MATRIZES SISTEMAS

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A´lgebra Linear
Professoras: Dra. Daiane Silva de Freitas
Dra. Fab´ıola Aiub Sperotto
Colaboradores: Felipe de Freitas Vilar Simone da Rosa
2012
2
Suma´rio
1 Matrizes e Sistemas Lineares 5
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Matrizes Invers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Lista de exerc´ıcios 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8 Lista de exerc´ıcios 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
4 SUMA´RIO
Cap´ıtulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Matrizes
Motivac¸a˜o: A A´lgebra Linear tem inu´meras aplicac¸o˜es, como:
ˆ (Modelos Econoˆmicos de Leontief) – Num sistema econoˆmico simplificado, uma
mina de carva˜o, uma ferrovia e uma usina de energia necessitam cada uma de
uma parte da produc¸a˜o das outras para sua manutenc¸a˜o e para suprir outros
consumidores de seu produto. Os modelos de produc¸a˜o de Leontief podem ser
usados para determinar o n´ıvel de produc¸a˜o necessa´rio a`s treˆs indu´strias para
manter o sistema econoˆmico.
ˆ (Computac¸a˜o Gra´fica) – Antes que um novo modelo de carro seja constru´ıdo,
os engenheiros projetam e constroem um carro matema´tico – um modelo de
arame que existe apenas na memo´ria do computador e em terminais gra´ficos.
O carro em modelo de arame e´ armazenado na forma de muitas matrizes para
cada componente principal.
ˆ (Criptografia) - Hoje em dia, o principal impulso para o desenvolvimento de
co´digos seguros e´ dado pelas comunicac¸o˜es confidenciais entre computadores e
em telecomunicac¸o˜es.
ˆ (Construc¸a˜o de Curvas e Superf´ıcies) – O uso dos determinantes nos permite
resolver o problema analiticamente, assim e´ poss´ıvel construir retas, c´ırculos e
sec¸o˜es coˆnicas em geral por pontos especificados no plano.
Definic¸a˜o 1 Se A e´ uma matriz de ordem m por n, isto e´ m linhas e n colunas,
enta˜o cada elemento da matriz chamamos de aij, isto e´, i e´ a i-e´sima linha e j e´ a
j-e´sima coluna. Enta˜o, por exemplo:
5
6 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

A matriz A possui 3 linhas e 3 colunas, portanto , a ordem da matriz e´ 3 × 3
(leˆ-se 3 por 3). O par de nu´meros m e n e´ chamado tamanho ou tipo da matriz.
E a matriz pode ser representada por A = [aij]m×n , que consiste de mn elementos
dispostos em m linhas e n colunas.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
an1 an2 . . . amn

1.2 Tipos de Matrizes
Matriz Nula: E´ aquela em que todos seus elementos sa˜o nulos.
Isto e´, aij = 0, ∀ i, ∀ j.
Matriz Linha ou Vetor Linha: Esta matriz possui apenas uma linha, m = 1.
Portanto, A = [aij]1×n
Matriz Coluna: Matriz com apenas uma coluna, A = [aij]m×1.
Matriz Quadrada: E´ uma matriz que possui o mesmo nu´mero de linhas e colunas.
Uma matriz quadrada n× n e´ dita de ordem n.
Observac¸a˜o:
Conceito de Diagonal Principal e Diagonal Secunda´ria: SeA = [aij] e´ uma matriz
quadrada de ordem n, os elementos aij, em que i = j, constituem os elementos da
diagonal principal. Assim, a diagonal principal e´ formada pelos elementos a11, a22, a33, · · · ann.
Os elementos aij, em que i+ j = n+ 1, constituem a diagonal secunda´ria. Enta˜o,
a1n, a2n−1, a3n−2, · · · , an1, sa˜o os elementos da diagonal secunda´ria.
1.2. TIPOS DE MATRIZES 7
Exemplo 1 A =
2 10 54 1 −8
7 5 3
 e´ uma matriz quadrada de ordem 3, os elementos da
diagonal principal sa˜o 2, 1, 3 e os elementos da diagonal secunda´ria sa˜o 5, 1, 7.
Matriz diagonal: Chamamos de matriz diagonal D = [dij] uma matriz quadrada
onde todos os elementos fora da diagonal principal sa˜o nulos. Portanto, dij = 0, para
i 6= j.
Exemplo 2
[
15 0
0 −3
]
Matriz Escalar: Quando a matriz diagonal tem os elementos aij iguais para i = j,
chamamos de matriz escalar.
Exemplo 3 A =
4 0 00 4 0
0 0 4

Matriz Identidade: E´ uma matriz escalar onde os elementos da diagonal principal
sa˜o iguais a 1. (aij = 1, para i = j). Notac¸a˜o: In, ou simplesmente I.
Exemplo 4 I2 =
[
1 0
0 1
]
, I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1

Matriz Triangular Superior: Uma matrizA =
[
aij
]
quadrada e´ triangular superior
se todos os elementos abaixo da diagonal principal sa˜o nulos, isto e´, aij = 0, para
i > j.
Exemplo 5
3 4 10 2 −4
0 0 3

Matriz Triangular Inferior: Uma matriz A =
[
aij
]
quadrada e´ triangular inferior
se todos os elementos acima da diagonal principal sa˜o nulos, isto e´, aij = 0, para i < j.
Exemplo 6
1 0 06 5 0
4 7 8

8 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Matriz Transposta: A matriz transposta da matriz A, denotada por AT ou At, e´
a matriz obtida escrevendo as colunas de A, na ordem, como linhas.
Exemplo 7 Dada a matriz A =
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
]
, a matriz transposta e´ At =
a11 a21a12 a22
a13 a23

