Tecnologia e Resistência dos Materiais 2

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FACUDADE DE TECNOLOGIA 
 
 
APOSTILA 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS XI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado: Alvaro Henrique Pereira – DME 
Data: 17/05/2007 
Revisão: 0 
Contato: tel: 24-33540194 - e-mail: alvarohp@fat.uerj.br 
 2
1 - TENSÕES COMBINADAS 
 
- Quando um componente estrutural ou um elemento de máquina é dimensionado, 
o mais comum é que se tenhaM tensões combinadas atuando nesse elemento. 
- Num eixo, por exemplo, (vide a figura 1.1) o acionamento devido a corrente 
(forças F1 e F2) gera um torque T no eixo assim como uma força resultante R. 
 
 
Figura 1.1 
 
- Nesse caso específico, teremos várias tensões combinadas (tensão devido à 
flexão; tensão de cisalhamento devido à torção; tensão de cisalhamento devido ao 
cortante). 
- E o somatório dessas tensões combinadas, nos dará as tensões equivalentes 
atuantes no elemento. 
- Outro ponto que devemos considerar numa análise de tensões é se a mesma é 
variável ou não. 
- Sendo a carga variável, quais valores máximos e mínimos, qual a freqüência 
dessa carga, esse é outro ponto que deve ser analisado. A carga variável pode provocar a 
fadiga em uma determinada peça. 
- Outro fator é a concentração de tensões. Esse fenômeno ocorre devido a 
entalhes, rasgos ou qualquer descontinuidade nas seções das peças. É importante frisar 
que para cargas variáveis esse efeito é mais danoso ainda. 
- Muitas vezes uma trinca que pode acarretar a ruptura de uma peça, pode 
começar simplesmente por um risco na superfície de uma peça. 
- Preste bastante atenção! principalmente sob cargas variáveis, quando tiver que 
fazer alguma modificação, tipo um rasgo ou furo numa peça. 
- Dependendo da magnitude das cargas e da sua freqüência, a conseqüente fratura 
de uma peça devido à fadiga é muito rápida e desastrosa para o equipamento. Esse 
tópico referente a cargas variáveis será visto em outro capítulo. 
 
 
1.1 – VASOS DE PRESSÃO 
 
- Como introdução a tensões combinadas, iniciaremos nossos estudos analisando 
vasos de pressão com paredes finas. A seguir cópia do livro: “Resistência dos 
Materiais” Autor: R. C. Hibbeler (5ª edição). Dessa página até a página 6, as 
numerações de figuras, tabelas e fórmulas estão conforme original citado, não seguindo 
portanto as numerações dessa apostila. 
 3
 4
 
 
 
 5
 
 
 6
 
 7
 
 
 
 
 8
1.2 - TENSÕES COMBINADAS 
 
- É bom citar que existem várias teorias utilizadas para analisar tensões 
combinadas. Não iremos nos ater a nenhum método específico. 
 
 
 
1.2.1- Tensão normal numa direção 
 
- Veja bem, para análise de tensões combinadas é utilizado um modelo de cubo 
infinitesimal (tridimensional), onde são lançadas as tensões atuantes nesse ponto do 
elemento que está sendo analisado. 
 
 
Figura 1.2 
 
 
Utilizando-se círculo de Mohr; 
 9
 
Figura 1.3 
 
Nesse caso, tem-se: 
 
σστ == máxmáx 2
1 
 
Considerando que a tensão máxima de tração (normal) atuante no corpo máxσ , seja 
limitada pela tensão de escoamento. Nesse caso estamos utilizando a teoria de máxima 
tensão de cisalhamento, que segue a seguinte expressão: 
..2
1
2
1
SF
e
máxmáx
σστ == ← tensão de escoamento/fator de segurança 
 
Aplicação 1: 
 
Seja uma placa conforme figura abaixo com uma espessura de 12,5 mm sujeita a uma 
força de tração F= 8.000Kgf (estática). 
 
