Aula 30 Determinantes

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA
Aula 30
Determinantes
 Determinante nulo
UMA FILA NULA
DUAS FILAS PARALELAS IGUAIS 
DUAS FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS
 UMA FILA É COMBINAÇÃO LINEAR DE FILAS PARALELAS
 Determinante se altera
TROCA DE SINAL, quando duas filas paralelas trocam
entre si de posição.
Fica MULTIPLICADO POR k quando os elementos de
 uma fila são multiplicados por k.
FICA MULTIPLICADO POR kn, quando a matriz é
multiplicada por k.
Exemplo de aplicação:
 Julgue o item.
 Se a1, a2, a3, ..., a9 formam uma progressão
 geométrica de razão q, então
 91
987
654
321
q.a
aaa
aaa
aaa
=
Resolução:
 
2
777
2
444
2
111
987
654
321
q.aq.aa
q.aq.aa
q.aq.aa
aaa
aaa
aaa
=
 0
qq1
qq1
qq1
a.a.a
q.aq.aa
q.aq.aa
q.aq.aa
2
2
2
741
2
777
2
444
2
111
==
 Determinante não se altera
Trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas
det A = det At.
Somarmos a uma fila uma combinação linear de
outras filas paralelas.
Exemplo de aplicação:
 Qual o conjunto-solução da equação
 0
x111
1x11
11x1
=
-
-
-
 0
x11x3
1x1x3
11x3
0
x111
1x11
11x1
=
--
--
-
fi=
-
-
-
 +
 +
 0
x01
0x1
001
).x3(0
x111
1x11
111
).x3( =
-
--fi=
-
--fi
 x (-1)
 +
 +
 0x).x3(0
x01
0x1
001
).x3( 2 =-fi=
-
--fi
 fi x = 3 ou x = 0
 fi V={0,3}
Teorema de Laplace:
 ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + ai3.Ai3 + ... + ain.Ain =
 = a1j.A1j + a2j.A2j + a3j.A3j + ... + anj.Anj = det M
 onde Aij = (-1)i+j.Dij é o cofator do elemento aij
Exemplo de aplicação:
 Qual o determinante associado à matriz
 
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Î
È
1yxa
yyxa
xxxa
aaaa
 ?
Resolução:
 det 
1yx1
yyx1
xxx1
aaa1
.a
1yxa
yyxa
xxxa
aaaa
=
˙
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Í
Î
È
 
1yx1
yyx1
xxx1
aaa1
.a + 
1yx1
1y000
1xyx00
1ayaxa0
.a
-
--
---
=
(-1)
 
1y00
1xyx0
1ayaxa
.)1.(1.a
1yx1
1y000
1xyx00
1ayaxa0
.a 14
-
--
---
-=
-
--
---
+
 = -a.(a-x).(x-y).(y-1)