Propriedades da Mattriz Transposta:
i. (A+B)t = At +Bt
ii. (λA)t = λAt
iii. (At)t = A
iv. (AB)t = BtAt
Observac¸a˜o: o nu´mero de linhas de A e´ igual ao nu´mero de colunas de At. O
nu´mero de colunas de A e´ igual ao nu´mero de linhas de At.
Matriz Sime´trica: Uma matriz A e´ sime´trica se At = A, isto e´, se seus elementos
sime´tricos -elementos espelhados pela diagonal principal- sa˜o iguais, isto e´, aij = aji.
Exemplo 8 A =
[
2 5
5 1
]
, At =
[
2 5
5 1
]
a matriz A e´ sime´trica.
B =
 3 −1 5−1 2 −4
5 4 0
, Bt =
 3 −1 5−1 2 4
5 −4 0
 a matriz B na˜o e´ sime´trica.
Matriz Anti-Sime´trica: Uma matriz A e´ anti-sime´trica se A = −At, ou de modo
equivalente, se cada aij = −aij. Os elementos da diagonal principal sa˜o nulos.
Exemplo 9 M =
 0 5 −2−5 0 3
2 −3 0
, M t =
 0 −5 25 0 −3
−2 3 0
 a matriz M e´ anti-sime´trica.
1.3 Operac¸o˜es com Matrizes
Igualdade entre Matrizes: Dadas duas matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]m×n, sa˜o
iguais se, e somente, se aij = bij.
1.3. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES 9
Adic¸a˜o de Matrizes: A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = [aij]m×n,
B = [bij]m×n, denotada por A+B, e´ obtida somando-se os elementos correspondentes
de A e B, tal que: C = A+B, tal que a matriz C = [cij]m×n, onde cij = aij +bij,∀i,j.
Exemplo 10 Se A =
[
3 4
7 8
]
e B =
[
2 6
8 9
]
, enta˜o A+B =
[
5 10
15 17
]
Propriedades da Adic¸a˜o: Dadas as matrizes A, B e C de tamanhos m×n, temos:
i. A+ (B + C) = (A+B) + C (Associativa)
ii. A+ 0 = 0 + A = A (Elemento neutro)
iii. −A+ A = A− A = 0 (Elemento oposto)
iv. A+B = B + A (Comutativa)
Observac¸a˜o: Tambe´m definimos: A− B = A+ (−B) como sendo a diferenc¸a de
A e B.
Multiplicac¸a˜o de uma Matriz por um Escalar: O produto de uma matriz A por
um escalar λ e´ uma matriz B = [bij] tal que: bij = λaij, onde a matriz B e´ um
mu´ltiplo escalar da matriz A.
Exemplo 11 (−2) ·
[
2 −1 5
4 0 −3
]
=
[−4 2 −10
−8 0 6
]
Propriedades: Dados λ e β escalares e as matrizes A e B, temos:
i. (λβ)A = λ(βA)
ii. (λ+ β)A = λA+ βA
iii. λ(A+B) = λA+ λB
iv. 1 · A = A
v. 0 · A = 0, isto e´, se multiplicarmos o nu´mero zero por qualquer matriz A,
teremos a matriz nula.
Multiplicac¸a˜ode Matrizes: Vamos considerar a seguinte situac¸a˜o, que ira´ motivar
a definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes:
10 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Exemplo 12 Dois amigos va˜o acampar e querem levar algumas frutas, cada um
levara´ quantidades diferentes. Nick pretende levar 4 peˆras, 8 bergamotas e 5 laranjas.
Anne quer levar 6 peˆras, 3 bergamotas e 10 laranjas. Existem duas bancas de frutas
nas proximidades a banca 1 onde cada peˆra custa R$ 0,10; cada bergamota R$0,40 e
cada laranja R$0,10. E a banca 2 cada peˆra custa R$0,15; cada bergamota R$0,30 e
cada laranja R$0,20.
Problema: Quanto gastara˜o para fazer suas compras em cada uma das bancas?
Observe que se Anne comprar na banca 1
6(0,10) + 3(0,40) + 10(0,10) = R$2,80
Portanto, gastara´ R$2,80. Mas este mesmo ca´lculo pode ser feito com a multiplicac¸a˜o
de matrizes:
M1 =
[
4 8 5
6 3 10
]
,M2 =
 0,10 0,150,40 0,30
0,10 0,20

Assim, o produto M1M2[
4 8 5
6 3 10
]
·
 0,10 0,150,40 0,30
0,10 0,20
 = [ 4,10 4,00
2,80 3,80
]
O produto da matriz M1M2 nos mostra quanto cada uma ira´ gastar em cada
banca. E´ bem prova´vel que Anne fac¸a suas compras na banca 1 e Nick na banca 2.
1.3. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES 11
De modo geral, dada duas matrizes A = [aij]m×k e B = [bij]k×n o produto da
matriz A pela matriz B, definida por C = A ·B, como uma matriz de ordem m× n
, isto e´, C = [cij]m×n tal que cij =
∑k
p=1 aipbpj = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aikbkj.
Cuid
ado!
So´ faz sentido definirmos o produto AB de duas
matrizes quando o n° de colunas de A for igual ao n° de
linhas de B. Portanto,
Am×k.Bk×n = Cm×n
Exemplo 13
A =
[
1 −2 3
0 2 4
]
, B =
 2 0 1−1 3 2
1 −4 1

A ·B =
[
1 −2 3
0 2 4
]
·
 2 0 1−1 3 2
1 −4 1
 = [ 7 −18 0
2 −10 8
]
Propriedades da Multiplicac¸a˜o: Dadas quaisquer matrizes A, B,C convenientes,
sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
i. (A ·B) · C = A · (B · C) (Assiociativa)
ii. (A±B)C = A · C ±B · C (Distributiva a` direita)
iii. A(B ± C) = A ·B ± A · C (Distributiva a` esquerda)
iv. Im · A = A · In = A (Elemento neutro)
v. (λ · A) ·B = A · (λ ·B) = λ · (A ·B) (λ escalar)
Observac¸o˜es:
1. A multiplicac¸a˜o matricial na˜o e´, em geral, comutativa.
2. Se o produto de duas matrizes for a matriz zero, na˜o podemos concluir que
A = 0 ou B = 0.
3. Indicamos a poteˆncia de uma matriz A do seguinte modo: A2 = A · A; A3 =
A2 · A; A(n+1) = An · A. (Matriz Quadrada)
12 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
4. A matriz identidade e´ o elemento neutro multiplicativo nas operac¸o˜es de multiplicac¸o˜es
de matrizes.
1.3.1 Agora tente resolver!
1. Escrever a matriz A = [aij] nos seguintes casos:
(a) A matriz A e´ do tipo 2× 3, com aij = 4, para i 6= j e aij = 2 para i = j.
(b) A matriz A e´ de ordem 3 com aij = i
3 − j.
2. Determinar os valores de x e y para que as seguintes matrizes sejam iguais:
A =
[
4x 2
8 y − 4
]
, B =
[
8 2
8 3
]
3. Dadas as matrizes:
A =
[
2 4√
8 7
]
, B =
[
5 −3
10 4
]
, C =
 10 2 15 3 2
4 1 4
 , D = [ 5 1 −2
0 3 7
]
Calcule se poss´ıvel:
(a) AB −BA
(b) 4A+D
(c) Determinar o triplo de C
4. Dada as matrizes: A =
 4 0 31/2 2 1
−4 8 −9
, B =
1 −3 22 5 −3
4 2 0
, C =
1 50 2
4 3
.
Calcule:
(a) (AB)t
(b) (4C)t
5. Sendo A =
4 10 10 5 −9
3 7 2
, B =
0 −5 27 1 7
3 2 1
, C =
 2 1 4−3 2 −2
9 1 −2

