Trabalho Vibrações - Vibração Lateral em Viga Bi apoiada

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CET260: Vibrações Mecânicas.	
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
UFRB
Engenharia Mecânica
Disciplina: CET260 – Vibrações Mecânicas
Turma: T01
Trabalho N° 1.
Análise de Viga Bi-pinada.
Professor:
Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo.
Alunos: 
– Fernanda Gonçalves Santos
- Lucas da Rocha de Melo
- Jonathan
- Neílton
Cruz das Almas 
Março de 2018.
Atividade avaliativa correspondente à disciplina CET260 – Vibrações Mecânicas, ministrada pelo professor Dr .Abdon Tapia Tadeo na Universidade Federal do Recôncavo da Bahia no semestre de 2017.2.
Cruz das Almas – Bahia
Março de 2018
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO
As vigas são elementos muito importantes nos projetos estruturais, sendo alguns deles formados totalmente por elementos do tipo viga. Uma viga pode ser definida como um elemento cujo comprimento é muito maior que a seção transversal, e são projetadas para suportar tração, flexão, compressão, cisalhamento e torção. (BONATTO et. al, 2007). 
As vigas podem ser classificadas de acordo com o modo pelo qual estão ligadas, podendo ser: em balanço, bi-engastada, simplesmente apoiada (pinada) ou bi-apoiada (pinada-pinada). (BEER, 1994). 
Além de serem submetidos aos carregamentos estáticos os elementos do tipo viga ainda são sujeitos aos esforços dinâmicos e excitações originadas por fatores externos, tais como: o vento e desbalanceamento de eixos rotativos. Esses fatores provocam vibrações nos elementos do sistema, essas vibrações devem ser consideradas nos projetos de vigas, pois encurtam a vida do elemento ao longo do tempo. (BONATTO et. al, 2007).
Vigas bi-apoiadas estão entre as estruturas mais simples e comuns nas aplicações de problemas na engenharia, já que seu comportamento dinâmico não-linear é adequadamente conhecido, apresentando soluções lineares e não-lineares mais simples que outros tipos de vigas. 
2. OBJETIVOS
2.1 Objetivo Geral
	O presente trabalho possui como objetivo o projeto, a análise de um sistema de vibração lateral em uma viga bi-pinada para elucidação de conteúdo dos alunos da disciplina CET260 – Vibrações Mecânicas, ministrada pelo professor Dr. Abdon Tapia Tadeo.
2.2 Objetivos Específicos
Analisar o DCL da viga e demonstrar suas equações a partir da equação de movimento;
Encontrar as frequências naturais do sistema e seus respectivos modos de vibração;
Exibir animação no tempo que evidencie a mudança dos modos de vibrar de forma mais clara.
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1. Vigas
Elementos comuns em estruturas de construções, torres e pontes, as vigas apresentam comumente como característica seu formato reto e longo. Em boa parte dos casos, as vigas apresentam as forças atuantes de forma perpendicular ao seu eixo, onde somente flexão e cisalhamento são provocadas, porém, para o caso onde estas forças não estejam em um ângulo reto com o seu eixo, podem ser produzidas também esforços axiais. 
Em relação aos carregamentos das vigas, eles podem variar sendo forças externas concentradas, cargas externas distribuídas, momentos ou uma junção das três variações citadas (CRAIG, 2003). Em relação aos suportes das vigas, também chamados de vínculos, pode-se destacar três dos seus principais tipos, apoio simples, articulação e engaste. No caso do apoio simples, o deslocamento perpendicular ao plano de apoio é impedido, onde uma força é introduzida nesta direção, neste tipo de vínculo a rotação é permitida. Diferente do apoio simples, na articulação o deslocamento é impedido em qualquer direção do plano, então uma força é iniciada em uma direção qualquer, neste tipo também é permitida a rotação. No caso do vínculo do tipo engaste, diferente dos dois casos citados, o deslocamento e a rotação serão nulos (CAMPANARI, 1985).
As vigas também podem ser nomeadas de acordo com as variações da localização e disposição dos seus apoios. Um dos tipos mais populares são as vigas bi-apoiadas, onde existe apenas uma barra com a presença de duas extremidades vinculadas. Outro tipo comum são as bi-engastadas, como o nome já sugere, neste sistema existe uma barra retilínea com engastes em suas extremidades. Também existe um tipo que une um apoio e um engaste, cada um em uma extremidade da barra retilínea, que recebe o nome de viga engastada e apoiada. Outro sistema conhecido é um modelo onde uma das extremidades da barra é livre e a outra apresenta um engaste, neste caso recebe o nome de viga em balanço ou engastada (BEER et al., 2003) (CAMPANARI, 1985).
