3 - Equação de Bernoulli - UNIP Online

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MÓDULO 3 – Equação de Bernoulli 
 
Daniel Bernoulli, mediante considerações de energia aplicada ao 
escoamento de fluidos, conseguiu estabelecer a equação fundamental da 
Hidrodinâmica. Tal equação é uma relação entre a pressão, a velocidade e a altura 
em pontos de uma linha de corrente. 
A energia potencial da água muda enquanto ela se move (Figura 3.1). 
Enquanto que a água se move, a mudança na energia potencial é a mesma que 
aquela de um volume V que se movimentou da posição 1 para a posição 2. A 
energia potencial da água no resto do tubo é a mesma que a energia potencial da 
água antes do movimento. 
 
Figura 3.1 – Disposição da energia do fluido em pontos distintos (F. Brunetti, 2ª 
ed., Mecânica dos Fuidos, LTC) 
 
mudança na energia potencial = (massa da água)(g)(mudança na altitude) 
 = (V) (g) (h2 – h1) 
 = Vg (h2 – h1) 
 
A energia cinética da água também muda. Novamente, só precisamos achar 
a mudança na energia cinética em um pequeno volume (V), como se a água na 
posição 1 fosse substituída pela água na posição 2 (Figura 3.1). A energia cinética 
 
 2 
da água no resto do tubo é a mesma que a energia cinética antes do movimento. 
Dessa forma: 
mudança na energia cinética = ½ m v22 – ½ m v12 = ½  V v22 – ½  V v12 
 
Se a força sobre a água na posição 1 é diferente do que a força da água na 
posição 2, existe um trabalho sobre a água à medida que ela se move. A quantidade 
de trabalho é: 
W = F1 L1 – F2 L2 
 
Considerando força = pressão * área, então: 
W = p1 A1 L1 – p2 A2 L2 = p1 V - p2 V 
 
O trabalho deve ser igual à mudança na energia. Logo, 
p1 V - p2 V =  V g (h2 – h1) + ½  V (v22 –v12) 
 
Separando os pontos de energia: 
p1 V + V g h1+ ½  V v12 = p2 V +  V g h2 + ½  V v22 
 
Dividindo todos os termos por V, temos que: 
22
2
2
22
2
1
11
v
ghP
v
ghP
 
 
Considerando o peso específico () ser: =g, então: 
2
2
22
1
2
11
22
h
g
vP
h
g
vP


 Equação de Bernoulli 
 
Esta equação implica que, se “um fluido estiver escoando em um estado de 
fluxo contínuo, então a pressão depende da velocidade do fluido”. Quanto mais 
rápido o fluido estiver se movimentando, tanto menor será a pressão à mesma 
altura no fluido. Se o tubo for horizontal, então h1= h2 a Equação de Bernoulli pode 
ser simplificada para: 
g
vP
g
vP
22
2
22
2
11 

 
 
 
 3 
EXEMPLOS 
 
1. O medidor Venturi é usado para determinar a vazão num conduto e consiste de 
um tubo convergente-divergente seguido de um conduto de diâmetro constante 
chamado garganta, e, posteriormente, de uma porção gradualmente divergente. 
Considere o exemplo no qual o diâmetro da seção 1 (d1) é 6 polegadas e o diâmetro 
da seção 2 (d2) é 4 polegadas. Para esse exemplo, determinar a vazão no conduto 
quando P1-P2=3Psi e o fluido que escoa é óleo com peso específico é 900Kgf/m3. 
Dado: 1 psi=6894,76Pa 
 
 
Resolução 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
vP
z
g
vP


 
  12212221
2
1
hhvv
g
PP



 
Pela equação da continuidade: 
 1 A1v1 = 2 A2 v2 (como o fluído é incompressível: 1 = 2 ) 
 A1v1 = A2 v2 
 
2
2
2
1
2
1 v
4
dπ
v
4
dπ



 
 
12
2
2
1
12 2,25v
d
d
vv 
 
 
Considerando 
P1-P2 = 3Psi = 3*6894,76Pa = 20684,28Pa= 20684,28N/m2=2109,21Kgf/m2 
 
 2121
23
2
v)(2,23v
s
m
9,81*2
1
m
Kgf
900
1
m
2109,2Kgf

, logo:
3,4m/sv1 
 
 
QQQ 21 
, então: 
4
π(0,1524m)
s
m
3,4
4
πd
s
m
3,4AvQ
22
1
11 
 
61,98l/s/s0,062mQ 3 
 
(1) (2)
 
 4 
 
2. Considere o escoamento de água a 100C de uma seção 1 para outra seção 2. A 
seção 1 (P1=345 kPa) tem 25mm de diâmetro, pressão manométrica de 345 kPa e 
velocidade média do fluxo de 3,0m/s. A seção 2 tem 50mm de diâmetro e encontra-
se a 2 m mais alta que a seção 1. Considerando que não existem perdas de energia 
no sistema determine a pressão p2. 
 
Resolução 
Existe uma mudança de elevação e de seção do duto, portanto existira uma 
variação da pressão e da velocidade. Para água a 100C a massa especifica é igual 
a  =1000kg/m3 
 
Aplicando a equação de Bernoulli, 
2
2
22
1
2
11
22
h
g
v
g
P
h
g
v
g
P
 
 
obtemos uma expressão para a pressão p2 






 21
2
2
2
11
2
22
zz
g
v
g
v
g
P
gP 
 








 )(
2
12
2
2
2
1
12 zz
g
vv
gPP  
Para determinar v2 utilizamos a equação da continuidade, 
2211 AvAvQ 
 desta forma 
2
11
2
A
Av
v 
 
 
como 
 e 
 




























 )2(
81,92
75,03
81,91000345
2
22
232
m
s
m
s
m
s
m
s
m
m
Kg
kPaP
 
kPaP 6,3292 
 
A pressão p2 é uma pressão manométrica já que foi calculada em relação a p1 que 
também é manométrica.