Classificar
(a) A+ At
1.4. MATRIZES INVERSI´VEIS 13
(b) AAt
(c) B −Bt
(d) C − Ct
1.4 Matrizes Invers´ıveis
Uma matriz A quadrada de ordem n e´ invers´ıvel se existe uma matriz B tal que
A · B = B · A = I, onde I e´ a matriz identidade. A matriz B e´ a inversa de A e
representamos por A−1 : A · A−1 = A−1 · A = I. Portanto, B = A−1.
Exemplo 14 Dada a matriz A =
[
2 5
1 3
]
, sua inversa e´ A−1 =
[
3 −5
−1 2
]
pois:
A·A−1 =
[
2 5
1 3
] [
3 −5
−1 2
]
=
[
1 0
0 1
]
A−1A =
[
3 −5
−1 2
] [
2 5
1 3
]
=
[
1 0
0 1
]
Propriedades: Se as A e B sa˜o matrizes quadradas de ordem n e invers´ıveis:
i. (A−1)−1 = A
ii. (A ·B)−1 = B−1 · A−1
iii. (At)−1 = (A−1)t
Exerc´ıcio:
Determine a inversa da matriz
[
5 3
4 2
]
14 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
1.5 Determinantes
Os determinantes sa˜o usados em diversas situac¸o˜es da matema´tica. No ca´lculo
do produto vetorial, no ca´lculo de a´reas, volumes, equac¸o˜es da reta, planos, etc.
Portanto, e´ de extrema importaˆncia o seu estudo.
Se A e´ uma matriz quadrada de ordem n, o determinante da matriz A, indicamos
por det(A), e´ o nu´mero real que obtemos operando com os elementos de A da seguinte
forma:
ˆ Para o caso em que a matriz tem apenas um elemento, n = 1: A = [a11], o
determinante e´ o pro´prio escalar: det(A) = a11.
ˆ No caso em que n = 2: A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, o determinante e´:
det(A) = a11a22 − a12a21.
ˆ No caso em que n = 3: A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
, o determinante e´ calculado
usando a Regra de Sarrus:a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 a11 a12a21 a22
a31 a32
= a11a22a33+a12a23a31+a13a22a31−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33
Exemplo 15 A =
 2 1 0−1 3 −2
2 5 1

A =
 2 1 0−1 3 −2
2 5 1
 2 1−1 3
2 5
⇒ detA = 23
ˆ Desenvolvimento por Laplace:
Podemos reescrever o determinante acima como:
a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + aa13(a21a32 − a22a31)
1.5. DETERMINANTES 15
ou
a11
[
a22 a23
a32 a33
]
− a12
[
a21 a23
a31 a33
]
+ a13
[
a21 a22
a31 a32
]
observe que o determinante da matriz 3× 3 poder ser expresso em func¸a˜o dos
determinantes das submatrizes 2× 2, isto e´,
det(A) = a11det|A11| − a12det|A12|+ a13det|A13|
onde Aij e´ a submatriz obtida ao retirarmos a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna
foram retiradas. Ale´m disso, se chamarmos
∆ij = (−1)i+j|Aij|
obtemos a expressa˜o
detA = a11∆11 + a12∆12 + a13∆13
Esta propriedade continua sendo va´lida para matrizes de ordem n, e assim
podemos expressar:
det(An×n) = ai1∆11 + . . .+ ain∆in =
n∑
j=1
aij(−1)i+jdetAij =
n∑
j=1
aij∆ij (1.1)
Ao nu´mero ∆ij (que e´ o determinante afetado pelo sinal (−1)i+j da submatriz
Aij), chamamos de cofator ou complemento alge´brico do elemento aij.
O desenvolvimento por Laplace e´ u´til para matrizes de ordem superior a 3. Vamos
repetir o mesmo racioc´ınio para calcular um determinante de 4ª ordem, da seguinte
matriz: 
0 2 1 0
0 1 9 8
5 6 7 2
3 1 4 6

Aplicando o me´doto de Laplace, temos:
0·(−1)1+1·
1 9 86 7 2
1 4 6
+2·(−1)1+2·
0 9 85 7 2
3 4 6
+1·(−1)1+3·
0 1 85 6 2
3 1 6
+0·(−1)1+4·
0 1 95 6 7
3 1 4
 =
16 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
= 0 + 2 · (−1) · [−224] + 1 · (1) · [128] + 0 =
= 448− 128 = 320
Propriedades dos Determinantes:
i. O determinante de uma matriz quadrada A na˜o se altera se trocam as linhas
pelas colunas, (det(At) = det(A)).
ii. Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constitu´ıda de elementos todos
nulos, o determinante e´ nulo.
iii. Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante e´ nulo.
iv. Se a matrizA e´ triangular (superior ou inferior), enta˜o det(A) = a11a22a33 . . . ann,
isto e´, e´ igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
v. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica
multiplicado por esta constante.
vi. det(A ·B) = det(A) · det(B)
Observac¸a˜o: Uma matriz e´ invers´ıvel se, e somente se, det(A) 6= 0.
1.5.1 Agora tente resolver!
1. Resolver a equac¸a˜o desenvolvendo o determinante do primeiro membro da
esquerda pela terceira coluna e observando a alternaˆncia de sinais:4 6 x5 2 −x
7 4 2x
 = −128
2. Resolvera equac¸a˜o: x+ 3 x+ 1 x+ 44 5 3
9 10 7
 = −7
3. Calcule o determinante da matriz:
2 0 23 0 4
4 −7 5
, pela definic¸a˜o e pelo desenvolvimento
de Laplace.
1.6. LISTA DE EXERCI´CIOS 1 17
4. Calcule o determinante da matriz A:

