GEOMETRIA ANALITICA

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Geometria Anal´ıtica
Daiane Silva de Freitas Fab´ıola Aiub Sperotto
Felipe de Freitas Vilar
2011
2
Suma´rio
1 Vetores 7
1.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Operac¸a˜o com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Vetores no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.9.2 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Retas e Planos 57
2.1 Retas no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3
4 SUMA´RIO
2.3 Equac¸o˜es do Plano no Espac¸o (R3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.3.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.4 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3 Coˆnicas, superf´ıcies qua´dricas e coordenadas polares 107
3.1 Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2 Elementos e Equac¸o˜es das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.1 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.2 Translac¸a˜o de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2.3 Equac¸a˜o Canoˆnica da Para´bola com centro gene´rico . . . . . . 113
3.2.4 Equac¸o˜es Parame´tricas da para´bola . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.2.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2.6 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.7 Equac¸a˜o Canoˆnica da Elipse com centro gene´rico . . . . . . . 120
3.2.8 Equac¸o˜es Parame´tricas da Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.9 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2.10 Circunfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.2.11 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2.12 Equac¸a˜o Canoˆnica da Hipe´rbole com centro gene´rico . . . . . 129
3.2.13 Equac¸o˜es Parame´tricas da Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . 130
3.2.14 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.2.15 Tabela de fo´rmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.3 Superf´ıcies Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.4 Superf´ıcie Cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.5 Superf´ıcie Coˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.6.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.7 Relac¸a˜o entre Coordenadas Polares e Cartesianas . . . . . . . . . . . 146
3.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.8 Equac¸o˜es Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.8.1 C´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.8.2 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
SUMA´RIO 5
3.9 Equac¸o˜es Polares das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.10 Rotac¸a˜o dos Eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.11 Lista de exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6 SUMA´RIO
Cap´ıtulo 1
Vetores
1.1 Vetores
Existem dois tipos de grandezas: as grandezas escalares e as grandezas vetoriais.
As grandezas escalares podem ser medidas por nu´meros reais, tais como comprimento,
temperatura, tempo, entre outras.
As grandezas vetoriais sa˜o usadas por matema´ticos e cientistas para lidar com
quantidades que na˜o podem ser descritas ou representadas por um u´nico nu´mero,
sa˜o quantidades que tem tamanho e direc¸a˜o, e incluem forc¸a, velocidade, acelerac¸a˜o,
entre outras.
Por exemplo, para descrevermos uma forc¸a, precisamos registrar a direc¸a˜o e o
sentido nos quais ele atua, bem como seu tamanho.
No deslocamento de um corpo, precisamos indicar em qual direc¸a˜o e sentido ele
se move e a distaˆncia percorrida.
Introduc¸a˜o
Reta Orientada – Eixo: Uma reta r e´ orientada quando fixarmos nela um sentido
de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.
r
��
��
��
��
�*
Segmento Orientado: Um segmento orientado e´ determinado por um par ordenado
de pontos, o primeiro e´ chamado origem ou ponto inicial do segmento, o segundo
7
8 CAPI´TULO 1. VETORES
chamado extremidade ou ponto final.
A
B
��
��
��
��
�*
Segmento Nulo: E´ aquele cuja extremidade coincide com a origem. Os segmentos
nulos teˆm comprimento igual a` zero.
Segmentos Opostos: Se AB e´ um segmento orientado, o segmento orientado BA
e´ oposto de AB.
Comprimento de um segmento (ou magnitude): Se fixarmos uma unidade de comprimento
a cada segmento orientado temos associado um nu´mero real que e´ a medida do
segmento em relac¸a˜o aquela unidade. O comprimento do segmento AB e´ indicado
por AB.
O comprimento do segmento AB representado na figura abaixo e´ denotado por
AB = 6u.c.
A
| | | | |
B
-
| |
u
Direc¸a˜o: A direc¸a˜o de um segmento e´ da origem para a extremidade. Dois
segmentos orientados na˜o nulos AB e CD teˆm a mesma direc¸a˜o se as retas suportes
desses segmentos sa˜o paralelas:
Figura 1.1: Vetores paralelos
1.1. VETORES 9
Figura 1.2: Vetores paralelos 2
Segmentos coincidentes:
Figura 1.3: Segmentos coincidentes
Segmentos equipolentes: Dois segmentos orientados sa˜o equipolentes quando teˆm
a mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento.
