APOSTILA_MATEMATICAFINANCIRA

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Prof. Luciane Página 1 21/10/2004 
 
SUMÁRIO 
1. USO BÁSICO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C; 
2. JUROS SIMPLES 
2.1 CAPITALIZAÇÃO A JUROS SIMPLES 
2.2 DESCONTO A JUROS SIMPLES 
2.3 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES 
2.4 APLICAÇÕES USANDO A HP – 12C 
3. JUROS COMPOSTOS 
3.1 CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS 
3.2 DESCONTO A JUROS COMPOSTOS 
3.3 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS – EQUAÇÃO DE VALOR 
3.4 APLICAÇÕES USANDO A HP -12C 
4. TAXA DE JUROS 
4.1 TAXA NOMINAL 
4.2 TAXAS PROPORCIONAIS 
4.3 TAXA EFETIVA 
4.4 EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS DE JUROS 
4.5 APLICAÇÕES USANDO A HP – 12C 
4.6 TAXA DE JUROS APARENTE 
4.7 TAXA DE JUROS REAL 
5. RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS 
5.1 RENDAS UNIFORMES – PRESTAÇÕES IGUAIS 
5.2 APLICAÇÕES – Séries Imediatas ou postecipadas - Amortização 
5.3 APLICAÇÕES – Séries Imediatas ou postecipadas – Capitalização 
5.4 APLICAÇÕES – Séries Antecipadas – Amortização 
5.5 APLICAÇÕES – Séries Antecipadas – Capitalização 
5.6 APLICAÇÕES – Séries Diferidas 
5.7 APLICAÇÕES USANDO A HP – 12C 
6. FLUXO DE CAIXA E EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA 
6.1 APLICAÇÕES: Séries com periodicidades uniformes 
6.2 APLICAÇÕES: Séries com periodicidade não uniforme 
6.3 Coeficientes para financiamentos 
6.4 APLICAÇÕES 
7. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS. 
7.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ( PRICE) 
7.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE ( SAC) 
7.3 CUSTO EFETIVO ( TAXA INTERNA DE RETORNO) DE SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÃO. 
7.4 CÁLCULO DO CUSTO EFETIVO 
7.5 TAXA OVERNIGHT 
8. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA 
8.1 MÉTODO DO VALOR PRESENTE (VPL) 
8.2 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
8.3 APLICAÇÕES USANDO A HP – 12C 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 2 21/10/2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 O cálculo financeiro e a análise de investimentos são ferramentas essenciais na tomada 
de decisões e na gestão financeira das empresas e das pessoas. Esse curso apresenta os 
conceitos e técnicas da matemática financeira e suas aplicações na análise de investimentos de 
forma clara, usando a HP 12C como mais uma ferramenta para agilizar os cálculos desse 
universo globalizado e com muita “pressa” de decisões. Contém exercícios práticos que 
agregarão valores aos seus conhecimentos, tornando-os mais competitivos no mercado de 
trabalho. 
Os capítulos foram divididos, de maneira que seja dado ao aluno, um embasamento teórico 
rápido, acompanhado ao mesmo tempo da compreensão da calculadora, com aplicações em 
exercícios práticos. 
 
Ter em mãos a HP-12C é de extrema importância durante todo o curso, pois faremos teoria e 
prática caminharem juntas. Desenvolveremos um trabalho conjunto com os alunos no intuito 
de tornarmos possível a troca de experiência e sanarmos todas as dúvidas no decorrer do 
curso. 
 
 
Sucesso a todos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Luciane Marostegan 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 3 21/10/2004 
1. USO BÁSICO DA CALCULADORA HP – 12C 
 
 
A calculadora HP-12C é possivelmente a máquina financeira mais popular do mundo das 
finanças. Ela possui até três funções por tecla: brancas, amarelas e azuis. As funções brancas 
são automáticas e as amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas – para ativá-las é 
necessário que se pressione antes a tecla (f) ou (g), respectivamente. Veja algumas operações 
básicas da HP-12C: 
 
 
• Ligar a calculadora: (ON) 
• Apagar o que tem no visor: (CLX) 
• Apagar o conteúdo de todos os registros: (f ) (REG) 
• Apagar o conteúdo das memórias financeiras: (f) (FIN) 
• Introduzir um número : (nº) (ENTER) 
• Fazer um cálculo simples: (nº) ( ENTER) (nº) (operação) 
• Calcular porcetagem: (nº) (ENTER) (percentual) (%) 
• Calcular o exponencial (potenciação): (nº) (ENTER) (potencia) (y x ) 
• Calcular o exponencial invertido ( radiciação): (nº) (ENTER) (raiz) (1/x) (y x ) 
• Armazenar na memória: (nº) (ENTER) (STO) ( nº qualquer de memória) 
• Buscar um número na memória: (RCL) ( nº de memória onde foi armazenado) 
• Fixar quantidade de casas decimais: (f) (nº de casas decimais desejado). 
 
 
 
 
Exemplos Calculadora 
Soma 45 + 63 = 108 45 enter 63 (+) 
Multiplicação: 37 x 14 = 518 37 enter 14 (x) 
Cálculos contínuos: (28 + 54) /8 =10,50 28 enter 54 (+) enter 8 (÷) 
Percentual:12% de 1.500 = 180 1.500 enter 12 (%) 
Potenciação:15 4 = 50.625 15 enter 4 (y x ) 
Radiciação: 56254 = 625 enter 4 (1/x) ( y )x 
Radiciação: 34,354 3 = 5 enter 3 enter 4 ( ))( xy÷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. JUROS SIMPLES 
 
Conceitos básicos: juros, remuneração do capital e taxa de juros 
 
Definição: 
 
Juro é a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um certo 
período de tempo, ao final desse período o capital se transformará em um valor ( Montante) 
que será igual ao capital acrescido da remuneração obtida durante o período da aplicação. 
 
Os juros ganhos numa aplicação, durante um certo período de tempo, são o produto da taxa de 
juros pelo capital empregado pelo tempo. 
 
M = Montante 
C = Capital 
i = taxa de juros 
n = período de tempo 
J = juros 
 
M = C + J (1) 
J = C ⋅ i ⋅ n (2) 
 
Portanto, substituindo (2) em (1), temos que 
 
M = C ( 1 + i ⋅ n ) 
 
Na HP-12C 
 
FV = Montante; 
PV= Capital Inicial 
i = taxa de juros. 
n = período de tempo 
 
2.1 CAPITALIZAÇÃO A JUROS SIMPLES 
 
 
No regime de juros simples os juros de cada período são calculados sempre sobre o Capital 
inicial. O capital crescerá a uma taxa linear e a taxa de juros terá um comportamento linear 
em relação ao tempo. A aplicação dos juros simples é muito limitada. Tem apenas algum 
sentido em um contexto não-inflacionário e no curtíssimo prazo. 
 
Cálculo do Montante: 
 
M = C ( 1 + i ⋅ n ) 
 
 
 
 
 
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Observação: 
• A taxa deve sempre ser informada como taxa unitária; 
• A taxa e o tempo devem estar sempre em unidades compatíveis, i.é, taxa ao mês, período de 
tempo em meses. 
 
PERÍODOS NÃO-INTEIROS 
 
Algumas vezes o período de investimento é somente uma fração do período expresso na taxa 
de juros. Nesses casos, em que as unidades de tempo da taxa de juros e do período de 
investimento são diferentes, é necessário homogeneizá-las por meio de um ajuste na taxa. 
Vejamos alguns exemplos: 
a) Se a taxa de juros for mensal e o prazo de aplicação referir-se a dias 
 
niPJ ×

×=
30
 (juro comercial) 
 
b) Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicação referir-se a meses 
 
niPJ ×

×=
12
 ( juro comercial) 
 
c) Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicação referir-se a dias 
niPJ ×

×=
360
 ( juro comercial) niPJ ×

×=
365
 (juro exato) 
 
As taxas entre parênteses representam taxas proporcionais, homogêneas em relação ao 
período de aplicação. 
 
 
APLICAÇÕES 
 
Resolvendo na HP-12C 
 
PV Capital inicial 
FV Montante 
i taxa de juros 
n período de tempo 
 
1.Um capital de R$ 4.780,00, remunerado a uma taxa de 2,85% ao mês, durante 5 meses me 
dará que montante e quais são os juros? 
 
PV Capital inicial = 4.780,00 
FV Montante = ? 
i taxa de juros = 2,85% a.m 
n período de tempo = 5 meses 
J = ? 
 
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NA HP -12C 
4.780 ENTER 
1 ENTER 
0,0285 ENTER 
5 (x) (+) (x) FV = 5.461,15 
 
J = FV – PV = 5.461,15 – 4.780 = 681,15 
2.Um capital de R$ 4.780,00, remunerado a uma taxa de 2,85% ao mês, me dará um 
montante de R$ 5.461,15 em que período de tempo? 
 
PV Capital inicial = 4.780,00 
FV Montante = 5.461,15 
i taxa de juros = 2,85% am 
n período de tempo =? 
 
NA HP – 12C 
5.461,15 ENTER 
4.780,00 (÷) 
1 ( -) 
0,0285 (÷) n = 5 meses 
 
3.Um capital de R$ 4.780,00 aplicados durante 5 meses, resultou num montante de R$ 
5.461,15, qual foi a taxa de juros empregada? 
 
PV Capital inicial = 4.780,00 
FV Montante = 5.461,15 
i taxa de juros = ? 
n período de tempo = 5 
 
NA HP – 12C 
5.461,15 ENTER 
4.780,00 ( ÷) 
1 ( -) 
5 (÷) i = 2,85% am 
 
4.Um capital empregado durante 5 meses a um taxa de juros de 2,85% resultou num 
montante de R$ 5.461,15, qual foi o capital empregado inicialmente? 
PV Capital inicial = ? 
FV Montante = 5.461,15 
i taxa de juros = 2,85% am 
n período de tempo = ? 
 
NA HP – 12C 
5.461,15 ENTER 
1 ENTER 
0,0285 ENTER 
5 (x) (+) (÷) PV = 4.780,00 
 
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JUROS COMERCIAIS 
 
São aqueles em que se utiliza o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa 
e o tempo. Logo, em juros ordinários todos os meses tem 30 dias e o ano tem 360 dias. 
 
JUROS EXATOS 
 
São aqueles em que se usa o tempo na quantidade exata de dias, observando a quantidade de 
dias de cada mês e, sendo a taxa expressa ao ano, utiliza-se o ano civil para estabelecer 
homogeneidade entre a taxa e o tempo. 
Caso o tempo não esteja em dias devemos transformá-lo, se a taxa não for anual, também 
devemos transformá-la. 
 