3 1 4 0
1 2 0 1
0 1 −1 2
2 0 2 0

5. Determine a inversa da matriz A =
[−4 −5
5 6
]
e use esse resultado para resolver
o sistema
{ −4x− 5y = 5
5x+ 6y = 2
6. Supondo as matrizes A, B, C, D quadradas, de mesma ordem e invers´ıveis,
resolver as equac¸o˜es matriciais nas quais X e´ a varia´vel:
(a) ABX = C
(b) ADX = ABC
7. Determine a inversa da matriz A, considerando que AA−1 = I3:
A =
 1 2 24 3 2
3 6 1
A−1 =
 a b cd e f
g h i

8. Dada a matrizM =
2 4 32 1 4
4 3 6
, determine os determinantes: det(M12), det(M31).
1.6 Lista de exerc´ıcios 1
1. Sendo as matrizes A = [aij] e B = [bij], quadradas de ordem 3 com aij = i
2− j
e bij = −i2 + 2j, qual e´ o valor de A−B?
2. Calcule x, y, z e t para que 2 ·
[
x
4
y
−z t
]
=
[
x 9
6 3
]
+
[
2 x+ y
z 2 + z
]
.
3. Considere as seguintes matrizes:
A =
[
2 6
8 4
]
, B =
[−2 3
4 −1
]
e C =
[
9 −8
8 5
]
Calcule: 2A + B; 3A − 2C, C2 e verifiquem se A e B comutam (isto e´,
AB = BA?).
18 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
4. Seja M = [aij](n×n) uma matriz quadrada de ordem n, onde aij = i+ j. Nessas
condic¸o˜es, a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz e´:
(a) n
2
+ 2n2
(b) n2 + n
(c)
√
n+ n2
(d) 2n+ 2n2
(e) 2n2
5. Calcule AB onde, A =
[−4 −1 −4
0 −3 6
]
, B =
3 3 7 22 9 −4 4
5 3 3 0
.
6. Determine a transposta de cada matriz:
A =
[
2 6 −3
12 −6 7
]
e B =
1 2 32 3 7
1 6 4

7. Se uma matriz A e´ 2× 3 e o produto AB e´ uma matriz 2× 4 qual e´ o tipo da
matriz B?
8. Quantas linhas C precisa ter para que CB seja uma matriz 3× 2?
9. Como os vetores podem ser considerados matrizes n × 1, as propriedades das
transpostas se aplicam a vetores.
Assim, dados A =
[
1 6
3 −4
]
e ~x =
[
2
6
]
Calcule: (A~x)t e ~xtAt
10. Sejam A =
[
3 −2
5 3
]
, f(x) = x2 + 2x+ 6. Calcule:
(a) A2
(b) A3
(c) f(A)
11. Dada a matriz A abaixo, de ordem 2 e sendo I a matriz identidade de ordem
2, para cada n natural existem α, β tais que An = αA + βI. Assim, sendo
A =
[
2 1
0 6
]
:
1.6. LISTA DE EXERCI´CIOS 1 19
(a) Encontre α, β tais que A2 = αA+ βI.
(b) Multiplicando A−1 pela expressa˜o da letra (a) obte´m-se A = αI + βA−1.
Encontre a matriz A−1 usando as informac¸o˜es obtidas no item anterior.
12. Calcule x,y,z para que a matriz A seja sime´trica:
(a) A =
3 5 xy −8 4
6 z 2

