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Experiência 01 – Teoria dos Erros 1ª Parte 2011

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Experiência 01 – 1ª Parte 
TEORIA DOS ERROS 
Simone Fraiha 
Sumário 
• 1. Objetivos 
• 2. Algarismos Significativos 
• 3. Fundamentos Teóricos – Teoria dos Erros 
– 3.1. Erros Aleatórios e Sistemáticos 
– 3.2. Tratamento estatístico de medidas com erros 
aleatórios 
– 3.3 Operações com Valor Aceitável (Intervalo de 
Incerteza) 
1. OBJETIVOS 
• Conceituar Algarismos Significativos 
• Estudar os fundamentos da teoria dos erros. 
2. Algarismos Significativos 
• Todos os dígitos diferentes de zero são significativos. (ex: 7,3; 
32 possuem 2 algarismos significativos). 
• Os Zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos (ex: 
303 e 1,03 possuem 3 algarismos significativos). 
• Se existir uma vírgula decimal, todos os zeros à direita da 
vírgula decimal são significativos (ex: 1,000 e 33,30 possuem 4 
algarismos significativos). Os significativos não dependem do 
número de decimais. 
• O número de algarismos significativos de uma grandeza 
medida ou um valor calculado, é uma indicação da incerteza: 
mais algarismos significativos, menor a incerteza no valor. 
• Numa medida o número de significativos está ligado a 
precisão do instrumento de medida. 
• Por exemplo, numa régua milimetrada, a menor medida exata 
é 1mm (0,1cm), daí: 
– medidas como 15,4cm ou 15,8cm são medidas exatas e 
todos os algarismos são significativos. 
– numa medida como 15,45cm também, todos os algarismos 
são significativos sendo que 15,4 são exatos e 0,05 é 
estimado. 
• Portanto ao conjunto de números exatos mais 1 estimado é 
que chamamos de algarismos significativos. 
• O algarismo estimado є está relacionado com a precisão do 
instrumento: є = menor medida exata/2 
 
• Operações com significativos 
– Adição e subtração 
 O resultado será expresso por um número com tantas 
casas decimais quantas as do termo mais pobre em casas 
decimais. 
Ex: (6,382+0,26+0,02+2,5)N = 9,162N = 9,2N (por 
arredondamento) 
 
– Regra Geral: Ao se efetuar uma série de multiplicações, 
divisões etc., o procedimento mais simples consiste na 
realização normal das operações, adotando-se para o 
resultado o número de significativos igual ao do termo 
mais pobre em algarismos significativos. 
 
3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
• 3.1. Erros Aleatórios e Sistemáticos 
 
 Na ciência e tecnologia, é fundamental a realização de 
medidas de grandezas físicas, tais como: comprimentos, 
intervalos de tempo, voltagem entre dois pontos, corrente 
elétrica etc. Ao efetuarmos estas medidas ocorrerão sempre 
erros experimentais, os quais poderão ser classificados como, 
erros sistemáticos e erros aleatórios. 
• Erros sistemáticos 
 São causados por fontes identificáveis, e, em princípio, 
podem ser eliminados ou compensados e fazem com que as 
medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do 
valor real. 
 
 Observação: O realizador das medidas deve identificar e 
eliminar o maior número possível de erros sistemáticos. 
 
 
 
– Os erros sistemáticos podem ser causados devidos: 
 
 # Ao instrumento: instrumento mal calibrado. 
 # Ao método de observação: medir o instante de ocorrência 
de um relâmpago pelo ruído do trovão associado; 
 # Aos efeitos ambientais: medidas de grandezas, que podem 
depender ligeiramente da temperatura ambiente; 
 # As simplificações do modelo teórico: não incluir o efeito da 
resistência do ar numa medida da aceleração da gravidade 
baseada na medida do tempo de queda de um dado corpo. 
 
• Erros aleatórios 
 São flutuações, para mais ou para menos entorno do 
valor medido e com igual probabilidade. Os erros aleatórios 
afetam a precisão da medida. Contudo nem sempre se pode 
identificar os erros aleatórios. 
 
 
 Observação: os erros aleatórios podem ser tratados 
quantitativamente através de métodos estatísticos, 
portanto, devemos fazer o maior número possível de 
medidas de forma a minimizar seu efeito sobre o resultado 
experimental. 
– Os erros aleatórios apresentam-se da seguinte maneira: 
 
 # Método de observação: erros devidos ao julgamento feito 
pelo observador ao fazer uma leitura abaixo da menor divisão 
de uma escala, como, por exemplo, medir o comprimento de 
uma folha de papel com uma régua cuja menor divisão é 1 
mm com precisão na medida de 0,5 mm; 
 # Flutuações ambientais: mudanças não previsíveis na 
temperatura, voltagem da linha, correntes de ar, vibrações 
(por exemplo, causadas por passagem de pessoas perto do 
aparato experimental ou veículos nas vizinhanças). 
• 3.2. Tratamento estatístico de medidas com erros 
aleatórios 
 
– 3.2.1. Valor mais provável ou Valor médio 
 É a média aritmética das (n) medidas (M) efetuadas. 
 
– 3.2.2. Desvio 
 É a diferença entre o valor obtido ao medir-se uma 
grandeza e o valor que mais se aproxima do valor real, ou 
seja, o valor mais provável. Na prática se trabalha mais com 
desvios do que com erros. 
 Os desvios podem ser: Absoluto, Médio Absoluto e 
Relativo. 
 
 
 
 
 
 3.2.2.1. Desvio absoluto 
 É o tanto que a medida se desvia do valor mais provável. 
3.2.2.2. Desvio Médio Absoluto 
 É a média aritmética dos desvios absolutos. 
3.2.2.3. Desvio Relativo 
 É a relação entre o desvio absoluto e o valor mais 
provável. 
 
– 3.2.3. Intervalo de Incerteza ou Valor Aceitável 
 É o intervalo em que com certeza se encontra o valor 
correto da grandeza. 
 
MMM 
• 3.3. Operações com desvios 
– 3.3.1. Adição e Subtração 
 O desvio da soma ou da diferença é a soma dos desvios. 
 
   
   212121
212121
222111
MMMMMM
MMMMMM
MMMeMMM



– 3.3.1. Multiplicação 
 
  
   12212121
221121
222111
MMMMMMMM
MMMMMM
MMMeMMM



– 3.3.1. Divisão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
2112
2
1
2
1
22
22
22
11
2
1
22
11
2
1
222111
M
MMMM
M
M
M
M
MM
MM
MM
MM
M
M
MM
MM
M
M
MMMeMMM













Exemplo 
 Dado as medidas M abaixo, feitas com uma régua milimetrada, 
complete a tabela e escreva o intervalo de incerteza: 
 
Operador Medidas (M) Desvio Absoluto (M) 
1 9,20 
2 9,25 
3 9,20 
4 9,30 
5 9,25 
Valor Médio 
Exemplo 
 
Operador Medidas (M) cm Desvio Absoluto (M) cm 
1 9,20 0,04 
2 9,25 0,01 
3 9,20 0,04 
4 9,30 0,06 
5 9,25 0,01 
Valor Médio 9,24 0,032 
cmMMM )03,024,9( 

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