Exemplos 
 
1. Calcular os juros exatos e os juros de um capital de R$ 100.000,00, que foi aplicado 
durante os meses de julho e agosto, a uma taxa de 12%aa. 
 
a) JUROS COMERCIAIS 
000.2
12
212,0000.100
12
22
12,0%12
?)(
00,000.100
=××=
××=
==
==
=
=
J
niPVJ
anosmesesn
aai
INTJ
PV
 
 
 
 
b) JUROS EXATOS 
 
36,038.2
365
6212,0000.100
365
62)3131(62
12,0%12
?)(
00,000.100
=××=
××=
=+=
==
=
=
J
niPVJ
anosdiasn
aai
INTJ
PV
 
 
 
 
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NA HP-12C 
 
(f) (FIN) 
100.000 (CHS) (PV) 
12 ( i ) 
62 (n) 
(f) (INT) 
R↓ 
x>y→2.038,36 
 
 
2.2 DESCONTO A JUROS SIMPLES 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é 
resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no 
setor comercial, em que o portador de títulos de crédito pode levantar fundos em um banco 
descontando o título antes da data de vencimento. O banco, naturalmente, libera uma quantia 
menor do que o valor inscrito no título,dito Nominal. A diferença entre o valor Nominal e o 
valor Líquido pago ao portador do título é o que se denomina DESCONTO. 
Pela sistemática da capitalização simples, o desconto pode ser classificado em duas 
modalidades: 
 
DESCONTO COMERCIAL (POR FORA). 
 
O segredo do desconto por fora está em ter como base de cálculo o valor futuro (FV) e os 
juros serem calculados pelo método linear e pagos no ato ou antecipados. 
Imaginando um desconto no valor de R$ 100,00 por um período de 60 dias a uma taxa de 
13%am, qual o custo financeiro do desconto? 
 
↑___________________________________ 
26 ↓ 
 100 
PV = FV(1-d⋅n) 
PV= 100(1-0,13⋅2) = 74 
 
D = 100 – 74 = 26 
 
Analisando o fluxo podemos concluir que: 
 
1. A despesa de R$ 26,00 será contabilizada e será paga no ato. 
2. O valor líquido emprestado é de R$ 74,00 (100 – 26). 
3. O valor a pagar no final é de R$ 100,00. 
 
 
 
 
 
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Portanto, fazendo: 
 
100×=
cebidodinheirore
despesai 
 
 
%14,35100
74
26 =×=i para 60 dias ( postecipado) 
 
 
Sendo os juros pagos no ato, o custo financeiro da operação é 35,14% para 60 dias. Isto é, 
paga-se R$ 26,00 para usar R$ 74,00. 
Esta situação é alarmante e o cuidado consiste em observar o prazo, pois quanto maior, maior 
o custo e menos dinheiro recebe o tomador. 
 
Vejamos o mesmo exemplo, considerando como prazo 90 dias. 
 
 ↑___________________________________ 
39 ↓ 
 100 
 
PV = FV(1-d⋅n) = 100(1 – 0,13⋅3) = 61 
 
1. A despesa de R$ 39,00 será contabilizada e paga no ato. 
2. O valor Líquido recebido é de R$ 61,00. 
3. O valor pago no final é de R$ 100,00. 
 
Portanto, fazendo 
 
ati %93,63100
61
39 =×= (postecipado) 
 
A taxa de 63,93% at representa o custo financeiro, bem maior que a taxa de 39%( 13×3) 
calculada superficialmente. 
 
O custo da empresa aumenta porque a empresa tem saída de dinheiro no ato. Se não tivesse, 
usaria o dinheiro e conseqüentemente ganharia uma receita. Assim, quem recebe o dinheiro 
no ato é o banco e logicamente ganha uma receita reaplicando o dinheiro, e a empresa perde. 
 
Do ponto de vista teórico, desconto por fora não são juros,, pois juros é a remuneração pelo 
uso do dinheiro e no caso do desconto por fora paga-se antes de usar. Além disso, a base de 
cálculo não é o dinheiro recebido e sim o valor futuro do título. 
 
 
 
 
 
 
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DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) 
 
No desconto racional simples o valor do desconto pode ser interpretado como o juro aplicado 
a um valor futuro, trazido para o valor presente.Essa modalidade de desconto incorpora os 
cálculos e conceitos básicos de juros simples, porém não passa de uma aplicação particular 
de juros simples sobre o valor atual do título. Não apresenta praticamente nenhuma aplicação 
relevante nas operações bancárias ou comerciais. 
 
ni
FVPV ×+= 1 
 
 
TAXA DE DESCONTO EFETIVA LINEAR 
 
A taxa efetiva de desconto, também chamada custo efetivo do cliente ou rendimento de quem 
realiza o desconto (o banco), é aquela que é realmente cobrada na operação de desconto. Esta 
taxa, quando aplicada sobre o valor liberado (valor descontado), gera no período considerado 
( prazo da operação) um montante igual ao valor nominal do título ( isto é, gera juros iguais 
ao valor do desconto). 
 
Para melhor entendimento do que vem a ser a taxa efetiva de desconto, consideremos uma 
duplicata com valor nominal de R$ 5.500,00 descontada 90 dias antes do vencimento à taxa 
simples de 40% aa. 
Se a modalidade de desconto for o desconto racional, teremos: 
ni
FVPV ×+= 1 
 
5000
360
9040,01
500.5 =
×+
=PV então o valor do desconto é de 500=rD 
 
Como em três meses ( 90 dias) o banco ganha R$500,00 sobre um valor liberado de R$5.000, 
então temos a seguinte taxa efetiva de desconto: 
 
PV
Dd re = = )%40(%105000
500 aaat= conclui-se que no desconto racional a taxa de desconto é a 
própria taxa de desconto fornecida pelo banco ( aaide %40== ). 
Entretanto, se o desconto for comercial, temos: 
 
950.4
360
9040,01(500.5
)1(
=

×−=
×−=
PV
niFVPV
 
Então o valor do desconto comercial é de 550=cD . 
 
 
 
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Se aplicarmos o valor liberado ( R$ 4.950,00) à taxa de 40% aa, durante 90 dias, teremos o 
seguinte montante: 
445.5]
360
9040,01[950.4 =

×+× 
Repare que o montante obtido é menor que o valor nominal do título. Logo, no desconto 
comercial, a taxa de desconto fornecida pelo banco não é capaz de produzir o valor nominal a 
partir do valor liberado, sendo necessário, portanto, distinguir entre taxa de desconto 
fornecida pelo banco (taxa contratada) e taxa de desconto efetiva da operação. 
 
A taxa efetiva pode ser calculada considerando que, em três meses, o banco ganha R$550,00 
sobre um valor liberado de R$ 4.950,00: 
 
)%44,44(1111,0
950.4
550 aaat
PV
D
d ce === 
 
Agora, podemos verificar que, seaplicarmos o valor liberado à taxa de desconto efetiva 
durante o prazo da operação, obteremos um montante igual ao valor nominal. 
 
)11111,01(950.4 ×+× =5.500 
 
No desconto comercial, a taxa efetiva de desconto é maior que a taxa de desconto fornecida ( 
44,44% aa > 40% aa) e o valor liberado é menor que no desconto racional ( 4.950 < 5.000). 
Isso ocorre porque no desconto comercial os juros são pagos antecipadamente e, 
conseqüentemente, podem ser reaplicados pelo banco, o qual obtém uma rentabilidade maior 
do que os 40% aa. Isso se explica, em parte, o maior uso do desconto comercial, dado que 
representa maior lucro ao banco que é, em última análise, quem detém o maior poder de 
barganha. 
 
Aplicação 
 
1) Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro é descontada por R$ 2.000,00 em 1º 
de setembro do mesmo ano a uma taxa simples de 6% am. Nas modalidades de desconto 
comercial e racional simples, calcular o valor de resgate do título e a taxa de desconto efetiva 
linear. 
 
a) Desconto Comercial Simples; 
n = 105 dias 
i = 6% am 
PV = 2.000 
 
65,531.2)
30
10506,01(000.2
)1(
=×−=
×−=
FV
niFVPV
 
 
 
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 Taxa de desconto efetiva linear 
amde %5949,7100075949,0105
30
000.2
65,531 =×=×= 
 
 
Verifica-se que, no desconto comercial, a taxa efetiva de desconto é maior que a taxa de 
desconto fornecida pelo banco. 
 
 
b) Desconto Racional Simples 
 
420.2
30
10506,01(
000.2
)1(
=


×+
=
×+=
FV
ni
FVPV
 
 
 
Taxa de desconto efetiva linear 
 
am
PV
Dd re %610006,0105
30
000.2
420 =×=

×== 
 
Verifica-se que, no desconto racional, a taxa efetiva de desconto é a própria taxa de juros. 
 
EXERCÍCIO 
 
1) Uma duplicata de R$ 6.000,00 foi descontada comercialmente resultando em um 
crédito de R$ 5.100,00 na conta do cliente. Considerando taxa de desconto de 
 5% am, calcular o prazo ao vencimento do título e a taxa de desconto efetiva linear. 
 
 
5.100 
↑________________________________________ ? 
 ↓ 
 6.000 
 PV = FV(1 - d⋅ n) 
 5.100 = 6.000 (1 – 0,05 ⋅ n) = 3 meses ( 90 dias) 
 
 
.%88,51000588,0
90
30
100.5
900
%88,51000588,0
30
9005,01
05,0
1
amd
am
nd
dd
e
e
=×=×=
=×=


×−
=×−=
 
 
 
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TAXA DE DESCONTO EFETIVA EXPONENCIAL 
 
O cálculo da taxa efetiva linear não incorpora o real comportamento exponencial dos juros. 
Admitamos que um título com valor nominal de R$ 10.000, 00 seja descontado em um banco 
60 dias ( 2 meses) antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 2% am e com IOF de 
0,0041% ad incidente sobre a operação. O banco cobra, ainda, Taxa de Serviço 
Bancário(TSB) de 2% sobre o valor nominal do título paga no ato da liberação dos recursos. 
 
Valor Nominal do título: 10.000,00 
Valor do desconto: 202,0000.10 ×× - 400,00 
IOF: 60000041,0000.10 ×× - 24,60 
TSB: 02,0000.10 × - 200,00 
 _____________ 
Valor Líquido Liberado: 9.375,40 
 
 
 
 
9.375,40 
↑___________________________________ 
 ↓ 
 10.000,00 
 
CUSTO EFETIVO DA OPERAÇÃO 
 
 
aai
ami
abi
a
m
2520,47100472520,01)066621,1(
%2774,3100032774,01)066621,1(
%6621,6100066621,01
40,375.9
000.10
6
2
1
=×=−=
=×=−=
=×=−

=
 
 
Ou seja, a taxa efetiva de desconto da operação é de 3,2774%am, maior que os 2% am que é a 
taxa de desconto contratada. 
Podemos obter uma expressão para o cálculo direto da taxa efetiva exponencial considerando 
que, se essa taxa for aplicada sobre o valor liberado, durante o prazo da operação, resultará em 
um montante igual ao valor nominal do título: 
 
 FVdPV h
n
e =+× )1( → 1−

= n
h
e PV
FVd 
 
Com os dados do exemplo: 
 
 
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.%2774,31
40,375.9
000.101
60
30
am
PV
FVd
n
h
e =−

=−

= 
 
n é o prazo da operação 
h o período referencial da taxa efetiva. 
 