(b) A =
−2 4 2xy z 3
x 8 1

13. Aplicac¸a˜o: Uma construtora tem contratos para construir 3 modelos de casas:
Tradicional, moderna e compacta. A quantidade de material empregado em
cada tipo de casa consta na tabela abaixo:
concreto ferro vidro papel de parede tijolo
Tradicional 10 14 12 6 17
Moderna 8 12 16 5 10
Compacta 7 4 10 3 12
(a) Se a empresa pretende construir 6, 5, 10 casas dos tipos tradicional,
moderna e compacta, respectivamente, qual a quantidade de cada material
sera˜o necessa´rios?
(b) Suponha que os prec¸os por unidade de concreto, ferro, vidro, papel de
parede e tijolo sejam, respectivamente 6, 9, 4, 1, 5. Qual o prec¸o unita´rio
de cada casa?
14. A tabela abaixo representa as quantidades de vitaminasA, E eK respectivamente
obtidas em cada unidade de alimentos X1 e X2:
A E K
Alimento X1 4 1 0
Alimento X2 1 4 2
Ingerindo 2 unidades do alimento X1 e 3 unidades do alimento X2 quanto
iremos consumir de cada tipo de vitamina? Interprete sua resposta.
20 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
15. Uma certa construtora fez um loteamento para construc¸a˜o de casas. A empresa
esta´ oferecendo casas de classe A e classe B. As casas de classe A necessitam de
10 portas, 12 janelas, 4 louc¸as para banheiro. As casas de classe B necessitam
de 7 portas, 5 janelas e 2 louc¸as para banheiro. Em uma primeira etapa a
construtora devera´ construir 50 casas de classe A e 70 classe B, Numa segunda
etapa 30 casas classe A e 40 classe B. Quanto de cada material sera´ necessa´rio
em cada etapa?
1.7. SISTEMAS LINEARES 21
1.7 Sistemas Lineares
Este e´ um ramo da A´lgebra Linear de grande importaˆncia.
Um problema fundamental que normalmente e´ encontrado na descric¸a˜o matema´tica
de fenoˆmenos f´ısicos e´ o da soluc¸a˜o simultaˆnea de um conjunto de equac¸o˜es. Tais
fenoˆmenos sa˜o descritos por um conjunto de m equac¸o˜es em que se deseja determinar
a soluc¸a˜o de n varia´veis de interesse, chamadas inco´gnitas.
A matema´tica antiga, desenvolvida no ocidente (principalmente na Europa) poucas
sa˜o as aparic¸o˜es de sistemas de equac¸o˜es lineares. Ja´ no Oriente o assunto mereceu
atenc¸a˜o maior.
Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas
lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados
de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o me´todo de resoluc¸a˜o por eliminac¸a˜o
que consiste em anular coeficientes por meio de operac¸o˜es elementares. Exemplos
desse procedimento encontram-se nos nove cap´ıtulos sobre a arte da matema´tica, um
texto datado do se´culo 111 a.C.
Mas apenas no Japa˜o do se´culo XVII, chegou-se a noc¸a˜o de determinantes atrave´s
do estudo de sistemas lineares. No ocidente o uso de determinantes, ligados a sistemas
lineares, surgiu anos depois, num trabalho de Leibniz (o mesmo que desenvolveu,
paralelamente a` Newton, o ca´lculo diferencial).
A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equac¸o˜es e n inco´gnitas,
por meio de determinantes, e´ na verdade uma descoberta do escoceˆs Colin Maclaurin
(1698-1746), publicada em 1748. Mas o nome do su´ıc¸o Gabriel Cramer (1704-1752)
na˜o aparece nessa publicac¸a˜o. Cramer tambe´m chegou a` regra (independentemente),
mas depois, na sua Introduc¸a˜o a` ana´lise das curvas planas.
Equac¸a˜o Linear: Uma equac¸a˜o linear e´ uma equac¸a˜o de 1° grau, de maneira geral
x1, x2, x3, . . . xn sa˜o as varia´veis e que pode ser escrita como
a1x1 + a2x2 + . . . anxn = b
onde a1, a2,. . ., an e b sa˜o nu´meros reais, e xi sa˜o as varia´veis (inco´gnitas).
Exemplo 16 4x1 − 5x2 + 2 = x1 e´ uma equac¸a˜o linear.
4x1 − 5x2 = x1x2 na˜o e´ uma equac¸a˜o linear.
22 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
A soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o linear e´ uma sequeˆncia de nu´meros reais que satisfazem
a equac¸a˜o, por exemplo, a equac¸a˜o: 4x1− 5x2 + 2 = x1 ⇒ 3x1− 5x2 = −2⇒ x1 = 1
e x2 = 1. Portanto, (1,1) satisfaz a equac¸a˜o.
Sistema de Equac¸o˜es Lineares: Um sistema de equac¸o˜es e´ uma lista de equac¸o˜es
com as mesmas inco´gnitas. Assim,
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...................................................
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
(1.2)
E´ um sistema de m equac¸o˜es lineares L1, L2,. . ., Lm nas n incognitas x1, x2, . . .,
xn, onde aij e bi sa˜o constantes. O sistema (1.2) e´ chamado de sistema homogeˆneo
se todos seus termos constantes sa˜o nulos, isto e´, se b1 = 0, b2 = 0, . . ., bm = 0. Caso
contra´rio, o sistema e´ na˜o-homogeˆneo.
Soluc¸a˜o de um Sistema Linear: Uma soluc¸a˜o do sistema (1.2) e´ uma lista de
valores para as inco´gnitas que e´ a soluc¸a˜o do sistema. O conjunto de todas as
soluc¸o˜es do sistema e´ chamado de conjunto soluc¸a˜o ou soluc¸a˜o geral do sistema.
Exemplo 17 Encontre uma soluc¸a˜o para o sistema:
{
2x+ 3y = 18
3x+ 4y = 25
Comec¸amos isolando a varia´vel x da primeira equac¸a˜o:
2x+ 3y = 18→ 2x = 18− 3y → x = 18− 3y
2
Agora substituimos x na segunda equac¸a˜o e achamos o valor de y:
3x + 4y = 25→ 3(18− 3y
2
) + 4y = 25→ 54
2
− 9y
2+ 4y = 25→ 27− y
2
= 25→
y
2
= 2→ y = 4
Agora substituimos o valor de y encontrado para achar o valor de x:
x =
18− 3y
2
→ x = 18− 3(4)
2
→ x = 18− 12
2
→ x = 6
2
= 3
Logo a soluc¸a˜o do sistema e´ y = 4 e x = 3.
1.7. SISTEMAS LINEARES 23
Um sistema de equac¸o˜es lineares e´ chamado compat´ıvel se admite soluc¸a˜o, isto e´,
quando tem ra´ızes. Enta˜o, de acordo com o nu´mero de soluc¸o˜es, um sistema linear
e´ classificado como:
ˆ Sistema Imposs´ıvel : Quando o sistema na˜o admite soluc¸a˜o (SI).
ˆ Sistema Poss´ıvel Determinado: Quando o sistema admite uma u´nica soluc¸a˜o
(SPD).
ˆ Sistema Poss´ıvel Indeterminado: Quando o sistema admite infinitas soluc¸o˜es
(SPI).
Exemplo 18
{
x− y = −2∗
−x+ y = 4∗
Por substituic¸a˜o:
Isolamos x na primeira equac¸a˜o:
x = −2 + y
Apo´s, substituimos na segunda equac¸a˜o:
−(−2 + y) + y = 4
2− y + y = 4
2 = 4
........................................−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
................................................
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................
....................
....................
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....................
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....................
.
..................................................................................................................................................................................................................................
Sistema Impossivel: Na˜o possui soluc¸a˜o.
24 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Exemplo 19
{
2x− 3y = −1∗
−x+ 3y = 1∗
x = −1 + 3y
substituindo:
2(−1 + 3y)− 3y = −1
−2 + 6y − 3y = −1
3y = 1
y =
1
3
Para x:
x = −1 + 3(1
3
)
x = 0
....................−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
....................
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................
............................
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........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Sistema Poss´ıvel Determinado: O sistema possui exatamente uma soluc¸a˜o.
1.7. SISTEMAS LINEARES 25
Exemplo 20
{
2x− 4y = −2∗
−2x+ 4y = 2∗
2x = −2 + 4y
x = −1 + 2y
substituindo:
−2(−1 + 2y) + 4y = 2
2− 4y + 4y = 2
2 = 2
....................−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
....................
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
......................................................................................................................................
.................................
..................................
..................................
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..................................
.......
.................................
..................................
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..................................
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..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
...............
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Sistema Poss´ıvel Indeterminado: O Sistema possui infinitas soluc¸o˜es.
Soluc¸o˜es de um Sistema de Equac¸o˜es Lineares: Vamos estudas todas as situac¸o˜es
que podem ocorrer na resoluc¸a˜o de um sistema linear.
1. Sistema Imposs´ıvel (SI): Suponha que a u´ltima equac¸a˜o do sistema escalonado
seja 0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = bm, com m 6= 0, e´ uma equac¸a˜o degenerada.
Exemplo 21
{
x+ 1
2
y = 0
0x+ 0y = −1
26 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
→ Equac¸a˜o linear imposs´ıvel ou incompat´ıvel: E´ aquela em que todos os
coeficientes valem zero e o termo independente e´ diferente de zero.
Na˜o existe nenhum valor de x e y capaz de satisfazer a segunda equac¸a˜o.
Portanto, (SI).
2. Quando o nu´mero de equac¸o˜es e´ igual ao nu´mero de inco´gnitas m = n, o
sistema e´ poss´ıvel determinado (SPD).
Exemplo 22
{
2x+ y = 5
x− 3y = 6
→
[
2 1 5
1 −3 6
]
→ obtemos
[
1 0 3
0 1 −1
]
∴
{
x = 3
y = −1
Este sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o, (SPD).
O conjunto soluc¸a˜o (x,y) = (3,− 1).
3. Quando o nu´mero de equac¸o˜es e´ menor que o nu´mero de varia´veis m < n o
sistema e´ poss´ıvel indeterminado (SPI).
Exemplo 23
{
2x+ y = 5
6x+ 3y = 15
→
[
2 1 5
1 3 15
]
→ obtemos
[
1 1
2
5
2
0 0 0
]
∴
{
x+ 1
2
y = 5
2
0x+ 0y = 0
Equac¸a˜o nula: E´ aquela em que todos os coeficientes e o termo independente
valem zero. Todo par ordenado e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Possui infinitas soluc¸o˜es
da forma: (5
2
− 1
2
y, y), y ∈ R. O conjunto soluc¸a˜o:
S = {(5/2− 1/2y,y) ∈ R2/y ∈ R}.
Observac¸a˜o: Suponha que um sistema S (comm equac¸o˜es e n varia´veis originalmente)
tenha sido escalonado e, retiradas as equac¸o˜es (linhas) do tipo 0 = 0, restam p
equac¸o˜es (p ≤ m) com n varia´veis. O valor n–p e´ chamado de grau de liberdade (ou
nu´mero de varia´veis livres) do sistema, isto significa dizer que a soluc¸a˜o do sistema
e´ apresentada com n–p varia´veis. No u´ltimo exemplo o nu´mero de varia´veis livres e´
um. A varia´vel livre e´ y.
1.7. SISTEMAS LINEARES 27
Resumo:
Na˜o tem soluc¸a˜o =⇒ Sistema imposs´ıvel (SI)
Tem soluc¸a˜o poss´ıvel =⇒ Soluc¸a˜o u´nica =⇒ Sistema poss´ıvel determinado (SPD)
⇓
Infinitas soluc¸o˜es =⇒ Sistema poss´ıvel Indeterminado (SPI)
Notac¸a˜o Matricial: Podemos escrever o sistema (1.2) da seguinte forma matricial:
Ax = b
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
 E´ a matriz dos coeficientes, de ordem m× n.
x =

