geometricamente, que o gráfico de f está entre as duas retas horizontais y =M
e y = −M . Em particular, se f tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b], então f
não é limitada e, portanto, não é integrável, como foi mostrado no Exemplo 2.
2. Um conjunto bastante amplo de funções que são integráveis é o conjunto das funções cont́ınuas, isto é, se f é
uma função cont́ınua em [a, b], então f é integrável em [a, b].
3. Se f é descont́ınua em [a, b], então
∫ b
a
f(x) dx pode existir, ou não. Se f tem somente um número finito de
descontinuidades nointervalo [a, b] e todas elas são descontinuidades de salto, então f é dita cont́ınua por partes
e é integrável em [a, b]. (Veja Problema 5.)
4. Repare ainda, que se f é integrável em [a, b], então o limite das somas de Riemann existe qualquer que seja a
escolha dos pontos ci em cada subintervalo [xi−1, xi]. Este fato permite que particularizemos a escolha dos ci,
se isto for conveniente. Por exemplo, podemos escolher ci sempre como o extremo direito, ou como o extremo
esquerdo, ou como o ponto médio de cada subintervalo, ou como o número onde ocorre o máximo ou o mı́nimo
da função em cada intervalo [xi−1, xi]. Além disso, como o limite independe da partição considerada (desde que
sua norma seja suficientemente pequena), a definição de integral pode ser simplificada pela utilização de somas
de Riemann associadas a partições regulares, isto é, constitúıdas de subintervalos de mesmo comprimento. Neste
caso,
||P || = ∆x = b− a
n
e quando n→ ∞, ∆x→ 0. A integral de f é dada por
I =
∫ b
a
f(x) dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(ci)∆x = lim
||P ||→0
n∑
i=1
f(ci)∆x .
Em particular, como toda função cont́ınua em [a, b] é integrável em [a, b], esta observação se aplica a funções
cont́ınuas.
21.4.2 Interpretação geométrica da integral definida
Como aplicação imediata da definição de integral, quando f é uma função cont́ınua, positiva, definida em [a, b], a∫ b
a
f(x) dx nos fornece o valor da área da região limitada pelo gráfico de f , pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. Se a
função f for uma função cont́ınua que assume valores positivos e negativos no intervalo [a, b], então o valor da integral
será a diferença entre o valor da área da região que está acima do eixo x e o valor da área da região que está abaixo do
eixo x. Este fato torna-se claro observando-se a figura a seguir e lembrando que, por definição, a integral é o limite de
somas de Riemann. As parcelas f(ci)∆x que correspondem aos retângulos que estão abaixo do eixo x são negativas,
e seus valores absolutos fornecem o valor das áreas de cada um destes retângulos.
W.Bianchini, A.R.Santos 287
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–3 –2 –1 1 2 3x
21.4.3 Propriedades da integral definida
A partir da definição de integrais como limite de somas de Riemann podemos demonstrar algumas de suas propriedades
fundamentais.
Propriedade 1
Se f é uma função constante definida por f(x) = k, para todo x em [a, b], então f é integrável e∫ b
a
k dx = k (b− a) .
Demonstração Seja P uma partição de [a, b]. Então, para toda soma de Riemann de f ,
n∑
i=1
f(ci)∆xi =
n∑
i=1
k∆xi = k (
n∑
n=1
∆xi) = k (b− a) ,
pois a soma dos comprimentos de todos os subintervalos da partição é o comprimento do intervalo [a,b], independente
do valor de n. Conseqüentemente,
lim
∆ xi→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi = k (b− a) ,
isto é, ∫ b
a
k dx = k (b− a) .
Esta igualdade está de acordo com a discussão de área feita anteriormente, pois se k > 0, então o gráfico de f é
uma reta horizontal k unidades acima do eixo dos x, e a região limitada por esta reta, pelo eixo x e pelas retas x =
a e x = b é um retângulo de lados k e (b − a). Logo, sua área é dada por k (b− a). No caso especial em que k = 1,
temos que
∫ b
a
1 dx = b− a, que é igual ao comprimento do intervalo [a, b].
Propriedade 2
Se f é integrável em [a, b] e k é um número real arbitrário, então kf é integrável em [a, b] e∫ b
a
k f(x) dx = k
∫ b
a
f(x) dx .
Demonstração Se k = 0, o resultado se verifica trivialmente. Suponhamos, então, que k ̸= 0. Como f é integrável,
temos que existe um número I tal que I =
∫ b
a
f(x) dx.
Seja P uma partição de [a, b]. Então, toda soma de Riemann para a função k f tem a forma
n∑
i=1
k f(ci)∆xi, onde
para cada i, ci está no subintervalo [xi−1, xi]. Seja ε > 0 dado. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se
||P || < δ, então | (
∑
i k f(ci)∆xi)− k I | < ε, para todo ci em [xi−1, xi].
Se observarmos que ∣∣∣∣∣
(∑
i
k f(ci)∆xi
)
− k I
∣∣∣∣∣ = | k |
∣∣∣∣∣
(∑
i
f(ci
)
∆xi)− I
∣∣∣∣∣ ,
288 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
a conclusão se verifica imediatamente, pois, como f é integrável, tem-se que, qualquer que seja ε1 >0, existe um δ >
0 tal que, se ||P || < δ, então | (
∑
i
f(ci)∆xi)− I | < ε1.
