AP1 MetDet1 2018 1 Gabarito

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AP1 - Me´todos Determin´ısticos I - 2018-1
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com os enunciados das Questo˜es e, inicial-
mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificac¸a˜o
em uma etiqueta.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova
e se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula.
Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicado
para este fim.
4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho e qualquer outro aparelho que per-
mita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade
detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es
devidas.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-
las de acordo com as questo˜es!
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o.
Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 18/03/2018
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 4 a seguir.)
Em uma cidade, o nu´mero de pessoas que na˜o compram nas Lojas Pedro e´ o dobro do nu´mero de
pessoas que compram. Das pessoas que compram nas Lojas Pedro, metade compra tambe´m nas
Lojas Mateus. Sabe-se ainda que as duas lojas possuem o mesmo nu´mero de clientes.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Represente, por meio de um diagrama, a situac¸a˜o descrita, representando por
P o conjunto de quem compra nas Lojas Pedro e por M o conjunto de quem compra nas Lojas
Mateus. Represente por x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro e, a partir da´ı,
complete todas as partes do diagrama com a frac¸a˜o de x correspondente.
Soluc¸a˜o: Comec¸aremos a preencher o diagrama abaixo:
Chamando de x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro, como metade destas pessoas
tambe´m compram nas Lojas Mateus, a intersec¸a˜o entre P e M sera´ x2 . Com isso, a quantidade de
pessoas que compram exclusivamente nas Lojas Pedro e´ x− x2 = x2 , conforme representado abaixo.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
O nu´mero de pessoas que compram nas Lojas Mateus e´ igual a` quantidade que compra nas Lojas
Pedro, logo, igual a x. Como x2 ja´ esta˜o na intersec¸a˜o, temos
x
2 pessoas comprando exclusivamente
em M .
Se chamarmos de y o nu´mero de pessoas que na˜o compra em qualquer uma das lojas, o nu´mero de
pessoas que na˜o compram nas Lojas Pedro sera´ dado por u + x2 . O enunciado diz que este nu´mero
e´ o dobro dos que compram nas Lojas Pedro, isto e´,
u+ x2 = 2x.
Com isso, temos
u = 2x− x2 =
4x− x
2 =
3x
2 .
Assim, temos o diagrama abaixo:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 2 (1.0 pt) Que frac¸a˜o da populac¸a˜o da cidade na˜o compra nem nas Lojas Pedro e nem
nas Lojas Mateus?
Soluc¸a˜o: A populac¸a˜o total da cidade e´ dada pela soma de cada quantidade do diagrama da questa˜o
anterior. Temos, no total,
x
2 +
x
2 +
x
2 +
3x
2 =
6x
2 = 3x.
Desses, 3x2 na˜o compra em nenhuma das lojas, ou seja, a metade da populac¸a˜o total 3x.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Que frac¸a˜o da populac¸a˜o da cidade compra nas duas lojas?
Soluc¸a˜o: Dos 3x habitantes, apenas x2 compram nas duas lojas, logo
x
2
3x =
x
2 ·
1
3x =
1
6 .
Assim, 16 da populac¸a˜o compra nas duas lojas.
Questa˜o 4 (1.0 pt) Que frac¸a˜o da populac¸a˜o da cidade compra apenas nas Lojas Pedro? E apenas
nas Lojas Mateus?
Soluc¸a˜o: Apenas x2 pessoas compra apenas nas Lojas Pedro, e, como ja´ vimos na questa˜o anterior,
isto corresponde a 16 do total.
Da mesma forma 16 da populac¸a˜o compra apenas nas Lojas Mateus.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 a 8 e a seguir.)
Um comerciante adquire, do fabricante, um produto ao prec¸o de R$120,00. Este comerciante sabe
que, ao vender o produto para o consumidor, ha´ a incideˆncia de um imposto total de 40%, calculado
sobre o prec¸o de venda, isto e´, aquele que o consumidor paga pelo produto. Apenas o restante, apo´s
descontar o imposto, fica para o comerciante.