EXEMPLO: 
 
1. Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro é descontada por R$ 2.000,00 em 1º de 
setembro do mesmo ano a uma taxa comercial simples de 6% am. Calcular o valor do resgate 
e a taxa de desconto efetiva linear. 
 
d = 6% am PV = 2.000,00 FV= ? n = ? d e = ? 
 
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES: 
 
Prazo da operação: 
Na HP-12C 
(f) (CLX) 
(g) (D.MY) 
15.12.2004 (ENTER) 
01.092004 (g) (∆DYS) = - 105 (CHS) 105 dias 
 
Cálculo do valor do resgate: 
 
65,531.2)
30
10506,01(000.2
)1(
=⇒

×−=
×−=
FVFV
ndFVPV
 
 
 
Taxa de desconto efetiva linear: 
 
amde %5949,7105
30
000.2
65,531 =

×

= 
 
Verifica-se que, no desconto comercial, a taxa efetiva de desconto é maior que a taxa de 
desconto fornecida pelo banco ( dde f ) 
 
1. Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro é descontada por R$ 2.000,00 em 1º de 
setembro do mesmo ano a uma taxa racional simples de 6% am. Calcular o valor do resgate e 
a taxa de desconto efetiva linear. 
 
i = 6% am PV = 2.000,00 FV= ? n = ? d e = ? 
 
 
Prof. Luciane Página 15 21/10/2004 
Cálculo do valor do resgate: 
 
00,420.2
30
10506,01
000.2
1
=


×+
=
×+=
FV
ni
FVPV
 
 
Taxa de desconto efetiva linear: 
 
amde %6105
30
000.2
420 =

×

= 
 
Verifica-se que, no desconto racional, a taxa de desconto é a própria taxa de juros (d e =i). 
 
EXERCÍCIOS ( taxa efetiva linear) 
 
1. Uma empresa descontou em um banco um borderô de duplicatas à taxa de desconto de 15% 
am Considerando uma taxa de serviço bancário de 2%, calcular o valor liberado do borderô 
segundo as regras do desconto bancário. 
 
 BORDERÔ DE DUPLICATAS 
sacado Valor de 
resgate(FV) 
Prazo(n) Valor liberado(PV) 
)
30
1( ndsFVPV ×−−= 
A 5.000 10dias 
650.4)
30
1015,002,01(000.5 =×−− 
B 7.000 15dias 
335.6)
30
1515,002,01(000.7 =×−− 
C 4.000 12dias 
680.3)
30
1215,002,01(000.4 =×−− 
D 2.000 20dias 
760.1)
30
2015,002,01(000.2 =×−− 
 Valor liberado : 16.425 
 
 
2. Um banco realiza suas operações de desconto aplicando uma taxa de desconto de 2% am, 
porém exige um saldo médio de 30% do valor da operação a título de reciprocidade bancária. 
Uma empresa descontou uma nota promissória de R$ 100.000,00 três meses antes do 
vencimento. Calcular o valor liberado à empresa e a taxa de desconto efetiva linear, supondo 
exigência e não- exigência de saldo médio. 
 
FV = 100.000 d = 2% am n = 90 dias PV = ? d e = ? 
 
 
Prof. Luciane Página 16 21/10/2004 
SEM NECESSIDADE DE SALDO MÉDIO: 
 
Valor Liberado: 
 
000.94)302,01(000.100)1( =×−=×−= ndFVPV
 
Taxa efetiva linear 
amd
ou
amd
e
e
%1288,2100021288,0
30
9002,01
02,0
%1288,2
90
30
000.94
000.6
=×=


×−
=
=

×

=
 
 
COM NECESSIDADE DE SALDO MÉDIO 
 
Valor Liberado: 
 
PV = 94.000 – 30.000 = 64.000 
 
O saldo médio exigido é de R$ 30.000,00.Na prática, tudo se passa como se o banco, por 
ocasião da liberação dos recursos, fizesse uma retenção de R$ 30.000,00. Esses R$ 30.000,00 
ficarão parados no banco por três meses. Na liquidação da operação ( fim do 3º mês), a 
empresa precisará desembolsar apenas R$ 70.000,00, pois o banco já dispõe dos R$ 30.000,00 
retidos como saldo médio. 
 
Taxa efetiva linear: 
 
amde %125,390
30
000.64
000.6 =

×

= 
 
Note que a exigência de saldo médio encarece a operação, que passa de um custo efetivo de 
2,1288%am para 3,125%am. 
 
 
EXERCÍCIOS (taxa efetiva exponencial) 
 
1. Uma nota promissória com valor de fase de R$ 100.000,00 teve um valor líquido liberado 
de R$ 91.600,00 pelas regras do desconto bancário a uma taxa de desconto de 5% am. 
Considerando-se que foi cobrado IOF de 1% am, determinar o prazo da operação e a taxa de 
desconto efetiva exponencial. 
 
FV = 100.000 PV = 91.600 d = 5% am IOF = 1% am n = ? ed =? 
 
 
 
Prof. Luciane Página 17 21/10/2004 
Cálculo do prazo da operação: 
 
diasmêsnnn
nIOFndFVPV
424,1)01,005,01(000.100600.91
)1(
==⇒×−×−=
×−×−=
 
 
Taxa de desconto efetiva exponencial 
 
am
PV
FVd
n
h
e %4676,61600.91
000.1001
42
30
=−

=−

= 
 
 
 
2. Uma empresa descontou comercialmente, 45 dias antes de seu vencimento, uma duplicata 
de R$ 140.000,00. Considerando um valor líquido liberado de R$ 110.000,00, calcular a taxa 
mensal de desconto fornecida pelo banco e a taxa de desconto efetiva linear e exponencial. 
 
FV = 140.000 PV = 110.000 n = 45 dias h = 30 d = ? ed = ? 
 
Taxa mensal de desconto: 
amddndFVPV %29,14)
30
451(000.140000.110)1( =→×−=→×−=
 
Taxa de desconto efetiva linear: 
 
amd
ou
amd
e
e
%18,18
30
451429,01
1429,0
%18,18
45
30
000.110
000.30
=


×−
=
=

×

=
 
 
 
Taxa de desconto efetiva exponencial: 
 
amde %44,171000.110
000.140 45
30
=−

= 
 
O banco cobra antecipadamente R$ 30.000,00 sobre um valor liberado de R$ 110.000,00 para 
uma operação de 45 dias; portanto, a taxa efetivamente cobrada é de 17,44% am. 
 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 18 21/10/2004 
EXERCÍCIOS 
1.Uma pessoa é devedora de dois títulos, um no valor de R$2.000,00 vencível em 2 meses e 
outro no valor de R$ 2.400,00 vencível em 6 meses. Propõe ao credor, liquidá-los dentro de 4 
meses, o que é aceito. Considerando nos cálculos uma taxa de desconto de 6%am, determine 
o valor futuro do novo título. ( R$ 4.336,84) 
 
2.Substituir um título de R$ 5.000,00 com vencimento para 3 meses, por outro com 
vencimento para 5 meses. Utilize nos cálculos uma taxa de desconto comercial simples de 
3,8% am. Determine o valor futuro do novo título. (R$ 5.469,14). 
 
 
2.3 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES 
 
Dizemos que dois ou mais capitais são equivalentes quando tem o mesmo valor em uma 
determinada data de avaliação (data focal). 
 
APLICAÇÕES: 
 
 O diagrama de fluxo a seguir mostra a equivalência (na data focal 2) a juros simples de 10% 
de dois capitais – um de R$ 3.636,35 que ocorre na data 1 e outro de R$ 5.600,00 na data 6: 
 
 
 ← R$ 5.600,00 
 R$ 3.636,35 → 
 ______↑______________________________ ↑______ n ( período de tempo) 
0 1 2 3 4 5 6 
 
 
Capitalizando R$ 3.636,35 
 
FV = PV ( 1 + in) 
FV = 3.636,35 ( 1 + 0,10 x 1 ) = 4.000,00 
 
 Descontando R$ 5.600,00 
PV = FV / ( 1 + in) 
 
PV = 5.600 / ( 1 + 0,10 x 4 ) = 4.000,00 
 
2.4 APLICAÇÕES USANDO HP – 12C 
 
3.Um capital aplicado por três meses a juros simples de 4% am rendeu R$ 360,00. Determinar 
o valor do capital. (R$ 3.000,00) 
4.Um título foi resgatado por R$ 3.000,00. Se a taxa de juros simples aplicada foi de 180% aa 
e os juros ganhos totalizaram R$ 1.636,36, quantos meses durou a aplicação? (8 meses) 
5.Um título no valor de R$ 12.000,00 vai ser descontado a uma taxa de desconto simples 
comercial de 2,1% am. Faltando 75 dias para o vencimento desse título, calcule o valor 
presente e o valor do desconto. (R$ 11.370,00 e R$ 630,00) 
 
Prof. Luciane Página 19 21/10/2004 
6.Calcule o valor presente e o valor do desconto, relativo a um título de R$ 6.000,00 
resgatado 2 meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto comercial simples de 
30%aa. ( R$ 5.700,00 e R$ 300,00) 
7.Um título de R$ 3.000,00 foi descontado 1 mês e meio antes do seu vencimento por R$ 
2.892,00. Qual a taxa de desconto simples comercial utilizada nessa operação? (2,4% am) 
8.Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: R$ 2.000,00 daqui a três meses e R$ 
2.500,00 daqui a oito meses. Ela quer trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um 
para 10 meses e outro para 15 meses. Calcular o valor desses pagamentos considerando uma 
taxa de juros simples de 10%am. (R$ 3.252,61 e R$ 3.840,00). 
9.Uma pessoa deve pagar R$ 200,00 daqui a dois meses e R$ 400,00 daqui a cinco meses. A 
juros simples de 5%aa, determinar o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a três 
meses que liquide a dívida.(R$ 573,64). 
 
3. JUROS COMPOSTOS 
 
O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia, no sistema financeiro e no cálculo 
econômico. Nesse regime os juros gerados a cada período são incorporados ao capital para o 
cálculo dos juros do período seguinte. Ou seja, o rendimento gerado pela aplicação será 
incorporado a ela. 
 
M = C + J 
J = C ⋅ i ⋅ n 
Calcula-se os juros a cada período e o incorpora no capital do próximo período, i.é. 
 
1º período : M = C + C ⋅ n ou M = C ( 1 + i) 1 
2º período : M = C (1 + i) 1 (1 + i) 1 = C ( 1 + i ) 2 
. 
. 
. 
nº período : M = C ( 1 + i ) n 
Logo, 
M = C ( 1 + i ) 
 
Aplicação: 
Se aplicarmos R$ 1.000,00 durante 3 meses à taxa de 20% ao mês,teremos os seguintes 
rendimentos e montantes no regime de juros simples e no regime de juros compostos 
 JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS 
Mês Rendimento Montante Rendimento Montante 
1 1.000 x 0,2=200 1.200 1.000 x 0,2=200 1.200 
2 1.000 x 0,2=200 1.400 1.200 x 0,2=240 1.440 
3 1.000 x 0,2=200 1.600 1.440 x 0,2=288 1.728 
 
O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. 
 