Figura 1.4: Segmentos equipolentes
10 CAPI´TULO 1. VETORES
Vetores
Por definic¸a˜o, um vetor e´ um segmento de reta orientado,que em linguagem
habitual chamamos de seta. Cada vetor tem uma origem (tambe´m denominada
ponto inicial) e uma extremidade (tambe´m denominada ponto terminal), sua direc¸a˜o
e´ da origem para a extremidade. Invertendo a seta obtemos um vetor com direc¸a˜o
contra´ria. Observe a figura:
Figura 1.5: Definic¸a˜o de vetor
Notac¸a˜o:
−→
AB ou B − A. O vetor tambe´m costuma ser indicado por letras
minu´sculas ~v ou em negrito ~v. Ou algumas vezes por letras maiu´sculas em negrito,
por exemplo, F, para denotar forc¸a.
Quando escrevemos ~v =
−→
AB, significa que o vetor ~v e´ determinado pelo segmento
de reta orientado AB. Um mesmo vetor
−→
AB e´ determinado por uma infinidade
de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor. Assim, um segmento
determina um conjunto que e´ o vetor, e qualquer um destes representantes determina
o mesmo vetor.
As caracter´ısticas de um vetor ~v sa˜o as mesmas de qualquer um de seus representantes,
isto e´: o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do vetor sa˜o o mo´dulo, direc¸a˜o e o sentido de
qualquer um de seus representantes.
1.1. VETORES 11
Vetores iguais: Dois vetores
−→
AB e
−→
CD sa˜o iguais se, e somente se,
−→
AB=
−→
CD. Ou
se, ~u =
−→
AB e ~v =
−→
CD, enta˜o ~u = ~v.
Vetor Nulo: Qualquer ponto do espac¸o e´ representante do vetor zero ou vetor
nulo, e e´ indicado por ~0 ou
−→
AA isto e´, a origem coincide com a extremidade. Este
vetor na˜o possui direc¸a˜o e sentidos definidos.
Vetores Opostos: Dado um vetor ~v =
−→
AB, o vetor
−→
A1B1 e´ o oposto de
−→
AB e e´
indicado por -
−→
A1B1 ou por -~v.
Figura 1.6: 2 vetores opostos
Vetor Unita´rio: Um vetor ~v e´ unita´rio se |~v| = 1. Por exemplo, os vetores da
base canoˆnica padra˜o no espac¸o (R3) dados por: ~i=(1,0,0), ~j=(0,0,1) e ~k=(0,0,1) sa˜o
vetores unita´rios.
Versor: Versor de um vetor na˜o nulo ~v e´ o vetor unita´rio de mesma direc¸a˜o e
mesmo sentido de ~v. Sempre que ~v 6= 0, seu comprimento na˜o e´ zero.
~u =
∣∣∣∣ 1|~v|
∣∣∣∣ = 1|~v|~v = 1
Conclui-se que ~u =
~v
|~v| , e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o de ~v chamado versor do
vetor na˜o-nulo ~v.
Por exemplo, tomemos um vetor ~v de mo´dulo 3, ~|v|=3.
12 CAPI´TULO 1. VETORES
~v
-| |
- ~u
ff −~u
O vetor ~u que tem o mesmo sentido de ~v e´ chamado versor de ~v.
Vetores Colineares: Dois vetores ~u e ~v sa˜o colineares se tiverem a mesma direc¸a˜o.
Em outras palavras: ~u e ~v sa˜o colineares se tiverem representantes AB e CD
pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
Figura 1.7: Vetores colineares
Figura 1.8: Vetores colineares 2
Vetores Coplanares: Se os vetores na˜o nulos ~u, ~v e ~w (na˜o importa o nu´mero de
vetores) possuem representantes EF , HG e IJ pertencentes a um mesmo plano pi,
diz-se que eles sa˜o coplanares.
1.2. OPERAC¸A˜O COM VETORES 13
Figura 1.9: Vetores coplanares
Dois vetores ~u e ~v quaisquer sa˜o sempre coplanares, pois podemos sempre tomar
um ponto no espac¸o e, com origem nele, imaginar os dois representantes de ~u e ~v
pertencendo a um plano pi que passa por este ponto.
Treˆs vetores podera˜o ou na˜o ser coplanares.
1.2 Operac¸a˜o com Vetores
Duas operac¸o˜es que envolvem vetores sa˜o a adic¸a˜o de vetores e a multiplicac¸a˜o
por escalar.