Assim, basta escolhermos ε1 =
ε
|k| para obter o resultado desejado.
Costuma-se enunciar a conclusão desta propriedade dizendo-se que constantes “podem ser retiradas do sinal de
integral”.
Propriedade 3
Se f e g são integráveis em [a, b], então f + g é integrável em [a, b] e∫ b
a
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx .
Demonstração Por hipótese, existem números reais I1 e I2, tais que
∫ b
a
f(x) dx = I1 e
∫ b
a
g(x) dx = I2.
Seja P uma partição de [a, b] e seja Rp uma soma de Riemann arbitrária para f + g associada à partição P , isto é,
Rp =
n∑
i=1
(f(ci) + g(ci))∆xi = (
n∑
i=1
f(ci)∆xi) + (
n∑
i=1
g(ci)∆xi) ,
onde ci está em [xi−1, xi] para cada i.
Seja ε > 0. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se ||P || < δ, então |Rp − (I1 + I2)| < ε .
Por hipótese (f e g integráveis), sabemos que qualquer que seja ε1> 0, existem δ1 e δ2 positivos tais que, se ||P ||
< δ1 e ||P || < δ2, então ∣∣∣∣∣
(∑
i
f(ci)∆xi
)
− I1
∣∣∣∣∣ < ε1 e
∣∣∣∣∣
(∑
i
g(ci)∆xi
)
− I2
∣∣∣∣∣ < ε1 ,
Seja ε1 =
ε
2 e seja δ o menor dos números δ1 e δ2. Assim, se ||P || < δ, as duas desigualdades acima se verificam, e
dáı, como
|Rp − (I1 + I2)| =
∣∣∣∣∣
(∑
i
f(ci)∆xi
)
− I1 +
(∑
i
g(ci)∆xi
)
− I2
∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣
(∑
i
f(ci)∆xi
)
− I1
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
(∑
i
g(ci)∆xi
)
− I2
∣∣∣∣∣
tem-se |Rp − (I1 + I2)| < ε2 +
ε
2 = ε, que é o resultado que queŕıamos demonstrar.
Observações
1. Vale um resultado análogo para diferenças, isto é, se f e g são integráveis em [a,b], tem-se∫ b
a
(f(x)− g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx−
∫ b
a
g(x) dx
2. A Propriedade 3 pode ser estendida a uma soma finita de funções. Especificamente, se f1, f2, . . . , fn são in-
tegráveis em [a, b], sua soma g = f1 + f2 + . . .+ fn também o é e∫ b
a
g(x) dx =
∫ b
a
f1(x) dx+
∫ b
a
f2(x) dx+ ...+
∫ b
a
fn(x) dx .
3. Se f e g são funções integráveis em [a, b] e se k1 e k2 são reais arbitrários, pelas Propriedades 2 e 3 temos que∫ b
a
(k1 f(x) + k2 g(x)) dx = k1
∫ b
a
f(x) dx+ k2
∫ b
a
g(x) dx .
Além disso, se k1, k2,..., kn são reais arbitrários e se f1, f2, . . . , fn são funções integráveis em [a, b], o resultado
análogo vale para a função g = k1 f1 + k2 f2 + . . .+ kn fn.
W.Bianchini, A.R.Santos 289
Como já vimos, se f é cont́ınua e positiva em [a, b], então
∫ b
a
f(x) dx é a área sob o gráfico de f limitada pelas
retas x = a e x = b. De modo análogo, se a < c < b, então as integrais
∫ c
a
f(x) dx e
∫ b
c
f(x) dx são as áreas sob o
gráfico de f de a até c e de c até b, respectivamente. Segue, imediatamente, que∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx .
A próxima propriedade mostra que esta igualdade também é verdadeira sob hipóteses mais gerais.
Propriedade 4
Se a < c < b e f é integrável tanto em [a, c], como em [c, b], então f é integrável em [a, b] e∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx .
Demonstração Por hipótese, existem números reais I1 e I2 tais que
∫ c
a
f(x) dx = I1 e
∫ b
c
f(x) dx = I2.
Sejam P1 uma partição de [a, c], P2 uma partição de [c, b] e P uma partição de [a, b]. Denotaremos por RP1 , RP2
e RP as somas de Riemann arbitrárias associadas a P1, P2 e P , respectivamente. Devemos mostrar que dado um ε >
0, existe um δ >0 tal que, se ||P || < δ, então |RP − (I1 + I2)| < ε.
As hipóteses sobre f implicam que, dado ε1 =
ε
4 , existem números positivos δ1 e δ2 tais que, se ||P1|| < δ1 e ||P2||
< δ2, então
|RP1 − I1| <
ε
4
e |RP2 − I2| <
ε
4
.
Seja δ o menor dos números δ1 e δ2. Então ambas as desigualdades acima são verdadeiras, desde que tenhamos
||P || < δ. Alémdisso, como f é integrável tanto em [a, c] como em [c, b], é limitada em ambos os intervalos e, assim,
existe um número M , tal que | f(x) | ≤M para todo x em [a, b].