Nas questo˜es de 5 a 7, despreze qualquer outra despesa que na˜o seja o prec¸o de aquisic¸a˜o
do produto pelo comerciante no fabricante e o recolhimento de impostos. Observe que, na
questa˜o 8, aparecera´ uma nova despesa que devera´ ser levada em conta.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Questa˜o 5 (1.0 pt) Qual o prec¸o de venda m´ınimo Vm pelo o produto deve ser vendido para que
o comerciante na˜o tenha preju´ızo com a venda deste produto? (apresente os ca´lculos, na˜o apenas o
valor final de Vm)
Soluc¸a˜o: Em uma venda pelo prec¸o Vm, apo´s o desconto dos impostos, para o vendedor sobrara˜o
Vm − 40% · Vm = Vm − 40100Vm =
100Vm − 40Vm
100 =
60Vm
100 .
Para que a venda na˜o resulte preju´ızo, e´ necessa´rio que
60Vm
100 ≥ 120,
logo
Vm ≥ 120 · 10060 = 200.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o do lucro L obtido com a venda do produto. Utilize na ex-
pressa˜o apenas o prec¸o de venda V e as despesas anteriormente mencionadas.
Soluc¸a˜o: Com a venda por um prec¸o V , descontando os impostos de 40%V = 40V100 e o custo do
produto, termos um lucro de
L = V − 40V100 − 120 =
60V
100 − 120.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Se o comerciante desejar obter um lucro de 30% sobre o valor de aquisic¸a˜o do
produto, qual devera´ ser o prec¸o de venda V ?
Soluc¸a˜o: O prec¸o de aquisic¸a˜o do produto e´ de 120 reais, logo, 30% deste valor e´ 30% · 120 =
30
100 · 120 =
3600
100 = 36 reais.
Para que o lucro L seja maior que 36 reais, precisamos de um prec¸o de venda V tal que
60V
100 − 120 = 36,
logo
60V
100 = 156.
Com isso,
V = 156 · 10060 = 260.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Ale´m do valor recolhido na forma de impostos e o custo de aquisic¸a˜o, o comer-
ciante ainda estima que a venda deste produto demanda uma despesa fixa de R$8.000,00 (log´ıstica,
vendedor, espac¸o na loja, etc.), independentemente da quantidade de produtos vendidos. Na me´dia,
sa˜o vendidos 200 produtos como este por meˆs. Por quanto cada unidade do produto deve ser vendida
para que o vendedor apure um lucro m´ınimo de R$4.000,00.
Soluc¸a˜o: Na questa˜o 6, vimos que, considerandoapenas o custo do fornecedor e os impostos, em
cada produto vendido a um prec¸o V , ha´ o lucro de
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
L = 60V100 − 120.
A venda de 2000 produtos resulta enta˜o em um lucro de 200 ·
(
60V
100 − 120
)
= 120V − 24000.
Descontando agora o custo fixo de 12000, o vendedor tem um lucro total de
Lt = 120V − 24000− 8000 = 120V − 32000.
Para que o lucro m´ınimo seja de 8000, teremos
120V − 32000 > 4000,
logo
120V > 36000,
portanto
V > 36000120 = 300.
Assim, o produto deve ser vendido por, no m´ınimo, R$300,00.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 e 2 a seguir.)
Um empresa aceita pagamentos em cheque, boletos banca´rios de diversos bancos e carta˜o de cre´dito.
Avaliando os pagamento feitos pelos clientes e recebidos pela empresa, o diretor percebeu, hoje, que:
(i) Se um pagamento foi feito com cheque, enta˜o o pagamento foi recebido.
(ii) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto era do Banco iTatu, enta˜o o pagamento na˜o
foi recebido.