A respeito da análise de vigas, Silva (2014) ressalta a importância do estudo da sua teoria, destacando que para análise se considera os modelos de viga de Euler-Bernoulli e de Timoshenko. A diferença mais acentuada entre os dois modelos citados está na deformabilidade por corte, onde existe um desprezo para esta na teoria de vigas de Euler-Bernoulli e uma consideração para esta no modelo de viga de Timoshenko (SILVA, 2014). 
Sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli, pode-se considerar que esta é um caso limite da teoria de Timoshenko à medida que a relação vão/altura apresenta tendência para valores relativamente elevados. De forma resumida, na teórica clássica de Euler-Bernoulli se considera vigas uniformes com comprimento longitudinal como dimensão predominante, enquanto que o modelo de Timoshenko é mais adequado para “vigas curtas” (SILVA, 2014).
3.2. Modelo de viga de Euler-Bernoulli
Segundo Han, Benaroya e Wei (1999) o modelo de viga de Euler-Bernoulli é basicamente uma forma simplificada da teoria linear da elasticidade, onde através desta é possível se obter meios para se calcular as características de deflexão de uma viga sob carregamento. 
Baseado na teórica de Euler-Bernoulli, o modelo de viga Euler-Bernoulli é um dos mais simples para vigas retas e prismáticas, entre as principais premissas nas quais a teoria da viga de Euller Bernoulli se baseia, Albuquerque e Kramar (2015) destacam:
Se considera o eixo longitudinal como reto, e a seção da viga com um plano longitudinal de simetria, onde estará contida a resultante dos carregamentos transversais;
A seção transversal como constante ou com variações suaves;
Faces incialmente planas e perpendiculares ao eixo transversal permanecendo planas e perpendiculares no estado deformado; 
A energia interna do elemento constituída apenas por energia devida à flexão, onde ignorou-se energias de cisalhamento e forças axiais; 
Deslocamentos transversais, rotações e deformações com pequenas medidas; 
O comportamento apresentando-se como elástico linear e homogêneo.
4. ANÁLISES E DISCUSSÕES
Considerou-se, o formato da viga como na figura 01, onde mostra as vistas frontal, superior e lateral. Ao lado das vistas, está o desenho em perspectiva da viga pinada-pinada.
Figura 01: Vistas da viga pinada-pinada.
DADOS:
 (comprimento do lado da área de seção transversal quadrada da viga)	
Analisando uma viga bi pinada, como na figura 1, onde se percebe o diagrama de corpo livre de uma viga onde é o momento fletor, é a força de cisalhamento e é a força externa por unidade de comprimento da viga. 
Figura 1: Diagrama de Corpo Livre para um elemento dx da viga bi-pinada. (RAO, 2009).
A força de inércia (que é igual a massa x área) que age sobre o elemento da viga é:
	(1)
	A partir da segunda Lei de Newton a equação de movimento da força na direção z é dada por:
 	(2)
Onde é a área da seção transversal da viga e é a densidade da massa.
Considerando o somatório dos momentos, a equação de movimento do momento em relação ao eixo y que passa pelo ponto O da figura tem como resultado:
	(3)
	Para o caso onde a viga é simplesmente apoiada, uma das condições é dinâmica, , que diz que o momento na extremidade é nulo.
Onde:
 		(4)	e	 	(5)
Então, substituindo (4) e (5) em (2):
E não levando em consideração os termos que envolvem potências ao quadrado de , dessa maneira simplificando
a equação 2, temos a equação 6.
	(6)
E substituindo a (4) e (5) em (3), simplificando a equação, temos a equação 7.
		(7)
Substituindo a Equação (7) na Equação (6), temos a equação (8).
		(8)
Pela teoria de Euler-Bernoulli ou teoria de viga delgada ou final a relação entre o momento fletor e a deflexão pode ser escrita pela Equação (9):
		(9)
Onde é o momento de inércia de área da seção transversal da viga em relação ao eixo e é o módulo de Young. 