 
 
 
 
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3.1 CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS 
Cálculo do montante 
M = C ( 1 + i ) n 
Na HP 12C 
 
PV Capital inicial 
FV Montante 
i taxa de juros 
n período de tempo 
 
Aplicações: 
1. Qual o capital, que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% aa, monta R$14.000,00? 
 
NA HP – 12C 
(f) (FIN) 
14.000 (CHS) (FV) 
15 (i) 
6 (n) 
(PV) = 6.052,59 
 
2. Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único 
pagamento de R$110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% am? 
 
(f) (FIN) 
110.624,80 (CHS) (FV) 
15 (i) 
55.000 (PV) 
(n) = 5 meses 
 
3. A que taxa de juros um capital de R$ 13.200,00 pode transformar-se em R$35.112,26, 
considerando um período de aplicação de sete meses? 
 
(f) (FIN) 
35.112,26 (CHS) (FV) 
7 (n) 
13.200 (PV) 
(i) = 15% am 
 
 
4. Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por dez meses a juros efetivos de 2% 
am? 
 
(f) (FIN) 
4.000 (CHS) (PV) 
10 (n) 
2 (i) 
(FV) = 4.875,98 
4.000 (-) = 875,98 
 
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CÁLCULO COM PRAZOS FRACIONÁRIOS 
No cálculo financeiro a juros compostos, muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a 
um número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros,mas a um número fracionário. 
 
Exemplos: 
1) Para um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 77 dias a juros compostos de 5% am, 
calcular o montante. 
 
(f) (FIN) 
(STO)(EEX) 
25.000 (CHS)(PV) 
5 ( i ) 
77 (ENTER) 30 (÷) (n) 
(FV) → 28.335,17 
 
2) Um determinado capital, aplicado a juros efetivos de 40% aa, durante 4 anos e 11 meses, 
resultou em um montante de R$ 10.000,00. Determinar o valor do capital. 
 
(f) (FIN) 
(STO)(EEX) 
10.000 (CHS) (FV) 
40 ( i ) 
59 (ENTER) 12 (÷) ( n ) 
(PV) → 1.912,22 
 
 
3.3 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS 
 
O princípio de equivalência de capitais é fundamental e essencial a todas as abordagens 
aplicadas aos problemas de cálculo financeiro. Diz-se que dois capitais, com datas de 
vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data à mesma 
taxa de juros, tiverem valores iguais. 
 
 
Aplicações 
 
1.Consideremos o seguinte: 
 
Valor do título Vencimento 
6.000,00 1 mês 
6.300,00 2 meses 
6.615,00 3 meses 
6.945,75 4 meses 
 
Qual a soma dos valores atuais desses títulos na data focal 0 e taxa de desconto de 5% ao 
mês. 
 
 
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RESOLUÇÃO 
FLUXO DE CAIXA REPRESENTATIVO DO PROBLEMA 
 
 
 6.000 6.300 6.615,00 6.945,75 
0________↑________↑_________↑_________↑ meses 
↓ 1 2 3 4 
 ? 
 
 
 
RESOLVENDO NA HP – 12C 
 
(f) (FIN) 
0 (CHS) (g) (CFο) 
6.000 (g) (CFj) 
6.300 (g) (CFj) 
6.615 (g) (CFj) 
6.945,75 (g) (CFj) 
5 (i) 
(f) (NPV) = 22.857,14 
 
NPV = Valor Presente Líquido de um Fluxo de Caixa 
 
2.O que falta para quitar o financiamento de uma máquina deverá ser pago em 8 prestações 
mensais e sucessivas, cujos valores constam da seguinte tabela: 
 
Nº de 
prestações 
mensais 
Valor 
1 5.250,00 
2 5.350,00 
3 5.500,00 
4 5.500,00 
5 5.650,00 
6 5.800,00 
7 6.000,00 
8 6.200,00 
 
Queremos liquidar hoje essa dívida e considerando nos cálculos uma taxa efetiva de juros de 
6,5% am, quanto o devedor deveria dispor para quitá-la? 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 23 21/10/2004 
RESOLUÇÃO 
 
FLUXO DE CAIXA REPRESENTATIVO DO PROBLEMA 
 
 5.250 5.350 5.500 5.500 5.650 5.800 6.000 6.200 
0_______↑______↑______↑_______↑______↑________↑_______↑________↑meses 
↓ 1 2 3 4 5 6 7 8 
PV 
 
(f) (FIN) 
0 (CHS) (g) (CFο) 
5.250 (g) (CFj) 
5.350 (g) (CFj) 
5.500 (g) (CFj) 
5.500 (g) (CFj) 
5.650 (g) (CFj) 
5.800 (g) (CFj) 
6.000 (g) (CFj) 
6.200 (g) (CFj) 
 
6,5 (i) 
(f) (NPV) = 34.180,94 
 
NPV = Valor Presente Líquido de um Fluxo de Caixa 
 
4. TAXAS DE JUROS 
Neste capítulo aprenderemos a distinguir as diferentes formas em que a taxa de juros se 
apresenta no mercado e a maneira de tratá-la no cálculo financeiro. 
4.1 Taxa Nominal 
 
 Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a taxa 
de juros, ou seja, os juros são incorporados ao principal mais de uma vez no período da taxa. 
Quando isso ocorre, a taxa de juros é chamada de taxa nominal. 
 
Exemplos: 
• 18% ao ano capitalizada mensalmente; 
• 5% ao mês capitalizada diariamente; 
• 8% ao semestre capitalizada mensalmente; 
• operações de overnight em que a taxa de juros é mensal com capitalizações diárias; 
• operações de câmbio. 
 
Em geral podemos expressar do seguinte modo o montante de um capital aplicado pelo prazo 
“m” a uma taxa nominal “j” com juros capitalizados “ k” vezes durante o período referencial 
da taxa nominal: 
 
 
FV = PV mkk
j ×+ )1( 
 
Prof. Luciane Página 24 21/10/2004 
 
Exemplos: 
1. Calcular o montante resultante de um investimento de R$ 1.200,00 aplicado por três anos a 
juros nominais de 16% aa, capitalizados mensalmente. 
 
FV = PV mkk
j ×+ )1( 
 
15,933.1)
12
16,01(200.1 312 =+= ×FV 
NA HP-12C 
 
(f) (CLX) 
1.200 (CHS) (PV) 
16 (g) (12÷) 
3 (g) (12× ) 
(FV) →1.933,15 
 
2. Qual o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado pelo seguintes prazo e taxa? 
a) 27 dias a 9% am capitalizados diariamente. 
 FV = PV mkk
j ×+ )1( 
 85,216)
30
09,01(200 30
2730 =+= ×FV 
 
NA HP-12C 
 
(f) (CLX) 
200 (CHS) (PV) 
9 (ENTER) 30 ÷ ( i ) 
27 ( n ) 
 (FV) →216,85 
 
 
APLICAÇÕES 
. 
1.Em quantos meses uma aplicação de R$ 4.000,00 a juros nominais de 12% as, capitalizados 
trimestralmente, tem um rendimento mínimo de R$ 2.000,00? 
 
(f) (FIN) 
4.000 (CHS) (PV) 
6.000 (FV) 
12 (ENTER) 2 ÷ ( i ) 
( n ) →7 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 25 21/10/2004 
 FV = PV mkk
j ×+ )1( 
 semestresmmm 48,3
06,1ln2
50,1ln)06.1(50,1)
2
12,01(000.4000.6 22 =×=⇒=⇒+=
×× 
 
Considerando-se sete períodos de capitalização, são 21 meses como prazo mínimo. 
 
 
2.Um certificado de depósito bancário (CDB) prefixado rende 95% da taxa over do 
Certificado de depósito interfinanceiro (CDI). Se em 60 dias de prazo da operação havia 48 
dias úteis e a taxa média do CDI no período foi de 4,4% am, calcular o valor de resgate do 
CDB considerando que o valor aplicado foi de R$ 4.500,00. 
 
j = am%18,4%4,495,0 =× 
 FV = PV 03,811.4
30
0418,01500.4)1(
30
4830
=

 +=+
×
×mk
k
j 
 
(f) (FIN) 
4.500 (CHS) (PV) 
4,18 (ENTER) 30 ÷( i ) 
48 ( n ) 
(FV)→4.811,03 
 
 
4.2 Taxa proporcional 
 
A taxa proporcional não é um tipo de taxa de juros, é apenas uma característica do regime de 
juros simples. Duas ou mais taxas distintas, são consideradas proporcionais, se aplicadas a um 
mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzirem o mesmo montante. 
 
 
 
Exemplos: 
 
• 2,5% ao mês é proporcional a 30% ao ano. Basta multiplicar 2,5 x 12. 
• 3% ao semestre é proporcional a 6% ao ano. Basta multiplicar 3 x 2. 
• 9% ao semestre é proporcional a 4,5% ao trimestre. Basta dividir 9/2 
 
As taxas proporcionais devem atender à seguinte proporção: 
 
2211 inin ×=× 
 
 
 
 
 
 
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4.3 Taxa de juros efetiva 
 
É a taxa em que a unidade de referência de seu período é igual a unidade do período de 
capitalização. 
Exemplos: 
• operações de capital de giro; 
• captação mediante venda de CDB; 
• 12% ao mês, capitalizados mensalmente; 
• 4% ao semestre, capitalizados semestralmente; 
• 20% ao trimestre, capitalizados trimestralmente. 
A fórmula para o cálculo da taxa efetiva ao ano é dada por: 
 
1)1( −+= kkjai 
 
APLICAÇÃO 
1.Calcular as taxas efetivas anuais para as seguintes taxas nominais: 24% aa capitalizada 
mensalmente; 48%as capitalizada mensalmente e 60% at capitalizada diariamente. 
a) Cálculo da taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 24% aa, capitalizada 
mensalmente: 
 
Calculadora HP – 12C 
(f) (FIN) apaga a memória financeira 
24 (g) (i) entra com a taxa de juros por período de capitalização 
1 (g) (n) entra com o número de capitalização em um ano 
1 (CHS) (PV) entra com o principal unitário negativo 
(FV) Calcula o montante do principal unitário 
1 (-) 100 (x) → 26,82% a a Subtrai 1 e multiplica por 100 
 
 
 
b) Cálculo da taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 48% as, capitalizada 
mensalmente: 
 
Calculadora HP – 12C 
(f) (FIN) apaga a memória financeira 
48 (ENTER) 6 ÷ (i) entra com a taxa de juros por período de 
1 (g) (n) entra com o número de capitalização em um ano 
1 (CHS) (PV) entra com oprincipal unitário negativo 
(FV) Calcula o montante do principal unitário 
1 (-) 100 (x) → 151,82%aa Subtrai 1 e multiplica por 100 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 27 21/10/2004 
c) Cálculo da taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 60%at, capitalizada 
diariamente: 
 
Calculadora HP – 12C 
(f) (FIN) apaga a memória financeira 
60 (ENTER) 90 ÷ (i) entra com a taxa de juros por período de 
30 (g) (n) entra com o número de capitalização em um ano 
1 (CHS) (PV) entra com o principal unitário negativo 
(FV) Calcula o montante do principal unitário 
1 (-) 100 (x) → 993,57%aa Subtrai 1 e multiplica por 100 
 
4.4 Equivalência entre taxas de juros 
 
Toda taxa de juros se encontra em determinado prazo. Entretanto, pode ser convertida para 
outro prazo qualquer sem alterar seu valor intrínseco, o que viabiliza o cálculo dos juros em 
operações e facilita comparações entre taxas. Assim, considerando-se o ano comercial (360 
dias), a seguinte identidade nos permite relacionar por equivalência algumas taxas efetivas; 
 
36012642 )1()1()1()1()1()1( dmbtsa iiiiii +=+=+=+=+=+ 
Usaremos a seguinte notação: 
 
ai = taxa efetiva anual; 
ti = taxa efetiva trimestral; 
mi = taxa efetiva mensal; 
si = taxa efetiva semestral; 
bi = taxa efetiva bimestral; 
di = taxa efetiva diária. 
 