Me´todos Geome´tricos:
- Me´todo da Triangulac¸a˜o: Consiste em colocar a origem do segundo vetor coincidente
com a extremidade do primeiro vetor e o vetor soma (resultante) e´ o que fecha o
triaˆngulo (origem coincide com a origem do primeiro, extremidade coincide com a
extremidade do segundo).
Figura 1.10: Veja que ~w = ~u+ ~v
14 CAPI´TULO 1. VETORES
- Me´todo do Paralelogramo: Consiste em colocar a origem dos dois vetores coincidentes
e construir o paralelogramo. O vetor soma e´ a diagonal cuja origem coincide com a
origem dos dois vetores. A outra diagonal e´ a diferenc¸a entre os vetores.
�
�
�
�
�
�
�
���
~u
-
~v
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��1
~u+ ~v
�
�
�
�
�
�
�
��
Exemplo 1
Figura 1.11: Me´todo do paralelogramo
1.2. OPERAC¸A˜O COM VETORES 15
1.2.1 Agora tente resolver!
1. Usando os me´todos anteriores, copie os vetores ~u, ~v, ~w o que for necessa´rio
para esboc¸ar os vetores abaixo:
a) ~u+ ~v
b) ~u− ~v
c) ~u+ ~v + ~w
d) ~u− ~w
2. Dado o paralelogramo abaixo definido pelos pontosABCD e pelos seus respectivos
pontos me´dios, complete:
a)
−→
AC +
−→
AB
b)
−→
BA +
−→
CA
c)
−→
AD −
−→
BD
16 CAPI´TULO 1. VETORES
d)
−→
AF +
−→
BD
Observac¸a˜o:
Para resolver o exer´ıcio (3), lembrar que:
- (⊥) - Condic¸a˜o de perpendicularismo - aˆngulo e´ igual a 90°.
- (‖) - Condic¸a˜o de paralelismo.
3. A figura abaixo representa um retaˆngulo. Decidir se e´ verdadeira ou falsa cada
uma das afirmac¸o˜es:
a)
−→
AF⊥
−→
CB
b)
−→
BA‖
−→
CA
c)
−→
AD⊥
−→
DF
d)
−→
AF=
−→
EC
Exemplo 2 Quando os vetores tem o mesmo sentido:
~u-
~v -
~u- ~v -
-~u+ ~v
Exemplo 3 Quando os vetores tem sentidos opostos:
1.2. OPERAC¸A˜O COM VETORES 17
-~u
-~u+ ~v ff ~v
Adic¸a˜o: Sendo ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, a adic¸a˜o, admite as seguintes propriedades:
ˆ Comutativa: ~u+ ~v = ~v + ~u
�
�
�
�
�
��
~u
-~v
��
��
��
��
��
��
��
��
��1
~u+ ~v
ˆ Associativa: (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
�
�
�
�
�
��
~u
-~v
@
@
@
@
@
@R
~w
��
��
��
��
��
��
��
��
��1
~u+ ~v
PPPPPPPPPPPPPPPPPPq~v + ~w -
~u+ (~v + ~w) ou (~u+ ~v) + ~w
ˆ Elemento neutro: ~u+ 0 = ~u
18 CAPI´TULO 1. VETORES
ˆ Elemento oposto (ou sime´trico): ~u+ (−~u) = 0
se ~u =
−→
AB, o seu sime´trico e´
−→
BA e escrevemos
−→
AB= −
−→
BA ou ~u = −~u
O vetor ~u+ (−~u), escreve-se ~u− ~u, e´ chamado diferenc¸a entre vetores.
Multiplicac¸a˜o de um nu´mero real por vetor: Dado um vetor na˜o nulo ~v e um
nu´mero real a 6= 0 chama-se produto do nu´mero real a pelo vetor ~v, o vetor a~v tal
que:
ˆ Mo´dulo: |a~v| = |a||~v|.
-O vetor tem comprimento a vezes o comprimento de ~v.
ˆ Direc¸a˜o: a~v e´ paralelo a ~v.
-Isto e´, tem a mesma direc¸a˜o de ~v.
ˆ Sentido: a~v e ~v tem o mesmo sentido se a > 0, e contra´rio se a < 0.
-Se a = 0 ou ~v = 0 enta˜o a~v = 0, ou se a > 1 podemos dizer que dilata o vetor,
ou se 0 < a < 1 podemos dizer que contrai o vetor.
Exemplo 4
Propriedades:
i. a(b~v)=(ab)~v - Associativa
ii. (a+b)~v=a~v+b~v - Distribuitiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de escalares.
iii. a(~u+~v)=a~u+a~v - Distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de vetores.
