Sistema de Equações Lineares 2

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Sistema de Equações Lineares
Uma equação linear é da forma:     a1 x1 + a2 x2 + a2 x2 + . . . + an xn = b, com os coeficientes  b   e   ai   ( i = 1, 2, 3, . . . , n ) reais. 
Exemplo: 
3x + 4y + 5z = 6 
3, 4 e 5 são os coeficientes das incógnitas e 6 o coeficiente independente.
Um conjunto com mais de uma equação linear chama-se sistema de equação linear e de maneira geral se apresenta na forma: 
 
Com "m" equações e "n" incógnitas.
Um sistema pode ser obtido pelo resultado da equação abaixo:
 .  =  
Resultando em: 
 
Matriz de um sistema linear
A matriz formada, em ordem, pelos coeficientes das incógnitas do sistema é dita matriz incompleta. 
 
A matriz formada, em ordem, pelos coeficientes das incognitas e pelos coeficientes independentes é dita matriz completa.
Classificação de um sistema
Quando ao número de possíveis soluções, um sistema pode ser:
1) Impossível ou incompatível quando não tem solução. 
Neste caso, o conjunto solução é S = 
2) Possível e determinado ou compatível e determinado quando admite apenas uma solução. 
Neste caso, o conjunto solução é S = { ( v1, v2, v3, . . . , vn ) }
3) Possível e indeterminado compatível e indeterminado quando admite infinitas soluções. 
Neste caso, o conjunto solução é descrito como combinações lineares de uma ou mais soluções.
Para ser solução de um sistema tem que ser solução de todas as equações desse sistema.
Sistema normal
Um sistema é dito normal quando o número de equações "m" e número de incógnitas "n" são iguais e o determinante de sua matriz incompleta é diferente de zero, isto é,  se   m = n   e  se   det M  0. 
Exemplo: 
O sistema S =  
tem 3 equações e 3 incógnitas e o determinante da matriz: 
M =                       
det M = 12 – 12 – 2 + 6 – 4 + 12 = 30 – 18 = 12  0. 
Portanto, o sistema S acima é normal.
Sistema homogêneo
Um sistema em que todos os coeficientes independentes são nulos é dito sistema homogêneo. 
 
Observação 
Um sistema homogêneo é sempre possível. 
Se o determinante da matriz incompleta for: 
1) diferente de zero é determinado. 
2) igual a zero é indeterminado. 
Em qualquer caso, a n-upla  (0, 0, 0, . . . , 0)  é sempre uma solução. ( solução trivial )
Métodos de resolução de sistemas lineares
Regra de Cramer
A regra de Cramer consiste em obter as soluções através do quociente xi = det Mi / det M   ( i = 1, 2, 3, . . . , n ) 
Onde, M  é a matriz incompleta e,  Mi  é a matriz em que se substitui na matriz incompleta a coluna "i" pelos coeficientes independentes, mantendo as demais colunas na ordem inicial. 
Pela regra de Cramer se: 
det M  0; o sistema é possível e determinado. 
det M = 0; o sistema pode ser: 
impossível   ( caso algum det Mi seja diferente de zero ),   ou     
possível e indeterminado   ( se todos os det Mi forem nulos ). 
Exemplo: 
No sistema S =  
M =  ;     Mx =  ;   My =  ;   Mz =  
det M = 12 
 
det Mx = 18 + 4 – 2 – 2 – 6 + 12 = 34 – 10 = 24 
 
det My = 6 + 9 + 1 + 3 + 2 – 9 = 21 – 9 = 12 
 
det Mz = 4 + 12 – 6 + 18 + 4 + 4 = 42 – 6 = 36 
x = det Mx / det M = 24 / 12 = 2 
y = det My / det M = 12 / 12 = 1 
z = det Mz / det M = 36 / 12 = 3 
S = { (2; 1; 3) }
Escalonamento
O método de escalonamento consiste em diminuir o número de incógnitas nas demais equações após a primeira. 
Assim, para escalonar deve-se seguir alguns critérios: 
1) A primeira equação deve ter todas as incógnitas do sistema. 
2) A segunda equação deve ter pelo menos uma incógnita a menos que a primeira equação. 
3) A terceira equação deve ter, além das que já foram eliminadas, pelo menos uma incógnita a menos que a segunda, fazendo assim, até a última equação. 
Sistemas que não estão escalonados: 
 
Embora, se tenha uma incógnita a menos em todas as equações seguintes, a incógnita "a" que havia saído da segunda equação voltou na terceira. 
 
A primeira equação não tem todas as incógnitas, pois falta a incógnita "d". 
 