 
4.5 APLICAÇÕES USANDO A HP – 12C 
1.Os juros reais da caderneta de poupança são de 6%aa com capitalizações mensais. Qual é a 
taxa efetiva ao ano? 
 
(f) (FIN) 
6 (g) (12÷) 
1 (g) (12x) 
1 (CHS) (PV) 
(FV) 
1 ( - ) 100 ( x ) → 6,1678% aa 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 28 21/10/2004 
2.Verificar se a taxa nominal de 120% aa capitalizada mensalmente é equivalente à taxa 
efetiva de 213,84% aa. Se ficar demonstrada a equivalência, provar que o montante produzido 
por uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 durante dois anos a essas duas taxas é o mesmo. 
 
(f) (FIN) 
120 (g) (12÷) 
1 (g) (12x) 
1 (CHS) (PV) 
(FV) 
1 ( - ) 100 ( x ) →213,84% aa 
 
 
3.Uma aplicação de R$ 4.500,00 em CDB é resgatada por R$ 4.800,00 no prazo de dois 
meses. Calcular a taxa de juros efetiva anual ganha na aplicação. 
 
(f) (FIN) 
4.500 (PV) 
4.800 (FV) 
(STO) (EEX) 
2 (ENTER) 12 (÷) (n) 
( i ) → 47,29% aa 
 
4.6 Taxa de juros aparente 
 
A taxa de aparente ( chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que 
vigora nas operações correntes. 
 
4.7 Taxa de juros real 
 
É a taxa que considera os efeitos inflacionários. Para calculá-la é necessário identificar e 
retirar os ganhos ou perdas decorrentes da inflação do período. 
 
( 1 + i ) = ( 1 + i r ) x ( 1 + I), onde 
i = taxa aparente; 
i r = taxa real; 
I = taxa de inflação. 
 
APLICAÇÃO 
 
1.Uma aplicação financeira rende juros nominais de 6% aa capitalizados mensalmente. 
Considerando uma taxa de inflação de 5,5% aa, calcular as taxas de juros aparente e real 
ganha pela aplicação. 
Taxa aparente: 
( 1 + i a ) = ( 1 + 
k
k
j ) 
 
( 1 + i a ) = ( 1 +
12
12
06,0 ) aaia %17,6=⇒ 
 
Prof. Luciane Página 29 21/10/2004 
 
 
Taxa real: 
 
aa
I
ii ar %6351,01055,1
0617,11
1
1 =−=−+
+= 
 
2.Um capital aplicado durante dois anos à taxa nominal aparente de 18%aa capitalizada 
mensalmente rendeu R$ 1.500,00 de juros. Considerando uma inflação de 12%aa, calcular o 
capital e as taxas de rentabilidade aparente e real da aplicação. 
 
a) Cálculo do capital aplicado 
b) Rentabilidade aparente 
c) Rentabilidade real 
 
Resolução: 
a) Cálculo do capital aplicado 
 
 
 
b) Rentabilidade aparente 
 
%95,42
41,492.3
500.1min ==
aãocorrigidaplicaçãon
aisjurosno em dois anos aa%56,191)4295,1( 2
1
=− 
 
aaii aa %56,191)015,1(121
18,01)1( 12
12
=−=⇒

 +=+ 
 
c) Rentabilidade Real 
 
1396,0
)12,1(41,492.3
)12,1(41,492.3)41,492.3500.1(
tandim
2
2
=×
×−+=
−==
orrigidaaplicaçãoc
orrigidaaplicaçãoctemon
orrigidaaplicaçãoc
entorealrenir
 
 
 em dois anos 
aa
I
ii ar %75,610121
1956,011
)1(
)1( =−+
+=−+
+= 
41,492.3
1)015,1(
500.11
12
18,01500.1
1500.1
24
212
=−=⇒


 −

 +=



 −

 +=
−=
×
×
PVPV
PV
k
jPV
PVFVJ
mk
 
Prof. Luciane Página 30 21/10/2004 
3.Um investidor aplicou pelo prazo de 31 dias, R$ 400.000,00 em um CDB prefixado que 
rende juros efetivos de 16% aa mais TR. Considerando uma inflação de 2% am, calcular o 
rendimento real e outros parâmetros importantes da operação. 
a) Taxa relativa ao período da aplicação; 
b) Rendimento bruto aparente no período da aplicação; 
c) Ganho pela variação da TR (1,5%); 
d) Impostos ( 8% sobre o ganho da operação); 
e) Valor de resgate líquido; 
f) Rentabilidade aparente da aplicação; 
g) Rentabilidade real da aplicação. 
 
Resolução: 
a) Taxa relativa ao período de aplicação: 
 
 
para 31 dias 
 
b) Rendimento bruto aparente no período da aplicação: 
 
06,145.5000.400012863,0 =×=bR 
 
c) Ganho pela variação da TR ( 1,5%): 
 
000.6000.400015,0 =× 
 
d) Impostos ( 8% sobre o ganho da operação) 
 
06,145.5(08,0 +6.000)=891,60 
 
e) Valor de resgate líquido 
 
400.000+11.145,06-891,60=410.253,46 
 
f) Rentabilidade aparente da aplicação: 
 
%56534,2025634,01
000.400
46,253.410 ==−=i para 31 dias 
 
Taxa mensal equivalente 
 
amim %4797,2024797,01)025634,1( 31
30
==−= 
 
g) Rentabilidade real da aplicação 
am
I
ii mr %47,0004703,0102,1
024797,11
1
1 ==−=−+
+= 
%2863,1012862632,0
1)16,01(
31
360
31
31
==
−+=
d
d
i
i
 
Prof. Luciane Página 31 21/10/2004 
5. RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS 
Seqüência de parcelas de pagamentos ou de depósitos em uma aplicação financeira, 
objetivando liquidar uma dívida ou constituir um capital 
 
CAPITALIZAÇÃO: Processo para formação de capital, geralmente por meio de depósitos 
periódicos em uma certa modalidade de investimento. 
 
AMORTIZAÇÃO: Processo de pagamento de uma dívida, geralmente por meio de 
pagamentos de prestações. 
 
5.1 RENDAS UNIFORMES – PRESTAÇÕES IGUAIS 
CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS 
 As rendas uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, séries antecipadas e séries 
diferidas. As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de cada 
período, por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito. Nas séries antecipadas, os 
pagamentos são feitos no início de cada período, por exemplo, financiamento com pagamento 
à vista. Nas séries diferidas, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o 
início da operação do período de pagamento da primeira parcela, por exemplo, promoções do 
tipo “ compre hoje e comece a pagar daqui a x dias”. Nas séries diferidas, quando o primeiro 
pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência, chama-se série 
diferida antecipada; se for no final do primeiro período de carência, chama-se série diferida 
postecipada. 
 
• Séries Uniformes Postecipadas 
Na série postecipada, os pagamentos ocorrem no fim de cada período: 
 
 R ( Prestação) 
 ---------------------------------------------------------- 
 _____↑____↑____↑____↑_______________________↑_ 
 0 1 2 3 4 n 
• Séries Uniformes Antecipadas 
Nas série antecipada, os pagamentos ocorrem no início de cada período: 
 
 
 R ( Prestação) 
 -------------------------------------------------------------------↑_____↑____↑____↑____↑_______________________↑_ 
 0 1 2 3 4 n -1 
 
 
• Séries Uniformes Diferidas 
Série diferida antecipada 
 
 R ( Prestação) 
 ---------------------------------------------------------- 
 _____↑____↑____↑____↑_______________________↑_ 
 0 c c+1 c+2 c+3 c+n 
 carência 
 
Prof. Luciane Página 32 21/10/2004 
Série Diferida Postecipada 
 
 
 R ( Prestação) 
 --------------------------------------------------- 
 _____↑____↑____↑____↑_______________________↑_ 
 0 c c+1 c+2 c+3 c+n+1 
 carência 
 
 
Valor presente de séries periódicas uniformes 
 
O valor presente representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo ( 
data 0), considerando a mesma taxa de juros. 
 
ni
R
i
R
i
R
i
RC
)1(
...
)1()1()1( 32 ++++++++= 
O somatório representa a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. 
 
]
1
)1([ 1 −
−=
q
qaRC
n
, onde 
1a é o primeiro termo da série 
q é a razão da série 
 
 



⋅+
−+=
ii
iRC n
n
)1(
1)1( 
 
Montante de séries periódicas uniformes. 
 
O valor futuro ou montante de um série de pagamentos ou recebimentos uniformes 
postecipados será igual à soma dos montantes de cada prestação em um determinada data 
futura, calculados pela mesma taxa de juros. Considerando uma série postecipada com n 
termos uniformes, o seu valor presente é: 
 



⋅+
−+=
ii
iRC n
n
)1(
1)1( 
 Uma expressão para o montante pode ser obtida se capitalizarmos por n períodos o valor 
presente da série: 
 
niCM )1( += 
n
n
n
i
ii
iRM )1(
)1(
1)1( +×


⋅+
−+= 

 −+=
i
iM
n 1)1( 
 
 
Prof. Luciane Página 33 21/10/2004 
 
5.2 APLICAÇÕES – Séries imediatas ou postecipadas – Amortização 
 
1) Os produtos de uma loja são vendidos a vista ou em 3 prestações mensais, iguais e 
sucessivas sem entrada, vencendo a primeira um mês após a compra. Opera nas vendas a 
prazo com uma taxa efetiva de juros de 4,85% am. Determine o valor das prestações de um 
produto cujo preço à vista é de R$ 320,00 
 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
320 (CHS) (PV) 
4,85 ( i ) 
3 ( n ) 
( PMT ) → R$ 117,18 
 
 
2) Uma revendedora, anuncia uma promoção de vendas de veículos nas seguintes condições: 
Entrada de 20% do valor do veículo e o restante financiado através de 24 prestações mensais, 
iguais e sucessivas, vencendo a primeira um mês após a compra. Utiliza nos cálculos dos 
valores das prestações, uma taxa efetiva de juros de 2,45% am. Determine o valor à vista de 
um veículo, cujas prestações são de R$ 678,38. 
 
f) (FIN) 
(g) ( END) 
678,38 (CHS) (PMT) 
2,45 ( i ) 
24 ( n ) 
( PV ) → R$ 12.200,11 
12.200,11 ------- 80% 
 x ------- 100% 
Valor = 15.250,14 
Entrada = 3.050,03 
 
3. Um aparelho eletrônico está colocado a venda nas seguintes condições: à vista por R$ 
1.360,00 ou com 20% do valor à vista de entrada e o restante em 6 prestações mensais, iguais 
e sucessivas, vencendo a primeira um mês após a compra. Utilizando nos cálculos uma taxa 
efetiva de juros de 5,5% am, determine o valor da entrada e das prestações. 
 