1.2. OPERAC¸A˜O COM VETORES 19
iv. 1~v=~v - Identidade.
Por exemplo: Para a=2, temos, pela propriedade iii:
�
�
��
~u
-~v
��
��
��
���1
~u+ ~v�
�
�
�
�
��
2~u
-2~v
��
��
��
��
��
��
��
��
��1
2~u+ 2~v
Aˆngulo entre vetores: E´ o aˆngulo formado por duas semi-retas OA e OB de
mesma origem O, este aˆngulo e´ indicado por θ.
1. Se ~u ‖ ~v e teˆm mesmo sentido e direc¸a˜o, enta˜o θ = 0.
-~u
-~v
2. Se eles teˆm sentidos contra´rios, enta˜o θ = pi.
ff ~u
-~v
3. Se θ = pi/2, os vetores sa˜o ortogonais.
6
~v -
~u
20 CAPI´TULO 1. VETORES
Observac¸o˜es:
6
~v -
~u
�
�
�
�
�
��
O
A
B
C−−−−−−−
|
|
|
|
~u+ ~v
∆OBC : |~u+ ~v|2 = |~u|2 + |~v|2
-O vetor nulo e´ considerado ortogonal a qualquer vetor.
Exemplo 5
Figura 1.12: aˆngulo entre vetores
1.2.2 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u,~v e ~w, ver figura 1.13, construir os vetores:
a) ~x = 2~u− 1
3
~v
b) ~r = 1
2
~v − w + 2
3
~u
2. Dada a figura 1.14, onde M,N e P sa˜o os pontos me´dios de AB, BC, CA,
respectivamente, represente os vetores
−−→
BP,
−−→
AN e
−−→
CM em func¸a˜o de
−→
AB e
−→
AC.
1.3. VETORES NO PLANO 21
Figura1.13: Figura do exerc´ıcio 1.
Figura 1.14: Figura do exerc´ıcio 2.
1.3 Vetores no Plano
Dados dois vetores na˜o paralelos, um vetor ~v pode ser decomposto segundo as
direc¸o˜es dos eixos coordenados.
De modo geral, dados dois vetores quaisquer na˜o paralelos, para cada vetor ~v
representado no mesmo plano de ~v1 e ~v2 , existe uma so´ dupla de nu´meros reais a1 e
a2 tal que
~v = a1~v + a2~v
Quando isto acontece o vetor ~v e´ expresso por uma combinac¸a˜o linear de ~v1 e
~v2. O conjunto B = {~v1,~v2} e´ chamado base no plano.
Os nu´meros a1 e a2 sa˜o chamados de componentes ou coordenadas do vetor ~v
na base B. As bases mais utilizadas sa˜o as ortonormais. Uma base representada
por {e1, e2} e´ ortonormal, se seus vetores forem e1 ⊥ e2 e |~e1| = |~e2| = 1. Em um
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os vetores do plano sempre podera˜o
ser escritos como uma combinac¸a˜o linear dos vetores na˜o colineares ~i e ~j.
22 CAPI´TULO 1. VETORES
Observac¸a˜o: Qualquer vetor ~v = (a1,a2) pode ser escrito como uma combinac¸a˜o
linear dos vetores da base em R2:
~v = (a1,a2) = (a1,0) + (0,a2) = a1(1,0) + a2(0,1) = a1~i+ a2~j
Exemplo 6
Figura 1.15: Base canoˆnica no plano.
Expressa˜o Anal´ıtica de um Vetor
Fixada a base {~i,~j}, fica estabelecida uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os
vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de nu´meros reais. Assim, a cada vetor ~v
do plano pode-se associar um par (x,y) de nu´meros reais que sa˜o suas componentes
na base dada.
Um vetor no plano e´ um par ordenado (x,y) de nu´meros reais e representamos
por: ~v = (x,y) que e´ a expressa˜o anal´ıtica de ~v.
Onde:
x e´ a primeira componente, e e´ chamada abscissa de ~v,
y e´ a segunda componente, e e´ chamada ordenada de ~v.
Para as operac¸o˜es alge´bricas de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar
sa˜o va´lidas as propriedades vistas anteriormente (comutativa, associativa, elemento
1.3. VETORES NO PLANO 23
neutro, elemento oposto, distributivas em relac¸a˜o a adic¸a˜o de vetores e a adic¸a˜o de
escalares).