x1
x2
...
xn
 E´ a matriz das varia´veis (inco´gnitas), de ordem n× 1.
b =

b1
b2
...
bn
 E´ a matriz dos termos independentes.
Matriz Ampliada: A matriz ampliada do sistema (1.2), e´ dada por:
A =

a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
 (1.3)
Exemplo 24 Escreva o seguinte sistema na forma matricial:
S =

2x2 − 4x3 = 4
2x1 − 4x2 + x3 = 2
4x1 − 3x2 + 5x3 = 2
A matriz ampliada do sistema S do exemplo anterior fica:
A =
 0 2 −4 42 −4 1 2
4 −3 5 2

28 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Portanto, quando nos referimos a linha (0,2, − 4,4), estamos nos referindo a
primeira equac¸a˜o do sistema S.
Operac¸o˜es Elementares: Seja S um sistema de equac¸o˜es lineares com m equac¸o˜es
e n inco´gnitas, cuja matriz ampliada e´ dada pela matriz (1.3). As seguintes operac¸o˜es
sa˜o chamadas de operac¸o˜es elementares sobre as linhas (equac¸o˜es) de uma matriz
(sistema):
ˆ Trocar de posic¸a˜o duas das equac¸o˜es. Indicamos que as equac¸o˜es Li e Lj
trocaram suas posic¸o˜es (simbolicamente Li ↔ Lj).
ˆ Substituir uma equac¸a˜o por um mu´ltiplo escalar de si mesma. Indicamos que
a equac¸a˜o Li foi substitu´ıda por kLi (Simbolicamente Li ↔ kLi).
ˆ Substituir uma equac¸a˜o por um mu´ltiplo de outra equac¸a˜o somada a si mesma.
Indicamos que a equac¸a˜o Lj foi substitu´ıda pela soma de kLi e Lj (Simbolicamente
Lj ↔ Lj + kLi).
Observac¸a˜o: Se um dado sistema linear S1 foi obtido de um sistema linear S atrave´s
de operac¸o˜es elementares, dizemos que S1 e´ equivalente a` S.
Matriz Escalonada: Uma matriz A esta´ na forma escalonada (ou escada), se o nu´mero
de zeros que precede o primeiro elemento na˜o nulo de uma linha aumenta a cada linha,
ate´ que sobre apenas linhas nulas, se houverem.2 4 50 3 6
0 0 2
,
4 5 80 0 1
0 0 0
,
9 5 6 30 0 3 6
0 0 0 1
 Sa˜o exemplos de matrizes na forma escada.0 4 31 0 −6
0 0 0
 Exemplo de matriz que na˜o esta´ na forma escada.
Observac¸a˜o: Todo sistema linear (matriz) e´ equivalente a um sistema (matriz) escalonado.
Eliminac¸a˜o de Gauss: E´ um me´todo u´til na resoluc¸a˜o de sistemas lineares que consiste
basicamente em:
ˆ Parte 1: Eliminac¸a˜o direta: Uma reduc¸a˜o passo a passo do sistema leva ou a
uma equac¸a˜o degenerada sem soluc¸a˜o (SI) ou a um sistema equivalente mais
simples na forma triangular superior.
1.7. SISTEMAS LINEARES 29
ˆ Parte 2: Eliminac¸a˜o retroativa: Substituic¸o˜es retroativas determinam a soluc¸a˜o
de um novo sistema.
Vamos resolver o seguinte exemplo:
Exemplo 25 S =