Suponhamos agora que além da exigência anterior feita sobre δ, tenhamos também que δ < ε4M .
Seja P uma partição de [a, b], tal que ||P || < δ, como escolhido acima. Se as subdivisões que determinam P são
a = x0, x1, x2,..., xn = b, então existe um único intervalo semi-aberto da forma (xk−1, xk] que contém c.
Se RP =
n∑
i=1
f(wi)∆xi, podemos escrever
RP =
(
k−1∑
i=1
f(wi)∆xi
)
+ f(wk)∆xk +
(
n∑
i=k+1
f(wi)∆xi
)
.
Seja P1 a partição de [a, c] determinada por {a, x1, x2, . . . xk−1, c} e P2 a partição de [c, b] determinada por
{c, xk, . . . , xn−1, b}. Consideremos agora as somas de Riemann
RP1 =
(
k−1∑
i=1
f(wi)∆xi
)
+ f(c) (c− xk−1) e RP2 = f(c) (c− xk) +
(
n∑
i=k+1
f(wi)∆xi
)
.
Então, como ||P || < δ, temos
(*) |RP − (RP1 +RP2) | = |f(wk)− f(c)| ∆xk ≤ |f(wk)|+ |f(c)| ∆xk ≤
(M+M) ε
4M =
ε
2
e
(**) |RP1 +RP2 − (I1 − I2)| ≤ |RP1 − I1| − |RP2−I2 | < ε2 .
Como
|RP − (I1 + I2)| = |RP − (RP1 +RP2) + (RP1 +RP2)− (I1 + I2)|
≤ |RP − (RP1 +RP2)|+ |RP1 +RP2 − (I1 + I2)|
Se ||P || < δ, as desigualdades (*) e (**) implicam que
|RP − (I1 + I2)| < ε2 +
ε
2 = ε
para toda soma de Riemann RP , o que completa a demonstração.
290 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
Esta propriedade pode ser generalizada para o caso em que c não está necessariamente entre a e b. (Veja Problema
8 ).
Propriedade 5
Se f é integrável em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então
0 ≤
∫ b
a
f(x) dx
Demonstração Seja I =
∫ b
a
f(x) dx e suponhamos por absurdo que I < 0.
Seja P uma partição de [a, b] e seja RP =
n∑
i=1
f(ci)∆xi, uma soma de Riemann qualquer, associada a P . Como,
por hipótese, f(ci) ≥ 0, para todo ci no intervalo [xi−1, xi], temos que RP ≥ 0.
Seja ε = − I2 > 0, então, como f é integrável em [a, b], desde que ||P || seja suficientemente pequena, temos que
|RP − I | < ε = − I2 . Dáı, RP < I −
I
2 =
I
2 < 0, o que é uma contradição. Portanto, a suposição I < 0 é falsa, e temos
que I ≥ 0.
Uma conseqüência imediata desta propriedade é expressa na propriedade a seguir, cuja demonstração é deixada a
cargo do leitor. (Veja Problema 9.)
Propriedade 6
Se f e g são integráveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], então∫ b
a
g(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx .
21.5 Valor médio de uma função e o teorema do valor médio para inte-
grais definidas
A média aritmética de n números a1, a2, ... , an é definida por:
am =
(a1 + a2 + . . .+ an)
n
=
1
n
n∑
i=1
ai
Agora, pense no seguinte problema:
Suponha que você tenha uma barra de ferro de comprimento L e conhece a temperatura T (x), que varia em cada
ponto x da barra. Como calcular a temperatura média Tm da barra?
A dificuldade, neste caso, é que existem infinitos pontos na barra a serem considerados. A idéia é estabelecer um
sistema de coordenadas na barra, de tal modo que as suas extremidades coincidam com os pontos 0 e L deste sistema
e aproximar a temperatura média pela média das temperaturas de n pontos da barra, a saber,
0 = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = L
tomados como referência, isto é,
Tm ≈
1
n
n∑
i=1
T (xi)
Claramente, à medida que aumentamos o número n de pontos considerados neste cálculo, o valor do lado direito
da expressão anterior se aproximará cada vez mais da temperatura média Tm da barra.
Observe, agora, que a soma anterior é muito parecida com a soma de Riemann para a função T (x). Para transformar
esta expressão na soma de Riemann para a função T , basta multiplicar e dividir, a soma obtida por ∆x = Ln . Assim,
temos
1
n
1
∆x
(
n∑
i=1
T (xi)
)
∆x =
1
n
n
L
(
n∑
i=1
T (xi)
)
∆x =
1
L
n∑
i=1
T (xi)∆x
Agora sim! O último somatório é a soma de Riemann para a função T no intervalo [0, L]. Assim,
Tm =
1
L
lim
n→∞
n∑
i=1
T (xi)∆x =
1
L
∫ L
0
T (x) dx
W.Bianchini, A.R.Santos 291
De um modo geral, define-se o valor médio de uma função y = f(x), cont́ınua em um intervalo [a, b], como
fm =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx
ou ∫ b
a
f(x) dx = fm (b− a) .
Se f(x) ≥ 0 em [a, b], esta última igualdade significa, geometricamente, que a área sob o gráfico de f , desde a até
b, é igual à área de um retângulo de altura fm e base b-a.