Igualdade de vetores: ~v = (x1,y1), e ~j = (x2,y2), sa˜o iguais se x1 = x2,y1 = y2
(coordenadas correspondentes iguais).
Operac¸a˜o com vetores:
ˆ Adic¸a˜o: ~u+ ~v = (x1 + x2,y1 + y2)
Exemplo 7 Se ~u=(1,2) e ~v=(-2,2), enta˜o:
~u+ ~v=(1,2)+(-2,2)=(1+(-2),2+2)=(-1,4)
Figura 1.16: Soma de vetores.
ˆ Multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar α~u = (αx1,αy1)
Exemplo 8 Se α=2, enta˜o: α~u=2(1,2)=(2,4)
ˆ −~u = (−1)~u = (−x1,− y1)
Exemplo 9 -~u=-(1,2)=(-1,-2)
24 CAPI´TULO 1. VETORES
ˆ ~u− ~v = (x1 − x2,y1 − y2)
Exemplo 10 ~u− ~v=(1,2)-(-2,3)=(1-(-2),2-3)=(3,-1)
Mo´dulo de um vetor: O mo´dulo ou comprimento do vetor ~v = (a,b) e´ um nu´mero
real na˜o negativo, definido por:
|~v| = √a2 + b2
Isso e´ facilmente demostrado pelo Teorema de Pita´goras.
Pelo gra´fico, percebemos que aplicando o teorema de Pita´goras: |~u|2 = a2 + b2,
onde os catetos a e b do triaˆngulo sa˜o as coordenadas do vetor no plano e a hipotenusa
c e´ exatamente a medida do vetor ~u.
Logo, |~u| = √a2 + b2.
Exemplo 11 Encontre as componentes e o mo´dulo (ou comprimento) do vetor de
origem A(−3,4) e extremidade B(−5,2).
Soluc¸a˜o:
~v =
−→
AB= B − A = (−5,2)− (−3,4) = (−2,− 2)
|
−→
AB | = √(−2)2 + (−2)2 = √8 = 2√2u.c.
Vetor definido por dois pontos: Dado o vetor
−→
AB onde a origem e´ o pontoA(x1,y1)
e extremidade B(x2,y2), onde
−→
OA= (x1,y1), e
−→
OB= (x2,y2), enta˜o:
−→
AB=
−→
OB −
−→
OA= (x2,y2)− (x1,y1) = (x2 − x1,y2 − y1)
1.3. VETORES NO PLANO 25
Exemplo 12 Encontre o vetor a partir do ponto A(2,3) ate´ a origem.
Soluc¸a˜o:
−→
AO=O − A=(0,0)-(2,3)=(-2,-3).
E´ o sime´trico de A, -A.
Observac¸a˜o: lembre-se que um vetor tem infinitos representantes que sa˜o os
segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direc¸a˜o e mesmo sentido.
Dentre os infinitos representantes do vetor
−→
AB , o que melhor representa e´ aquele
que tem origem em O(0,0) e extremidade em P (x2 − x1,y2 − y1). O vetor ~v =
−→
AB e´
o vetor posic¸a˜o ou representante natural de
−→
AB .
E tambe´m, ~v =
−→
AB= B − A.
Exemplo 13 Um jato, voando para leste a 600mi/h sem vento, encontra um vento
de popa de 70mi/h atuando no sentido de 60◦ em relac¸a˜o ao nordeste. O jato
mante´m-se seguindo rumo ao leste, mas devido ao vento, adquire uma nova velocidade
em relac¸a˜o ao solo e uma direc¸a˜o e um sentido novos. Qual seria essa nova velocidade?
Soluc¸a˜o:
Sando ~u = a velocidade do avia˜o sozinho e ~v =velocidade do vento de popa.
Enta˜o, |~u| = 600 e |~v| = 70 . A velocidade do avia˜o em relac¸a˜o ao solo e´ dada pela
magnitude e pela direc¸a˜o do vetor resultante ~u+ ~v. Se o eixo x positivo representar
o leste e o eixo y positivo representar o norte, enta˜o as componentes de ~u e ~v sera˜o
~u = (600,0) e ~v = (70cos(60)◦,70sen(60◦)) = (35,35
√
3).