x+ 2y − 4z = −4
2x+ 5y − 9z = −10
3x− 2y + 3z = 11
Soluc¸a˜o:
Escrever o sistema em forma de matriz ampliada:
1 2 −4 −42 5 −9 −10
3 −2 3 11

Vamos usaro elemento a11 como elemento pivoˆ para eliminar os elementos a21, a31.
1° operac¸a˜o: L2 ↔ L2 − 2L1, obtemos:
1 2 −4 −40 1 −1 −2
3 −2 3 11

2° operac¸a˜o: L3 ↔ L3 − 3L1, obtemos:
1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 −8 15 23

3° operac¸a˜o: L3 ↔ L3 + 8L2, obtemos:
1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 0 7 7

Ao final desta u´ltima operac¸a˜o transformamos o sistema S em um sistema equivalente
mais simples, que esta na forma triangular e, portanto, a parte 1 esta completa.
Vamos reescrever o sistema original pelo sistema:
S =

x+ 2y − 4z = −4
y − z = −2
7z = 7
Que e´ um sistema equivalente ao sistema S. Por substituic¸a˜o retroativa, temos: z =
1, y = −1, x = 2. Este sistema e´ classificado como: Sistema Poss´ıvel Determinado.
Me´todo de Gauss-Jordan: Exige que a matriz dos coeficientes das varia´veis transforme-se
na matriz identidade. Usando o exemplo anterior, efetuando mais 4 operac¸o˜es:
4° L3 ↔ 17L3, obtemos:
1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 0 1 1

30 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
5° L1 ↔ L1 − 2L2, obtemos:
1 0 −2 00 1 −1 −2
0 0 1 1

6° L1 ↔ L1 + 2L3, obtemos:
1 0 0 20 1 −1 −2
0 0 1 1

7° L3 ↔ L3 + L2, obtemos:
1 0 0 20 1 0 −1
0 0 1 1

Portanto, pelo me´todo de Gauss-Jordan temos: 1 0 0 20 1 0 −1
0 0 1 1

O sistema inicial se transformou no sistema equivalente:
1x+ 0y + 0z = 2
0x+ 1y + 0z = −1 =⇒ {x = 2,y = −1,z = 1}
0x+ 0y + 1z = 1
Para fixar e entender bem como funciona o algoritmo do escalonamento (eliminac¸a˜o
de Gauss), vamos resolver passo a passo o seguinte sistema:
x+ 2y = 4
−x+ 3y + 3z = −2
y + z = 0
Princ´ıpios
1. Se um sistema escalonado tem uma equac¸a˜o nula, ela pode ser retirada do
sistema, sem alterar sua soluc¸a˜o.
2. Se um sistema escalonado tem uma equac¸a˜o imposs´ıvel, o sistema e´ imposs´ıvel,
caso constra´rio, o sistema e´ poss´ıvel.
3. Eliminadas as equac¸o˜es nulas de um sistema escalonado poss´ıvel ele e´ determinado,
se o nu´mero de equac¸o˜es restantes e´ igual ao nu´mero de inco´gnitas, e, indeterminado,
se o nu´mero de equac¸o˜es restantes e´ menor que o nu´mero de inco´gnitas.
1.7. SISTEMAS LINEARES 31
1.7.1 Agora tente resolver!
1. Uma pessoa esta´ organizando uma festa e encomenda 140 caixas de suco, 98
empadinhas e 160 brigadeiros. Servira´ a cada homem 2 caixas de suco, 2
empadinhas e 2 brigadeiros. A cada mulher 5 caixas de suco, 2 empadinhas e 3
brigadeiros e para as crianc¸as 2 caixas de suco, 2 empadinhas e 4 brigadeiros.
Qual o nu´mero de pessoas convidadas sabendo que na˜o sobrou nem faltou
nada?
140 caixas de suco 98 empadinhas 160 brigadeiros
H 2 2 2
M 5 2 3
C 2 2 4
2. Suponha que voceˆ fara´ um lanche e tenha solicitado um copo de leite desnatado,
pudim e calzone de frango e que disponha de R$ 1,80. Segundo os nutricionistas
um lanche deve conter 1350 calorias e 66g de prote´ınas para cada 100g dos
alimentos citados:
100 gramas Calorias (cal) Prote´ınas (g) Prec¸o (R$)
Leite desnatado 25 2 0,10
Pudim 300 12 0,30
Calzone de frango 100 14 0,40
Quais quantidades de cada alimento satisfazem exatamente as condic¸o˜es acima?
3. Uma empresa de transportes tem treˆs tipos de caminho˜es VW , MC e SC, que
carrega cargas em carrocerias de treˆs tipos I, II e III.
As capacidades dos caminho˜es sa˜o:
Tipos de caminho˜es I II III
VW 4 3 2
MC 5 2 3
SC 2 2 3
Quais sa˜o os nu´meros de caminho˜es x1, x2 e x3 de cada categoria VW , MC e
SC, se a companhia deve transportar 42 carrocerias do tipo I, 27 do tipo II e
33 do tipo III?
Matrizes Invers´ıveis usando operac¸o˜es elementares: O mesmo procedimento usado
para o escalonamento de matrizes com operac¸o˜es elementares que transforma uma
32 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
matriz na forma escada pode transformar uma matriz A na sua inversa A−1. Uma
matriz A de ordem n e´ invers´ıvel se, e somente se, A e´ equivalente a matriz identidade
(A In). Neste caso, as mesmas sucesso˜es de operac¸o˜es elementares que transformam
A em In, transformam In em A−1.
Exemplo 26 Encontre a matriz inversa de A =
[
2 5
1 3
]
.
Soluc¸a˜o:
(
2 5 1 0
1 3 0 1
)
→
(
1 5
2
1
2
0
1 3 0 1
)
→
(
1 5
2
1
2
0
0 .− 1
2
1
2
−1
)
→
(
1 5
2
1
2
0
0 1 −1 2
)
→(
1 0 3 −5
0 1 −1 2
)
Portanto, A−1 =
[
3 −5
−1 2
]
1.7.2 Agora tente resolver!
1. Encontre a matriz inversa de A =
2 1 34 2 2
2 5 3
.
1.7. SISTEMAS LINEARES 33
Exemplo de um Sistema de m equac¸o˜es e n varia´veis: E´ semelhante ao me´todo
de Gauss, com a diferenc¸a de que a matriz dos coeficientes na˜o pode ser transformada
na matriz identidade porque e´ uma matriz na forma retangular.
2x1 + 4x2 = 16
5x1 − 2x2 = 4
10x1 − 4x2 = 3
Sistema de Equac¸o˜es Lineares Homegeˆneo: Sistema do tipo Ax = 0.
Este tipo de sistema sempre tem o vetor nulo como soluc¸a˜o, chamado de soluc¸a˜o
trivial ou nula. Sendo r o nu´mero de equac¸o˜es na forma reduzida e n representa a
quantidade de inco´gnitas, o sistema reduzido tem n − r varia´veis livres. A questa˜o
das soluc¸o˜es na˜o nulas se reduz a dois casos:
i. r = n O sistema possui apenas a soluc¸a˜o nula.
ii. r < n O sistema possui uma soluc¸a˜o na˜o nula;
Exerc´ıcios:
1. Caso i