A segunda e terceira equação tem o mesmo número de incógnitas. 
Exemplos de sistemas escalonados: 
S1 =                    S2 = 
Processo para escalonar
1) A escolha da primeira equação deve além de ter todas as incógnitas ter como coeficiente da primeira incógnita um número que facilite as operações de eliminação da primeira incógnita de todas as demais equações. 
2) Após as eliminações da primeira incógnita, deve-se escolher a segunda equação seguindo a ideia anterior e, assim por diante. 
Operações que podem ser realizadas: 
1) Permutar duas ou mais equações. 
2) Somar duas equações. 
3) Multiplicar uma equação por um número real não nulo.
Resolução: 
Resolver o sistema abaixo por escalonamento: 
S =  
Todas as equações tem 3 incógnitas, mas a segunda tem – 1 como coeficiente da primeira incógnita, logo é a melhor escolha para ser a primeira equação. 
    ~       
Para eliminar a incógnita "x" da segunda equação multiplica-se a primeira por 2 e soma-se com a segunda: 
 
Para eliminar a incógnita "x" da terceira equação multiplica-se a primeira por 3 e soma-se com a terceira: 
 
Assim, tem-se: 
    ~    
O sistema já está escalonado. 
Para se encontrar a solução basta resolver as equações da última para a primeira, logo: 
– 4 y = – 4,   e, portanto,   y = 1 
Substituindo o valor de "y" na segunda tem-se: 
– 8 . 1 + 3z = 1     ou    3z = 1 + 8     ou     3z = 9   e, portanto,   z = 3 
Substituindo os valores de "y" e "z" na primeira tem-se: 
– x – 2 . 1 + 3 = – 1     ou     – x = – 1 + 2 – 3     ou     – x = – 2   e, portanto,   x = 2 
Logo, S = { (2; 1; 3) }
O símbolo    ~   usado entre dois sistemas é para dizer que eles são equivalentes ( têm as mesmas soluções ).
Pelo processo de escalonamento: 
se durante o escalonamento ocorrer uma expressão da forma 0 = a, tem-se: 
se a  0; o sistema é impossível ou incompatível. 
se a = 0; o sistema pode ser: 
possível e determinado  ( caso o número de equações seja igual ao número de incógnitas ),   ou     
possível e indeterminado   ( caso o número de equações seja menor que o número de incógnitas ). 
Num sistema indeterminado, a diferença entre o número de incógnitas "n" e o número de equações "m" é chamada grau de indeterminação.
Exercícios Resolvidos
R01 — Discutir o sistema S em função do número real "k". 
S = 
Escalonando o sistema tem-se: 
                                                ( – 3 E1 + E2 ) 
    ~       
Assim,  se 3 + k  0,   e daí,   k  – 3, o sistema é compatível ( possível ) e determinado. 
E,  se 3 + k = 0,   e daí,   k = – 3, o sistema é imcompatível ( impossível ).
R02 — Determine os valores do real "k", para que o sistema seja normal: 
S = 
Mesmo que k seja 0, o número de equações será 3 e como o número de incógnitas é 3, para o sistema ser normal basta que o determinante dos coeficientes das incógnitas seja diferente de 0. 
  0 
 