Substituindo a Equação 9 na Equação 8, tem-se a equação de movimento para a vibração lateral forçada de uma viga não uniforme:
	(10)
Para uma viga uniforme, considerando que as propriedades geométricas e do material são constantes na direção x, então a Equação 10 reduz-se a Equação (11):
	(11)
Para vibração livre, assim, a equação de movimento torna-se:
	(12)
Onde:
	(13)
Isto corresponde exatamente a encontrar solução por separação de variáveis. Isto é, vamos procurar soluções de (10) na forma
	(14)
Substituindo a equação (14) na equação (12) e rearranjando os termos, tem-se:
		(15)
Onde é uma constante maior que zero. A Equação 15 pode ser escrita de duas maneiras:
		(16)
		(17)
Onde, 
		(18)
Resolvendo a equação 17, tem-se:
	(19)
Na qual A e B são valores que são determinados pelas condições iniciais, que correspondem à configuração inicial e a velocidade inicial da viga, que são dadas pelas equações 20, 21 e 22.
		(20)
		(21)
	 		(22)
Substituindo o valor da Eq. 18 na Eq. 16, então temos a Equação 23.
		(23)
Para solucionar a Equação 16, considera-se:
	(24)
Com,
 		(25)		 	(26)
C e s são constantes. Assim, a equação auxiliar se reduz a:
	(27)
Cujas raízes são:
						(28)
Com 
Consequentemente, a solução da Equação 13 é dada por:
	(29)
Onde são constantes. Outra maneira de expressar essa equação é:
	(30)
As funções devem satisfazer as condições de contorno. Impondo essas condições, obtemos uma equação que determina uma infinidade de soluções :
Em que para cada se determinam constantes (não todas nulas) ; ; e que define uma função não nula (autofunção).
 	(31)
Satisfazendo as condições de ortogonalidade
		(32)
Também, a cada , corresponde um autovalor que por sua vez, de (19) fornece uma correspondente função do tempo
		(33)
Temos finalmente, para cada , uma solução da equação (10) na forma de produto
		(34)
Onde as constantes e são determinadas a partir das condições iniciais, por integração termo a termo, usando o fato de que as autofunções são ortogonais.
Os valores dos C’s, em (30), são determinados a partir das condições de contorno.
As frequências naturais da viga são calculadas pela equação (35):
		(35)
 é denominada frequência natural de vibração e é a função característica da viga. Para qualquer que seja a viga, haverá infinitos valores de modos normais para uma mesma frequência natural associada. As constantes C’s nas equações acima, e o valor de β na Equação são determinados a partir das condições de contorno da viga.
Condições de Contorno
No estabelecimento de um problema clássico típico para uma viga de comprimento l modelada pela equação (10), são necessárias quatro condições de contorno, duas em cada extremidade, e , pois ocorrem derivadas de até quarta ordem no tempo. Considerando uma viga bi pinada, as condições de contorno a serem aplicadas são:
		 (36)
		 (37)
		 (38)
		 (39)
Lembrando que,
	(40)
	(41)
As condições de contorno são características do problema. Elas são geralmente dadas em termos da deflexão da inclinação em relação a configuração de referência da viga (no repouso), do momento 
	Aplicando a condição (36) na equação (30):
Assim,
		 (42)
Aplicando a condição (37) na equação (30), temos:
A 1ª derivada da equação (30) é dada por:
E a 2ª derivada é dada por:
Então,
	 (43)
Para satisfazer a equação (42) e a equação (43), assume-se que:
	 (44)
Assim a equação (30) se reduz a:
		(45)
Aplicando a condição de contorno (38) na equação (45), temos:
	 (46)
Aplicando a condição de contorno (39) na equação (45), temos a Eq. 47:
		 (47)
Simplificando, temos a Eq. 48.
		(48)
Montando a equação (48) na forma matricial:
	
Montando o sistema com as equações (47) e (48):
		 (49)
Para a solução do sistema (49), fazemos :
		 (50)
Para que as condições (46) e (48) sejam satisfeitas na Equação (45), então:
	 (51)
	Como para qualquer valor de 
Então a Equação Transcendental de vibração para uma viga bi pinada é dada por:
		 (52)
Como , portanto, as únicas raízes que satisfazem essa equação são:
 ,		
Modos de vibração e Equação de frequência natural
Para , a função de (31) é denominada o n-ésimo modo de vibração e o correspondente valor 
		(53)
Obtido de (35) é a n-ésima frequência natural ou pulsação própria do problema. 