Valor à vista = 1.360,00 
Entrada 20% = 272,00 
Valor financiado = 1.088,00 
 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
1.088 (CHS) (PV) 
5,5 ( i ) 
6 ( n ) 
( PMT ) → R$ 217,79 
 
Prof. Luciane Página 34 21/10/2004 
 
4.Um financiamento de R$ 18.750,00 deverá ser pago por meio de 12 prestações mensais, 
iguais e sucessivas, vencendo a primeira um mês após a data de efetivação no valor de R$ 
1.906,22 cada. Determine a taxa efetiva mensal de juros cobrada nesse financiamento. 
 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
18.750 (CHS) (PV) 
12 ( n ) 
1.906,22 ( PMT ) 
( i )→ 3,2% am 
 
5.Quantas prestações mensais de R$ 70,67 cada uma, vencendo a primeira um mês após a 
compra, serão necessárias para quitar um dívida de R$320,00 se a taxa efetiva de juros 
utilizada na operação for de 3,4% am? 
 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
320 (CHS) (PV) 
3,4 ( i ) 
70,67( PMT ) 
( n ) → 5 meses 
 
 
5.3 APLICAÇÕES – Séries imediatas ou postecipadas – Capitalização 
1. Uma pessoa, a fim de adquirir um computador, resolve efetuar depósitos mensais, iguais e 
sucessivos, ao final de cada mês, no valor de R$ 150,00 cada um, em uma instituição 
financeira que paga uma taxa efetiva de juros de 1,72% am. Qual o montante a ser acumulado 
por essa pessoa ao efetuar o 12º depósito? 
 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
150 (CHS) (PMT) 
1,72 ( i ) 
12 ( n ) 
(FV) → 1.980,43 
 
2.Um micro empresário, interessado em aumentar sua produção, resolve investir certa 
importância, ao final de cada mês, durante 12 meses, numa aplicação que rende uma taxa de 
juros efetiva mensal de 1,8%, com a finalidade de adquirir um equipamento. De quanto 
deverá ser o valor de cada depósito, se o valor do equipamento é de R$ 15.250,00? 
 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
15.250 (CHS) (PV) 
1,8 ( i ) 
12 ( n ) 
( PMT ) → 1.424,38 
 
Prof. Luciane Página 35 21/10/2004 
 
3.A que taxa efetiva mensal de juros, deverei aplicar, R$ 250,00 ao final de cada mês, durante 
12 meses, para ao realizar o 12º depósito, acumular a importância de R$ 3.410,16 
 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
250 (CHS) (PMT) 
12 ( n ) 
3.410,16 ( FV ) 
( i ) → 2,3% am 
 
 4. Quantos depósitos mensais de R$ 225,30 deverei realizar ao final de cada mês, a uma taxa 
efetiva de juros de 2,75% am, para acumular o montante de R$ 2.553,27 ? 
 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
225,30 (CHS) (PMT) 
2,75 ( i ) 
2.553,27 (FV) 
( n ) → 10 meses 
 
5.4 APLICAÇÕES – Séries Antecipadas - Amortização 
1. Um eletrodoméstico está colocado a venda em 3 pagamentos mensais, iguais e sucessivos 
de R$ 175,90 cada um, sendo o primeiro no ato da compra. Considerando nos cálculos uma 
taxa efetiva de juros de 4,2% am, determine o valor desse eletrodoméstico. 
 
(f) (FIN) 
(g) ( BEG) 
175,90 (CHS) (PMT) 
4,2 ( i ) 
3 ( n ) 
(PV) → 506,72 
2.Um produto está colocado a venda à vista por R$ 950,00. Poderá ser pago através de 8 
prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira no ato da compra. Utilizando 
uma taxa efetiva de juros de 5,2% am, determine o valor das prestações. 
 
(f) (FIN) 
(g) ( BEG) 
950 (CHS) (PV) 
5,2 ( i ) 
8 ( n ) 
(PMT) → 140,85 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 36 21/10/2004 
3.Quantas prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 837,18 cada uma, sendo a primeira 
no ato da compra, serão necessárias para quitar uma dívida de R$ 9.720,00, se a taxa efetiva 
de juros é de 2,6% am? 
 
(f) (FIN) 
(g) ( BEG) 
9.720 (CHS) (PV) 
2,6 ( i ) 
837,18 (PMT) 
( n ) → 14 
 
4.A que taxa efetiva mensal de juros, 18 pagamentos de R$ 439,96, sendo o primeiro no ato 
da efetivação da mesma, amortizam uma dívida de R$ 5.834,14. 
 
(f) (FIN) 
(g) ( BEG) 
5.834,14 (CHS) (PV) 
439,96 (PMT) 
18 ( n ) 
( i ) → 3,9% am 
 
5.6 APLICAÇÕES – Séries Antecipadas – Capitalização 
 
1.Determine o valor acumulado após o 12º depósito mensal, igual e sucessivo de R$ 180,00 
cada um, realizados no início de cada mês, se a taxa efetiva de juros mensal conseguida nesse 
financiamento foi de 1,32% am. 
 
(f) (FIN) 
(g) ( BEG) 
180 (CHS) (PMT)1,32 ( i ) 
12 ( n ) 
(FV) → 2.354,60 
2.Realizando 10 depósitos mensais, iguais e sucessivos, no início de cada mês, acumulei um 
montante de R$ 6.750,80. A taxa efetiva de juros mensais que investia minhas economias era 
de 1,6%. Qual o valor de cada depósito que realizei? 
 
(f) (FIN) 
(g) ( BEG) 
6.750,80 (CHS) (FV) 
10 ( n ) 
1,6 ( i ) 
(PMT) → 618,00 
 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 37 21/10/2004 
3.A que taxa devo investir 8 depósitos mensais, iguais e sucessivos de R$ 419,75 cada um, no 
início de cada mês, para realizar o 8º depósito, consiga acumular R$ 3.552,53. 
 
(f) (FIN) 
(g) ( BEG) 
3.552,53 (CHS) (FV) 
419,75 (PMT) 
8 ( n ) 
( i ) → 1,25% am 
4.Para acumular R$ 1.695,30, realizei, no início de cada mês, depósitos mensais, iguais e 
sucessivos de R$ 225,30 cada um, em uma aplicação financeira que rendia 2,4% am. Essa 
importância que acumulei foi após realizar qual depósito? 
 
(f) (FIN) 
(g) ( BEG) 
1.695,30 (CHS) (FV) 
225,30 (PMT) 
2,4%( i ) 
( n ) → 7meses 
5.7 APLICAÇÕES – Séries Diferidas 
 
1. Um empresário financia um equipamento industrial no valor de R$ 35.450,00 a ser 
liquidado através de 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira paga após 
um período de 6 meses de carência. A taxa efetiva de juros utilizada nos cálculos é de 5,74% 
am. Determine o valor das prestações. 
 
 
____↑___↑___↑___↑___↑___↑___↑___↑_____________________________↑ 
 ↓ 1 2 3 4 5 6 7 8 30 
35.450 ↓ 
 49.550,96 
 
Ao final da carência de 6 meses: 
 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
35.450 (CHS) (PV) 
5,74 ( i ) 
6 ( n ) 
(FV) → 49.550,96 
 
Amortizando a dívida 
(f) (FIN) 
(g) ( END) 
49.550,96 (CHS) (PV) 
5,74( i ) 
24 ( n ) 
(PMT) → 3.853,82 
 
Prof. Luciane Página 38 21/10/2004 
5.8 APLICAÇÕES USANDO A HP – 12C 
 
1.Um financiamento foi liquidado através de 18 parcelas mensais, iguais e sucessivas, no 
valor de R$ 2.450,80 cada uma, vencendo a primeira 5 meses após a realização do mesmo. 
Considerando nos cálculos uma taxa efetiva de juros de 4,67% am, determine o valor 
financiado. (R$ 24.495,63) 
2.Um financiamento de R$ 20.000,00, foi liquidado através de 12 prestações mensais, iguais e 
sucessivas de R$ 2.271,86, sendo a primeira paga apósum período de carência de 6 meses. 
Durante o período de carência, a taxa de juros mensal era de 2,2%. Qual a taxa efetiva mensal 
de juros utilizada nessa operação, após a carência? ( 2,87% am) 
 
 
3.Um equipamento industrial está sendo vendido à vista por R$ 32.500,00. No caso de venda 
a prazo, esta operação deverá ser realizada dentro de 12 meses, sendo as alternativas de 
pagamento, descritas abaixo. Considerando nos cálculos uma taxa efetiva de juros de 4,75% 
am, determine o valor das respectivas prestações. 
a) 12 pagamentos mensais, iguais, sucessivos e antecipados;( R$ 3.451,37) 
b) 6 pagamentos bimestrais, iguais e sucessivos vencendo o primeiro ao final do 2º mês;( 
R$7.402,34) 
c) 8 pagamentos mensais, iguais e sucessivos com uma carência de 4 meses. 
 ( R$5.993,09). 
 
4.Determine as taxas efetivas de juros mensais, cobradas nas vendas a prazo abaixo: 
a) Valor à vista: R$ 1.400,00 
Nº de parcelas: 12 parcelas mensais, iguais, sucessivas e postecipadas; 
Valor das parcelas: R$ 149,73. ( 4,06%am) 
b) Valor à vista: R$ 350,00 
Nº de parcelas = 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas e antecipadas; 
Valor das parcelas = R$ 40,61 (6,68%am) 
 
5.Com a finalidade de adquirir um computador, cujo valor à vista é de R$ 2.800,00, resolvi 
efetuar depósitos mensais no início de cada mês, em uma instituição financeira que paga uma 
taxa efetiva de juros de 2,5%am. Determinar o valor desses depósitos, para que eu consiga 
esse capital após efetuar o 6º depósito.( R$ 427,65) 
6.Um equipamento industrial está colocado a venda à vista por R$27.200,00. Poderá ser 
financiado para ser pago através de 24 prestações mensais, iguais e sucessivas. Considerando 
nos cálculos uma taxa efetiva de juros de 4,1% am, determine o valor das prestações nos 
seguintes casos: 
a) A primeira prestação é paga no ato da compra; ( R$ 1.731,29) 
b) A primeira prestação é paga 30 dias após a compra; (R$ 1.802,27) 
c) A primeira prestação é paga com uma carência de 4 meses. 
(R$ 2.116,53). 
 