Exemplo
Se a temperatura de uma barra de comprimento 3 cm é dada por T (x) = x, em cada ponto x da barra, calcule a
sua temperatura média.
Solução:
Tm =
1
3
∫ 3
0
x dx =
3
2
No gráfico a seguir a área hachurada tem o mesmo valor da área do retângulo escuro.
Tm
0
1
2
3
4
1 2 3x
Note que o valor Tm é atingido em algum ponto c de [a, b]. Neste exemplo, precisamente em c =
3
2 . O teorema do
valor médio para integrais definidas, que veremos a seguir, garante que, se f é cont́ınua, isto é sempre verdade.
21.5.1 O teorema do valor médio para integrais definidas
Teorema
Se f é cont́ınua em um intervalo fechado [a, b], então existe um número c no intervalo aberto (a, b), tal que∫ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a)
Observações Se f(x) ≥ 0 em [a, b], o teorema admite uma interpretação geométrica interessante. Neste caso,
como já vimos, S =
∫ b
a
f(x) dx é a área limitada pelo gráfico de f , o eixo x e as retas x = a e x = b. O teorema
garante a existência de um número c, abscissa de um ponto P do gráfico de f , tal que a área da região retangular
limitada pela reta horizontal que passa por P , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, dada pela expressão, f(c) (b− a),
é igual a S. Veja as figuras.
3.6
3.7
3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 z
O número c não é necessariamente único. Por exemplo, se f é uma função constante, todos os números c do
intervalo [a, b] satisfazem a conclusão do teorema. O teorema garante a existência de pelo menos um número c em
[a, b] com a propriedade enunciada.
Demonstração Sejam m = f(d) o mı́nimo de f em [a, b] e M = f(e) o máximo de f em [a, b]. Pela Propriedade 6,∫ b
a
mdx ≤
∫ b
a
f(x) dx e
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
M dx,
292 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
isto é,
m ≤ 1
b− a
∫ b
a
f(x) dx e
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx ≤M .
Como f é cont́ınua e y = 1b−a
∫ b
a
f(x) dx é um número entre m e M , pelo teorema do valor intermediário existe um
número c entre a e b, tal que,
f(c) =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx
Exemplo
Seja v(t) a velocidade de um objeto em cada instante t num intervalo de tempo [a, b]. Então, a velocidade média
do objeto é dada por
vm =
1
b− a
∫ b
a
v(t) dt
O teorema do valor médio para integrais definidas nos diz que a velocidade média vm é atingida pelo objeto em algum
instante c de [a, b], isto é, vm = v(c).
O teorema do valor médio para integrais definidas pode ser usado na demonstração de vários outros teorema
relevantes. Um dos mais importantes é o teorema fundamental do cálculo, que será visto no próximo caṕıtulo.
21.6 Atividades de laboratório
Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labint.mws da versão eletrônica deste
texto.
21.7 Exerćıcios
1. (a) Mostre a identidade
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
Sugestão: Some as equações
n∑
i=1
i = 1 + 2 + . . .+ n e
n∑
i=1
i = n+ (n− 1) + (n− 2) + . . .+ 1.
(b) Escreva as n equações que se obtém substituindo os valores de k = 1, 2, 3, . . . , n na identidade (k+1)3−k3 =
3 k2 + 3 k + 1. Adicione essas equações e use sua soma para deduzir, da identidade dada em (a), a fórmula
n∑
i=1
i2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
2. Para cada uma das funções abaixo
(a) Calcule aproximadamente a área da figura limitada pela curva y = f(x), as retas x = a, x = b e o eixo x,
utilizando os comandos leftbox e rightbox do Maple.
(b) Calcule aproximadamente o valor destas áreas com os comandos leftsum e rightsum.
(c) monte uma tabela com os valores obtidos para várias partições do intervalo.
(d)Use o comando limit para calcular exatamente o valor da área.
(e) Compare os resultados obtidos.
i. f(x) =
√
x para x ∈ [0, 1] ii. f(x) = sen(x) para x ∈ [0, 2π]
iii. f(x) =
√
4− x2 para x ∈ [−2, 2].
3. Use a definição para calcular cada uma das integrais abaixo. Use primeiro o seu racioćınio e a interpretação
geométrica da integral; depois, se ainda for necessário use os comandos leftsum e rightsum do Maple para
ajudá-lo nos cálculos.
(a)
∫ 5
−2 3 dx
(b)
∫ 4
−1 2x dx
(c)
∫ 2
−2 x
3 dx
(d)
∫ π
2
−π2
sen(x) dx
(e)
∫ 2π
0
cos(x) dx
(f)
∫ π
0
cos(x) dx
(g)
∫ 2
0
4x2 + 1 dx
W.Bianchini, A.R.Santos 293
4. Interprete geometricamente e calcule a integral
∫ 2
−2
√
4− x2 dx.
5. O gráfico da equação x
2
a2 +
y2
b2 = 1 para 0 < b < a é uma elipse. Esboce este gráfico e use o valor da integral∫ a
−a
√
a2 − x2 dx para achar a área limitada por uma elipse.