10 + 3k2 + 8k – 4k2 – 12 – 5k  0 
– k2 + 3k – 2  0        ou         k2 – 3k + 2  0 
As raízes são k' = 2 e k'' = – 2. 
Logo, se k  2       ou       k  – 2, o sistema será normal.
R03 — Dado o sistema S =  .   Verifique se (– 1, – 1, 1) é solução.
Para que a terna (– 1, – 1, 1) seja solução do sistema é necessário que seja solução de todas as equações, assim: 
Substituindo na primeira equação tem-se: 
2 . (– 1) – 1 = – 3     ou     – 3 = – 3 ( é válida ) 
Substituindo na segunda equação tem-se: 
– 1 – 1 = – 2     ou     – 2 = – 2 ( é válida ) 
Substituindo na terceira equação tem-se: 
– (– 1) + 3 . 1 = 1     ou     4 = 1 ( não é válida ) 
Embora seja solução das duas primeiras, não é solução do sistema, pois não é solução da terceira.
R04 — Calcular "m" e "n" de modo que sejam equivalentes os sistemas: 
S1 =       e        S2 = 
Somando-se as duas equações do sistema 1, tem-se: 
3x = 6 e, portanto x = 2, substituindo o valor de x na segunda equação tem-se: 
2 . 2 + y = 5 e, portanto y = 1. 
Logo, a solução do sistema 1 é S= { ( 2, 1) } que também é solução do sistema 2, pois são equivalentes. 
Assim, na primeira equação tem-se: 
m . 2 – n . 1 = – 1    ou    2m – n = – 1    ou    2m + 1 = n 
E, na segunda equação tem-se: 
n . 2 + m . 1 = 2    ou    2n + m = 2 
Substituindo n = 2m + 1 na segunda equação tem-se: 
2 . (2m + 1) + m = 2    ou    4m + 2 + m = 2    ou    5m = 0    ou    m = 0. 
Daí, n = 2 . 0 + 1 = 1. 
Para os sistemas serem equivalentes é necessário que m = 0 e n = 1.
R05 — Resolva a equação: 
 .  = 
                                                                ( – E1 + E2 ) 
    ~         ~  
     ( E2  E3 )                                  ( – E2 + E3 ) 
    ~         
O sistema está escalonado. Então: 
Da equação:   4z = – 6, tem-se, z = – 3/2 
Da equação:   x – z = 1, tem-se:   x – (– 3/2) = 1      ou      x = 1 – 3/2, e daí, x = – 1/2 
Da equação:   2x + y – 2z = 3, tem-se:   2 . (– 1/2) + y – 2 . (– 3/2) = 3      ou      – 1 + y + 3 = 3, e daí, y = 1. 
S = { (– 1/2, 1, – 3/2) }.
R06 — Classifique o sistema:   
Como o sistema é homogêneo, sempre tem solução e, nesse caso é suficiente resolver o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas. 
E, como o det M = 12 que é diferente de zero, o sistema é compatível e determinado. 
R07 — Calcule k para que o sistema:      seja homogêneo.
Para ser homogêneo, basta que   k2 – 9 = 0      e      k + 3 = 0. 
Na primeira tem-se:   k' = 3   e   k'' = – 3. 
Na segunda tem-se:   k = – 3. 
Como k = 3 serve na primeira, mas não na segunda, então, para o sistema ser homogêneo k = – 3.
R08 — Determine a solução do sistema: 
S = 
                                                                  ( E1  E2 ) 
    ~         ~  
     ( 2. E1 + E2 )                                  ( 3 . E1 + E3 ) 
    ~      ~  
     ( – 3 . E2 + E3 ) 
    ~      ~  
O sistema está escalonado, mas o número de equações "m" é menor que o número de incógnitas "n". 
Assim, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. 
Uma solução seria resolver em função de uma das incógnitas, por exemplo, a incógnita "z": 
Em  3y + 8z = 11, tem-se:  y =  
Em  – x + 2y + 3z = 4,  tem-se:  
– x + 2 .  + 3z = 4  ( multiplicando por 3) 
– 3x + 22 – 16z + 9z = 12    ou   22 – 16z + 9z – 12 = 3x 
10 – 7z = 3x    ou    x = . 
S = { ( , , z) ; z   }
R09 — Escalone e resolva o sistema S = 
                                                              ( E3 + E2 ) 
    ~         ~     
     ( E1  E2 )                                ( – 2 . E1 + E2 ) 
    ~         ~     
     ( E2  E3 )                                  ( 3 . E2 + E3 ) 
    ~      
O sistema está escalonado. 
Em   5z = 2, tem-se,   z = 2/5 
Em   – y + 3z = 1, tem-se,   3z – 1 = y 
y = 6/5 – 1 = 1/5 
Em   x – y + 2z = – 1, tem-se,   x – 1/5 + 4/5 = – 1 
x = – 8/5 
S = { (– 8/5, 1/5, 2/5) }
R10 — Resolva o sistema: 
S = 
                                                              ( E3 + E1 ) 
    ~         ~     
     ( – E1 + E2 )                                  ( E2  E3 ) 
    ~      
O sistema está escalonado. 
Em   – 2y = – 8, tem-se,   y = 4 
Em   y – z = 3, tem-se,   4 – z = 3 
z = 1 
Em   x + 2y – z = 13, tem-se,   x + 2 . 4 – 1 = 13 
x + 8 – 1 = 13 
x = 6 
S = { (6, 4, 1) }
R11 — Dê o conjunto solução do sistema: 
S = 
                                                              ( – 2 . E1 + E2 ) 
    ~         ~     
     ( – 3 . E1 + E3 )                                  ( – E2 + E3 ) 
    ~      
O sistema está escalonado, porém a expressão 0 = – 2 é inválida por ser falsa. 
Logo, não há solução e, portanto, o conjunto solução é vazio. 
S = 
Exercícios Propostos
P01 — Determine o valor de k para que o sistema S seja normal. 
S = 
P02 — Resolva a equação abaixo: 
 .  = 
P03 — (UFPR) O sistema de equações    é: 
a) Impossível, se P  – 1 e Q  8. 
b) Indeterminado, se P  – 1 e Q  8. 
c) Indeterminado, se P  – 1 e Q = 8. 
d) Impossível, se P = – 1 e Q  8. 
e) Impossível, se P  – 1 e Q = 8.
P04 — Para que valores de "k" a equação abaixo tem solução única: 
 .  = 
P05 — Determine a solução do sistema: S = 
P06 — Determine o valor de "k" para que o sistema S, seja compatível indeterminado: 
S = 
P07 — Determine "k" para que o sistema seja compatível determinado: 
S = 
P08 — Classifique o sistema em função de "k": 
S = 
P09 — O sistem S =  
a) é impossível 
b) é possível e determinado 
c) é possível e indeterminado 
d) admite apenas a solução (1, 2, 3) 
e) admite a solução (2, 0, 0)
P10 — Qual o valor de "k" para que S =    seja impossível?
P11 — Qual o valor de "k" para que o sistema S admita solução única? 
S = 
P12 — Qual o valor de "k" para que S =    seja possível e indeterminado?
P13 — Discuta o sistema   
P14 — Escalone e resolva o sistema S = 
P15 — Resolva o sistema S =