(iii) Se um pagamento foi com carta˜o de cre´dito e o pagamento foi feito semana passada, enta˜o ele
na˜o foi recebido.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Diga se e´ poss´ıvel concluir ou se na˜o e´ poss´ıvel concluir cada uma das
afirmac¸o˜es abaixo, baseando-se apenas nas afirmac¸o˜es acima. Na˜o e´ necessa´rio justificar, mas
cada resposta incorreta invalidara´ uma correta (portanto, na˜o chute!).
(a) Todo pagamento feito com cheque foi recebido.
(b) Se um pagamento foi recebido e foi feito com boleto, enta˜o este pagamento na˜o e´ do Banco
iTatu.
(c) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto na˜o era do Banco iTatu, enta˜o ele foi recebido.
(d) Se um pagamento foi recebido, enta˜o ele foi feito com cheque.
(e) Se um pagamento foi feito com carta˜o e este pagamento foi recebido, enta˜o ele na˜o foi feito
semana passada.
(f) Se um pagamento foi feito com carta˜o e este pagamento na˜o foi recebido, enta˜o ele foi feito
semana passada.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
Soluc¸a˜o:
(a) E´ poss´ıvel concluir que todo pagamento feito com cheque foi recebido, pois um pagamento
feito com cheque e na˜o recebido seria um contraexemplo para (i).
(b) Se o pagamento foi recebido, e´ poss´ıvel concluir que o pagamento na˜o e´ do Banco iTatu. Se
o pagamento com boleto fosse do Banco iTatu, enta˜o, por (ii), ele na˜o teria sido recebido.
(c) Na˜o se pode concluir. A afirmac¸a˜o diz apenas que se o boleto e´ do iTatu, enta˜o ele na˜o
foi recebido. A afirmac¸a˜o na˜o diz nada sobre os boletos dos outros bancos. Por exemplo,
um pagamento feito com um boleto do Banco Santo Andre´, e na˜o recebido, na˜o seria um
contraexemplo para a afirmac¸a˜o, pois na˜o satisfaria a hipo´tese.
(d) Na˜o se pode concluir, ele pode ter sido feito com boleto de algum banco que na˜o o iTatu, ou
pode ter sido feito com carta˜o de cre´dito antes da semana passada.
(e) E´ poss´ıvel concluir! Se um pagamento foi feito com carta˜o e este pagamento foi recebido, ele
na˜o pode ter sido feito na semana passada pois neste caso, por (ii), ele na˜o teria sido recebido.
(f) Na˜o e´ poss´ıvel concluir. A afirmac¸a˜o (iii) diz apenas que todo pagamento feito com carta˜o
na semana passada na˜o foi recebido, mas nada impede que um pagamento feito antes disso, por
exemplo, tambe´m na˜o tenha sido recebido.
Questa˜o 10 (1.0 pt) Se foram recebidos 25 pagamentos, quantos pagamentos, no ma´ximo, foram
feitos com cheque? Se foram feitos 10 pagamentos com boleto, mas apenas 5 foram recebidos,
pode-se dizer que 5 boletos eram do Banco iTatu? Em caso negativo, o que se pode garantir?
Justifique como chegou a` conclusa˜o.
Soluc¸a˜o: Foram feitos, no ma´ximo, 25 pagamentos com cheques. Por (i), todo pagamento com
cheque foi recebido, logo, se tivessem sido feitos mais de 25 pagamentos com cheque, haveria mais
de 25 pagamentos recebidos.
Na˜o se pode garantir que 5 boletos eram do iTatu, apenas que 5 pagamentos feitos com boleto na˜o
foram recebidos. A afirmac¸a˜o (ii) garante que pagamentos de boletos do iTatu na˜o foram recebido,
mas na˜o que apenas pagamentos deste banco na˜o foram recebidos, como vimos no item (c) da
questa˜o anterior. O que pode ser garantido e´ que, no ma´ximo, 5 boletos eram do iTatu pois, se
houvesse 6 ou mais boletos deste banco, haveria 6 ou mais pagamentos por boleto na˜o recebidos.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.