O problema da viga pinada-pinada nesse caso consiste de resolver a equação aplicando as condições de contorno fornecidas pelas equações (36), (37), (38) e (39), satisfazendo as condições iniciais.
Isto é, se ou seja, se , e daí, o n-ésimo modo de vibração da viga pinada-pinada é 
		(54)
Ou seja,
		(55)
E as frequências naturais:
		(56)
5. APLICAÇÃO PRÁTICA
	Abaixo estão às cinco primeiras frequências naturais de uma viga uniforme de aço SAE 1045, com os dados citados no começo do relatório, que está sujeita à vibração. 
Considerando a equação transcendental (52) e levando em conta as raízes que satisfazem a equação, então para o exemplo dado, temos que:
 ; para 
Assim, as frequências naturais como mostrada na equação (56), é:
Para determinar os modos de vibrar, foi utilizado o software MatLab, onde compilou-se um programa com a forma.
O n-ésimo modo de vibração 
Seja,
		(57)
Da equação (33): 
Queremos determinar os valores das constantes e .
Utilizando a primeira condição inicial: 
		(58)
Aplicamos em (57), :
		(59)
Derivando (59), temos que:
		(60)
	Aplicando a condição inicial (58):
		(61)
Como e , então:
		(62)
Como , e . 
Então .
Agora queremos encontrar o valor de . Dessa forma, atribuímos uma função inicial para uma viga, sendo esta, a mostrada na figura abaixo.
Figura 2: Condição inicial para 
Seja a equação de 2º grau da forma: 
		(63)
	De acordo com a figura, temos três pontos: (0,0) , (1,0) e (0,5;0,5). Então, para encontrar a função que represente esse gráfico, temos que: 
	Substituindo o ponto (0,0) na equação (63), então:
Logo, indica que, .
Substituindo o ponto (1,0) na equação (63), temos que:
 		(64)
E, utilizando o ponto (0,5;0,5) em (63), temos:
		 (65)
De (64), substituindo na equação (65), assim:
Então de (64):
Sendo assim temos que a equação de 2º grau que representa o modelo da viga é:
		(66)
Partindo da equação 8.33 do livro Rao, para determinar o valor de :
		(67)
Substituindo a Equação (66) temos:
(68)
Utilizando o método de integração por partes para integrar a primeira parte da equação (68), fazendo:
 , , e , 
Temos:
	(69)
Aplicando novamente a integração por partes em (69):
 	Onde:
, , e :
Assim,
 (70)
Integrando a segunda parte da equação (68), utilizando o método da integração por partes, fazendo:
, , e 
Então,
(71)
Substituindo as equações (71) e (70) em (68):
Reescrevendo:
 (72)
Utilizando o limite de integração: :
	Dessa maneira, a equação (73) representa o caso geral, assim, fazendo para n=1,2,3,4 e 5. E considerando que o comprimento da viga seja .
Para o primeiro modo, fazemos e 
Para o segundo modo, fazemos e 
Para o terceiro modo, fazemos e 
Para o quarto modo, fazemos e 
Para o quinto modo, fazemos e 
Então, para um caso geral, temos que:
Assim, para , a solução não é excitada, pois para qualquer valor de par, o .
5.1. Equações e gráficos dos modos de vibrar: Primeiro ao quinto modo
Abaixo estão as funções que serão representadas no MATLAB, do primeiro modo até o quinto modo de vibrar.
Figura 4: Primeiro modo% Grafico W(x)
x = 0 : 0.01 : 1;
y=(16./(pi.^3)).*(sin(pi.*x));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.8 0.8]);
Figura 5: Segundo modo
% Grafico W(x)
x = 0 : 0.01 : 1;
y=0.*(sin(pi.*x));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.8 0.8]);
Figura 6: Terceiro modo
% Grafico W(x)
x = 0 : 0.01 : 1;
y=(16./(27.*(pi.^3))).*(sin(3.*pi.*x));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.8 0.8]);
Figura 7: Quarto modo
% Grafico W(x)
x = 0 : 0.01 : 1;
y=0.*(sin(pi.*x));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.8 0.8]);
Figura 8: Quinto modo
% Grafico W(x)
x = 0 : 0.01 : 1;
y=(16./(125.*(pi.^3))).*(sin(5.*pi.*x));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.01 0.01]);
5.2. Equações de vibração livre relacionadas ao tempo: Primeiro ao quinto modo
De acordo com a equação abaixo, podemos representar os modos de vibrar em relação ao tempo.