6. Sabendo-se que o valor médio de y = f(x) no intervalo [0, 7] é igual a 4, qual o valor de
∫ 7
0
f(t) dt?
7. Ache o valor médio de f(x) =
√
1− x2 no intervalo [0, 1].
21.8 Problemas
1. Mostre que se f é uma função cont́ınua e monótona em um intervalo [a, b], o erro na aproximação da
∫ b
a
f(x) dx
pela soma de Riemann inferior ou superior com n subintervalos é limitado por
| f(b)− f(a) | (b− a)
n
2. Para cada integral dada abaixo, seja
∫ b
a
f(x) dx = L. Levando-se em conta a definição de integral, dada neste
caṕıtulo, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um inteiro positivo N tal que∣∣∣∣∣
(
n∑
k=1
f(ck)∆xk
)
− L
∣∣∣∣∣ < ε ,
para todo n > N. Seja ∆xk =
b−a
n e ε = 0, 01. Considere ck como sendo a extremidade direita do k -ésimo subin-
tervalo da partição do intervalo [a, b] considerada. Ache o menor valor de n para o qual | (
∑n
k=1 f(ck)∆xk)− L | <
ε, para n > N.
(a)
∫ 3
1
x2 + 1 dx (b)
∫ π
6
0
cos(x) dx (c)
∫ 1,75
0,5
sen(x2) dx
3. (a) Mostre que
∫ π
2
0
sen2 x dx =
∫ π
2
0
cos2 x dx.
Sugestão: Mostre que as duas áreas em questão são congruentes usando uma reflexão em torno da reta
x = π4 .
(b) Mostre que
∫ π
2
0
1− sen2 x dx = π2 −
∫ π
2
0
sen2 x dx.
Sugestão: Use a interpretação geométrica das duas integrais e use uma reflexão em torno da reta y = 12
para mostrar que as duas áreas em questão são iguais.
(c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que
∫ π
2
0
sen2 x dx =
∫ π
2
0
cos2 x dx = π4 .
(d) Calcule
∫ π
0
sen2 x dx e
∫ 2π
0
cos2 x dx.
4. Obtenha uma fórmula para
∫ x
0
| t | dt, válida para
(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0
(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.
(d) Esboce um gráfico que represente geometricamente esta questão.
5. Considere a função sn(t) (sinal de t ) definida por sn(t) =
{−1 , se t < 0
0 , se t = 0
1 , se 0 < t
.
É claro que a função sn(t) não é cont́ınua em zero, mas
∫ b
a
sn(t) dt pode ser definida da mesma maneira que
para funções cont́ınuas. Por exemplo,
∫ 1
0
sn(t) dt, é a área limitada pelo gráfico da função, pelo eixo x e pelas
retas t = 0 e t = 1 (um quadrado de lado 1). Assim,
∫ 1
0
sn(t) dt = 1. Da mesma maneira,
∫ 0
−1 sn(t) dt = −1;∫ 3
0
sn(t) dt = 3;
∫ 3
−3 sn(t) dt = 0 e, assim por diante. Obtenha uma fórmula válida para
∫ x
0
sn(t) dt quando
(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0
(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.
6. Explique por que
(a)
∫ 1
−1 x
273 dx = 0 (b) 0 <
∫ 3
1
1
t dt <
14
12
294 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
7. (a) Dê exemplo de uma função cont́ınua no intervalo (0, 1) tal que
∫ 1
0
f(x) dx não exista.
(b) Dê exemplo de uma função que não seja cont́ınua em [0, 1], tal que exista
∫ 1
0
f(x) dx .
8. Mostre que se f é integrável em um intervalo fechado e se a, b e c são três números quaisquer deste intervalo,
então
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx.
9. (a) Se f(x) ≤M para todo x em [a, b], prove que
∫ b
a
f(x) dx ≤M (b− a). Ilustre o resultado graficamente.
(b) Se m ≤ f(x) para todo x em [a, b], prove que m (b− a) ≤
∫ b
a
f(x) dx. Ilustre o resultado graficamente.
(c) Mostre que se f e g são integráveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], então
∫ b
a
g(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx.
(d) Seja f integrável em [a, b]. Mostre que
∣∣∣ ∫ ba f(x) dx ∣∣∣ ≤ ∫ ba |f(x)| dx
10. Seja f(x) = 1 + x4. Ache o valor médio de f no intervalo de 0 até 0,001, com dez casas decimais exatas.
Sugestão: A resposta deve ser dada rapidamente. Se você não consegue perceber como isto pode ser feito, calcule
a resposta usando força bruta. O número obtido sugere como os cálculos poderiam ter sido evitados.
11. Se f(x ) = k para todo x em [a, b], prove que todo número c em [a, b] satisfaz a conclusão do teorema do valor
médio para integrais definidas. Interprete este resultado geometricamente.
12. Se f(x) = x e 0 < a < b, determine (sem integrar) um número c em (a,b) tal que
∫ b
a
f(x) dx = f(c) (b− a).