Portanto,
~u+ ~v = (635,35
√
3)
|~u+ ~v| =
√
6352 + (35
√
3)2 ' 637,88mi/h
26 CAPI´TULO 1. VETORES
1.3.1 Agora tente resolver!
1. Sejam ~u=(3,-2) e ~v=(-2,5) encontre as componentes dos vetores:
a) 3~u
b) ~u+ ~v
c) 2~u-3~v
d) 3
5
~u+ 4
5
~v
Ponto me´dio: Dados A(x1,y1) e B(x2,y2), o ponto me´dio representado por M(x,y)
e´ portanto, M = (x1+x2
2
,y1+y2
2
).
-A B|
M
Ja´ que
−→
AM=
−→
MB
M − A = B −M
(x− x1,y − y1) = (x2 − x,y2 − y)
x− x1 = x2 − x
y − y1 = y2 − y
Resolvendo as equac¸o˜es respectivamente em relac¸a˜o a x e y.
x =
x1 + x2
2
e
y =
y1 + y2
2
Paralelismo de dois vetores: Dois vetores ~u = (x1,y1), e ~v = (x2,y2), sa˜o paralelos
se, ~u = α~v, ou seja (x1,y1) = α(x2,y2), onde pela condic¸a˜o de igualdade x1 = αx2, e
y1 = αy2, portanto
1.3. VETORES NO PLANO 27
x1
x2
=
y1
y2
(= α)
Exemplo 14 Os vetores ~u = (12,8) e ~v = (6,4) sa˜o paralelos pois,
12
6
=
8
4
= 2 = α.
Exemplo 15 Dados ~u=(3,-1), ~v=(-1,2). Encontre ~w na igualdade:
3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u)
Soluc¸a˜o:
3~w − (2(−1,2)− (3,− 1)) = 2(4~w − 3(3,− 1))
3~w − ((−2,4)− (3,− 1)) = 8~w − (18,− 6)
3~w − 8~w = (−18,6) + (−5,5)
−5~w = (−23,11)
~w =
(
23
5
,
−11
5
)
1.3.2 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u = (2, − 4), ~v = (−5,1) e ~w = (−12,6). Determinar a1, a2
tais que ~w = a1~u+ a2~v.
2. Marcar os seguintes pontos no plano cartesiano A(6,2), B(8,6), C(4,8), D(2,4)
e responder as seguintes questo˜es:
a) O vetor
−→
AB e´ ortogonal ao vetor
−−→
CD? Justifique.
b) O vetor
−−→
DA e´ paralelo ao vetor
−−→
BC?
3. Determine o ponto C tal que
−→
AC = 3
−→
AB sendo A(0,− 4) e B(1,2).
4. Verdadeiro ou Falso:
a) Se ~u = ~v enta˜o |~u| = |~v|.
b) Se |~u| = |~v| enta˜o ~u = ~v.
c) Se ~u ‖ ~v enta˜o ~u = ~v.
28 CAPI´TULO 1. VETORES
1.4 Vetores no Espac¸o
Seja x, y, z o sistema cartesiano ortogonal Oxyz. Representado por ~i,~j,~k, onde,
~i=(1,0,0), ~j=(0,1,0) e ~i=(0,0,1) formam a base canoˆnica no espac¸o.
O eixo dos x ou eixo das abscissas corresponde ao vetor ~i.
O eixo dos y ou eixo da ordenadas corresponde ao vetor ~j.
O eixo dos z ou eixo das cotas corresponde ao vetor ~k.
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z........................
1.4. VETORES NO ESPAC¸O 29
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.k......................
Observac¸a˜o 1: Representac¸a˜o da base no sentido positivo. Esta base obedece a`
regra da Ma˜o direita.
A base canoˆnica representada pelo conjunto B = {~i,~j,~k} e´ formada por vetores
unita´rios, portanto |~i| = |~j| = |~k| = 1, e dois a dois ortogonais com origem em O.
O vetor ~v = x~i + y~j + z~k tambe´m pode ser expresso por ~v = (x,y,z) que e´ a
expressa˜o anal´ıtica de ~v.
Exemplo 16 ~v = 2~i− 3~j + ~k=(2,-3,1)
Observac¸a˜o 2: Nos eixos coordenados em R3 cada dupla de eixos determina um
plano:
a) o plano xOy ou simplesmente xy;
b) o plano xOz ou xz;
c) o plano yOz ou yz.
Estes treˆs planos dividem o espac¸o em oito partes, chamadas de octantes:
1. Primeiro octante: (x,y,z)
2. Segundo octante: (−x,y,z)
3. Terceiro octante: (−x,− y,z)
30 CAPI´TULO 1. VETORES
4. Quarto octante: (x,− y,z)
E assim sucessivamente, formando oito octantes.
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