7.Um comerciante está vendendo um eletrodoméstico por R$ 750,00 à vista ou a prazo em 3 
prestações mensais de R$ 250,00 cada uma sendo a primeira no ato da compra e as outras 
duas, dentro de 30 e 60 dias. Se considerarmos que a taxa de juros composta de mercado está 
em torno de 3,2% am, de quantos por cento, poderia se dado um desconto para pagamento à 
vista? ( 3,17%) 
 
Prof. Luciane Página 39 21/10/2004 
8.Faltando 3 pagamentos mensais de R$ 2.520,00 cada uma para o término de um contrato de 
financiamento, o devedor deseja liquidá-lo na data em que deveria pagar o primeiro dos três. 
Por quanto deverá liquidar essa dívida, se a taxa de juros composta é de 4,2%am?( R$ 
7.259,37) 
9.Determinar o valor das parcelas para amortizar um dívida de R$ 16.000,00, com juros 
compostos de 4,5% am, em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira a 
120 dias da data do empréstimo.( R$ 3.539,96). 
10. Você se depara com a seguinte propaganda: Compre o produto X por R$ 650,00 à vista ou 
em 3 parcelas mensais, iguais e sucessivas de R$ 241,82 cada uma. Determine a taxa efetiva 
mensal de juros que está sendo cobrada nessa operação se: 
a) Os pagamentos forem postecipados; ( i = 5,7% am) 
b) Os pagamentos forem antecipados. ( i = 12,09% am) 
 
 
 
6. FLUXO DE CAIXA E EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA 
Fluxo de Caixa: Série de entradas e saídas dispostas ao longo do tempo. 
 
 ( + ) 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
0_____↑_____↑_____↑_____↑_________________________↑_____↑ 
↓ 1 2 3 4 n – 1 n (tempo) 
 
PV ( - ) 
 
6.1 APLICAÇÕES: Séries com periodicidades uniformes 
 
1.Um financiamento deverá ser liquidado por meio de 7 parcelas mensais, iguais, sucessivas e 
postecipadas de R$ 528,00 cada uma. Considerando que a taxa efetiva de juros usada nessa 
operação foi de 2,6% am, qual o valor financiado? 
 
2.Determine quanto terei que dispender hoje, para quitar um financiamento representado por 5 
notas promissórias, cujos valores e vencimentos, a partir de hoje, encontram-se relacionados 
no quadro abaixo, sabendo que a taxa de juros efetiva desse financiamento é de 5%am. 
Vencimento Valor 
30 dias 420,00 
60 dias 560,00 
90 dias 560,00 
120 dias 450,00 
150 dias 490,00 
 
3.Um contrato de arrendamento mercantil referente a um equipamento industrial foi realizado 
com as seguintes condições: 
• 36 parcelas mensais, iguais e sucessivas de R$ 5.273,86 cada uma; 
• Valor residual garantido a ser pago juntamente com a 36ª parcela no valor de R$ 6.183,34. 
• Taxa efetiva de juros utilizada na operação de 5%am. 
Determine o valor à vista do equipamento arrendado. 
 
Prof. Luciane Página 40 21/10/2004 
 
4.Uma operação de financiamento foi realizada com o devedor assumindo um compromisso 
pelo pagamento de 6 notas promissórias mensais e sucessivas, conforme descrito no quadro 
abaixo, sendo a taxa efetiva de juros desse financiamento de 4,8% am. Pede-se: 
a) Cálculo do valor financiado; 
b) Cálculo do valor para pagamento único com vencimento para 3 meses. 
 
Vencimento ( meses) Valor ( R$ ) 
1 1.500,00 
2 1.600,00 
3 1.750,00 
4 1.800,00 
5 1.900,00 
6 2.000,00 
 
5.Determine o valor presente, dasérie de capitais constantes dos quadros abaixo na data focal 
0. Utilize nos cálculos uma taxa efetiva de juros de 4,24% am. 
 
a) 
Vencimento(m) Valor(R$) 
1 2.350,00 
2 2.780,00 
3 3.540,00 
4 3.620,00 
5 4.027,00 
 
Resp. PV = 14.271,83 
 b) 
Vencimento(m) Valor(R$) 
30 780,00 
60 437,20 
90 854,60 
120 654,35 
150 789,62 
180 920,37 
Resp. PV = 3.817,00 
c) 
Vencimento (m) Valor(R$) 
30 1.320,00 
60 684,35 
90 327,50 
120 2.742,48 
150 759,62 
 
Resp. PV = 5.124,17 
 
 
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6.Uma pessoa deseja liquidar um financiamento faltando 8 parcelas mensais, iguais e 
sucessivas de R$ 520,14 cada uma. Quanto deverá desembolsar, para quitar essa dívida, no 
dia do vencimento da primeira das oito parcelas restantes, se a taxa efetiva de juros nessa 
operação é de 6,4% am. ( Resp. PV = 3.382,93) 
 
 
7.Um financiamento de R$ 11.500,00 foi realizado com juros de 3,8% am, em 12 parcelas 
mensais, iguais e sucessivas e postecipadas. No entanto, ao pagar a 5ª parcela, o devedor 
propõe ao credor um refinanciamento do restante da dívida em 18 parcelas mensais, iguais, 
sucessivas e imediatas. A proposta é aceita com a condição de que a taxa de juros seja elevada 
para 4,25% am. Determine o valor das prestações do refinanciamento. ( Resp. PMT = 
590,33) 
 
6.2 APLICAÇÕES: Séries com periodicidades não uniformes 
 
1.Um empresário necessitando de capital hoje para saldar compromissos assumidos, negocia 
com um banco, um desconto de 3 duplicatas com os seguintes valores e vencimentos: R$ 
1.780,00 vencível em 22 dias; R$ 2.670,00 vencível em 65 dias e R$ 4.094,00 vencível em 83 
dias. A taxa de juros efetiva utilizada nessa operação foi de 5,5% aos 30 dias. Determine o 
valor creditado ao empresário. 
 
CÁLCULO DA TAXA AO DIA] 
f (CLX) 
100 (CHS) (PV) 
5,5 ( i ) 
1 (ENTER) 30 ÷ ( n ) 
FV 
100 - i = 0,1786286%ad 
 
 
 1.780 2.670 4.094 
0__________↑________________↑______________↑ 
↓ 22 65 83 
 
 
(f) (CLX) 
0 (CHS)(g)(CFo) 
0 (g) (CFj) 
21 (g) (Nj) 
1.780 (g) (CFj) 
0 (g) (CFj) 
42 (g) (Nj) 
2.670 (g) (CFj) 
0 (g) (CFj) 
17 (g) (Nj) 
4.094 (g) (CFj) 
0,1786286 ( i ) 
(f) (NPV)→7.619,36 
 
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2.Considere o fluxo de capitais constantes dos quadros abaixo e determine o seu valor 
presente na data focal 0. Considere nos cálculos uma taxa efetiva de juros de 6,4% aos 30 
dias. 
 
a) 
 
Vencimento ( dias ) Valor ( R$) 
35 1.250,00 
62 1.350,00 
96 1.450,00 
124 1.500,00 
185 1.650,00 
 
Cálculo da taxa ao dia 
(f) (CLX) 
100 (CHS) (PV) 
6,4 (i) 
1 (ENTER) 30 ÷(n) 
(FV) 
100 - i = 0,2069986%ad 
 
 
 1.250 1.350 1.450 1.500 1.650 
0__________↑___________↑___________↑__________↑________________↑ 
↓ 35 62 96 124 185 
 
 
 
(f) (CLX) 
0 (CHS) (g) (CFo) 
0 (g) (CFj) 
34 (g) (Nj) 
1.250 (g) (CFj) 
0 (g) (CFj) 
26 (g) (Nj) 
1.350 (g) (CFj) 
0 (g) (CFj) 
33 (g) (Nj) 
1.450 (g) (CFj) 
0 (g) (CFj) 
27 (g) (Nj) 
1.500 (g) (CFj) 
0 (g) (CFj) 
60 (g) (Nj) 
1.650 (g) (CFj) 
0,2069986 ( i ) 
(f) (NPV)→5.825,44 
 
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b) 
Vencimento ( dias ) Valor (R$) 
32 745,20 
39 563,97 
47 278,44 
56 698,12 
75 457,32 
84 812,14 
96 918,65 
127 357,46 
133 730,58 
 
Resp PV = 4.749,52 
 
 
6.3 Coeficientes para financiamentos 
 
São fatores financeiros que multiplicados pelo valor financiado, determinam os valores das 
prestações. Representam os valores das prestações para cada unidade de capital financiado. 
 
6.3.1 Séries Postecipadas 
 
1. Determine o coeficiente que multiplicado pelo valor à vista forneça os valores das 
respectivas prestações, para um comerciante vender seus produtos em 3 pagamentos mensais, 
iguais, sucessivos e postecipados sendo a taxa efetiva de juros de 3,6% am. 
 
PV = 1 i = 3,6%am n = 3 meses PMT = ? 
 
(f) (CLX) 
(g) (END) 
1 (CHS) (PV) 
3 ( n ) 
3,6 ( i ) 
(PMT)→0,35761621 
 
6.3.2 Séries Antecipadas 
 1. Determine o coeficiente que multiplicado pelo valor à vista forneça os valores das 
respectivas prestações, para um comerciante vender seus produtos em 4 pagamentos mensais, 
iguais e sucessivos, sendo o primeiro deles no ato da compra, e a taxa efetiva de juros 
utilizada nos cálculos de 4,2% am. 
PV = 1 i = 4,2% am n = 4 meses PMT =? 
(f) (CLX) 
(g) (BEG) 
1 (CHS) (PV) 
4 ( n ) 
4,2 ( i ) 
(PMT)→0,26563314 
 
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6.4 APLICAÇÕES 
1.O gerente comercial de uma empresa deseja calcular coeficientes de financiamentos, que 
multiplicados pelo valor à vista dos produtos que comercializa, forneçam o valor das 
respectivas prestações, para serem utilizados por sua equipe de vendedores. Considerando nos 
cálculos uma taxa efetiva de juros de 4,82% am, determine os coeficientes para se vender em: 
a) 3 prestações mensais, iguais, sucessivas e antecipadas; (0,3491421) 
 
(f) (CLX) 
(g) ( BEG) 
1 (CHS) (PV) 
3 ( n ) 
4,82 ( i ) 
(PMT)→0,3491421 
b) 3 prestações mensais, iguais, sucessivas e postecipadas;(0,3659707) 
 
(f) (CLX) 
(g) ( END) 
1 (CHS) (PV) 
3 ( n ) 
4,82 ( i ) 
(PMT)→0,3659707 
c) 4 prestações mensais, iguais, sucessivas e antecipadas;( 0,2679199) 
 