21.9 Um pouco de história
Parece que o primeiro a calcular a área exata de uma figura
limitada por curvas foi Hipócrates de Chios, o mais famoso
matemático grego do século V A.C.. Ele calculou a área da figura
em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Esta
figura, constrúıda por dois ćırculos (o ćırculo centrado em (0, 0)
e raio unitário e o ćırculo centrado em (0,−1) e passando pelos
pontos (1, 0) e (−1, 0)) recebeu o nome de lúnula de Hipócrates,
em homenagem àquele que descobriu que a sua área é igual à área
do quadrado cujo lado é o raio do ćırculo.
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
x
O problema da quadratura de um ćırculo, isto é, de achar um quadrado de área equivalente à de um ćırculo de raio
dado, é um dos problemas clássicos da Geometria a que muitos matemáticos dedicaram atenção, desde a Antiguidade.
Hipócrates “quadrou a lúnula”, embora fosse incapaz de resolver o problema da quadratura do ćırculo.
Os geômetras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um problema é construir a sua solução utilizando
somente uma régua não graduada e um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do ćırculo é imposśıvel
de resolver utilizando-se apenas régua e compasso.
À primeira vista parece que o problema de calcular áreas é um assunto de interesse apenas para geômetras, sem
aplicações na vida prática fora da Matemática. Isto não é verdade. No transcorrer dos próximos caṕıtulos, veremos
que muitos conceitos importantes de F́ısica, tais como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a força
total que age sobre uma barragem em virtude da pressão de água no reservatório, por exemplo, dependem das mesmas
idéias utilizadas neste caṕıtulo para o cálculo de áreas.
21.10 Projetos
21.10.1 Somas de Riemann aleatórias
Uma soma de Riemann de uma função f definida em um intervalo [a, b] tem a forma geral
S = f(c1) (x2 − x1) + f(c2) (x3 − x2) + . . .+ f(cn−1) (xn − xn−1) ,
onde a = x1 < x2 < .... < xn = b é uma partição do intervalo [a, b] e cada ci é tal que xi−1 ≤ ci ≤ xi.
O objetivo deste projeto é calcular somas de Riemann para a função f(x) = x3 + 3x2 + 2x − 5, definidas por
meio de uma partição do intervalo [0, 1] em 15 partes, geradas aleatoriamente. Para obter números aleatórios, vamos
utilizar o comando rand() do Maple. Cada vez que este comando é executado, um número entre 1 e 1012 é escolhido
ao acaso. Assim, a linha de comando abaixo gera uma seqüência de 31 = 2.15 + 1 números aleatórios, entre 1 e 1012.
Execute-o várias vezes!
W.Bianchini, A.R.Santos 295
> numeros:=[seq(rand(),k=1..31)]; k:=’k’:
numeros := [97396414947, 780422731613, 987785640265, 674198272844,
134050365811, 754869582636, 140810856859, 347877704841, 433599229456,
898724880795, 485531802023, 255050614524, 952922474293, 642065329619,
154912668026, 856069438450, 681407641506, 962917791070, 874166946435,
905950292905, 549552888716, 84125842236, 67060541266, 621757734462,
223575905687, 273574099511, 410424381304, 659501247275, 887974857856,
234450269247, 606386273485]Como queremos pontos pertencentes ao intervalo [0, 1], vamos converter os pontos gerados pelo comando acima
para este intervalo, por uma mudança de escala:
> pts:=map(x->evalf(x/10^12),numeros);
pts := [.09739641495, .7804227316, .9877856403, .6741982728, .1340503658,
.7548695826, .1408108569, .3478777048, .4335992295, .8987248808,
.4855318020, .2550506145, .9529224743, .6420653296, .1549126680,
.8560694385, .6814076415, .9629177911, .8741669464, .9059502929,
.5495528887, .08412584224, .06706054127, .6217577345, .2235759057,
.2735740995, .4104243813, .6595012473, .8879748579, .2344502692,
.6063862735]
Para formar os pontos da partição, precisamos colocar esta última seqüência em ordem crescente. Isto é feito
utilizando-se o comando sort:
> part:=sort(pts);
part := [.06706054127, .08412584224, .09739641495, .1340503658, .1408108569,
.1549126680, .2235759057, .2344502692, .2550506145, .2735740995,
.3478777048, .4104243813, .4335992295, .4855318020, .5495528887,
.6063862735, .6217577345, .6420653296, .6595012473, .6741982728,
.6814076415, .7548695826, .7804227316, .8560694385, .8741669464,
.8879748579, .8987248808, .9059502929, .9529224743, .9629177911,
.9877856403]
Podemos agora, calcular a soma de Riemann associada a esta partição do intervalo [0, 1], como se segue.
> f:=x->x^3+3*x^2+2*x-5;
f := x→ x3 + 3x2 + 2x− 5
> S:=sum(f(part[2*j])*(part[2*j+1]-part[2*j-1]),j=1..15);
S := −2.403062293
1. Repita este processo mais cinco vezes e guarde os resultados. Calcule a média das suas 6 tentativas e descreva
como este processo forma uma soma de Riemann geral e como por meio dele se chega a uma aproximação do
valor da integral da função no intervalo [0, 1]. Ilustre geometricamente.
2. Explique como é posśıvel melhorar a precisão do resultado e aplique as suas conclusões para melhorar o resultado
obtido acima.