 
Figura 1.4 
 
- O material é aço carbono E= 21.000Kgf/mm² que apresenta uma tensão de escoamento de 
32Kgf/mm². Determine qual F.S. utilizado. 
- Utilize o método da máxima tensão de cisalhamento para determina o fator de segurança 
utilizado. 
 
F.S. = 1,5 
 10
 
- Para completar essa análise de uma tensão normal numa direção, podemos também utilizar 
a teoria da maior tensão normal. 
 
 
Figura 1.5 
- Por esse método, tem-se: 
..SF
e
ADM
σσ = 
 
- Que na verdade dá o mesmo resultado calculado anteriormente, pois se você observar 
o círculo de Mohr a tensão de cisalhamento máxima é a metade da tensão de tração 
máxima. 
- Dessa forma ADMmáx σσ = . 
Isto se aplica no ponto 1 da figura 27 (círculo de Mohr). 
 
 
1.2.2 - Tensão normal em duas direções 
 
- Vamos analisar as tensões em planos 
 
Figura 1.6 
 
 11
Onde: 
1σ e 2σ são as tensões principais 
 
Figura 1.7 
- Veja que a seção que sofre maior esforço de cisalhamento é a seção “BDHF” que se 
apresenta hachurada na figura 1.7. 
- Lógico se nós partirmos o cubo em dois e pegarmos a parte referente à “BCDHGF”, a 
mesma estará em equilíbrio, com as tensões indicadas na figura 32. 
 
 
Figura 4.8 
 
 
- Observe que 1σ e 2σ atuam em áreas → 2.. uuu =
- máxτ e σ atuam em área 22u→ 
 
- Então! Vamos fazer as equações de equilíbrio: 
 
0)245cos245cos(0 21 =−−∴=∑ uF máxx τσσ (1.1) 
 
0)245cos245cos(0 22 =−+−∴=∑ uF máxy τσσ (1.2) 
 
Somando (1.1) e (1.2), tem-se: 
0221 =−− máxτσσ 
 12
 
)(
2
1
21 σστ −=máx (1.3) 
 
- Caso 1σ ou 2σ sejam de compressão, os sinais devem ser modificados, como exemplo, 
seja a tensão 2σ de compressão, dessa forma teremos: 
)(
2
1
21 σστ +=máx 
 
- Vamos ver isso utilizando o círculo de Mohr (considerando 1σ e 2σ como tensões de 
tração). Seja 1σ > 2σ 
 
Figura 1.9 
 
- E é claro que: 
 
←−=
2
)( 21 σστmáx raio do circulo 
- Para uma seção qualquer que não seja os planos principais (no plano principal 0=τ ) 
 
 13
 
Figura 1.10 
 
Observe bem! 
;)
2
( 222 máxxy
yx ττσσ =+− 
22)
2
( xy
yx
máx τσστ +−= (1.4) 
 
- Veja que nesse caso, basta substituirmos a tensão máxima de cisalhamento ( máxτ ) pela 
tensão de cisalhamento admissível. 
 
22)
2
(
..
5,0
xy
yxe
ADM SF
τσσστ +−== (1.5) 
 
- Outro método utilizado confirmado por experiências, é o método da energia de 
distorção (Mises – Hencky). 
 
21
2
2
2
1
2 σσσσσ −+=ADM 
 
Ou: 
 
2222 3 xyyyxxADM τσσσσσ ++−= (1.6) 
 
 
Aplicação 1: 
- A tensão num ponto de um suporte apresenta os seguintes valores: 
2
2
2
/5,8
;/2
;/9
mmKgf
mmKgf
mmKgf
xy
y
x
=
=
=
τ
σ
σ
 
 14
- Sabendo-se que a tensão de escoamento do material ,determine o 
F.S utilizando: 
2/28 mmKgfe =σ
a) Teoria da máxima tensão de cisalhamento 
b) Teoria da energia de distorção 
Obs: Utilizando uma casa decimal 
 
a) Vamos definir as tensões máximas 1σ e 2σ , ou utilizando o circulo de Mohr ou 
utilizando as equações. 
- Utilizando as equações: 
 