Então, para o primeiro modo temos a seguinte equação representando.
Figura 9: Gráfico da equação de vibração livre para o primeiro modo de vibrar
% Animaçao 2D w(x,t)
x = 0 : 0.1 : 1;
figure (1)
for t = 1 : 0.001 : 20
y=(16./(pi.^3)).*(sin(pi.*x)).*(cos(1471.741.*t));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.8 0.8]);
M(t) = getframe;
end
movie(M,10,20);
Para o segundo modo temos a seguinte equação de vibração livre .
Figura 10: Gráfico da equação de vibração livre para o segundo modo de vibrar
% Animaçao 2D w(x,t)
x = 0 : 0.1 : 1;
figure (1)
for t = 1 : 0.001 : 20
y=0.*(sin(2.*pi.*x)).*(cos(5886.964.*t));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.8 0.8]);
M(t) = getframe;
end
movie(M,10,20);
Para o terceiro modo, temos a seguinte equação vibração livre.
Figura 11: Gráfico da equação de vibração livre para o terceiro modo de vibrar
% Animaçao 2D w(x,t)
x = 0 : 0.001 : 1;
figure (1)
for t = 1 : 1 : 20
y=(16./(27.*(pi.^3))).*(sin(3.*pi.*x)).*(cos(13245.669.*t));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.03 0.03]);
M(t) = getframe;
end
movie(M,10,20);
Para o quarto modo a seguinte equação representando.
Figura 12: Gráfico da equação de vibração livre para o terceiro modo de vibrar
% Animaçao 2D w(x,t)
x = 0 : 0.001 : 1;
figure (1)
for t = 1 : 1 : 20
y=0.*(pi.^3).*(sin(4.*pi.*x)).*(cos(23547.856 .*t));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.03 0.03]);
M(t) = getframe;
end
movie(M,10,20);
Para o quinto modo a seguinte equação representando.
Figura 13: Gráfico da equação de vibração livre para o quinto modo de vibrar
% Animaçao 2D w(x,t)
x = 0 : 0.001 : 1;
figure (1)
for t = 1 : 1 : 20
y=(16./(125.*(pi.^3))).*(sin(5.*pi.*x)).*(cos(36793.525.*t));
plot(x,y,'lineWidth',1.8);
axis ([0 1 -0.03 0.03]);
M(t) = getframe;
end
movie(M,10,20);
6. CONCLUSÕES
Neste trabalho foi apresentado um estudo da dinâmica de uma viga pinada-pinada, sendo considerada apenas vibração livre. Onde foram determinadas a equação modal e a equação para o cálculo das frequências naturais.
Para encontrar os modos de vibração e suas respectivas frequências naturais utilizou-se o método de Euler-Bernoulli. Os resultados para os modos de vibração da estrutura ao longo de seu comprimento foram estudados pela função correspondente à variação espacial deste método.
As frequências de vibração foram determinadas a partir da função que descreve o movimento oscilatório da viga bi-apoiada com a função do tempo.
Foi utilizado o software Matlab com o objetivo de produzir os gráficos dos modos de vibrar e também a animação com a equação relacionada ao tempo. Sendo possível observar que para a condição de deslocamento inicial estabelecida na parte prática os modos de vibrar permaneceram estáticos quando n é par.
 Dessa maneira, houve um melhor entendimento com relação à equação de movimento, frequências naturais, as frequências de vibração e o modo de vibrar de uma vida pinada-pinada.
	
7. BIBLIOGRAFIA
IME, USP. Elementos de um Sistema Mecânico. <https://www.ime.usp.br/~oda/contents/01Matem%E1tica/01Sistemas%20Din%E2micos/04_Elem_Sist_Mec.pdf> Acesso em: 29 de Julho de 2017.
KOMATSU. Amortecimento Viscoso. <http://appl.komatsu.com.br/userfiles/image/Pc/10.JPG> Acesso em 29 de Julho de 2017.
RAO, Singiresu. Vibrações Mecânicas – 4ª edição. Editora Pearson Prentice Hall. São Paulo, 2009.
Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CETEC - UFRB