3. Ache por este processo uma aproximação para a integral da função f(x) = x3 + x+ 2 no intervalo [0, 1].
21.10.2 Somas de Riemann e funções monótonas
O objetivo deste projeto é calcular integrais de funções monótonas por meio de somas de Riemann com um erro
máximo prefixado.
1. Considere a função f(x) = x3 + x+ 2.
(a) Mostre que f é monótona no intervalo [0, 2].
296 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
(b) Use os comandos leftbox e rightbox do pacote student para ilustrar como podemos aproximar a integral
da função dada no intervalo [0, 2] por meio da soma das áreas de retângulos inscritos ou circunscritos na
região delimitada pela função, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2.
(c) Determine o menor valor de n (números de retângulos) que garanta uma estimativa para a integral da
função com erro máximo de 0,1.(Veja Problemas 1 e 2.)
(d) Use o comando sum para obter uma estimativa a maior e uma estimativa a menor para a área da região
limitada por y = f(x), y = 0, x = 0 e x = 2.
(e) Use o comando sum para obter estas mesmas estimativas como função do número n de retângulos usados.
(f) Use o comando limit(...,n=infinity) e a expressão que você encontrou no item anterior para obter o valor
exato da área da região.
2. Considere a função g(x) = cos(x2 ).
(a) Mostre que g é monótona em [0, 1].
(b) Obtenha uma expressão geral para uma subestimativa para a área limitada pela curva y = g(x), pelo eixo
x e pelas retas x = 0 e x = 1.
(c) Calcule o erro máximo que se comete ao aproximar a área da região descrita acima pela soma das áreas de
10 retângulos inscritos na região.
(d) Obtenha o valor exato desta área.
(e) Use as conclusões obtidas nos itens anteriores e a função f(x) =
√
1− x2, definida em [a, b] = [0, 1] , para
obter aproximações de π4 com erro menor que
1
10 .
3. Nem todas as funções são monótonas, entretanto, as idéias estudadas aqui podem ser estendidas a funções que
não são monótonas. Descreva como é posśıvel estender as idéias estudadas neste caṕıtulo a funções cont́ınuas
mais gerais a fim de garantir que as aproximações de
∫ b
a
f(x) dx, obtidas por meio de somas de Riemann, tenham
uma precisão fixada.
4. As somas de Riemann obtidas considerando-se o ponto médio de cada subintervalo de uma partição P do intervalo
[a, b] também fornecem uma aproximação para a área da região delimitada por uma função f , positiva, definida
em [a, b], pelo eixo x e pelas retas x = a e x= b. Para funções monótonas, a aproximação obtida utilizando-se o
ponto médio de cada subintervalo pode conduzir a subestimativas ou a superestimativas.
(a) Dê exemplos de funções para as quais a aproximação obtida considerando-se o ponto médio de cada subin-
tervalo fornece uma subestimativa para a área de uma região delimitada pela função dada, pelo eixo x e
por duas retas verticais.
(b) Dê exemplos de funções para as quais a aproximação obtida considerando-se o ponto médio de cada subin-
tervalo fornece uma superestimativa para a área da região descrita acima.
5. Podemos obter aproximações para regiões do tipo descrito nos itens anteriores considerando o extremo inferior
e o extremo superior de cada subintervalo considerado em uma partição do intervalo [a, b]. A média aritmética
das aproximações assim obtidas é conhecida como regra do trapézio para o cálculo destas áreas.
(a) Explique o porquê deste nome e estabeleça um critério geométrico que permita afirmar quando a regra do
trapézio fornece uma subestimativa para a área da região e quando esta regra fornece uma superestimativa.
21.10.3 O Maple e o prinćıpio da indução matemática
O prinćıpio da indução é uma das mais importantes (e úteis) técnicas de demonstração em matemática. Este prinćıpio,
em geral, é usado quando precisamos demonstrar que uma determinada fórmula vale para todos os números naturais.
Por exemplo, podemos observar que 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16. A partir destes dados, podeŕıamos
conjecturar que a soma dos primeiros n números ı́mpares é igual a n2, isto é, 1 + 3 + ...+ ( 2n− 1) = n2. O prinćıpio
da indução matemática afirma que uma fórmula, P(n), é verdadeira para todo número natural n se
1. P (1) é verdadeira.
2. Considerando P (k) verdadeira, conseguirmos mostrar que P (k + 1) é verdadeira.
W.Bianchini, A.R.Santos 297
Estas duas condições garantem que P (n) é verdadeira para todo n. De fato, se P (1) é verdade, então (usando
(2) no caso particular em que k =1), segue que P (2) é verdade. Agora, como P (2) é verdade (usando (2) no caso
particular em que k =2), segue que P (3) é verdade, assim por diante.
Desta maneira, fica claro que qualquer que seja o número n, ele será alcançado por um número suficiente de passos,
como descrito acima.
Para ilustrar o racioćınio que se esconde por trás do prinćıpio da indução, imagine uma linha infinita de pessoas
numeradas da seguinte maneira P (1), P (2), P (3),... Um segredo é contado à primeira pessoa da fila (P (1) conhece o
segredo) e cada pessoa tem a instrução de contar qualquer segredo para a pessoa que a segue na fila, aquela com o
número seguinte ao seu próprio (se P (k) conhece o segredo, P (k+ 1) conhece o segredo). Então, está claro que cada
pessoa da fila acabará conhecendo o segredo!