2
/2,9
;5,8)
2
29(
;)
2
(
212
22
22
σστ
τ
τσστ
−==
+−=
+−=
mmKgfmáx
máx
xy
yx
máx
 
 
Temos também que: 
22
21 σσσσ +=+ yx 
 
7,3
7,14
11
4,18
2
1
21
21
−=
=
=+
=−
σ
σ
σσ
σσ
 
 
- Utilizando circulo de Mohr 
 
Figura 1.11 
 15
 
52,1))7,3(14
;145,0
);
2
(
;)
2
( 22
=⇒−−
===
−=
+−=
FS
FS
FS
FSFS
e
ADMmáx
yx
máx
xy
yx
máx
σττ
σστ
τσστ
 
 
 
b) U
 
28
FS
FS
ADσ
 
Resu
a) 
 
 
b) 
 
 
 
Apli
- Re
 
xy
y
x
=
=
=
τ
σ
σ
 
Resu
a) 
 
 
b) 
 
 
Apli
- Um
acar
- De
7,14(1=
5,1
2
=
tilizando o método da distorção: 
7,1
66,15,832299
;3
222
222
=
=⇒++−=
++−==
FSxx
FSxyyyxx
e
M τσσσσσ
 
ais 
F.S.= 1,5
ltados fin
F.S. = 1,7
cação 2: 
pita a aplicação 1 com as seguintes condições: 
2
2
2
/4
;/3
;/14
mmKgf
mmKgf
mmKgf
 
ltados finais: 
F.S.= 1,8
F.S. = 1,9
cação 3: 
a barra redonda com diâmetro de 50 mm é carregada com um torque estático que 
reta uma tensão de cisalhamento = 7Kgf/mm2. 
termine o FS se o aço utilizado tem uma tensão de escoamento = 45Kgf/mm2. 
 16
- Utilize o método de Mises-Hencky (distorção). 
 
7,3
3773000045
;3
2
222
=
=⇒++−=
++−==
FS
FSxx
FS
FS xyyyxx
e
ADM τσσσσσσ
 
 
Aplicação 4: 
- Um tubo Ø externo 100 x Ø interno 70 é carregado com um torque estático de 1200 
m.Kgf. Determine o F.S. se o aço utilizado tem uma tensão de escoamento = 
50Kgf/mm2. 
a) Utilize o método de Mises-Hencky. 
b) Utilize o método de máxima tensão de cisalhamento. 
 
Resultados finais: 
a) 
F.S= 3,6 
 
F.S= 3,1b) 
 
 
Aplicação 5: 
- O carregamento de um elemento de um aço ABNT 1045 é conforme indicado na 
figura. As cargas são estáticas e não apresentam nenhuma concentração de tensão. 
 
Figura 1.12 
 
- Utilizando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, determine: 
a) O fator de segurança para o plano CDEF 
b) O fator de segurança para o plano ACGE 
c) O fator de segurança para o plano AFGD 
 
Resposta 
a) Plano CDEF: 
 17
 
Figura 1.13 
Observe que a tensão de 3,5 Kgf/mm2 não provoca nenhuma tensão nesse 
plano. 
 
8,35,5425,0
;
;/42 2)1045(
=→==
=
=
FS
FS
x
mmKgf
máx
admmáx
e
τ
ττ
σ
 
 
 
b) Plano ACGE 
 
Figura 1.14 
 
- Nesse caso as duas tensões atuam na face citada 
- Utilizando Círculo de Mohr 
 
 18
6,575,3425,0
;
75,3
2
5,311
=→==
=
=−=
FS
FS
x
máx
admmáx
máx
τ
ττ
τ
 
 
c) Plano AFGD 
 Resposta: FS = 12