x+ y − z = 0
2x+ 4y − z = 0
3x+ 2y + 2z = 0
2. Caso ii:

x+ y − z = 0
2x− 3y + z = 0
x− 4y + 2z = 0
Regra de Cramer: Esta regra se aplica a sistemas lineares em que o nu´mero de
equac¸o˜es e´ igual ao nu´mero de inco´gnitas. Utilizando a teoria dos determinantes
34 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
podemos resolver um sistema linear quadrado cuja matriz dos coeficientes possui
determinante na˜o nulo.
Considere Ax = b a forma matricial de um sistema linear quadrado de ordem n,
como:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
 , x =

x1
x2
...
xn
, b =

b1
b2
...
bn
.
Se det(A) 6= 0, enta˜o a soluc¸a˜o do sistema e´ dao por:
x1 =

b1 a12 . . . a1n
b2 a22 . . . a2n
...
...
...
...
bn an2 . . . ann

det(A)
, x2 =

a11 b1 . . . a1n
a21 b2 . . . a2n
...
...
...
...
an1 bn . . . ann

det(A)
, xi =

a11 a12 . . . b1
a21 a22 . . . b2
...
...
...
...
an1 an2 . . . bn

det(A)
Exemplo 27

2x− 3y + 7z = 1
x+ 3z = 5
2y − z = 0
b =
15
0
 , A =
2 −3 71 0 3
0 2 −1
 , det(A) = −1
Logo,
x =
1 −3 75 0 3
0 2 −1

det(A)
=
49
−1 = −49
y =
2 1 71 5 3
0 0 −1

det(A)
=
−9
−1 = 9
z =
2 −3 11 0 5
0 2 0

det(A)
=
−18
−1 = 18
1.8. LISTA DE EXERCI´CIOS 2 35
1.8 Lista de exerc´ıcios 2
1. A matriz completa associada a um sistema linear foi transformada para a forma
a seguir. Determine se o sistema e´ poss´ıvel. 2 4 3 −40 4 5 2
0 0 −2 0

2. Considere a seguinte matriz como sendo a matriz completa de um sistema
linear. Enuncie em palavras, a pro´xima operac¸a˜o elementar que deve ser
realizada no processo de resoluc¸a˜o do sistema.
1 3 0 3 −6
0 −1 6 −5 2
0 0 3 8 −1
0 0 1 2 −1

3. Resolver e classificar os sistemas:
(a)

2y + 10z = −4
2x+ 8y + 6z = −2
4x+ 14y + 2z = −1
(b)

2x+ 2y = 0
3x+ 5y = 0
4x+ 3y + 3z = 0
(c)

x+ 3y + 4z = 8
2x− y + 1
2
z = 4
3x− 1
2
y + 1
2
z = 5
(d)

2x− 3y + 4z = 8
2x+ 8y + 13z = 23
1
2
x+ y + 2z = 10
(e)

2x+ 4y + 6z = 12
x− z = 0
5
2
x+ 2y + 11
2
z = 12
(f)

2x− 12y = 5
2y − 8z + 2w = 0
−2x+ 12y + 2z + 10w = 3
−2y + 10z + 8w = 0
(g)

−x+ 2z = 5
y + 3z = 2
2x+ 4y + 7z = −5
(h)

2x+ 2y + 4z = 8
4x− 2y + z = 8
6x− y + 2z = 10
4. Seja A =
0 1 10 1 2
1 1 2
. Calcule A−1.
36 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES5. Determine a inversa da matriz A =
0 1 21 0 3
2 −3 4
, caso ela exista.
6. Aplicac¸a˜o: Encontre a reta intersec¸a˜o dos planos x+2y−z = 3 e 2x+3y+z = 1.
Usando sistemas lineares.
7. Use operac¸o˜es elementares para reduzir a matriz dada a` forma escalonada
(a) A =
0 0 10 1 1
1 1 1

(b) A =
3 55 −2
2 4

8. Encontre a matriz inversa das seguintes matrizes:
(a) A =
 2 −6 44 16 −6
−1 2 1

(b) A =
 2 12 21 −4 −1
−1 −2 −2

9. Resolva os seguintes sistemas lineares homogeˆneos:
(a)

x+ 2y − z = 0
x+ y − z = 0
2x− 2y − z = 0
(b)

x+ 2y + 3z = 0
x+ y + z = 0
x+ y + 2z = 0
x+ 3y + 3z = 0
(c)

x− 2y + 4z = 0
2x+ 5y − 3z = 0
3x− y + 2z = 0