Para provar a conjectura feita acima, isto é,
n∑
i=1
(2 i− 1) = n2, precisamos, portanto,
1. Provar que esta fórmula vale para n = 1. (O que é óbvio, pois 1 = 1.)
2. Supondo que esta fórmula valha para n = k, mostrar que ela é verdadeira para n = k + 1.
O objetivo deste projeto é mostrar como usar o Maple para obter fórmulas do tipo anterior e ainda verificar a
validade de P (1) e fazer as contas necessárias para estabelecer que a validade de P (k) implica na validade de P (k+1).
Vamos realizar esta tarefa com a ajuda do Maple. O comando sum e a sua forma inerte Sum podem ser usados
para obter as fórmulas a serem provadas. Assim,
> Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);
n∑
i=1
(2 i− 1) = (n+1)2 − 2n− 1
> simplify(%);
n∑
i=1
(2 i− 1) = n2
Agora, podemos construir a função que a cada n associa esta soma:
> P:=n->Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);
P := n→
n∑
i=1
(2 i− 1) =
n∑
i=1
(2 i− 1)
Deste modo, podemos calcular o valor de P (n), qualquer que seja o número natural n, simplesmente calculando o
valor da função P , neste ponto:
> P(3);
3∑
i=1
(2 i− 1) = 9
> P(7);
7∑
i=1
(2 i− 1) = 49
Assim, fica claro que P (1) é verdade pois,
> P(1);
1∑
i=1
(2 i− 1) = 1
> value(%);
1 = 1
Suponhamos agora que P (k) seja verdade para algum inteiro positivo k. Vamos considerar, portanto, que
> P(k);
k∑
i=1
(2 i− 1) = (k + 1)2 − 2 k − 1
298 Cap. 21. Introdução à Integral: Cálculo de Áreas e Integrais Definidas
> simplify(P(k));
k∑
i=1
(2 i− 1) = k2
seja verdadeira. Precisamos provar que P (k + 1) é verdadeira. Para isto, vamos somar (2k+1) (o próximo número
ı́mpar) a ambos os lados desta equação, o que não altera a igualdade. Assim, temos:
> lhs(P(k))+(2*k+1)= rhs(P(k))+(2*k+1);
(
k∑
i=1
(2 i− 1)) + 2 k + 1 = (k + 1)2
É óbvio que o lado esquerdo da equação acima é a soma 1 + 3 + 5 + . . .+ (2 k − 1) + (2 k + 1) =
k+1∑
i=1
(2 i− 1).
Assim, mostramos que a validade da fórmula para n = k, isto é,
k∑
i=1
(2 i− 1) = k2 implica na validade da fórmula
para n = k+1, isto é,
k+1∑
i=1
(2 i− 1) = (k + 1)2 e, portanto, a fórmula é válida para todo inteiro positivo.
Num exemplo mais complicado, podeŕıamos usar o Maple para mostrar que o lado direito da última equação
obtida é igual a P (k+1) e assim estabelecer que a validade de P (k) (se a fórmula é válida para os primeiros k números
ı́mpares) implica na validade de P (k+ 1) (a fórmula será válida para os primeiros k+ 1 números ı́mpares). Para isto,
basta calcular
> P(k+1);
k+1∑
i=1
(2 i− 1) = (k + 2)2 − 2 k − 3
simplificar a expressão resultante e comparar com o resultado obtido anteriormente.
> simplify(%);
k+1∑
i=1
(2 i− 1) = k2 + 2 k + 1
> factor(%);
k+1∑
i=1
(2 i− 1) = (k + 1)2
1. Use o Maple e obtenha fórmulas, válidas para os primeiros n inteiros positivos, para as somas indicadas abaixo
e verifique, usando indução matemática, que estas fórmulas são válidas para todos os inteiros positivos:
(a)
∑
i3 (b)
∑
i4 (c)
∑
1
i (i+1) (d)
∑
1
i (i+1) (i+2)
2. Vamos usar indução para “provar” que 1+ 2 + 3 + ...+ n = n
2+n+1
2 .
Seja P (n) = n
2+n+1
2 . Supondo válida esta afirmação para n = k, vamos mostrar que a mesma é válida para n
= k+1.
Assim, temos: 1 + 2 + 3 ...+ k = k
2+k+1
2 .
Somando k+ 1 a ambos os membros desta igualdade, vem que:
1 + 2 + 3 + ...k+ (k+ 1) =
k2 + k + 1
2
+ (k + 1) =
k2 + k + 1
2
+
2 k + 2
2
=
k2 + 3 k + 3
2
=
[k2 + 2 k + 1] + (k + 1) + 1
2
=
(k + 1)2 + (k + 1) + 1
2
e, portanto, P (k + 1) é verdade. Assim, como a validade de P (k) implica na validade de P (k + 1), temos que
P (n) é verdadeira para todos os números naturais.
• Evidentemente, como a soma dos n primeiros números naturais não é dada por n
2+n+1
2 (qual a fórmula
verdadeira?), existe uma falha na demonstração acima. Que falha é esta?
W.Bianchini, A.R.Santos 299