(f) (CLX) 
(g) ( BEG) 
1 (CHS) (PV) 
4 ( n ) 
4,82 ( i ) 
(PMT)→0,2679199 
d) 6 prestações mensais, iguais, sucessivas e antecipadas;(0,1868773) 
 
(f) (CLX) 
(g) ( BEG) 
1 (CHS) (PV) 
6 ( n ) 
4,82 ( i ) 
(PMT)→0,1868773 
e) 12 prestações mensais, iguais, sucessivas e postecipadas.( 0,1116829) 
 
(f) (CLX) 
(g) ( END) 
1 (CHS) (PV) 
12 ( n ) 
4,82 ( i ) 
(PMT)→0,1116829 
 
 
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2.Considere que você seja o responsável por calcular os coeficientes para financiamentos, a 
ser aplicado aos valores à vista dos produtos que sua empresa comercializa para obtenção do 
valor a ser pago em cada prestação. Considere nos cálculos uma taxa efetiva de juros de 
3,75% am. Determine os coeficientes para financiamentos nos seguintes casos: 
 
a) 5 pagamentos com vencimentos para 0/30/60/90/120 dias. ( 0,2149898) 
b) 3 pagamentos com vencimentos para 30, 60 e 90 dias; (0,3586400) 
c) 6 pagamentos mensais, iguais e postecipadas; ( 0,1892122) 
d) 12 pagamentos mensais, iguais e sucessivos vencendo o primeiro no ato da compra. 
( 0,1012167) 
 
 
7. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 
 
Todo empréstimo ou financiamento geralmente é reembolsado por meio do pagamento 
periódico de parcelas ou prestações. [Em toda prestação existem dois componentes:] 
 
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS 
 
Essa separação permite discriminar o que representa devolução do principal ( Amortização) 
do que representa serviço da dívida (juros). Ela é importante para as necessidades jurídico-
contábeis e na análise de investimentos, em que os juros, por serem dedutíveis para efeitos 
tributáveis, têm um efeito fiscal. 
 
O termo carência designa o período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a 
data em que será paga a primeira prestação. Em geral, esse período é negociado entre o credor 
e o mutuário. Qualquer sistema de financiamento pode ter, ou não, prazo de carência. 
 
Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos temos: 
• Sistema de Amortização Francês ( Sistema Price). 
• Sistema de Amortização Constante ( SAC) 
• Sistema de Amortização Crescente ( SACRE) 
 
7.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ( PRICE) 
Esse sistema caracteriza-se por pagamentosdo principal em prestações iguais, periódicas e 
sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Como 
os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações 
são pagas, eles são decrescentes e, conseqüentemente, as amortizações do principal são 
crescentes. 
O cálculo das prestações é feito usando-se a taxa proporcional ao período a que se refere a 
prestação, calculada a partir da taxa nominal. 
 
 Características: 
• Prestações iguais e periódicas; 
• Parcelas de amortizações crescentes; 
• Parcelas de juros contidas nas prestações são decrescentes. 
 
 
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APLICAÇÕES 
 
1. Um empréstimo de R$ 18.000,00 será pago pela Tabela Price em seis prestações mensais 
postecipadas. A juros efetivos de 6,8% am, construir a planilha de amortização. 
 
Cálculo do valor das prestações: 
 
(f) (FIN) 
18.000 (CHS) (PV) 
6,8 ( i ) 
6 ( n ) 
 
(PMT) → 3.753,04 
 
PLANILHA 
 
n JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 - - - 18.000,00 
1 1.224,00 2.529,04 3.753,04 15.470,96 
2 1.052,03 2.701,01 3.753,04 12.769,95 
3 868,36 2.884,68 3.753,04 9.885,27 
4 672,20 3.080,84 3.753,04 6.804,43 
5 462,70 3.290,34 3.753,04 3.514,09 
6 238,96 3.514,08 3.753,04 0,01 
Total 4.518,25 17.999,99 22.818,24 
 
Podemos utilizar a HP – 12C para efetuar os cálculos da tabela. Para tanto utilizaremos a tecla 
AMORT para os cálculos de amortização: 
 
Primeiramente calculamos o valor das prestações: 
Cálculo do valor das prestações: 
 
 
(f) (FIN) 
18.000 (CHS) (PV) 
6,8 ( i ) 
6 ( n ) 
(PMT) → 3.753,04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1º PERÍODO|; 
1 (n) (f) (AMORT) 
(x > y) (x < y) 
(RCL) (PV) 
VISOR 
 1.224,00 
 2.529,04 
-15.470,96 
 
(JUROS) 
(AMORTIZAÇÃO) 
(SALDO DEVEDOR) 
2ºPERÍODO 
1 (n) (f) ( AMORT) 
(x > y) (x < y) 
(RCL) (PV) 
 
 
 1.052,03 
 2.701,01 
-12.769,95 
 
(JUROS) 
(AMORTIZAÇÃO) 
(SALDO DEVEDOR) 
3ºPERÍODO 
1 (n) (f) ( AMORT) 
(x > y) (x < y) 
(RCL) (PV) 
 
 
 868,36 
 2.884,68 
-9.885,27 
 
(JUROS) 
(AMORTIZAÇÃO) 
(SALDO DEVEDOR) 
4ºPERÍODO 
1 (n) (f) ( AMORT) 
(x > y) (x < y) 
(RCL) (PV) 
 
 
 672,20 
 3.080,84 
-6.804,43 
 
(JUROS) 
(AMORTIZAÇÃO) 
(SALDO DEVEDOR) 
5ºPERÍODO 
1 (n) (f) ( AMORT) 
(x > y) (x < y) 
(RCL) (PV) 
 
 
 462,70 
 3.290,34 
-3.514,09 
 
(JUROS) 
(AMORTIZAÇÃO) 
(SALDO DEVEDOR) 
 
6ºPERÍODO 
1 (n) (f) ( AMORT) 
(x > y) (x < y) 
(RCL) (PV) 
 
 
 238,96 
 3.514,08 
 -0,00 
 
(JUROS) 
(AMORTIZAÇÃO) 
(SALDO DEVEDOR) 
 
È possível também calcular a soma dos juros, saldo devedor e amortização pagas até 
determinado período. 
 
Exemplo: 
Calcule a soma dos juros e a amortização paga até a 4ª prestação e informe o saldo devedor 
nessa época. 
 
(f) (FIN) 
18.000 (CHS) (PV) 
6,8 ( i ) 
6 ( n ) 
(PMT) → 3.753,04 
 
4 ( n ) (f) (AMORT)→ 3.816,58 ( soma dos juros até a 4ª parcela) 
(x > y) (x < y)→ 11.195,58 ( soma das amortizações até a 4ª parcela) 
(RCL) (PV)→ -6.804,42 ( saldo devedor após a 4ª parcela) 
 
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EXERCÍCIO 
 
Um financiamento de R$ 24.250,00 deverá ser amortizado em 12 prestações mensais, iguais e 
postecipadas pelo Sistema Price de Amortização. Utilizando nos cálculos uma taxa efetiva de 
juros de 5,25% am, construir a planilha de amortização desse financiamento. Calcule a soma 
dos juros e da amortização até a 9ª prestação e informe o saldo devedor nessa época. 
 
Cálculo do valor das prestações: 
 
 
 
n JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SD DEVEDOR 
0 24.250,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
total 
 
a) Soma dos juros até a 9ª prestação 
 
 
b) Soma das amortizações até a 9ª prestação 
 
 
c) Saldo devedor até a 9ª prestação 
 
 
 
 
7.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
Pelo Sistema de Amortização Constante, o principal é reembolsado em quotas de 
amortização iguais. Dessa maneira, diferente da Tabela Price, em que as prestações são iguais, 
no SAC as prestações são decrescentes,já que os juros diminuem a cada prestação. A 
amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de 
pagamento. Esse tipo de sistema às vezes é usado pelo Sistema Financeiro de 
Habitação(SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em 
certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. 
 
Prof. Luciane Página 49 21/10/2004 
 
Características: 
 
• As parcelas de amortização são constantes; 
• As parcelas de juros são decrescentes; 
• As prestações são decrescentes. 
 
APLICAÇÕES: 
1.Construir uma planilha, que represente a amortização do financiamento cujas características 
são a seguinte: 
 
• Valor Financiado: 8.750,00 
• Reembolso em 5 prestações mensais e sucessivas; 
• Reembolso pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC); 
• Taxa efetiva de juros de 6,8% am. 
 
Cálculo das parcelas da Amortização: 
 
8.750,00 ÷ 5 = 1.750,00 
 
PLANILHA: 
 
n JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SD DEVEDOR 
0 8.750,00 
1 595,00 1.750,00 2.345,00 7.000,00 
2 476,00 1.750,00 2.226,00 5.250,00 
3 357,00 1.750,00 2.107,00 3.500,00 
4 238,00 1.750,00 1.988,00 1.750,00 
5 119,00 1.750,00 1.869,00 0,00 
total 1.785,00 1.750,00 10.535,00 
 
2.Construir uma planilha, que represente a amortização do financiamento cujas características 
são as seguintes: 
 
• Valor Financiado: 12.250,00 
• Reembolso em 6 prestações mensais e sucessivas; 
• Reembolso pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC); 
• Taxa efetiva de juros de 5% am. 
 
Cálculo das parcelas da Amortização: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciane Página 50 21/10/2004 
PLANILHA: 
 
n JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SD DEVEDOR 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
total 
 
 
7.2.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (Sacre) 
 
O Sistema de Amortização Crescente (Sacre) foi adotado recentemente pelo SFH na 
liquidação de financiamento da casa própria. O Sacre é baseado no SAC e no Price, já que a 
prestação é igual à média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas 
mesmas condições de juros e prazos. Aproximadamente até a metade do período de 
financiamento, as amortizações são maiores que as do Sistema Price. Como decorrência disso, 
a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final 
do contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do Sacre é que suas 
prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do Price. Contudo, após a metade do 
período, o mutuário sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o 
pagamento das prestaçãoes. 
No Sacre, as prestações decrescem de acordo com uma determinada progressão aritmética e 
podem ser calculadas usando-se as seguintes expressões: 
 
Valor da primeira prestação: 
 
PVi
n
q
ii
i
qPVPMT
n
n 

 ++



×+
−+
−= )1
)1(
1)1(
)1(
1 
Valor da razão da progressão aritmética ( corresponde ao decréscimo das prestações) 
 
n
PViqr ××= 
 
Valor das prestações no período )1( ftt 
rRR tt −=+1 
onde 
PV= Valor do Principal; 
1PMT = Valor da 1ª prestação; 
q = coeficiente variável por tipo de plano; 
r = razão da progressão. 
 
Prof. Luciane Página 51 21/10/2004 
 
Dependendo do valor de q, o sistema de reembolso pode resultar no Sistema Price ( para q = 
0) ou no SAC ( para q = 1). O denominado Sacre é um caso particular em que q = 0,5. 
Nesse sistema, devido à ponderação 0,5, o valor das prestações,